Tuyển tập một số bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian

Tuyển tập một số bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...

Giúp học sinh tự ôn tập môn Toán MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bài toán 1: Cho đường thẳng ( ) : 1 1 1 x y z d = = và hai điểm ( ) 0;0;3A , ( ) 0;3;3B . Tìm tọa độ điểm ( ) M d∈ sao cho: 1) MA MB+ nhỏ nhất. 2) 2 2 2MA MB+ nhỏ nhất. 3) 3MA MB− uuur uuur nhỏ nhất. 4) MA MB− lớn nhất. Hướng dẫn – Phương pháp giải: 1) Chuyển p/trình của ( ) d sang dạng tham số ( ) : x t d y t z t =   =   =  Gọi tọa độ của ( ) M d∈ có dạng ( ) ; ;M t t t , t ∈ ¡ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 3 0 3 3P MA MB t t t t t t= + = − + − + − + − + − + − 2 2 3 6 9 3 12 18P t t t t= − + + − + ( ) 2 2 3 2 3 4 6t t t t= − + + − + ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 2P t t   = − + + − +  ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 0 2 2 0 2P t t   = − + − + − + −  ÷   Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm ( ) ;0N t Ox∈ ; ( ) ( ) 1; 2 ; 2; 2H K Gọi ( ) 1; 2H ′ − là điểm đối xứng của điểm ( ) 1; 2H qua trục Ox. • Ta có ( ) 3P NH NK= + = ( ) 3 NH NK ′ + 3H K ′ ≥ . Dấu “=” xảy ra , ,H N K ′ ⇔ thẳng hàng N H K Ox ′ ⇔ = ∩ . Đường thẳng H K ′ có vecto chỉ phương ( ) 1;2 2H K ′ = uuuur nên có vecto pháp tuyến ( ) 2 2; 1n = − r và đi qua ( ) 1; 2H ′ − nên có phương trình tổng quát ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 2 2 3 2 0x y x y− − + = ⇔ − − = . Tọa độ giao điểm N của đường thẳng H K ′ và trục Ox là nghiệm của hệ 3 2 2 3 2 0 2 0 0 x x y y y   = − − =   ⇔   =    =  . Vậy 3 ;0 2 N   −  ÷   . Vậy ( ) 2 2 min 3 3. 1 2 2 3 3P H K ′ = = + = . Đạt được khi ( ) 3 3 ;0 ;0 2 2 N t N t   ≡ ⇔ =  ÷   . Soạn: Đỗ Cao Long 1 Giúp học sinh tự ôn tập môn Toán Suy ra MA MB+ nhỏ nhất bằng 3 3 khi 3 3 3 ; ; 2 2 2 M    ÷   Cách 2: • Làm như cách 1, đến đoạn ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 2P t t   = − + + − +  ÷   . Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2f t t t= − + + − + Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 t t f t t t − − ′ = + − + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 1 2 2 2 t t f t t t − − ′ = ⇔ = − − + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 t t t t − − − ⇔ = − + − −  +   (*) • Xét hàm số ( ) 2 2 u g u u = + , Ta có ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 . . 0 2 2 2 u g u u u u u u   ′ = + − = >  ÷  ÷ + +   + nên hàm số g đồng biến trên ¡ . • Do đó từ (*) ta có ( ) ( ) 3 1 2 1 2 2 g t g t t t t− = − −  ⇔ − = − + ⇔ =   Bảng biến thiên của hàm số f : t −∞ 3 2 +∞ ( ) f t ′ − 0 + ( ) f t +∞ 3 +∞ Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 3 min 3 2 f t f   = =  ÷   . Vậy ( ) min 3 3MA MB+ = đạt được tại 3 2 t = , tức là 3 3 3 ; ; 2 2 2 M    ÷   . 2). Làm tương tự câu 1), ta tính được ( ) 2 2 2 2 2 3 6 9 2 3 12 18Q MA MB t t t t= + = − + + − + 2 9 30 45t t= − + . Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số 9 0a = > nên đạt giá trị nhỏ nhất khi 30 5 2.9 3 t − = − = . Tức là 5 5 5 ; ; 2 2 2 M    ÷   . Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số ( ) 2 9 30 45f t t t= − + để tìm TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HT Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) Gọi  P  mặt phẳng qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi đó, mặt phẳng  P  qua điểm sau đây? A M1 1; 2;  B M2 1; 2;  C M3  1; 2;  D M4  1; 2;  Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp hình học O O H P H≡A A P Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng  P  Ta có: OH  OA   Để d O,  P  max  OH  OA  H  A  OA   P  hay OA vec-tơ pháp tuyến  P    P  qua A  1;1;1 Ta có:    P  nhan OA   1;1;1 la 1vtpt Phương trình tổng quát  P  là:  x  1   y  1   z  1   x  y  z     P  qua điểm M 1; 2;  Chọn đáp án A Cách 2: Phƣơng pháp đại số - Trang | - Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với số a1 ,a ,a , b1 , b2 , b3 ta ln có: a b 1    a b2  a b3   a12  a 22  a 32 b12  b22  b32 Dấu "  " xảy khi:  a1 a a   b1 b b Mặt phẳng  P  qua A 1;1;1  Phương trình tổng qt  P  có dạng: Ax  By  Cz  A  B  C  (A2  B2  C2  0) Khoảng cách từ O đến  P  :   d O;  P   A BC A  B2  C Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta được: A      B2  C2 12  12  12   A  B  C  A    B2  C2 12  12  12  A  B  C A BC A  B2  C  A  A B C     Chọn  B   Phương trình  P  : x  y  z   Dấu "  " xảy khi: 1 C     P  qua điểm M 1; 2;  Chọn đáp án A HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) Gọi  P  mặt phẳng qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi đó, mặt phẳng  P  qua điểm sau đây? A M1  1; 2;  B M2 1; 2; 2  C M3 1; 2;  D M4 1; 2;  Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp hình học – Học sinh tự làm  Cách 2: Phƣơng pháp đại số - Trang | - Mặt phẳng  P  qua A(2; 1;1)  Phương trình tổng quát  P  có dạng: Ax  By  Cz  2A  B  C  (A2  B2  C2  0) Khoảng cách từ O đến  P  :   d O;  P   2A  B  C A  B2  C Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta được: A      B2  C2 22   1  12   2A  B  C  A 2    B2  C2 22   1  12  2A  B  C 2A  B  C A  B2  C 2  A  2B A B C  Chọn     Dấu "  " xảy khi: C   B 1   A  2  B   C  1   Phương trình  P  : 2x  y  z     P  qua M Chọn đáp án C - Trang | - HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 1; 2  đường thẳng d có x 1 y 1 z 1   Gọi  P  mặt phẳng qua A , song song với d khoảng 1 cách từ d tới (P) lớn Khi đó, mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng sau đây? phương trình: A  Q1  : x  y  z   B  Q2  : x  y  z   C  Q3  : x  y  z   D  Q4  : x  y  2z   Hƣớng dẫn H d d H K P K≡A A P Gọi H hình chiếu vng góc A d Gọi K hình chiếu vng góc H lên (P),  d(d, (P)) = d(H, (P))  HK Ta có HA  HK  HK lớn K  A Ta tìm tọa độ điểm H x   t  Phương trình đường thẳng d :  y   t z   t  H  d  H 1  t;1  t;1  t  AH   t  1;  t; t   Ta có: AH  ud  1; 1;1  AH.ud   t    t  t    t   AH   1; 2;  Ta có: nQ2   1;1; 1 nQ2 AH    P    Q2  Chọn đáp án B - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Tốn trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x2 y z2   Gọi  2 đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với d Gọi  P  : Ax  By  Cz  D  0,(A, B,C  ) mặt phẳng chứa  có khoảng cách đến d lớn Khi đó, M  A2  B2  C2 giá trị sau đây? A B C D Hƣớng dẫn K K d d P P H A H≡A Gọi K hình chiếu vng góc A d Gọi H hình chiếu vng góc K  P       d d;  P   d K;  P   HK Ta ln có KH  KA HK lớn  H  A   P   AK Hay mặt phẳng  P  nhận AK vecto pháp tuyến x  2  t  Ta có: d :  y  2t z   2t  K  d  K  2  t; 2t;  2t  AK   t  6; 2t; 2t   AK  ud  1; 2;   AK.ud   t   4t  4t    t   AK   6; 0;  phương với n   2; 0; 1 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Tốn trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)  M  Chọn đáp án C x 1 y z    điểm 2 A(2; 5; 3) Gọi (P) mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Khi đó, mặt HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : phẳng  P  vng góc với đường thẳng sau đây? A x 1 y  z 1   4 B x 1 y  z 1   C x 1 y  z 1   2 D x 1 y  z 1   1 2 Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp hình học A A H P K d d P H≡K Gọi K hình chiếu vng góc A d Gọi H hình chiếu vng góc A  P    Ta có: d A;  P   AH  AK  AH đạt giá trị lớn  H  K   P  nhận AK làm vecto pháp tuyến x   2t  Ta có: d :  y  t z   2t  Với K  d  K 1  2t; t;  2t  AK   2t  1; t  5; 2t  1 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Tốn trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) Ta có: AK  ud   2;1;   AK.ud  4t   t   4t    t   AK  1; 4;1  Chọn đáp án A Cách 2: Phƣơng pháp đại số Phương trình mặt phẳng (P) : ax  by  cz  d  (a  b2  c  0) (P) có vec-tơ pháp tuyến n  (a; b; c) , d qua điểm M(1; 0; 2) có VTCP u  (2;1; 2) a  2c  d  ... www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 1/24 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa độ điểm…. ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học, cao đẳng. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc. Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi trình bày chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi. - Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều. - Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học. - Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề. 2. Khó khăn. - Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập - Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian. - Đa số học sinh yếu môn hình học. III. NỘI DUNG. 1. Cơ sở lý luận. Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao). Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán được đặt ra. 2. Nội dung. www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 2/24 2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng. a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) - Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α). - Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α)) - Tìm giao điểm H của MH và (α).  Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ M’. b. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d: - Viết phương trình tham số của d - Gọi H  d có tọa độ theo tham số t - H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi 0   d u MH - Tìm t, suy ra tọa độ của H. 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước. Bài toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n MỤC LỤC Tran g A.Đặt vấnđề 2 I.Lời nói đầu 2 II.thực trạng của vấn đề 2 B.Giải quyết vấn đề 3 I. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng 3 II. Các dạng bài tập thường gặp 3 C.Kêt luận 20 1 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 A.ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lời nói đầu Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,…. Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc. II.Thực trạng vấn đề Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian. Đặc biệt khi nói đến các bài toán về cực trị trong hình học thì các em rất “ Sợ”. Trước khi làm chuyên đề này tôi đã khảo sát ở 2 lớp 12A và 12B với tống số 90 học sinh, kết quả đạt được như sau Không nhận biết được Nhận biết, nhưng không biết vận dụng Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh Nhận biết và biết vận dụng, giải được bài hoàn chỉnh Số lượng 60 20 9 1 Tỉ lệ ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1 Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”. 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng . 1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) -Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α). -Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α)) - Tìm giao điểm H của MH và (α). *Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ M’. b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d: -Viết phương trình tham số của d - Gọi H ∈ d có tọa độ theo tham số t - H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi 0= r uuuur d u MH -Tìm t, suy ra tọa độ của H. II. Các dạng bài tập thường gặp 1.Ca ́c bài toán cực trị liên quan đ ến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước. Bài toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho 1 1 2 2 n n k MA k MA k MA+ + + uuur uuuur uuuur có giá trị nhỏ nhất. Lời giải: -Tìm điểm I thỏa 1 1 2 2 n n k IA + k IA + + k IA 0= uur uuur uuur r -Biến đổi : 1 1 2 2 n n 1 2 n k MA + k MA + + k MA = (k + k + + k )MI = k MI uuuur uuuuur uuuuur uuur uuur − Tìm vị trí của M khi MI uuur đạt giá trị nhỏ nhất 3 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm ( ) A 1;0;1 , ( ) B -2;1;2 , ( ) C 1;-7;0 . Tìm điểm M Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai SÁNG KIN KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng thng, mt phng và tìm đim là nhng bài toán chim mt v trí quan trng. Trong các đ thi đi hc luôn có vn đ này, song bài toán liên quan đn vn đ cc tr li là vn đ khó vi hc sinh và đòi hi hc sinh phi có t duy sâu sc. i vi hc sinh gii có th làm tt phn này, tuy nhiên cách gii còn ri rc, làm bài nào bit bài đy và thng tn nhiu thi gian cho các bài tp khó. Trong sách giáo khoa loi bài tp này không xut hin, trong các tài liu tham kho thì các bài tp này cha mang tính h thng, cha phân loi và cha ch ra đc đng li gii cho loi bài toán này. Trong hè nm 2008 và 2009, tôi đã có dp trao đi mt s ni dung vi lp Bi dng giáo viên thì đây cng là vn đ khó đi vi c các thy cô giáo. Vi nhng lý do trên, tôi mun hoàn thin mt lp các bài toán này nhm giúp các em hc sinh có cái nhìn tng quát và mang tính h thng cho vn đ này. Qua đó giúp hc sinh không phi e s phn này và quan trng hn là khi đng trc mt bài toán, hc sinh có th bt ngay đc cách gii, đc đnh hng khi làm bài, t đó có cách gii ti u cho mt bài toán. V vn đ này gn đây trong mt tp chí Toán hc tui tr cng có đ cp đn, nhng tôi xin trình bày vn đ vi góc nhìn ca riêng tôi, mc dù vì điu kin thi gian, kinh nghim và kin thc còn hn ch, có vn đ vic phát trin là cha nhiu, tôi s còn tip tc hoàn thin vn đ này và có thêm nhng ý tng mi trong quá trình ging dy. Rt mong nhn đc s đóng góp ý kin chnh sa đ đ tài này đc hoàn thin hn. II - Ni dung nghiên cu Trong đ tài này tôi chia thành 3 ni dung chính: Phn 1 : Bài toán vit phng trình mt phng Phn 2: Bài toán vit phng trình đng thng Phn 3: Các bài toán v đim Vi mi ni dung đc trình bày theo mt h thng lô gic cht ch t các bài toán đn gin đn phc tp, phân tích vn đ, phát trin vn đ đn phát trin bài toán. III - Phm vi nghiên cu Các kin thc trong khuôn kh chng trình toán THPT IV - i tng áp dng: 1. Ôn tp kin thc c bn cho hc sinh 12 2. Ôn thi đi hc 3. Bi dng hc sinh V - Tài liu tham kho: 1. Sách giáo khoa. 2. Các đ thi đi hc. 3. Tp chí Toán hc và tui tr Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 4. Mt s tài liu hình gii tích ca Phan Huy Khi. VI-NI DUNG  TÀI Phn I : Vit phng trình mt phng C s lý thuyt:  vit phng trình mt phng cn xác đnh hai yu t là mt đim thuc mt phng và mt véc t pháp tuyn ây cng chính là c s đ xây dng các bài toán. Ta bt đu t mt bài toán rt đn gin Bài toán 1: Cho hai đim A, B. Xác đnh mt phng (P) đi qua A và cách B mt khong ln nht. Phân tích: Gi s mt phng (P) đã đc xác đnh. Bài toán hi đn khong cách t B đn mt phng, đng nhiên ta phi xác đnh khong cách t B đn mt phng (P).  xác đnh khong cách ln nht ta dùng bt đng thc đánh giá d(B, (P)) nh hn mt giá tr không đi và giá tr không đi đó là giá tr đã bit AB. B A Gii: Gi H là hình chiu ca B trên (P) d(B, (P)) = BH ⇒ Ta có BH AB không đi . Du " = " xy ra ≤ ⇔ H ≡ A ⊥ (P) ⇒ AB u uur là véc t pháp tuyn ca (P). Hay max BH = AB khi H A hay AB≡ n đây mt phng (P) hoàn toàn xác đnh là mt phng qua A và có véc t pháp tuyn AB u uur Bài toán này đn gin, ta có th cho vô s ví d. Tuy nhiên, ý tng Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG https://www.facebook.com/ThuongToan.hocmai Biên soạn: Lƣu Huy Thƣởng HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) Gọi  P  mặt phẳng qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi đó, mặt phẳng  P  qua điểm sau đây? A M1 1; 2;  B M2 1; 2;  C M3  1; 2;  D M4  1; 2;  Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp hình học O O H P H≡A A P Gọi H hình chiếu vuông góc O mặt phẳng  P  Ta có: OH  OA   Để d O,  P  max  OH  OA  H  A  OA   P  hay OA vec-tơ pháp tuyến  P    P  qua A  1;1;1 Ta có:    P  nhan OA   1;1;1 la 1vtpt Phương trình tổng quát  P  là:  x  1   y  1   z  1   x  y  z     P  qua điểm M 1; 2;  Chọn đáp án A Cách 2: Phƣơng pháp đại số Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với số a1 ,a ,a , b1 , b2 , b3 ta có: a b 1    a b2  a b3   a12  a 22  a 32 b12  b22  b32 Dấu "  " xảy khi:  a1 a a   b1 b b Mặt phẳng  P  qua A 1;1;1  Phương trình tổng quát  P  có dạng: Ax  By  Cz  A  B  C  (A2  B2  C2  0) Khoảng cách từ O đến  P  :   d O;  P   A BC A  B2  C Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta được: A      B2  C2 12  12  12   A  B  C  A    B2  C2 12  12  12  A  B  C A BC A  B2  C  A  A B C     Chọn  B   Phương trình  P  : x  y  z   Dấu "  " xảy khi: 1 C     P  qua điểm M 1; 2;  Chọn đáp án A HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) Gọi  P  mặt phẳng qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Khi đó, mặt phẳng  P  qua điểm sau đây? A M1  1; 2;  B M2 1; 2; 2  C M3 1; 2;  D M4 1; 2;  Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp hình học – Học sinh tự làm  Cách 2: Phƣơng pháp đại số Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) Mặt phẳng  P  qua A(2; 1;1)  Phương trình tổng quát  P  có dạng: Ax  By  Cz  2A  B  C  (A2  B2  C2  0) Khoảng cách từ O đến  P  :   d O;  P   2A  B  C A  B2  C Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta được: A      B2  C2 22   1  12   2A  B  C  A 2    B2  C2 22   1  12  2A  B  C 2A  B  C A  B2  C 2  A  2B A B C  Chọn     Dấu "  " xảy khi: C   B 1   A  2  B   C  1   Phương trình  P  : 2x  y  z     P  qua M Chọn đáp án C Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 1; 2  đường thẳng d có x 1 y 1 z 1   Gọi  P  mặt phẳng qua A , song song với d khoảng 1 cách từ d tới (P) lớn Khi đó, mặt phẳng  P  vuông góc với mặt phẳng sau đây? phương trình: A  Q1  : x  y  z   B  Q2  : x  y  z   C  Q3  : x  y  z   D  Q4  : x  y  2z   Hƣớng dẫn H d d H K P K≡A A P Gọi H hình chiếu vuông góc A d Gọi K hình chiếu vuông góc H lên (P),  d(d, (P)) = d(H, (P))  HK Ta có HA  HK  HK lớn K  A Ta tìm tọa ... : x y z   1 12 18 Chọn đáp án D - Trang | 10 - TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (P2) HT Trong không Oxyz, cho gian đường thẳng d: x  y 1 z 1   2 hai điểm... đáp án B - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) mặt phẳng qua điểm M(1;... đáp án B - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học PEN – C Tốn trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng) HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x2 y z2