Các bài toán hình lớp 9 phủ toàn bộ chương trình với mức độ tổng hợp giúp các em học sinh lớp 9 ôn thi vào lớp 10. Tài liệu rất hữu ích đối với các em tự học ôn luyện phần hình học. Tài liệu bao gồm 100 đề thi và đáp kèm lời giải dưới dạng mở với nhiều cách giải khác nhau, có tính mở để khuyến khích học sinh sáng tạo giải bài tập.
II TRƯỜNG THPT CHUYÊN - - CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC LUYỆN THI TỐN HÌNH LỚP VÀO LỚP 10 HÀ NỘI – 2017 ĐỦ BỘ TỐN HÌNH HỌC LỚP ƠN THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Cho ∆ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: góc DEA=ACB Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA phân giác góc MAN Chứng tỏ: AM2=AE.AB Giợi ý: y A x N E D M B O C Hình Ta phải c/m xy//DE 1.C/m BEDC nội tiếp: C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D E làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vuông 2.C/m góc DEA=ACB Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v Mà DEB+AED=2v ⇒AED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy (Hình 1) Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB= sđ cung AB Mà sđ ACB= sđ AB ⇒góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) ⇒xAB=AED hay xy//DE 4.C/m OA phân giác góc MAN Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA đường trung trực MN.(Đường kính vuông góc với dây)⇒∆AMN cân A ⇒AO phân giác góc MAN 5.C/m :AM2=AE.AB Do ∆AMN cân A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung nhau);góc MAB chung ⇒∆MAE ∽∆ BAM⇒ MA AE = ⇒ MA2=AE.AB AB MA Bài 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I 1.Tứ giác ADBE hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp 3.C/m B;I;C thẳng hàng MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý: D I A M O B E Hình O’ C 1.Do MA=MB AB⊥DE M nên ta có DM=ME ⇒ADBE hình bình hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình thoi 2.C/m DMBI nội tiếp BC đường kính,I∈(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt) ⇒BID+DMB=2v⇒đpcm 3.C/m B;I;E thẳng hàng Do AEBD hình thoi ⇒BE//AD mà AD⊥DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do góc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI BE vuông góc với DC ⊥B;I;E thẳng hàng •C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; ∆EID vuông I⇒MI đường trung tuyến tam giác vuông DEI ⇒MI=MD C/m MC.DB=MI.DC chứng minh ∆MCI∽ ∆DCB (góc C chung;BDI=IMB chắn cung MI DMBI nội tiếp) 5.C/m MI tiếp tuyến (O’) -Ta có ∆O’IC Cân ⇒góc O’IC=O’CI MBID nội tiếp ⇒MIB=MDB (cùng chắn cung MB) ∆BDE cân B ⇒góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp ⇒góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI) Từ suy góc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI ⊥O’I I nằm đường tròn (O’) ⇒MI tiếp tuyến (O’) Bài 3: Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AMMC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB nội tiếp C/m ME phân giác góc AED C/m: Góc ASM=ACD Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý: 1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: A Góc MDC=BDC=1v Từ suy A vad D làm với hai đầu S D đoạn thẳng BC góc M vuông… 2.C/m ME phân giác B E C góc AED •Do ABCD nội tiếp nên Hình ⇒ABD=ACD (Cùng chắn cung AD) • Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD) • Do MC đường kính;E∈(O)⇒Góc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM nội tiếp⇒Góc MEA=ABD ⇒Góc MEA=MED⇒đpcm 3.C/m góc ASM=ACD Ta có A SM=SMD+SDM(Góc tam giác SMD) Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD Vậy Góc A SM=ACD 4.C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy Gọi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng • Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) AC cắt BD M⇒M trực tâm tam giác KBC⇒KM đường cao thứ nên KM⊥BC.Mà ME⊥BC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng ⇒đpcm Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn AB r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A 2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn 3/ Chứng tỏ : BC2= Rr 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải: B 1/C/m ∆ABC vuông: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=EC⇒AE=EB=EC= E C N O F A Hình 10 I BC.⇒∆ABC vuông A 2/C/m A;E;N;F nằm trên… -Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO phân giác tam giác cân AEB⇒EO đường trung trực AB hay OE⊥AB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2v⇒tổng hai góc đối……⇒4 điểm… 3/C/m BC2=4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vuông(Cmt)⇒FANE hình vuông⇒∆OEI vuông E EA⊥OI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu) Maø AH= BC BC vaø OA=R;AI=r⇒ = Rr⇒BC2=Rr 4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuông ⇒SBCIO= ⇒S= OB + IC × BC (r + R) rR Bài 84: Cho ∆ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I Chứng minh A;O;I thẳng hàng Kẻ AK⊥ với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m:KM.JA=KA.JB 1/C/m A;O;I thẳng hàng: Vì BMI=IMC(gt) ⇒ cung IB=IC ⇒Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)⇒AI phân gíc ∆ cân ABC ⇒AI⊥BC.Mà ∆BOC cân O⇒ có góc tâm chắn cung ⇒OI phân giác góc BOC A K O • E J B M N C I Hình 84 ⇒đpcm 2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC ⇒AI⊥BC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)⇒AJC+AKC=2v ⇒đpcm 3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vuông JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc tam giác AMC) 2 Mà sđ MAC= sđ cung MC sđMCA= sđ cung AM ⇒sñKMA= sñ(MC+AM)= ⇒∆JBA~∆KMA⇒ñpcm 84 sñAC=sñ góc ABC Vậy góc ABC=KMA Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F Chứng minh BDCF nội tiếp Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O) AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB Xác đònh vò trí D để EF tiếp tuyến (O) Hình 85 F C E I J • O’ A D • O B 1/Cm:BDCF nội tiếp: Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O’)⇒FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒đpcm 2/•C/m: CD2=CE.CF Ta có Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt) ⇒CED+CFD=1v nên EDF=1v hay ∆EDF tam giác vuông có DC đường cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF •Vì ∆EDF vuông D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.⇒đpcm 3/C/m IJ//AB Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cùng chắn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒đpcm 4/ Xác đònh vò trí D để EF tiếp tuyến (O) Ta có CD⊥EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính ⇒D≡O 85 Bài 86: Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ:IC2=IA.IB Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN b/ E; F; M; N nằm đường tròn 1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt I Hình 86 hai đtròn ⇒ICK=IDK=1v ⇒đpcm C 2/C/m: IC2=IA.IB E Xét hai tam giác M ICE ICBcó góc I A D chung sđ ICE= • O sđ cung CE (góc •O’ tt dây) B N F K sđ CE (góc nt cung bò chắn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒đpcm 3/Cm IK nằm đường trung trực CD Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB -Hai tam giác vuông ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vuông IC=ID ⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K nằm đường trung trực CD.⇒đpcm 4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính IF IN chất tỉ lệ thức ta có: Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ với = IM IE hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung ⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Mà IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒đpcm Sđ CBI= 86 Bài 87: Cho∆ABC có góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H Chứng minh:ADHE nội tiếp C/m:AE.AC=AB.AD AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp ∆DFE Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O) A I E D x Hình 87 554 H B F O C 1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt 2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh ∆AEB ∆ADC đồng dạng 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF -Tứ giác BDHF nt⇒HED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF nt⇒ECH=EFH(cùng chắn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH phân giác DEF -Tứ gáic BDHF nt⇒FDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH phân giác góc FDE⇒H là… 4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IH⇒IA=IE=IH= AH (tính chất trung tuyến tam giác vuông)⇒∆IAE cân I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do ∆OEC cân O⇒ OEC=OCE ⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OE⊥IE điểm E nằm đường tròn (O)⇒đpcm 87 Bài 88: Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD⊥AB (C∈(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E∈(O)) Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ACD Chứng tỏ FA.EC=FD.EA A E • O Hình 88 554 • O’ C B D F K 1/C/m AOC vaø AO’D thẳng hàng: -Vì AB⊥CD ⇒Góc ABC=1v⇒AC đường kính (O)⇒A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng 2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒đpcm 3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ∆ACD Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ⇒ADF=ACE ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)⇒EAC=FAD⇒đpcm 88 Bài 89: Cho ∆ABC có A=1v.Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2=Rr Hình 89 O’ A O M I N B K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng: -Vì M trung điểm dây AB⇒OM⊥AB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ góc OBK=OAK mà OBK=1v ⇒OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v ⇒đpcm 2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’) -Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OA⊥AK điểm A nằm đường tròn (O)⇒đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’) -C/m K nằm BC: Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC Nhưng AMKN hình chữ nhật⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghóa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thẳng hàng ⇒đpcm 4/ C/m: 4MI2=Rr Vì ∆OKO’ vuông K có đường cao KA.p dụng hệ thue=ức lượng tam giác vuông có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI= AK⇒đpcm 89 Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vuông góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F Cm:BDEF nội tiếp Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Cmr: DIMF nội tiếp Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH E Hình 90 B A O I C H M D F 1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm 2/ C/m DA.DF=DC.DE: Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BF⊥AE ED⊥AF nên C trực tâm ∆AEF⇒Góc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)⇒đpcm 3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vuông góc với dây DB)⇒∆ADB cân A⇒ AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)⇒Đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có tâm nằm đường AM ⇒góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm 90 Bài 91: Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D∈(O)); DB CE kéo dài cắt M Cmr: ADEM nội tiếp Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường tròn ADEM hình gì? Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC B O A O’ C 1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) ⇒ADM+AEM=2v⇒đpcm 2/C/m MA tiếp tuyến hai đường tròn; -Ta có sđADE= sđ E D M Hình 91 cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)⇒ABM=AMC Tương tự ta có AMB=ACM⇒Hai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhau⇒Cặp góc cònlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM điểm A nằm đtròn… 3/ADEM hình gì? Vì BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta có MA tt đtròn⇒DAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật 4/Cm: MD.MB=ME.MC Tam giác MAC vuông A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vuông MAB có MA2=MD.MB⇒đpcm 91 Bài 92: Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK⊥ với đường thẳng AM Cm: ABKC nội tiếp Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA Cm: MN//DB Cm: BMEN hình vuông Hình 92 A B N M E K D C 1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) ⇒ đpcm 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có: Vì ABCD hình vuông nên nội tiếp đường tròn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1v⇒A;K;C nằm đtròn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường tròn.⇒Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒ BD BE ⇒đpcm = KA KN 3/ Cm:MN//DB.Vì AK⊥CN CB⊥AN ;AK cắt BC M⇒M trực tâm tam giác ANC⇒NM⊥AC.Mà DB⊥AC(tính chất hình vuông)⇒MN//DB 4/Cm:BNEM hình vuông: Vì MN//DB⇒DBM=BMN(so le) mà DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM tam giác vuông cân⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)và o o BDM=45 ⇒MBE=45 ⇒∆MBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMN⇒BMEN hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN hình vuông Bài 93: 92 Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: ∆PEN tam giác cân F N I Q A E B P M O D C 1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).⇒đpcm 2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật⇒O trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua M⇒M trung điểm NC ⇒OM đường trung bình ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB 3/Cm:F;E;M thẳng hàng Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhật⇒∆AIE OAB tam gíc cân⇒IAE=IEA IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay ABO=BAO.Vì AN//DB⇒ IE//AC Vì I trung điểm AN;M trung điểm NC⇒IM đường trung bình ∆ANC⇒MI//AC Từ Ta có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng ⇒F;F;M thẳng hàng 4/C/m∆PEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếp⇒PNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cân E 93 Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q Cm:E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm:AB.PE=EB.PF Cm:S∆AEF=2S∆APQ Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD A B M P E Q D F C 1/Cm:E;P;Q;C;F cuøng nằm đường tròn: Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vuông)⇒ABEQ nội tiếp ⇒ABE+AQE=2v mà ABE=1v⇒AQE=1v Ta có ∆AQE vuông Q có góc QAE=45o⇒∆AQE vuông cân⇒AEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) PDF=45o ⇒APFD nội tiếp⇒APF+ADF=2v mà ADF=1v⇒APF=1v ECF=1v Từ ⇒E;P;Q;F;C nằm đường tròn đường kính EF 2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: -Vì ABEQ nt⇒BAE=BQE(Cùng chắn cung BE) ⇒BAE=PFE -Vì QPEF nt⇒PQE=PEF(Cùng chắn cung PE) ⇒đpcm 3/Cm: :S∆AEF=2S∆APQ Theo cm ∆AQE vuông cân Q⇒AE= AQ + QE = AQ Vì QPEF nt ⇒PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung S AE ⇒∆AQP~∆AEF⇒ AEF = = S AQP AQ ( ) =2⇒đpcm 4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai ∆MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM 94 Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vuông góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J C/m:OHIK nội tiếp Chứng tỏ KH⊥OI Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B J O F H K E D C I 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh) 2/Cm HK⊥OI Tam giác ABI có hai đường cao DH AK cắt O ⇒OI đường cao thứ ba ⇒OI⊥AB Ta có OKIH nt⇒OKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI⊥AB AD⊥AB ⇒OI//AD⇒OIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE ⇒OKH=OCE⇒HK//AB.Mà OI⊥AB ⇒OI⊥KH 3/Cm: HJ.KC=HE.KB Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp: VìAH⊥BE;EJ//AD AD⊥AB⇒EJ⊥AB⇒BJ đường cao thứ ba tam giác ABE⇒BJ⊥AE Vì E trung điểm DH;EJ//AD⇒EJ đường trung bình tam giác 2 ADH⇒EJ//= AB;BF= BC mà BC//=AD⇒JE//=BF⇒BJEF hình bình hành⇒JB//EF.Mà BJ⊥AE⇒EF⊥AE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1v⇒ABFE nt 95 Bài 96: Cho ∆ABC, phân giác góc góc góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc với đường thẳng AB; BC; AC Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nt BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AE⊥AJ C/m: AI.AJ=AB.AC A E I B P C K H J Bài 97: Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BK⊥Ax;BI⊥Ay DM⊥Ax,DN⊥Ay Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD Chứng minh MN=KI Chứng tỏ KI⊥AN x B P C K y Q N M A 96 I D Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vuông góc với CD AM Chứng minh KHDM nt Chứng minh:AB=CK+AM Bài 99: Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp Chứng minh:CN.CF=4BE.BF Chứng minh MN//AC A D M B E N C F 1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàng⇒đpcm 2/Cm:AFCD nội tiếp: -Do ADCE hình bình hành⇒BC//AE⇒góc BCA=ACE(so le) 2 -sđCAE= sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE= sđ cung AE ⇒CAE=AFE.⇒BCN=BFA⇒AFCD nội tiếp 2/Cm CN.CF=4BE.BF -Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)⇒∆BAE~∆BFA⇒ AB BE ⇒AB2=BE.BF = BF AB Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạng⇒AC2=CN.CF Nhưng ta lại có AB= AC.Do trở thành: AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF Từ ⇒đpcm 4/cm MN//AC Do ADCE hbh⇒BAC=ACE(so le).Vì ADCF nt ⇒DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)⇒ACM=CMN⇒MN//AC 97 Bài 100: Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E Chứng minh ∆BNI cân PKEN nội tiếp Chứng minh AN.BD=AB.BN Chứng minh I trực tâm ∆MPN IE//BC A P M F E K O I B C N 1/C/m ∆BNI cân Ta có sđBIN= sđ(AP+BN) sđIBN= sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt) ⇒BIN=IBN⇒∆BNI cân N 2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp: Vì cung AM=MB⇒ANM=MPB hay KPE=KNE⇒Hai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…⇒đpcm 3/C/m AN.DB=AB.BN Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)⇒đpcm 4/ •Chứng minh I trực tâm ∆MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC F D.Ta có: sđ AFD= sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường tròn.) sđ ADF= sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường tròn.) Mà Cung AP=PC;MB=AM⇒AFD=ADF⇒∆AFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)⇒AN⊥MP hay NA đường cao ∆NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP •C/m IE//BC.Ta có ∆BNI cân N có NE phân giác ⇒NE đường trung trực BI⇒EB=EI⇒∆BEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIB⇒EI//BC 98 ... (O)⇒AO BO phân giác ∆ABC ⇒OAN=OBM=30o; OA=OB=R BM=AN(gt)⇒∆OMB=∆ONA ⇒OM =ON ⇒OMN cân O 2/C/m OMAN nội tiếp: ∆OBM=∆ONA(cmt)⇒BMO=ANO mà BMO+AMO=2v⇒ANO+AMO=2v ⇒AMON nội tiếp 3/C/m BC2+DC2=3R2 Do BO phân... cắt AC M;HC cắt DB N.Chứng tỏ HB=HC Và AB.AC=BH.BI 3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) 4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường cắt HC K cắt (O) J.Chứng minh HOKD nt x A B M H I... 17 K 1/C/m:BOMK nội tiếp: Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM tia phân giác góc BCA⇒ACM=MCB=45o ⇒cungAM=MB =90 o ⇒dây AM=MB có O trung điểm AB ⇒OM⊥AB hay gócBOM=BKM=1v ⇒BOMK nội tiếp