phuong trinh bac hai dinh li viet va ung dung 48480

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Kiến thức cần nhớ 1. Thuật toán giải phương trình bậc hai * Nếu thì phương trình bậc hai vô nghiệm. * Nếu thì phương trình bậc hai có 2 nghiệm . 2. Định lý Viét cho phương trình bậc hai Hai số là hai nghiệm của phương trình bậc hai khi và chỉ khi chúng thoả mãn hai hệ thức Viét sau : . 3. Ứng dụng : * Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. Hai hệ quả hay dùng khi nhẩm nghiệm : Nếu thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là . Nếu thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là . * Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Nếu hai số có tổng S, và tích P thì chúng là nghiệm của phương trình . Điều kiện để có hai số này là . * Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai. * Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Bảng tổng hợp xét dấu các nghiệm , Bài tập 1. Cho phương trình . 1. Giải phương trình khi m = 2. 2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 2. Cho phương trình 1. Giải phương trình khi m = 3. 2. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 3. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt trục tại 3 điểm phân biệt. 3. Cho hàm số (*) 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (*) luôn đi qua điểm . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (*) tiếp xúc với trục hoành . 4. Cho . Gọi , là hai nghiệm của . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 5. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn : . 6. Đáp số 1. 2. 3. 4. . 5. m = 1 hoặc m = 5. 6. NGUYỄN VĂN SƠN CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT I NỘI DUNG KIẾN THỨC ÔN TẬP Công thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (1) Trong a, b, c  R a  2 Biệt thức phương trình (1)   b  4ac (hoặc  '  b '  ac với b’ = 2b ) + Khi   (hoặc  '  ): Phương trình (1) vô nghiệm b + Khi   (hoặc  '  ): Phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2   2a b' (hoặc x1  x2   ) a + Khi   (hoặc  '  ): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2  b '   ' a (hoặc x1,2  b   ) 2a Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:  Nếu phương trình (1) có: a + b + c = (1) có nghiệm x = x = c/a;  Nếu phương trình (1) có: a – b + c = (1) có nghiệm x= -1 x = – c/a Chú ý: Nếu phương trình (1) có a c trái dấu hay a.c < (1) có nghiệm phân biệt.Vậy để chứng minh (1) có nghiệm phân biệt ta chứng minh a.c < Định lí Vi-ét  Định lí thuận: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình (1) ta có: – + = ; = u  v  S  Định lí đảo: Nếu   u, v nghiệm phương trình: u.v  P X2 – SX + P = (với S2 – 4P  0)  Một số công thức đối xứng nghiệm hay sử dụng: x12+ x22 = (x1+ x2) 2– x1x2 ; 1 x12  x22 S2  2P    ; x12 x2 ( x1 x2 )2 P2 1 x x S    ; x1 x x1 x2 P ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  x1 x2 = S2 – 4P; x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 ) ; A= | x1 |+ | x2|  A2 = x12+ x22 + 2| x1.x2| = (x1+ x2 ) – x1.x2 + 2| x1.x2| Một số dạng toán thường gặp với phương trình bậc hai chứa tham số m * Dạng 1: Chứng minh phương trình bậc hai có 2nghiệm phân biệt với m Phương pháp: Email: nguyenson72.ts@gmail.com NGUYỄN VĂN SƠN CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN  Lập biệt thức  ' (hoặc  )  Biến đổi  ' đưa dạng :  ' = (A  B)2 + c > 0,  m (với c > )  Kết luận: phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với m * Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm với m Phương pháp:  Lập biệt thức  ' (hoặc  )  Biến đổi  ' đưa dạng:  ' = (A  B)  0,  m  Kết luận: Vậy phương trình cho nghiệm với tham số m * Dạng 3: Tìm m để PT có nghiệm (phân biệt) thỏa mãn hệ thức K Phương pháp:  Tính  ' (hoặc  ), từ tìm m để PT có nghiệm (có nghiệm phân biệt)  Viết hệ thức tổng tích nghiệm theo hệ thức Vi-ét (1)  Biến đổi hệ thức K cho chứa (x1 + x2) v (x1.x2) (1’)  Thay (1) vào (1’) để tìm m , đối chiếu với ĐK m bước → KL * Dạng 4: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 ,.x2 không phụ thuộc vào m Phương pháp:  Tìm ĐK để PT cho có nghiệm ( '  ;   a.c < 0) b c  Lập hệ thức Vi-ét cho PT: S  x1  x2   vµ P  x1.x2  a a  Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P  Đó hệ thức độc lập với tham số m * Dạng 5: GTLN, GTNN hệ thức chứa hai nghiệm - Tìm GTNN: - Tìm ĐK m để PT có nghiệm, viết hệ thức Viét cho PT - Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A  B)2 + c  c - GTNN P: Pmin = c A  B =  giải PT  tìm m, KL - Tìm GTLN:  Tìm ĐK m để PT có nghiệm, viết hệ thức Vi-ét cho PT  Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A  B)2  c  GTLN Q: Qmax = c A  B =  Giải PT  Tìm m  Kết luận *Dạng 6: Xét dấu nghiệm: Phương trình có hai nghiệm: Trái dấu Cùng dấu Cùng dấu dương Cùng dấu âm P  ≥ 0, P > 0, S >  ≥ 0, P > 0, S < * Dạng 7: Giải biện luận phương trình bậc hai theo tham số m TH1: Xét a = 0: PT cho phương trình bậc có nghiệm x= - b/a TH2: Xét a khác : Tính  ’ Xét trường hợp  < ;  = ;  > để tìm m trường hợp, tìm nghiệm tương ứng * Dạng 8: Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm Phương pháp: dùng định lí Vi-ét đảo Phương trình quy bậc hai a) ươ ì ù ươ : ax + bx + c = (1): Đặt x = t (t ≥ 0), PT(1) Email: nguyenson72.ts@gmail.com NGUYỄN VĂN SƠN CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN trở thành at + bt + c = Giải PT để tìm t, sau t vào x2 = t để tìm x =0 b) Phương trình tích: = ⇔ =0 a) Phương trình bậc cao: Có hướng giải phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử chứa đa thức bậc thấp hơn; đặt ẩn phụ b) Phương trình chứa ẩn mẫu: Thực theo bước sau: đầu tiện đặt ĐKXĐ cho PT, khử mẫu, đưa PT dạng cuối đối chiếu ĐKXĐ, kết luận nghiệm c) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: thông thường thường gặp dạng sau | ( )| = ( ) ⇔ ( )≥0 ; ( )=± ( ) | ( )| = | ( )| ⇔ ( )= ( ) ( )=– ( ) d) Phương trình vô tỉ:Các dạng phương pháp giải tổng quát sau ( )≥0 ( )≥0 ( )= ( )⇔ ( )= ( )⇔ ; ; ( )= ( ) ( ) = [ ( )] ( )≥0 ( )≥0 ( )+ ( )= ( )⇔ ( ) + ( ) + ( ) ( ) = [ ( )] II VÍ DỤ GIẢI TOÁN Ví dụ1 Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + = 0; Giải: a) Ta có:  = (-3)2 – 4.1 = – = > b) 2x2 - 3x + = 3 3 ; x2 = 2 3 3 Vậy PT cho có nghiệm phân biệt : x1 = ; x2 = 2 Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b) Phương trình có a + b + c = + (-3) + = phương trình cho có hai nghiệm x1 = x2 = c/a = 1/2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 1/2  Chú ý 1: Kinh nghiệm giải nhanh phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0):  Nếu hệ số b lẻ tính  để tìm nghiệm; Nếu hệ số b chẵn tính  ’ để tìm nghiệm;  Chú ý tổng a +b + c a +(-b) + c xem có hay không? để nhẩm nghiệm cho nhanh chóng theo công thức nhẩm nghiệm Ví dụ Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – m – = ...CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp a)Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a  0 Lập biệt số  = b 2 – 4ac hoặc  / = b /2 – ac *  < 0 (  / < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm *  = 0 (  / = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x 1,2 = - a b 2 (hoặc x 1,2 = - a b / ) *  > 0 (  / > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: x 1 = a b 2  ; x 2 = a b 2  (hoặc x 1 = a b //  ; x 2 = a b //  ) 2. Định lý Viột. Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a  0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c Đảo lại: Nếu cú hai số x 1 ,x 2 mà x 1 + x 2 = S và x 1 x 2 = p thỡ hai số đó là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x 2 – S x + p = 0 3. Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a  0) . Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x 1 và x 2 trái dấu( x 1 < 0 < x 2 )  p < 0 Hai nghiệm cùng dương( x 1 > 0 và x 2 > 0 )          0 0 0 S p Hai nghiệm cùng âm (x 1 < 0 và x 2 < 0)          0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x 2 > x 1 = 0)          0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x 1 < x 2 = 0)          0 0 0 S p 4. Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a  0)  Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = a c  Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = -1 , x 2 = - a c  Nếu x 1 + x 2 = m +n , x 1 x 2 = mn và 0   thì phương trình có nghiệm x 1 = m , x 2 = n hoặc x 1 = n , x 2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ,x 2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x 1 + x 2 - Lập tích p = x 1 x 2 - Phương trình cần tìm là : x 2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = S 2 – 2p *) (x 1 – x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 = S 2 – 4p *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 – 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 – 3Sp *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx   = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x   = p pS 2 2  *) (x 1 – a)( x 2 – a) = x 1 x 2 – a(x 1 + x 2 ) + a 2 = p – aS + a 2 *) 2 21 21 21 2 ))(( 2 11 aaSp aS axax axx axax          (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện 0   ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải:  Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x 1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0   (hoặc 0 /  ) (*) - Thay x = x 1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0   (hoặc 0 /  ) mà ta thay luôn x = x 1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có  < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x 1 cho trước.  Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp a) Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất - hoặc vụ nghiệm - hoặc vụ số nghiệm b)Nếu a  0 Lập biệt số  = b 2 – 4ac hoặc  / = b /2 – ac *  < 0 (  / < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm *  = 0 (  / = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x 1,2 = - a b 2 (hoặc x 1,2 = - a b / ) *  > 0 (  / > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt: x 1 = a b 2  ; x 2 = a b 2  (hoặc x 1 = a b //  ; x 2 = a b //  ) 2. Định lý Viột. Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a  0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c Đảo lại: Nếu cú hai số x 1 ,x 2 mà x 1 + x 2 = S và x 1 x 2 = p thỡ hai số đó là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x 2 – S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a  0) . Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x 1 và x 2 trái dấu ( x 1 < 0 < x 2 )  p = x 1 x 2 < 0 Hai nghiệm cùng dương( x 1 > 0 và x 2 > 0 )          0 0 0 S p Hai nghiệm cùng âm (x 1 < 0 và x 2 < 0)          0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x 2 > x 1 = 0)          0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x 1 < x 2 = 0)          0 0 0 S p 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a  0)  Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = a c  Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = -1 , x 2 = - a c  Nếu x 1 + x 2 = m +n , x 1 x 2 = mn và 0   thì phương trình có nghiệm x 1 = m , x 2 = n hoặc x 1 = n , x 2 = m b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ,x 2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x 1 + x 2 - Lập tích p = x 1 x 2 - Phương trình cần tìm là : x 2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = S 2 – 2p *) (x 1 – x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 = S 2 – 4p *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 – 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 – 3Sp *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx   = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x   = p pS 2 2  *) (x 1 – a)( x 2 – a) = x 1 x 2 – a(x 1 + x 2 ) + a 2 = p – aS + a 2 *) 2 21 21 21 2 ))(( 2 11 aaSp aS axax axx axax          (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện 0   ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải:  Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x 1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0   (hoặc 0 /  ) (*) - Thay x = x 1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0   (hoặc 0 /  ) mà ta thay luôn x = x 1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn: Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp thời. Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phương pháp dạy phù hợp. Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy. Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác. Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến “ Phương trình bậc hai : ax 2 +bx+c= 0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c =0 (a ≠ 0) nói riêng. Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. Tuy nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng. Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn khoăn trăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0). Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai. 2. Cơ sở tâm lí Theo tâm lý, con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác. Đối với học sinh cũng vậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối “nhồi nhét’, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên. Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còn cách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em. Có nghĩa là chúng ta phải có những phương pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động có hệ thống. Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm được hướng giải quyết tốt nhất. 1 3. Cơ sở giáo dục học Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Mục đích nghiên cứu - Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này. - Thực hiện chuyên đề này thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung hệ thức Vi-ét. Qua đó có định hướng năng cao chất lượng dạy học môn Toán. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Thấy được vai trò của hệ thức Vi-ét trong chương trình Toán THCS đặc biệt là những dạng toán có liên quan. - Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung có liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định được cách giải của một số dạng toán cơ bản. III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu phần “ Phương trình bậc hai : ax 2 +bx+c=0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) . 2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng. 3. Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối lớp 9. IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Đọc các tài liệu có PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận cú nghiệm phương trỡnh : ax2 + bx + c = (1) đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột trường hợp a) Nếu a= đú ta tỡm vài giỏ trị đú m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nờn cú thể : - Cú nghiệm - vụ nghiệm - vụ số nghiệm b)Nếu a  Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac *  < ( / < ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm b *  = ( / = ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = 2a / b (hoặc x1,2 = - ) a *  > ( / > ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm phõn biệt: b  b  x1 = ; x2 = 2a 2a / / b    b /  / (hoặc x1 = ; x2 = ) a a Định lý Viột Nếu x1 , x2 nghiệm phương trỡnh ax2 + bx + c = (a  0) thỡ b S = x1 + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p thỡ hai số nghiệm (nếu có ) phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 3.Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phương trình Ta có kết sau: x1 x2 trái dấu ( x1 < < x2 )  p = x1x2 <    Hai nghiệm dương( x1 > x2 > )   p  S      Hai nghiệm âm (x1 < x2 < 0)   p  S      Một nghiệm nghiệm dương( x2 > x1 = 0)   p  S      Một nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0)   p  S   4.Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0) c a  Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 =  Nếu a – b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -  c a Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn   phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích p = x1x2 - Phương trình cần tìm : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x  x2 S 1 *)   = p x1 x x1 x 2 x1 x x1  x S2  2p =   p x x1 x1 x *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x  x  2a 1 S  2a *)    x1  a x  a ( x1  a)( x  a) p  aS  a (Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện   0) *) d)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ Cách giải:  Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc cho có nghiệm:   (hoặc /  ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình cho ,tìm giá trị tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện   (hoặc /  ) mà ta thay x = x1 vào phương trình cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào phương trình giải phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình cho mà phương trình bậc hai có  < kết luận giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước  Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình (như cách trình bầy trên) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm vào công thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào công thức tích hai nghiệm ,từ tìm nghiệm thứ B BÀI TẬP ... hiệu hai nghiệm d) Chứng minh tồn hệ thức li n hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu; hai nghiệm dấu; hai nghiệm đối nhau; hai nghiệm dương; hai nghiệm... a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt m  b) Xác định giá trị m dể phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm phương trình c) Tìm hệ thức li n hệ hai nghiệm không phụ thuộc... nghiệm tương ứng * Dạng 8: Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm Phương pháp: dùng định lí Vi-ét đảo Phương trình quy bậc hai a) ươ ì ù ươ : ax + bx + c =