bai toan tim so hang tong quat cua day so 2428

ONTHIONLINE.NET Phần thứ nhất: Bài toán tìm số hạng tổng quát dãy số Bài toán tìm số hạng tổng quát dãy số toán hay đồng thời toán khó Trong chương trình Đại số giải tích lớp 11 toán tìm số hạng tổng quát dãy số thường đề cập tới với nhiều góc độ khác nhau, đề thi học sinh giỏi toán tìm số hạng tổng quát dãy số xuất khiến không học sinh lao đao Trong trình giảng dạy, ôn luyện , sưu tầm xin giới thiệu số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số số dạng mức độ khiêm tốn Hy vọng giúp ích cho bạn có hứng thú quan tâm Phần thứ hai Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số: 1/ Phương pháp đơn giản số hạng: 2/Phương pháp lùi dần số hạng: 3/ Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng) 4/ Phương pháp quy nạp: Vấn đề cụ thể: Phương pháp 1: Phương pháp đơn giản số hạng Từ biểu thức Un+1=f(Un , Un-1) ta đặt Vn=Un-Un-1, ta suy Vn+1=g(Vn) Khi Vn cấp số cộng cấp số nhân Từ tìm Vn ⇒ Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+ …+(U1-U0) + U0 = Vn+ Vn-1+…+ V1+U0=Sn+U0 Trong Sn tổng n số hạng dãy Vn Ví dụ1: Cho dãy (Un) thoả mãn điều kiện: Un+1- 2Un+Un-1=1 với n ≥ Hãy tính Un qua U0, U1 n Giải: Từ điều kiện toán ta suy ra: (Un+1-Un)- (Un-Un-1)=1 Đặt Vn=Un-Un-1thì Vn+1-Vn=1( n ≥ 1) Khi dãy (Vn) cấp số cộng có số hạng đầu V1=U1-U0 công sai d =1 nên Sn=V1+V2+…+Vn= n đó: Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+….+(U1-U0)+U0 V1 + Vn n(2V1 + n − 1) = Từ 2 = Vn+Vn-1+…+V1+U0 n n(n − 1) (n ≥ 1) = Sn+U0= (2V1 + n − 1) + U = nU − (n − 1)U + 2 n(n − 1) Chẳng hạn với U0=1, U1=1 ta có : Un=1 + 1 Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: Un+1= (U n + U n−1 ); (n ≥ 1) Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 n Giải: Từ giả thiết suy ra: 2Un+1=Un+Un-1 ⇔ 2(Un+1-Un)=-(Un-Un-1) ⇒ Vn +1 = − Vn ; n ≥ Đặt Vn=Un-Un-1 ta có 2Vn+1=-Vn Do (Vn) cấp số nhân có số hạng đầu V1=U1- U0 công bội q= − Tổng n số hạng đầu (Vn) là: V1 (1 − (− ) n ) V (1 − q )   = = V1 1 − (− ) n  Sn= V1 + V2 + + Vn = 1− q   n Vậy: Un=(Un-Un-1) + (Un-1- Un-2) +…+ (U1-U0) + U0  n = Sn+U0= (U − U ) 1 − (− )  + U   Nếu: U0 =1,U1 =2 Ta có Un = 2  − (− ) n  + Với cặp (U0; U1) cụ thể ta  3  toán Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định bởi: Un+1=(a+b)Un - abUn-1 n ≥ Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 n Giải: Giả thiết suy Un+!- aUn= b(Un - aUn-1) n ≥ Đặt Vn=Un-aUn-1(1) ta cóVn+1=bVn ( n ≥ ) ta có (Vn) cấp số nhân có số hạng đầu V1 công bội b nên: Vn= V1bn-1 n ≥ Từ ta có: U1- aU0=V1 (2) , U2- aU1=V1b (3) , U3- aU2=V1b2 (4) … Un- aUn-1 = V1bn-1 Nhân (2) với a cộng cho(3) : U2=a2U0+(a+b)V1 Nhân (2) với a2, (3) với a cộng vào (4) được: U3=a3U0+(a2+ab + b2)V1 Giả sử ta chứng minh được: Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+abn-2 + bn-1)V1 theo (1) ta có: Un+1=aUn+V1bn = an+1U0+(an+an-1b+…+abn-1+bn)V1 Vậy Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+ abn-2+bn-1)(U1- aU0) = (an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)U1- ab(an-2+an-3b+…+ abn-3+bn-2)U0 an − bn a n −1 − b n −1 U − ab U nÕua ≠ b  a−b Hay gọn hơn: U n =  a − b nan-1U − (n − 1)a nU nÕu a= b  Bài tập tương tự: Cho dãy số (Un) thoả mãn: U0=2, U1=3, Un=3Un-2Un-1 Tìm số hạng tổng quát Un Cho dãy số (Un) thoả mãn: a ≠ −b, a ≠ −2b,U n+1 = qua U0 U1 Hướng dẫn: 1.Vn=Un-Un-1 Vn+1=- b Vn a+b aU n + bU n −1 , n ≥ Biểu diễn Un a+b Un=2n +1 b n  1 − (− a + b )   Un= U + (U − U )(a + b)   2b + a    Phương pháp 2: Phương pháp lùi dần số hạng Ví dụ1: cho dãy số(Un) thoả mãn: U0=1; Un+Un-1+6 = n ≥ Tìm số hạng tổng quát Un Giải: ta có Un+Un-1+6 = ⇔ Un+3=-(Un-1+3) ⇒ Un+3 = -(Un-1+3) = Un-2+3 = -(Un-3+3) =…=(-1)n(U0 + 3) =(-1)n.4 Vậy: Un=(-1)n.4- Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: U1=2, Un+1=2-Un với n ≥ Xác định hạng tổng quát Un Hướng dẫn: Un+1=2-Un ⇔ Un+1-1= - ( Un-1-1) Đáp số: Un=(-1)n-1+1 Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng) Cho dãy số(Un) xác định theo quy luật: aUn+1+bUn+cUn-1= (a ≠ 0) Khi Un xác định theo công thức: Un= a1α n + a β n Trong α , β hai nghiệm phương trình ax2+bx+c= 0, a1,a2 hệ số cần xác định b a Chứng minh: Theo định lý Viet α + β = − , αβ = c Từ aUn+1+bUn+cUn-1= a b c ⇔ U n +1 + U n + U n −1 = ⇔ U n +1 − (α + β )U n + αβ U n −1 = ⇔ U n +1 − αU n = β (U n − αU n −1 ) a a Từ đó: U n+1 − αU n = β (U n − αU n−1 ) = β (U n−1 − αU n− ) = = β n (U − αU )(1) U n +1 − βU n = α n (U − β U )(2) Tương tự: 1) Nếu α ≠ β lấy (2) trừ (1) ta được: (α − β )U n = α n (U − βU ) − β n (U − αU ) ⇒ Un = U − β U n αU − U n α + β = a1α n + a β n α −β α −β 2) Nếu α = β theo ví dụ phương pháp : U n = nα n −1U − (n − 1)α nU = a1α n + a β n Ví dụ 1: cho dãy số (Un) xác định : U0=2, U1=5 Un=5Un-1- 6Un-2 ; n ≥ Tìm số hạng tổng quát Un Giải: Dùng phương pháp hàm sinh, xét phương trình x2-5x+6=0 có hai nghiệm α = 2, β = ⇒ U n = a1α n + a β n = a1 n + a n Với: n=0 Với: n=1 a = ⇒ a = U0=a1+a2=2 U1=2a1+3a2=5 Vậy: U n = n + 3n Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số Phibônaxi: U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1 (n ≥ 1) Giải: phương trình hàm sinh x2-x-1=0 có nghiệm α = 1− 1+ ,β = 2 Theo phương trình hàm sinh Un= a1 α n + a β n Với n=0: U0=a1+a2=0 Với n=1: U1= a1 α + a β = 1  a1 = α − β = −  ⇒ a = = β −α  1− n 1+ n ( ) + ( ) 2 5 Vậy: Un= − = [ ( 1− n 1+ n ) − ( ) 2 ] Ví dụ 3: Cho dãy số ... Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất: Dạng 1: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 onst ax 0 n xc bx      . Tìm số hạng tổng quát của dãy số? Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 . . . n n n n b b b x x x x a a a                           Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : 0 . n n b xx a     . Thí dụ : Cho dãy số {x n } được xác định bởi : 0 1 5 3 0 , nn x x x n           . Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 3 3 3 5.3 nn n n n n x x x x hay x       . Dạng 2: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax ( ) nk x bx P n     , với () k Pn là đa thức bậc k của n. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 b ab a       . Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị * n x gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : * . n nn x c x   . Trong đó nghiệm riêng * n x được xác định như sau :  Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * () nk x Q n thay vào phương trình ta được: . ( 1) . ( ) ( ) k k k aQ n bQ n P n   . Đồng nhất hệ số ta tìm được () k Qn .  Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . ( ) nk x nQ n thay vào phương trình ta được: ( 1). ( 1) . ( ) ( ) k k k a n Q n bnQ n P n    . Đồng nhất hệ số ta tìm được . ( ) k nQ n . Thí dụ 1: Cho dãy số {x n } : 0 2 1 7 2 3 4 5 , . nn x x x n n n               .Tìm số hạng tổng quát x n . Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2      . Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : *2 n x an bn c   . Thay * n x vào pt, ta được : 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 3 4 5a n b n c an bn c n n          22 (2 ) 3 4 5an a b n a b c n n          . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : *2 33 2 4 10 3 10 18 5 18 n aa a b b x n n a b c c                         . CTTQ của số hạng trong dãy : 2 .2 3 10 18 n n x c n n    . Từ 2 0 7 18 7 25. 25.2 3 10 18 n n x c c Suyra x n n          . Thí dụ 2: Cho dãy số {x n } : 0 1 5 4 5 , . nn x x x n n            . Tìm CTTQ của x n . Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1      . www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam www.MATHVN.com Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng *2 () n x n an b an bn    . * n x vào pt, ta được : 22 ( 1) ( 1) 4 5a n b n an bn n       . 2 4 5an a b n     . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : *2 2 4 2 23 53 n aa x n n a b b            . Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 2 23 n x c n n   . Từ 2 0 5 5. 2 3 5. n x c Suy ra x n n      Dạng 3: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax ( onst) , n . n x bx d d c          Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0 0 1 . 0. 1 0. n n n n b d a b x x neu a b a b a a x x nd neu a b                                     Thí dụ 1: Cho dãy số {x n } : 0 1 5 6 , . nn x x x n           http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT: Đó là các dãy số thực có dạng n 2 n 1 n u au bu     (*) với mọi n 0  , trong đó a và b là các hằng số thực. Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: 2 t at b 0    (**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*). Phương trình có biệt thức 2 a 4b    . Trường hợp 1: 2 a 4b 0     khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 t ;t . Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n n 1 2 u x.t y.t   , với mọi n 0  và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 2: 2 a 4b 0     khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n 1 n u x.t y.nt    , với mọi n 0  ( ở đây ta qui ước 1 0 0   ) và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 3: 2 a 4b 0     , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình 2 t at b 0    và nhận được nghịêm phức a i z . 2    Bước2: Đặt r = | z | là module của z, còn Argz   , ta nhận được n n u r (pcosn qsin n )    với mọi p, q là các số thực. Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước 0 1 u ;u . Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1: 0   (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t ,t khi đó theo định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 t t a t t b        . Khi đó n 1 1 2 n 1 2 n 1 u (t t )u t t u      2 n n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u )              . Như vậy n n 1 1 n 2 1 1 0 u t u t (u t u )     (1); Tương tự n n 1 2 n 1 1 2 0 u t u t (u t u )     (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có: http://baigiangtoanhoc.com Chuyờn TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này. Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: 1 2 3 ; ; ; n u u u u thì ta có: 2 1 3 2 4 3 1 1 1; 2; 3 1 1 2 3 1 n n n u u u u u u u u n u u n − − = − = − = − = − ⇒ − = + + + + − ( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1 n n n u n n= − ⇒ = − + Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; … Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 1 ( ) : 3 2( ) n n n u u u u n N + =    = + ∈   Giải: Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau: 2 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3 n n n n n n n n n u u u u u u u u − − − − − − − − = + = + = + = + 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1 3 1 n n n n n n u u − − − − − − ⇒ = + + + + + = + = − − Cách 2: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho 1 3 n n v v + = 1 1 3 2 3 3( ) 1 n n n n n v u u v u α α α α + + ⇒ = + = + + = = + ⇒ = . Vậy ( ) n v là một cấp số nhân có công bội q =3 và 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n v u v v u v − − − = + = ⇒ = = ⇒ = − = − . Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 ( ) : ( 0;1) n n n u a u u bu c b + =   = + ≠  Giải: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho: 1 1 1 . . ( ) 1 n n n n n n n c v b v v u bu c b v b u b α α α α + + + = ⇒ = + = + + = = + ⇒ = − Như vậy ( ) n v là một cấp số nhân có DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN 1 1 1 1 1 1 . ( ). ( ). 1 1 1 1 n n n n n c c c c v u a v v q a b u a b b b b b α − − − = + = + ⇒ = = + ⇒ = + − − − − − Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 2 ( ) : 2 1( ) n n n u u u u n n N + =    = + + ∈   Giải: Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được: [ ] 2 1 2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2 n u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − − Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 2 ( ) : 2 3 2( ) n n n u u u u n n N + =    = + + ∈   Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5 n n n n n n n u u n u u n u u − − − − − − = + − = + − = + 1 1 2 2 n n n u u S S − ⇒ = + = + với 2 1 3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2 n S n n n − = − + − + − + + 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2 5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1 8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5. n n n n n n n n n n n n S n n S n n n n n u n − − − − − − − − − ⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + + − + = + + + + − + = − + − + = − − = − − ⇒ = − − Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân. - Cách 2: Đặt n n v u an b= + + sao cho 1 2 n n v v − = 1 1 2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5 n n n n v u an b u n an b u a n b a b − − ⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = = Có 1 1 1 1 1 3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2 n n n n n v u v u n v − − = + + = ⇒ = + + = = = 5.2 3 5 n n u n ⇒ = − − Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 * 1 1 ( ) : 3 2 ( ) n n n n u u u u n N + + =    = + ∈   2 DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN Giải: - Cách 1: Theo giả thiết ta có: 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3 n n n n n n n n n u u u u u u − − − − − − − = + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2 2 2 2 n n n n n n n n n n u u − − − − − − + − ⇒ = + + + + + = + − = − Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT: Đó là các dãy số thực có dạng n 2 n 1 n u au bu     (*) với mọi n 0  , trong đó a và b là các hằng số thực. Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: 2 t at b 0    (**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*). Phương trình có biệt thức 2 a 4b    . Trường hợp 1: 2 a 4b 0     khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 t ;t . Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n n 1 2 u x.t y.t   , với mọi n 0  và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 2: 2 a 4b 0     khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n 1 n u x.t y.nt    , với mọi n 0  ( ở đây ta qui ước 1 0 0   ) và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 3: 2 a 4b 0     , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình 2 t at b 0    và nhận được nghịêm phức a i z . 2    Bước2: Đặt r = | z | là module của z, còn Argz   , ta nhận được n n u r (pcosn qsin n )    với mọi p, q là các số thực. Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước 0 1 u ;u . Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1: 0   (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t ,t khi đó theo định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 t t a t t b        . Khi đó n 1 1 2 n 1 2 n 1 u (t t )u t t u      2 n n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u )              . Như vậy n n 1 1 n 2 1 1 0 u t u t (u t u )     (1); Tương tự n n 1 2 n 1 1 2 0 u t u t (u t u )     (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có: http://baigiangtoanhoc.com Chuyờn ụn thi hc sinh gii Quc gia n n 1 2 n 1 2 0 1 1 1 0 2 (t t )u (u t u )t (u t u )t . Do 1 2 t t nờn n n 1 2 0 1 1 0 n 1 2 1 2 1 2 (u t u ) (u t u ) u t t t t t t . Vy n u cú dng n n n 1 2 u x.t y.t vi x,y l hai s thc. Trng hp 2: 0 khi ú 2 a b 4 , (**) cú nghim kộp a t 2 . Ta cú 2 n n 1 n n 1 n 1 n n n 1 1 0 u 2t.u t u u tu t(u tu ) t (u tu ) Nh vy n n 1 n 1 0 u tu t (u tu ) (3); Tng t n 1 n n 1 1 0 u tu t (u tu ) (4); n 2 n 1 n 2 1 0 u tu t (u tu ) (5); . 1 0 1 0 u tu u tu (n+3). Nhõn hai v ca (4) vi t, hai v ca (5) vi 2 t , , hai v ca (n+3) vi n t v cng li ta c: n 1 n n 1 0 1 0 u t .u n.t .(u tu ) . Do ú n u cú dng n n 1 xt yn.t vi x, y l hai s thc. II. CC V D: Vớ d 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn: 0 1 n 2 n 1 n u 1,u 2 . 1 2 u u u , n 0 3 3 Gii: Phng trỡnh c trng 2 1 2 t t 0 3 3 ca dóy cú hai nghim thc phõn bit l 1 2 2 t ,t 1 3 . Do ú n n n 2 u x. y.( 1) 3 vi x,y . Ta li cú: 0 1 x y 1 9 x u 1 5 2 u 2 4 x y 2 y 5 3 . Vy n n n 9 2 4 u ( ) ( 1) , n 0. 5 3 5 Trong cụng thc tng quỏt (*), khi chn nhng giỏ tr a v b thớch hp ta cú th a ra toỏn thuc vo trng hp 2 v 3 c núi n trờn. Hoc l bng cỏch bin i n u ta cng cú th a ra c nhng toỏn khỏ hay. Chng hn trong bi trờn: http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề