ONTHIONLINE.NET Phần thứ nhất: BàitoántìmsốhạngtổngquátdãysốBàitoántìmsốhạngtổngquátdãysốtoán hay đồng thời toán khó Trong chương trình Đại số giải tích lớp 11 toántìmsốhạngtổngquátdãysố thường đề cập tới với nhiều góc độ khác nhau, đề thi học sinh giỏi toántìmsốhạngtổngquátdãysố xuất khiến không học sinh lao đao Trong trình giảng dạy, ôn luyện , sưu tầm xin giới thiệu số phương pháp tìmsốhạngtổngquátdãysốsố dạng mức độ khiêm tốn Hy vọng giúp ích cho bạn có hứng thú quan tâm Phần thứ hai Một số phương pháp tìmsốhạngtổngquátdãy số: 1/ Phương pháp đơn giản số hạng: 2/Phương pháp lùi dần số hạng: 3/ Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng) 4/ Phương pháp quy nạp: Vấn đề cụ thể: Phương pháp 1: Phương pháp đơn giản sốhạng Từ biểu thức Un+1=f(Un , Un-1) ta đặt Vn=Un-Un-1, ta suy Vn+1=g(Vn) Khi Vn cấp số cộng cấp số nhân Từ tìm Vn ⇒ Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+ …+(U1-U0) + U0 = Vn+ Vn-1+…+ V1+U0=Sn+U0 Trong Sn tổng n sốhạngdãy Vn Ví dụ1: Cho dãy (Un) thoả mãn điều kiện: Un+1- 2Un+Un-1=1 với n ≥ Hãy tính Un qua U0, U1 n Giải: Từ điều kiện toán ta suy ra: (Un+1-Un)- (Un-Un-1)=1 Đặt Vn=Un-Un-1thì Vn+1-Vn=1( n ≥ 1) Khi dãy (Vn) cấp số cộng có sốhạng đầu V1=U1-U0 công sai d =1 nên Sn=V1+V2+…+Vn= n đó: Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+….+(U1-U0)+U0 V1 + Vn n(2V1 + n − 1) = Từ 2 = Vn+Vn-1+…+V1+U0 n n(n − 1) (n ≥ 1) = Sn+U0= (2V1 + n − 1) + U = nU − (n − 1)U + 2 n(n − 1) Chẳng hạn với U0=1, U1=1 ta có : Un=1 + 1 Ví dụ2: Cho dãysố (Un) thoả mãn: Un+1= (U n + U n−1 ); (n ≥ 1) Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 n Giải: Từ giả thiết suy ra: 2Un+1=Un+Un-1 ⇔ 2(Un+1-Un)=-(Un-Un-1) ⇒ Vn +1 = − Vn ; n ≥ Đặt Vn=Un-Un-1 ta có 2Vn+1=-Vn Do (Vn) cấp số nhân có sốhạng đầu V1=U1- U0 công bội q= − Tổng n sốhạng đầu (Vn) là: V1 (1 − (− ) n ) V (1 − q ) = = V1 1 − (− ) n Sn= V1 + V2 + + Vn = 1− q n Vậy: Un=(Un-Un-1) + (Un-1- Un-2) +…+ (U1-U0) + U0 n = Sn+U0= (U − U ) 1 − (− ) + U Nếu: U0 =1,U1 =2 Ta có Un = 2 − (− ) n + Với cặp (U0; U1) cụ thể ta 3 toán Ví dụ 3: Cho dãysố (Un) xác định bởi: Un+1=(a+b)Un - abUn-1 n ≥ Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 n Giải: Giả thiết suy Un+!- aUn= b(Un - aUn-1) n ≥ Đặt Vn=Un-aUn-1(1) ta cóVn+1=bVn ( n ≥ ) ta có (Vn) cấp số nhân có sốhạng đầu V1 công bội b nên: Vn= V1bn-1 n ≥ Từ ta có: U1- aU0=V1 (2) , U2- aU1=V1b (3) , U3- aU2=V1b2 (4) … Un- aUn-1 = V1bn-1 Nhân (2) với a cộng cho(3) : U2=a2U0+(a+b)V1 Nhân (2) với a2, (3) với a cộng vào (4) được: U3=a3U0+(a2+ab + b2)V1 Giả sử ta chứng minh được: Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+abn-2 + bn-1)V1 theo (1) ta có: Un+1=aUn+V1bn = an+1U0+(an+an-1b+…+abn-1+bn)V1 Vậy Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+ abn-2+bn-1)(U1- aU0) = (an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)U1- ab(an-2+an-3b+…+ abn-3+bn-2)U0 an − bn a n −1 − b n −1 U − ab U nÕua ≠ b a−b Hay gọn hơn: U n = a − b nan-1U − (n − 1)a nU nÕu a= b Bài tập tương tự: Cho dãysố (Un) thoả mãn: U0=2, U1=3, Un=3Un-2Un-1 Tìmsốhạngtổngquát Un Cho dãysố (Un) thoả mãn: a ≠ −b, a ≠ −2b,U n+1 = qua U0 U1 Hướng dẫn: 1.Vn=Un-Un-1 Vn+1=- b Vn a+b aU n + bU n −1 , n ≥ Biểu diễn Un a+b Un=2n +1 b n 1 − (− a + b ) Un= U + (U − U )(a + b) 2b + a Phương pháp 2: Phương pháp lùi dần sốhạng Ví dụ1: cho dãy số(Un) thoả mãn: U0=1; Un+Un-1+6 = n ≥ Tìmsốhạngtổngquát Un Giải: ta có Un+Un-1+6 = ⇔ Un+3=-(Un-1+3) ⇒ Un+3 = -(Un-1+3) = Un-2+3 = -(Un-3+3) =…=(-1)n(U0 + 3) =(-1)n.4 Vậy: Un=(-1)n.4- Ví dụ2: Cho dãysố (Un) thoả mãn: U1=2, Un+1=2-Un với n ≥ Xác định hạngtổngquát Un Hướng dẫn: Un+1=2-Un ⇔ Un+1-1= - ( Un-1-1) Đáp số: Un=(-1)n-1+1 Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng) Cho dãy số(Un) xác định theo quy luật: aUn+1+bUn+cUn-1= (a ≠ 0) Khi Un xác định theo công thức: Un= a1α n + a β n Trong α , β hai nghiệm phương trình ax2+bx+c= 0, a1,a2 hệ số cần xác định b a Chứng minh: Theo định lý Viet α + β = − , αβ = c Từ aUn+1+bUn+cUn-1= a b c ⇔ U n +1 + U n + U n −1 = ⇔ U n +1 − (α + β )U n + αβ U n −1 = ⇔ U n +1 − αU n = β (U n − αU n −1 ) a a Từ đó: U n+1 − αU n = β (U n − αU n−1 ) = β (U n−1 − αU n− ) = = β n (U − αU )(1) U n +1 − βU n = α n (U − β U )(2) Tương tự: 1) Nếu α ≠ β lấy (2) trừ (1) ta được: (α − β )U n = α n (U − βU ) − β n (U − αU ) ⇒ Un = U − β U n αU − U n α + β = a1α n + a β n α −β α −β 2) Nếu α = β theo ví dụ phương pháp : U n = nα n −1U − (n − 1)α nU = a1α n + a β n Ví dụ 1: cho dãysố (Un) xác định : U0=2, U1=5 Un=5Un-1- 6Un-2 ; n ≥ Tìmsốhạngtổngquát Un Giải: Dùng phương pháp hàm sinh, xét phương trình x2-5x+6=0 có hai nghiệm α = 2, β = ⇒ U n = a1α n + a β n = a1 n + a n Với: n=0 Với: n=1 a = ⇒ a = U0=a1+a2=2 U1=2a1+3a2=5 Vậy: U n = n + 3n Ví dụ 2: Tìmsốhạngtổngquátdãysố Phibônaxi: U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1 (n ≥ 1) Giải: phương trình hàm sinh x2-x-1=0 có nghiệm α = 1− 1+ ,β = 2 Theo phương trình hàm sinh Un= a1 α n + a β n Với n=0: U0=a1+a2=0 Với n=1: U1= a1 α + a β = 1 a1 = α − β = − ⇒ a = = β −α 1− n 1+ n ( ) + ( ) 2 5 Vậy: Un= − = [ ( 1− n 1+ n ) − ( ) 2 ] Ví dụ 3: Cho dãysố ... Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 TÌMSỐHẠNGTỔNGQUÁTCỦADÃYSỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất: Dạng 1: Cho dãysố {x n } : 0 n+1 onst ax 0 n xc bx . Tìmsốhạngtổngquátcủadãy số? Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 . . . n n n n b b b x x x x a a a Khi đó công thức tổngquát (CTTQ) củadãysố được xác định bởi : 0 . n n b xx a . Thí dụ : Cho dãysố {x n } được xác định bởi : 0 1 5 3 0 , nn x x x n . Tìmsốhạngtổngquátcủadãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 3 3 3 5.3 nn n n n n x x x x hay x . Dạng 2: Cho dãysố {x n } : 0 n+1 ax ( ) nk x bx P n , với () k Pn là đa thức bậc k của n. Tìmsốhạngtổngquátcủadãysố ? Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 b ab a . Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị * n x gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó sốhạngtổngquátcủadãy được xác định bởi : * . n nn x c x . Trong đó nghiệm riêng * n x được xác định như sau : Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * () nk x Q n thay vào phương trình ta được: . ( 1) . ( ) ( ) k k k aQ n bQ n P n . Đồng nhất hệ số ta tìm được () k Qn . Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . ( ) nk x nQ n thay vào phương trình ta được: ( 1). ( 1) . ( ) ( ) k k k a n Q n bnQ n P n . Đồng nhất hệ số ta tìm được . ( ) k nQ n . Thí dụ 1: Cho dãysố {x n } : 0 2 1 7 2 3 4 5 , . nn x x x n n n .Tìm sốhạngtổngquát x n . Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2 . Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : *2 n x an bn c . Thay * n x vào pt, ta được : 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 3 4 5a n b n c an bn c n n 22 (2 ) 3 4 5an a b n a b c n n . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : *2 33 2 4 10 3 10 18 5 18 n aa a b b x n n a b c c . CTTQ củasốhạng trong dãy : 2 .2 3 10 18 n n x c n n . Từ 2 0 7 18 7 25. 25.2 3 10 18 n n x c c Suyra x n n . Thí dụ 2: Cho dãysố {x n } : 0 1 5 4 5 , . nn x x x n n . Tìm CTTQ của x n . Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1 . www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam www.MATHVN.com Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng *2 () n x n an b an bn . * n x vào pt, ta được : 22 ( 1) ( 1) 4 5a n b n an bn n . 2 4 5an a b n . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : *2 2 4 2 23 53 n aa x n n a b b . Sốhạngtổngquátcủadãy có dạng : 2 23 n x c n n . Từ 2 0 5 5. 2 3 5. n x c Suy ra x n n Dạng 3: Cho dãysố {x n } : 0 n+1 ax ( onst) , n . n x bx d d c Khi đó sốhạngtổngquátcủadãysố là : 0 0 1 . 0. 1 0. n n n n b d a b x x neu a b a b a a x x nd neu a b Thí dụ 1: Cho dãysố {x n } : 0 1 5 6 , . nn x x x n http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌMSỐHẠNGTỔNGQUÁTCỦADÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐBÀITOÁN VỀ DÃYSỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT: Đó là các dãysố thực có dạng n 2 n 1 n u au bu (*) với mọi n 0 , trong đó a và b là các hằngsố thực. Cách xác định sốhạngtổngquátcủadãy như sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: 2 t at b 0 (**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*). Phương trình có biệt thức 2 a 4b . Trường hợp 1: 2 a 4b 0 khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 t ;t . Sốhạngtổngquátcủa (*) có dạng n n n 1 2 u x.t y.t , với mọi n 0 và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 2: 2 a 4b 0 khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Sốhạngtổngquátcủa (*) có dạng n n 1 n u x.t y.nt , với mọi n 0 ( ở đây ta qui ước 1 0 0 ) và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 3: 2 a 4b 0 , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình 2 t at b 0 và nhận được nghịêm phức a i z . 2 Bước2: Đặt r = | z | là module của z, còn Argz , ta nhận được n n u r (pcosn qsin n ) với mọi p, q là các số thực. Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước 0 1 u ;u . Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1: 0 (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t ,t khi đó theo định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 t t a t t b . Khi đó n 1 1 2 n 1 2 n 1 u (t t )u t t u 2 n n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u ) . Như vậy n n 1 1 n 2 1 1 0 u t u t (u t u ) (1); Tương tự n n 1 2 n 1 1 2 0 u t u t (u t u ) (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có: http://baigiangtoanhoc.com Chuyờn TÌMSỐHẠNGTỔNGQUÁTCỦADÃYSỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một sốbàitoán về tìmsốhạngtổngquátcủa một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một sốbàitoán đơn giản thuộc loại này. Bàitoán 1: Tìmsốhạngtổngquátcủadãysố sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các sốhạngcủadãy trên là: 1 2 3 ; ; ; n u u u u thì ta có: 2 1 3 2 4 3 1 1 1; 2; 3 1 1 2 3 1 n n n u u u u u u u u n u u n − − = − = − = − = − ⇒ − = + + + + − ( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1 n n n u n n= − ⇒ = − + Một sốbàitoán tương tự: Tìmsốhạngtổngquátcủa các dãysố sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; … Bàitoán 2: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy 1 * 1 1 ( ) : 3 2( ) n n n u u u u n N + = = + ∈ Giải: Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau: 2 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3 n n n n n n n n n u u u u u u u u − − − − − − − − = + = + = + = + 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1 3 1 n n n n n n u u − − − − − − ⇒ = + + + + + = + = − − Cách 2: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho 1 3 n n v v + = 1 1 3 2 3 3( ) 1 n n n n n v u u v u α α α α + + ⇒ = + = + + = = + ⇒ = . Vậy ( ) n v là một cấp số nhân có công bội q =3 và 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n v u v v u v − − − = + = ⇒ = = ⇒ = − = − . Từ cách giải 2 ta có lời giải củabàitoántổngquát sau: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy 1 1 ( ) : ( 0;1) n n n u a u u bu c b + = = + ≠ Giải: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho: 1 1 1 . . ( ) 1 n n n n n n n c v b v v u bu c b v b u b α α α α + + + = ⇒ = + = + + = = + ⇒ = − Như vậy ( ) n v là một cấp số nhân có DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN 1 1 1 1 1 1 . ( ). ( ). 1 1 1 1 n n n n n c c c c v u a v v q a b u a b b b b b α − − − = + = + ⇒ = = + ⇒ = + − − − − − Bàitoán 3: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy 1 * 1 2 ( ) : 2 1( ) n n n u u u u n n N + = = + + ∈ Giải: Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được: [ ] 2 1 2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2 n u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − − Bàitoán 4: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy 1 * 1 2 ( ) : 2 3 2( ) n n n u u u u n n N + = = + + ∈ Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5 n n n n n n n u u n u u n u u − − − − − − = + − = + − = + 1 1 2 2 n n n u u S S − ⇒ = + = + với 2 1 3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2 n S n n n − = − + − + − + + 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2 5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1 8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5. n n n n n n n n n n n n S n n S n n n n n u n − − − − − − − − − ⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + + − + = + + + + − + = − + − + = − − = − − ⇒ = − − Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổngcủa tích các sốhạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân. - Cách 2: Đặt n n v u an b= + + sao cho 1 2 n n v v − = 1 1 2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5 n n n n v u an b u n an b u a n b a b − − ⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = = Có 1 1 1 1 1 3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2 n n n n n v u v u n v − − = + + = ⇒ = + + = = = 5.2 3 5 n n u n ⇒ = − − Bàitoán 5: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy 1 1 * 1 1 ( ) : 3 2 ( ) n n n n u u u u n N + + = = + ∈ 2 DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN Giải: - Cách 1: Theo giả thiết ta có: 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3 n n n n n n n n n u u u u u u − − − − − − − = + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2 2 2 2 n n n n n n n n n n u u − − − − − − + − ⇒ = + + + + + = + − = − Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổngcủa http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌMSỐHẠNGTỔNGQUÁTCỦADÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐBÀITOÁN VỀ DÃYSỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I: Tìmsốhạngtổngquátcủadãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT: Đó là các dãysố thực có dạng n 2 n 1 n u au bu (*) với mọi n 0 , trong đó a và b là các hằngsố thực. Cách xác định sốhạngtổngquátcủadãy như sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: 2 t at b 0 (**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*). Phương trình có biệt thức 2 a 4b . Trường hợp 1: 2 a 4b 0 khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 t ;t . Sốhạngtổngquátcủa (*) có dạng n n n 1 2 u x.t y.t , với mọi n 0 và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 2: 2 a 4b 0 khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Sốhạngtổngquátcủa (*) có dạng n n 1 n u x.t y.nt , với mọi n 0 ( ở đây ta qui ước 1 0 0 ) và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 3: 2 a 4b 0 , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình 2 t at b 0 và nhận được nghịêm phức a i z . 2 Bước2: Đặt r = | z | là module của z, còn Argz , ta nhận được n n u r (pcosn qsin n ) với mọi p, q là các số thực. Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước 0 1 u ;u . Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1: 0 (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t ,t khi đó theo định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 t t a t t b . Khi đó n 1 1 2 n 1 2 n 1 u (t t )u t t u 2 n n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u ) . Như vậy n n 1 1 n 2 1 1 0 u t u t (u t u ) (1); Tương tự n n 1 2 n 1 1 2 0 u t u t (u t u ) (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có: http://baigiangtoanhoc.com Chuyờn ụn thi hc sinh gii Quc gia n n 1 2 n 1 2 0 1 1 1 0 2 (t t )u (u t u )t (u t u )t . Do 1 2 t t nờn n n 1 2 0 1 1 0 n 1 2 1 2 1 2 (u t u ) (u t u ) u t t t t t t . Vy n u cú dng n n n 1 2 u x.t y.t vi x,y l hai s thc. Trng hp 2: 0 khi ú 2 a b 4 , (**) cú nghim kộp a t 2 . Ta cú 2 n n 1 n n 1 n 1 n n n 1 1 0 u 2t.u t u u tu t(u tu ) t (u tu ) Nh vy n n 1 n 1 0 u tu t (u tu ) (3); Tng t n 1 n n 1 1 0 u tu t (u tu ) (4); n 2 n 1 n 2 1 0 u tu t (u tu ) (5); . 1 0 1 0 u tu u tu (n+3). Nhõn hai v ca (4) vi t, hai v ca (5) vi 2 t , , hai v ca (n+3) vi n t v cng li ta c: n 1 n n 1 0 1 0 u t .u n.t .(u tu ) . Do ú n u cú dng n n 1 xt yn.t vi x, y l hai s thc. II. CC V D: Vớ d 1: Xác định sốhạngtổngquátcủadãysố thoả mãn: 0 1 n 2 n 1 n u 1,u 2 . 1 2 u u u , n 0 3 3 Gii: Phng trỡnh c trng 2 1 2 t t 0 3 3 ca dóy cú hai nghim thc phõn bit l 1 2 2 t ,t 1 3 . Do ú n n n 2 u x. y.( 1) 3 vi x,y . Ta li cú: 0 1 x y 1 9 x u 1 5 2 u 2 4 x y 2 y 5 3 . Vy n n n 9 2 4 u ( ) ( 1) , n 0. 5 3 5 Trong cụng thc tng quỏt (*), khi chn nhng giỏ tr a v b thớch hp ta cú th a ra toỏn thuc vo trng hp 2 v 3 c núi n trờn. Hoc l bng cỏch bin i n u ta cng cú th a ra c nhng toỏn khỏ hay. Chng hn trong bi trờn: http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề