tim so hang tong quat cua day so 81099

tim so hang tong quat cua day so 81099 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

onthionline.net TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA (Un) KHI BIẾT HỆ THỨC TRUY HỒI Dãy truy hồi tuyến tính hệ số số: I) Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1: Un + = aUn + b (a, b hai số) 1) a = Khi (Un) cấp số cộng Lúc ta tìm số hạng tổng quát (Un) sau: Un = U1 + (n-1)b Đề cho biết U1 b, thay vào ta (Un) 2) a ≠ Lúc (Un): Un = Aan + B Việc xác lập (Un) việc tìm A, B Ta tìm U từ U1 cho trước, thay vào biểu thức trên, ta hpt bậc ẩn, giải suy A, B II) Dãy truy hồi tuyền tính cấp 2: Un+2 = aUn+1 + bUn (a, b hai số) Trước xác định số hạng tổng quát dãy số ta giải phương trình sau: K2 – aK – b = (phương trình đặc trưng dãy_PTĐT) 1) Nếu pt có nghiệm phân biệt K1, K2: (Un) có dạng: Un = A.an + B.bn Sau thay U1, U2 cho đầu đề, ta hpt bậc ẩn, giải suy A, B Khi ta tìm số hạng tổng quát 2) Nếu pt có nghiệm kép K1 = K2 = K0: (Un) có dạng: Un = A.an + B.n.bn-1 Tương tự trường hợp 1, giải suy A, B, ta dược dãy số 3) Nếu pt có nghiệm ảo: K1, = r( cosa ± i.sina ) Và trường hợp (Un): Un = rn( A.cos na + B.sin na ) Giống trường hợp trên, ta tìm A, B Lưu ý: Hai dạng đưa dãy truy hồi tuyến tính cấp 2: 1) D ạng 1: (Un)a = (Un-1)b.(Un-2)c (a, b, c số) Cách giải: Đổi dãy số (Un) thành (Vn): Vn = lnUn Ta dãy truy hồi tuyến tính có dạng: Vn = b/a.Vn-1 + c/a.Vn-2 Sau dùng phương pháp để giải tìm (V n) ta suy ngược (Un) theo công thức sau: Un = eV(n) onthionline.net 1) D ạng 2: Un = a.Un-1.Un-2 / ( b.Un-1 + c Un-2 ) Trong đó: a, b, c ba số Cách giải: Đổi dãy số (Un) thành (Vn): Vn = 1/Un ta dãy truy hồi tuyến tính có dạng: Vn = c/a.Vn-1 + b/a.Vn-2 Sau dùng phương pháp để giải tìm (V n) ta suy ngược (Un) theo công thức sau: Un = 1/Vn  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất: Dạng 1: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 onst ax 0 n xc bx      . Tìm số hạng tổng quát của dãy số? Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 . . . n n n n b b b x x x x a a a                           Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : 0 . n n b xx a     . Thí dụ : Cho dãy số {x n } được xác định bởi : 0 1 5 3 0 , nn x x x n           . Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 3 3 3 5.3 nn n n n n x x x x hay x       . Dạng 2: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax ( ) nk x bx P n     , với () k Pn là đa thức bậc k của n. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 b ab a       . Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị * n x gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : * . n nn x c x   . Trong đó nghiệm riêng * n x được xác định như sau :  Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * () nk x Q n thay vào phương trình ta được: . ( 1) . ( ) ( ) k k k aQ n bQ n P n   . Đồng nhất hệ số ta tìm được () k Qn .  Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . ( ) nk x nQ n thay vào phương trình ta được: ( 1). ( 1) . ( ) ( ) k k k a n Q n bnQ n P n    . Đồng nhất hệ số ta tìm được . ( ) k nQ n . Thí dụ 1: Cho dãy số {x n } : 0 2 1 7 2 3 4 5 , . nn x x x n n n               .Tìm số hạng tổng quát x n . Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2      . Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : *2 n x an bn c   . Thay * n x vào pt, ta được : 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 3 4 5a n b n c an bn c n n          22 (2 ) 3 4 5an a b n a b c n n          . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : *2 33 2 4 10 3 10 18 5 18 n aa a b b x n n a b c c                         . CTTQ của số hạng trong dãy : 2 .2 3 10 18 n n x c n n    . Từ 2 0 7 18 7 25. 25.2 3 10 18 n n x c c Suyra x n n          . Thí dụ 2: Cho dãy số {x n } : 0 1 5 4 5 , . nn x x x n n            . Tìm CTTQ của x n . Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1      . www.MATHVN.com - Toan hoc Viet Nam www.MATHVN.com Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng *2 () n x n an b an bn    . * n x vào pt, ta được : 22 ( 1) ( 1) 4 5a n b n an bn n       . 2 4 5an a b n     . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : *2 2 4 2 23 53 n aa x n n a b b            . Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 2 23 n x c n n   . Từ 2 0 5 5. 2 3 5. n x c Suy ra x n n      Dạng 3: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax ( onst) , n . n x bx d d c          Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0 0 1 . 0. 1 0. n n n n b d a b x x neu a b a b a a x x nd neu a b                                     Thí dụ 1: Cho dãy số {x n } : 0 1 5 6 , . nn x x x n           http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT: Đó là các dãy số thực có dạng n 2 n 1 n u au bu     (*) với mọi n 0  , trong đó a và b là các hằng số thực. Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: 2 t at b 0    (**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*). Phương trình có biệt thức 2 a 4b    . Trường hợp 1: 2 a 4b 0     khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 t ;t . Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n n 1 2 u x.t y.t   , với mọi n 0  và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 2: 2 a 4b 0     khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n 1 n u x.t y.nt    , với mọi n 0  ( ở đây ta qui ước 1 0 0   ) và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 3: 2 a 4b 0     , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình 2 t at b 0    và nhận được nghịêm phức a i z . 2    Bước2: Đặt r = | z | là module của z, còn Argz   , ta nhận được n n u r (pcosn qsin n )    với mọi p, q là các số thực. Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước 0 1 u ;u . Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1: 0   (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t ,t khi đó theo định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 t t a t t b        . Khi đó n 1 1 2 n 1 2 n 1 u (t t )u t t u      2 n n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u )              . Như vậy n n 1 1 n 2 1 1 0 u t u t (u t u )     (1); Tương tự n n 1 2 n 1 1 2 0 u t u t (u t u )     (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có: http://baigiangtoanhoc.com Chuyờn TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này. Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 … Giải: Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: 1 2 3 ; ; ; n u u u u thì ta có: 2 1 3 2 4 3 1 1 1; 2; 3 1 1 2 3 1 n n n u u u u u u u u n u u n − − = − = − = − = − ⇒ − = + + + + − ( 1)/ 2 ( 1)/ 2 1 n n n u n n= − ⇒ = − + Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau: 1/ 1; 4; 10; 19; 31; … ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31; … Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 1 ( ) : 3 2( ) n n n u u u u n N + =    = + ∈   Giải: Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau: 2 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 3 2;3 3 2.3;3 3 2.3 3 3 2.3 n n n n n n n n n u u u u u u u u − − − − − − − − = + = + = + = + 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 2(1 3 3 3 ) 3 2. 2.3 1 3 1 n n n n n n u u − − − − − − ⇒ = + + + + + = + = − − Cách 2: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho 1 3 n n v v + = 1 1 3 2 3 3( ) 1 n n n n n v u u v u α α α α + + ⇒ = + = + + = = + ⇒ = . Vậy ( ) n v là một cấp số nhân có công bội q =3 và 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n v u v v u v − − − = + = ⇒ = = ⇒ = − = − . Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 ( ) : ( 0;1) n n n u a u u bu c b + =   = + ≠  Giải: Đặt 1 1n n v u α + + = + sao cho: 1 1 1 . . ( ) 1 n n n n n n n c v b v v u bu c b v b u b α α α α + + + = ⇒ = + = + + = = + ⇒ = − Như vậy ( ) n v là một cấp số nhân có DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN 1 1 1 1 1 1 . ( ). ( ). 1 1 1 1 n n n n n c c c c v u a v v q a b u a b b b b b α − − − = + = + ⇒ = = + ⇒ = + − − − − − Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 2 ( ) : 2 1( ) n n n u u u u n n N + =    = + + ∈   Giải: Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được: [ ] 2 1 2 ( 1) ( 2) 3 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2 n u u n n n n n n n= + − + − + + + + − = + + − = − − Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 * 1 2 ( ) : 2 3 2( ) n n n u u u u n n N + =    = + + ∈   Giải: - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1;2 2 2(3 4) 2 2 2 .5 n n n n n n n u u n u u n u u − − − − − − = + − = + − = + 1 1 2 2 n n n u u S S − ⇒ = + = + với 2 1 3 1 2(3 4) 2 (3 7) 5.2 n S n n n − = − + − + − + + 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2(3 1) 2 (3 4) 8.2 5.2 3.2 3.2 3.2 5.2 3 1 6(1 2 2 ) 5.2 3 1 6(2 1) 5.2 3 1 8.2 3 5 4.2 3 5 5.2 3 5. n n n n n n n n n n n n S n n S n n n n n u n − − − − − − − − − ⇒ = − + − + + + ⇒ = + + + + − + = + + + + − + = − + − + = − − = − − ⇒ = − − Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân. - Cách 2: Đặt n n v u an b= + + sao cho 1 2 n n v v − = 1 1 2 3 1 2( ( 1) ) 3; 5 n n n n v u an b u n an b u a n b a b − − ⇒ = + + = + − + + = + − + ⇒ = = Có 1 1 1 1 1 3.1 5 10 3 5 .2 10.2 5.2 n n n n n v u v u n v − − = + + = ⇒ = + + = = = 5.2 3 5 n n u n ⇒ = − − Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy 1 1 * 1 1 ( ) : 3 2 ( ) n n n n u u u u n N + + =    = + ∈   2 DOÃN XUÂN HUY THPT ÂN THI HƯNG YÊN Giải: - Cách 1: Theo giả thiết ta có: 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 ;3 3 2 .3; 3 3 2 .3 n n n n n n n n n u u u u u u − − − − − − − = + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 2 (1 ) 3 4(3 2 ) 5.3 2 2 2 2 n n n n n n n n n n u u − − − − − − + − ⇒ = + + + + + = + − = − Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của