Trong chương trình Đại số giải tích lớp 11 bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường được đề cập tới với nhiều góc độ khác nhau, trong các đề thi học sinh giỏi bài toán tìm số h[r]
(1)ONTHIONLINE.NET Phần thứ nhất:
Bài toán tìm số hạng tổng quát dãy số
Bài tốn tìm số hạng tổng qt dãy số toán hay đồng thời tốn khó Trong chương trình Đại số giải tích lớp 11 tốn tìm số hạng tổng qt dãy số thường đề cập tới với nhiều góc độ khác nhau, đề thi học sinh giỏi tốn tìm số hạng tổng qt dãy số xuất khiến khơng học sinh lao đao Trong q trình giảng dạy, ơn luyện , sưu tầm tơi xin giới thiệu số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số số dạng mức độ khiêm tốn Hy vọng giúp ích cho bạn có hứng thú quan tâm
Phần thứ hai.
Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số:
1/ Phương pháp đơn giản số hạng: 2/Phương pháp lùi dần số hạng:
3/ Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng) 4/ Phương pháp quy nạp:
Vấn đề cụ thể:
Phương pháp 1: Phương pháp đơn giản số hạng
Từ biểu thức Un+1=f(Un , Un-1) ta đặt Vn=Un-Un-1, ta suy Vn+1=g(Vn) Khi Vn cấp số cộng cấp số nhân Từ tìm Vn
Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+ …+(U1-U0) + U0
= Vn+ Vn-1+…+ V1+U0=Sn+U0
Trong Sn tổng n số hạng dãy Vn
Ví dụ1: Cho dãy (Un) thoả mãn điều kiện: Un+1- 2Un+Un-1=1 với n1 Hãy tính Un
qua U0, U1 n Giải:
Từ điều kiện toán ta suy ra: (Un+1-Un)- (Un-Un-1)=1
Đặt Vn=Un-Un-1thì Vn+1-Vn=1(n1) Khi dãy (Vn) cấp số cộng có số hạng
đầu V1=U1-U0 cơng sai d =1 nên Sn=V1+V2+…+Vn= )
(
1
1V n V n
V
n n
Từ đó:
Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+….+(U1-U0)+U0 = Vn+Vn-1+…+V1+U0 = Sn+U0=2(2V1 n 1) U0
n
( 1)
2 ) ( )
1
( 0
1
(2)Chẳng hạn với U0=1, U1=1 ta có : Un= ) ( 1n n
Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: Un+1=2( );( 1)
1
U n
Un n
Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 n
Giải: Từ giả thiết suy ra: 2Un+1=Un+Un-1 2(Un+1-Un)=-(Un-Un-1)
Đặt Vn=Un-Un-1 ta có 2Vn+1=-Vn ; 1
1
Vn Vn n
Do (Vn) cấp số nhân có số hạng đầu V1=U1- U0 cơng bội q=
Tổng n số hạng đầu (Vn) là:
Sn=
n
n n
n V
V q
q V V V
V )
2 ( 2
3 ) ) ( (
) (
1 1
2
Vậy:
Un=(Un-Un-1) + (Un-1- Un-2) +…+ (U1-U0) + U0
= Sn+U0= 2)
1 ( ) (
3
U U
U n
Nếu: U0 =1,U1 =2 Ta có Un = 2)
1 (
n
Với cặp (U0; U1) cụ thể ta tốn
Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định bởi: Un+1=(a+b)Un - abUn-1 n1
Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 n Giải:
Giả thiết suy Un+!- aUn= b(Un - aUn-1) n1 Đặt Vn=Un-aUn-1(1) ta cóVn+1=bVn (
1
n ) ta có (Vn) cấp số nhân có số hạng đầu V1 công bội b nên: Vn= V1bn-1
n Từ ta có: U1- aU0=V1 (2) , U2- aU1=V1b (3) , U3- aU2=V1b2 (4) …. Un- aUn-1 = V1bn-1.
Nhân (2) với a cộng cho(3) : U2=a2U0+(a+b)V1
Nhân (2) với a2, (3) với a cộng vào (4) được: U3=a3U0+(a2+ab + b2)V1 Giả sử ta chứng minh được:
Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+abn-2 + bn-1)V1 theo (1) ta có: Un+1=aUn+V1bn
= an+1U0+(an+an-1b+…+abn-1+bn)V1
Vậy Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+ abn-2+bn-1)(U1- aU0)
(3)Hay gọn hơn:
b a nÕu na
b a nÕu
1 -n
0
0 1
) (n a U U
U b a
b a ab U b a
b a U
n n n n
n
n
Bài tập tương tự:
1 Cho dãy số (Un) thoả mãn: U0=2, U1=3, Un=3Un-2Un-1 Tìm số hạng tổng quát Un
2 Cho dãy số (Un) thoả mãn: , , ,
1
1
n
b a
bU aU U
b a b
a n n
n
Biểu diễn Un qua U0 U1
Hướng dẫn:
1.Vn=Un-Un-1 Un=2n +1
Vn+1=-a bVn b
Un=
a b
b a
b b
a U U U
n
2
) (
1 ) )( ( 1 0
0
Phương pháp 2: Phương pháp lùi dần số hạng
Ví dụ1: cho dãy số(Un) thoả mãn: U0=1; Un+Un-1+6 = n1 Tìm số hạng tổng quát Un
Giải: ta có Un+Un-1+6 = Un+3=-(Un-1+3)
Un+3 = -(Un-1+3) = Un-2+3 = -(Un-3+3) =…=(-1)n(U0 + 3) =(-1)n.4 Vậy: Un=(-1)n.4- 3
Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: U1=2, Un+1=2-Un với n1 Xác định hạng tổng
quát Un
Hướng dẫn: Un+1=2-Un Un+1-1= - ( Un-1-1) Đáp số: Un=(-1)n-1+1
Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng) Cho dãy số(Un) xác định theo quy luật:
aUn+1+bUn+cUn-1= (a0) Khi Un xác định theo công thức: Un= n
n a
a1 2 Trong , hai nghiệm phương trình ax2+bx+c= 0, a1,a2 hệ số cần xác định
Chứng minh: Theo định lý Viet a
c a
b
,
Từ aUn+1+bUn+cUn-1=
) (
0 )
(
0 1 1 1 1
1
1
n n Un Un Un Un Un Un Un Un
a c U a b
U
Từ đó: ( ) ( 2) ( 0)(1)
2
1 U U U U U U U
U n
n n
n n
n
n
Tương tự: U U (U1 U0)(2) n
n
n
(4)n n
n n
n
n n
n
a a
U U U
U U
U U U
U U
2
1 0
1
0
1 ) ( )
( )
(
2) Nếu theo ví dụ phương pháp :
Un nn1U1 (n1)nU0 a1n a2n
Ví dụ 1: cho dãy số (Un) xác định : U0=2, U1=5 Un=5Un-1- 6Un-2 ; n2
Tìm số hạng tổng quát Un
Giải: Dùng phương pháp hàm sinh, xét phương trình x2-5x+6=0 có hai nghiệm 2, 3 Un a1n a2n a1.2n a2.3n
Với: n=0 U0=a1+a2=2 Với: n=1 U1=2a1+3a2=5
1
2
a a
Vậy: Un 2n 3n
Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số Phibơnaxi: U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1(n1)
Giải: phương trình hàm sinh x2-x-1=0 có nghiệm 2
5 ,
5
1
Theo phương trình hàm sinh Un=a1.n a2.n
Với n=0: U0=a1+a2=0 Với n=1: U1=a1. a2. 1
5 1
5 1
2
a a
Vậy: Un=
n
n )
2 ( )
5 (
1
=
n
n )
2 ( )
5 (
1
Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định theo quy luật
U0=2, Un+1=3Un+ 8Un2 1 Hãy xác định số hạng tổng quát Un
Giải: từ giả thiết ta có: Un+1- 3Un = 8Un2 1nên
(Un1 3Un)2 8Un2 1 hay 1
2
1
n n n
n U U U
U
Tương tự 1
2
n n n
n U U U
U
Trừ vế cho vế hai đẳng thức ta được: ( 1)
1
1
n n n n
n U U U U
(5)Do Un+1>3Un=9Un-1+3 8Un2 1Un1 nên suy Un+1+Un-1=6Un hay
Un+1-6Un+Un-1=0 Theo phương pháp hàm sinh , xét phương trình x2-6x+1=0 Phương trình có nghiệm 3 8, 3 8 dạng tổng quát Un
Un a1(3 8)n a2(3 8)n
Từ U0=2 U1=6+ 33 ta suy
66 ,
66
2
a
a
Vậy Un=
) )( 66 (
) )( 66
( n n
Bài tập tương tự:
Xác định số hạng tổng quát Un biết: U1=1,U2=3, Un+2=4Un+1-3Un U1=a, U2=b, Un+2=-(Un+2Un+1) U1=a, U2=b, Un+2=3Un+1+2Un
Phương pháp 4: Phương pháp quy nạp
Ví dụ1: cho dãy số (Un) xác định bởi: U1=1, Un+1= 3Un+10 với n1
Tìm số hạng tổng quát Un
Giải: có U1=1, U2=13=2.32-5, U3= 49=2.33-5 Ta chứng minh Un=2.3n-5 với n1
Thật giả sử Uk=2.3k-5 ta có Uk+1= 3Uk+10= 3(2.3k-5)+10 = 2.3k+1- (đpcm)
Ví dụ 2: cho dãy số (Un) xác định : U1=2 Un+1=5Un với n1 Tìm số hạng tổng quát Un
Giải: ta có U1=2, U2=10=2.52-1, U3=50=2.53-1 Giả sử Uk=2.5k-1, ta chứng minh Uk+1=2.5k. Thật vậy: Uk+1=5Uk=5.2.5k-1=2.5k (đpcm)
Ví dụ 3: Cho dãy số xác định sau:
n 2,3,
,
) (
3
3
1
n n
n
U U
U U
Tìm U1998
Giải: ta có
3
3 cos
6 cos 12 tan
, viết lại biểu thức Un+1 dạng sau:
) ( 12 tan
12 tan
1
n n n
U U U
đặt Un tan từ (1) suy : tan( 12)(2)
n
(6)Vì tan6 U
nên từ (2) theo nguyên lý quy nạp suy tan(6 ( 1)12)
n Un Vậy: ) ( 12 tan 3 12 tan 3 ) 12 tan( ) 12 166 tan( ) 12 1997 tan( 1998 U Do ) ( 3 3 2 3 cos cos 12 cot 12
tan
Thay lại vào (3) ta U1998 (2 3)
Phần thứ ba Một số tốn hay Ví dụ 1:Cho dãy số xn xác định sau:
n n
n n x x x x 2009
Tìm 1
lim i i n i n x x
Giải: Rõ ràng xn1 xn,nN (1)
Nếu xn bị chặn trên, ta đặt xlimxn xa
a a a
2009
2
0
a (vơ lí) xn
không bị chặn (2)
Từ (1) (2) nlimxn
Hơn từ:
(7)Ví dụ 2:Cho dãy số an xác định sau:
n n n
n a a
a a
4
1
2
1
Với n tự nhiên lớn 1.Chứng minh dãy số an hội tụ tìm giới hạn dãy
số
Giải:Bằng quy nạp ta chứng minh 2 cot2
1
n n
n
a
(1) n1,2,3,
Thật vậy:
Với n1ta có: 2cot
1
1
a
(1) với n1.
Giả sử (1) với số tự nhiên nk 1nghĩa là: cot2
1
k k
k
a
Ta phải chứng minh (1) với nk1.Từ giả thiết quy nạp cơng thức
xác định dãy có:
k k k
k a a
a
4
1
1
1
1
2 sin
1
cot
1
k k
k k
a
2
1
2 cot
1
ak K k
tức (1) với nk1 và
(1) chứng minh Ta có:
2
sin
2 lim cos lim
cot
1 lim lim
1 1
1
n n n
n n n
a
Vậy dãy an hội tụ
2 liman
Ví dụ 3: cho dãy số (Un) xác định bởi:
2008 ,
2009
2 1
n U U
U U
n n
n
Hãy tính n
i i
i
n U
U
1 1
lim
Giải:
*Bằng quy nạp ta chứng minh được: Un1 Un ,nN
(8)Từ 2009Un1 Un2 2008Un,n1 cho n ta :
v«lÝ viu 1
0 2008
2009 2
u u u u u u
u
(Un)không bị chặn nlimUn
* giả thiết 1
1 1 2009
) ( ) (
2009 )
( 2009
1
1
1
n n n
n
n n n n n
n n n
U U U
U
U U U U U
U U U
n
i i
i n
n
i i n
i
U U
U U
U U
1
1 1
1 2009
lim
1 1 2009
Nhận xét: 2009
2009
lim
1
n
i i
i
n U
U