Đang tải... (xem toàn văn)
bai tap ve phuong trinh mat phang 58625 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...
BÀI TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1)Phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là Trả lời ( ; ; )n A B C = r 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z (3;4;1)n = r α 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z ( ; ; )n A B C = r . Dạng 1 2) Áp dụng: a) Viết phương trình tổng quát của mp(α) đi qua điểm A(1; 3; 2) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến. 2) Phương trình mp(α) là: 3(x – 1) + 4(y – 3) + (z – 2) = 0 hay 3x + 4y + z – 17 = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z − + − + − = 1) BÀI TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG b) Trong không gian, lập phương trình tổng quát của mp(P) biết nó đi qua điểm M(2 ; 5; 3) và song song với mp(Q): 2x + 3y – z + 1 = 0 Giải Do (P) // (Q) nên (P) có vectơ pháp tuyến là Phương trình mp (P) là 2(x – 2) + 3(y – 5) – (z – 3) = 0 hay 2x + 3y – z – 16 = 0 (2;3; 1) P Q n n= = − uur uur P Q n n = uur uur α α α b r Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình nào trong các hình sau mp có vectơ pháp tuyến là Đáp án: Hình 2, Hình 3 và Hình 4 α n = a,b r r r α a r b r Hình 4 a r b r a r b r a r BÀI TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và biết 2 vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên ( α ) Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) được tính theo công thức: 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b = = r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , , , a a a a a a n a b b b b b b b = = ÷ r r r α b r a r 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z . ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ;a b a b a b a b a b a b = − − − Dạng 2 Cách giải: Tìm vectơ pháp tuyến Áp dụng dạng 1 để giải Biết hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp( α ) Dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của mp( α ) (tính tích có hướng của 2 vectơ ) : Mode 8 1 1 (Nhập vectơ a) On shift 5 1 2 1 (Nhập vectơ b) On shift 5 3 dấu x shift 5 4 = 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b = = r r Thực hành trên máy tính Casio fx570plus Ví du:̣ Cho 2 vectơ . Tính Kết quả ,a b r r ,a b r r (1;3;4), =(2;0;5) a b= r r , (15;3; 6)a b = − r r BÀI TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1)Lập phương trình mp(ABC), biết A(1; 1; 3), B(2; 2; 3), C(3; 1; 4) Giải Giải Hai vectơ có giá nằm trên mp(ABC) là Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là Vậy mp(ABC) có phương trình là (x – 1) – (y – 1) – 2(z – 3) = 0 hay x – y – 2z + 6 = 0 2) Lập phương trình mp(α) biết nó đi qua 2 điểm A(1; 2; 0), B(2; 2; 1) và vuông góc với mp(β): 2x + y + z + 3 = 0 Giải Giải Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(ABC) là Vectơ pháp tuyến của mp(α) là Vậy mp(α) có phương trình là – (x – 1) + (y – 2) + (z – 0) = 0 hay – x + y + z – 1 = 0 A. .C .B Tìm vectơ pháp tuyến của mp Hướng dẫn: Tìm 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp (1;1;0) (2;0;1) AB AC = = uuur uuur , (1; 1; 2)n AB AC = = − − r uuur uuur (1;0;1) (2;1;1) AB n β = = uuur uur , ( 1;1;1)n AB n β = = − r Onthionline.net VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng (P) Đs: (Q) : 2y + 3z − 11= Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3), B(1; −2;1) song song với trục Oy Đs: (P ) : −2x + z + = x2 + y2 + z2 − 2x + 6y − 4z − = Viết r phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4y + z − 11= tiếp xúc với (S) Đs: (P): 2x − y + 2z + = (P): 2x − y + 2z − 21= Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: Câu 4: a/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x − 4y − = mặt phẳng (P): x + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; −1) vuông góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Đs: (Q): 2x + y − 2z − = (Q): 4x − 7y − 4z − = b/ Tương tự: Với (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 4z + = , (P ) : 2x + y − 6z + = 0, M (1;1;2) Đs: (Q) : 2x + 2y + z − = (Q) :11x − 10y + 2z − = Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r = Đs: (P): y – 2z = Câu 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 2z – 1= điểm M (2;0; −2), N(3;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính Đs: (P): x + y − z − = (P): 7x − 17y + 5z − = r = Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng Đs: (P): x − z = (P): 5x − 8y + 3z = Câu 8: a/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x − y− z = = điểm M(0; –2; 0)Viết 1 phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Đs: (P): 4x − 8y + z − 16 = 2x + 2y − z + = x y z− = = ; M (0;3; −2), d = Đs: (P ) : 2x + 2y − z − = (P ) : 4x − 8y + z + 26 = 1 Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (−1;1;0), N(0;0; −2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) Đs: (P): x − y + z + = ; (P): 7x + 5y + z + = Câu 10: a/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1;2) , B(1;3;0) , C(−3;4;1) , D(1;2;1) Viết b/ Câu hỏi t/tự: Với ∆ : phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Đs: (P): x + 2y + 4z − = ; (P): x + y + 2z − = b/ Câu hỏi t/ tự:Với A(1;2;1), B(−2;1;3),C(2; −1;1), D(0;3;1) Đs: (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = (P ) : 2x + 3z − = Câu 11: a/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) , B(0; −1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P ) khoảng cách từ C đến (P ) Đs: (P ) :3x − z = ; (P ) : 2x − y = b/ Câu hỏi tương tự:Với A(1;2;0), B(0;4;0),C(0;0;3) Đs: −6x + 3y + 4z = 6x − 3y + 4z = Oxyz Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C(−1;2; −2) mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 1= Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = 2IC Đs: (α ) : 2x − y − 2z − = (α ) : 2x + 3y + 2z − = Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; −1;2) , B(1;0;3) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Đs: (P): 8x − 3y − 5z + = 0; (P): x − y − 1= Onthionline.net Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Đs: (P): 2x − y + z − = Câu 15: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; −1;2) N(−1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) lớn Đs: (P): x + y – z + = Một số dạng bài tập về phương trình mặt cầu Page 1 of 3 BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) I 2; 1;3- và bán kính bằng 8. 2. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có đường kính AB, với ( ) ( ) A 1;2;1 ,B 0;2;3- . 3. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) I 3; 2;4- và đi qua điểm ( ) A 7;2;1 . 4. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) I 3; 4;2- và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) Oxy . 5. Viết phương trình mặt cầu ( ) S đi qua hai điểm ( ) ( ) A 3; 1;2 ,B 1;1; 2- - và có tâm thuộc trục Oz. 6. Viết phương trình mặt cầu ( ) S đi qua hai điểm ( ) ( ) M 2;1; 3 ,N 3; 2;1- - - và có tâm thuộc đường thẳng x 1 y 1 z d : 2 1 2 - + = = - . 7. Viết phương trình mặt cầu ( ) S đi qua các điểm ( ) ( ) A 1;2; 4 ,B 1; 3;1 ,- - ( ) C 2;2;3 và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) Oyz . 8. Viết phương trình mặt cầu đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) A 1;0;0 ,B 0;1;0 ,C 0;0;1 và có tâm I nằm trên mặt phẳng ( ) :x y z 3 0a + + - = . 9. Viết phương trình mặt cầu đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) A 3;6;1 ,B 2;3; 3 ,C 6;2;0- - - và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) :2x y z 3 0a + - - = . 10. Viết phương trình mặt cầu ( ) S đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) A 1;1;1 ,B 1;2;1 ,C 1;1;2 , ( ) D 2;2;1 . 11. Viết phương trình mặt cầu có tâm ( ) I 2;1;1- và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) a có phương trình x 2y 2z 5 0+ - + = . Tìm tọa độ tiếp điểm. 12. Cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) ( ) A 3; 2; 2 ,B 3;2;0 ,C 0;2;1 ,D 1;1;2- - - . Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng ( ) BCD . 13. Cho đường thẳng x y 1 z 1 d : 2 1 2 - + = = và hai mặt phẳng Biên soạn: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Một số dạng bài tập về phương trình mặt cầu Page 2 of 3 ( ) ( ) 1 2 P :x y 2z 5 0 và P :2x y z 2 0+ - + = - + + = Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2 P và P . 14. Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) :x y z 1 0 và :x y z 1 0a + + + = b - + - = và cho hai mặt phẳng ( ) ( ) P :x 2y 2z 3 0 và Q :x 2y 2z 7 0+ + + = + + + = . Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( ) ( ) P và Q . 15. Viết phương trình mặt cầu tâm ( ) I 1;2;1 và tiếp xúc với đường thẳng x 2 y 1 z 1 d : 1 2 2 + - + = = - . 16. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) I 4;1;1- và cắt mặt phẳng ( ) a có phương trình x 2y 2z 1 0+ - + = theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 2 2 . 17. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) I 1; 0;3 và cắt đường thẳng x 1 y 1 z 1 d : 2 1 2 - + - = = tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. 18. Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) I 2;3; 1- và cắt đường thẳng x 3 y 7 z 11 d : 2 1 2 + + + = = - tại A và B sao cho AB 16= . 19. Cho hai đường thẳng 1 2 x 7 y 3 z 9 x 3 y 1 z 1 d : ,d : 1 2 1 1 2 3 - - - - - - = = = = - - . Viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1 2 d và d làm đường kính. Biên soạn: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B Một số dạng bài tập về phương trình mặt cầu Page 3 of 3 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ( ) ( ) ( ) S 3;2;4 ,A 1;2;3 ,C 3;0;3 . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Biên soạn: Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B 5 HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG , ĐƯỜNG THẲNG . MẶT PHẲNG (A) ĐƯỜNG THẲNG (B) 1.Mp qua điểm A(x o , y o , z o ) có VTPT n r (A,B,C) . 1.Đgth dqua điểm A(x o , y o ,z o ), có VTCP u r (a, b, c) - Pt: A(x-x o ) +B(y-y o ) + C(z – z o ) = 0 Hoặc Ax +By +Cz +D =0 , thay toạ độ A vào thoả , giải tìm D. x = x o +at PTTS d : y = y o +bt Z = z o +ct 2.Mp( α ) qua A(x o , y o , z o ) , vuông góc với đgth d 2.Đgth d qua A(x o , y o , z o ), vuông góc với mp( α ) - Từ PTTS hoặc PTCT hoặctừ 2 điểm của d , tìmVTCP u r . - Mp( α ) có VTPT là u r . - Giải tiếp như bài toán 1. - Từ PTTQ của ( α ) tìm VTPT n r . - VTCP của d là n r . - Giải tiếp như bài toán 1. 3. Mp( α ) qua A(x o , y o , z o ), và song song với mp(P) 3.Đgth d qua A(x o , y o , z o ), song song với đgth a. - Tìm VTPT của (P) là n r . - VTPT của ( α ) cũng là n r . - Giải tiếp như bài toán 1. - Tìm VTCP của a là u r . - VTCP của d cũng là u r . Giải tiếp như bài toán 1. 4. Mp( α ) qua A,B,C cho trước. 4. Đgth d qua A, B cho trước. - VTPT của ( α ) là n r = ,AB AC uuur uuur . B. .C - ( α ) qua A cho trước. A. - Giải tiếp như bài toán 1. - VTCP của d là AB uuur . A - d qua A cho trước. - Giải tiếp như bài toán 1. B 5. Mp( α ) chứa 2 đgth cắt nhau a,b. 5. Đgth d là giao tuyến của 2 mp cắt nhau ( α ),( β ). - Tìm VTCP của a,b lần lượt là u r , v r . - VTPT của ( α ) là n r = ,u v r r . - Lấy điểm A trên a, thì Athuộc( α ). - Giải tiếp như bài toán 1. - Tìm VTPT của ( α ),( β ) lần lượt là 1 n uur , 2 n uur . - VTCP của d là u r = 1 2 ,n n uur uur . - Tìm 1 điểm A có toạ độ thoả phương trình ( α ),( β )thì A ∈ d. - Giải tiếp như bài toán 1. 6. Mp( α ) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau. 6. Đgth d qua A và song song với 2 mp ( α ),( β ) cắt nhau. - Tìm VTCP của a,b lần lượt là u r , v r . - VTPT của ( α ) là n r = ,u v r r . - Giải tiếp như bài toán 1. < Bài toán: Viết pt mp ( α ) chứa a và song song b ( chéo a), giải tương tự. Khi đó điểm cho trước A ∈ ( α ), được lấy bất kỳ trên a > - Tìm VTPT của ( α ),( β ) lần lượt là 1 n uur , 2 n uur . - VTCP của d là u r = 1 2 ,n n uur uur . . - Giải tiếp như bài toán 1. 1 Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG 5 7. Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp ( α ),( β ) cắt nhau. 7. Đgth d qua A và vuông góc với 2 đgth a,b chéo nhau. - Tìm VTPT của ( α ),( β ) là 1 n uur , 2 n uur . - VTPT của (P) là n r = 1 2 ,n n uur uur . - Giải tiếp như bài 1. < Bài toán này có thể đưa về dạng bài B5, và A2: Viết ph trình mp (P) vuông góc với giao tuyến của ( α ),( β ) > - Tìm VTCP của a,b là 1 u uur và 2 u uur . - VTCP của d là u r = 1 2 ,u u uur uur . - Giải tiếp như câu 1. 8. Mp( α ) qua đgth d và vuông góc với mp( β ) cho trước. 8. Đgth d nằm trong mp ( α ) cho trước, vuông góc và cắt đường xiên a. - Tìm VTCP của d là u r . - Tìm VTPT của ( β ) là 1 n uur . - VTPT của ( α ) là n r = 1 ,u n r uur . - Tìm điểm A ∈ d thì A ∈ ( α ). - Giải tiếp như bài toán 1. - Tìm VTCP của a là 1 u uur . - Tìm VTPT của ( α ) là n r . - VTCP của d là u r = 1 , .u n uur r - Tìm giao điểm của a và ( α ) là A. - Đgth d phải qua A và có VTCP u r , viết được PTTS. CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 9. Đường thẳng d qua một điểm A và cắt cả 2 đường a, b. 9. Đường thẳng d song song với một đgth ∆ và cắt cả 2 đường a, b. - Viết phương trình mp(A,a), đặt là ( α ). - viết phương trình mp(B,a), đặt là ( β ). - Viết PTTS của d là giao tuyến của ( α ), ( β ) - Viết phương trình mp( α ) qua a và song song ∆ . <Bài toán A6’> - Viết phương trình mp ( β ) qua b và song song ∆ . - Viết PTTS của d là giao tuyến của ( α ), ( β ). 10. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Qua TÓM TẮT LÝ THUYẾT n A tâm Vectơ pháp tuyến mp (P): n→≠0→ vectơ pháp tuyến (P)⇔n→⊥(P) Đưa Cặp vectơ phương mặt phẳng (P) : hai vectơ không phương a→,b→ vào cặp vectơ phương mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá song song với (P) sổ tay Quan hệ vectơ pháp tuyến n→ cặp vectơ phương a→,b→ : n→=[a→,b→] Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) : (P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0 Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) : xa+yb+zc=1 Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0 Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0 d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ Góc hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0 cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−− −−−−−−−−√ Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng có hai phương pháp Phương pháp Xác định điểm mà mặt phẳng qua vectơ pháp tuyến Phương pháp Xác định vectơ pháp tuyến tham số D phương trình dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng I Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(– 1;1;3) mặt phẳng (P):x–3y+2z–5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A,B vuông góc với mặt phẳng (P) Lời giải : mp(Q) qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) vec phương (VTCP) mp(Q) Mặt khác mp(Q) vuông góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến (VTPT) nP−→ (P) VTCP (Q) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12) Hiển nhiên thấy (Q) qua A(2;4;1) nQ−→=(0;−8;−12) nên (Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0 (Q):2y+3z−11=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3),B(1;−2;1) song song với đường thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R) Lời giải : mp(P) qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) VTCP mp(P) Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ (d) VTCP (P) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1) Hiển nhiên thấy (Q) qua B(1;−2;1) nQ−→=(−10;4;−1) nên (P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0 (P):10x−4y+z−19=0 C Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 cách điểm M(1;2;–1) khoảng 2√ Lời giải : Phương trình mp(P) qua O(0,0,0) nên có dạng : Ax+By+Cz=0 (A2+B2+C2≠0) Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B (1) d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−− −√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) (2) ta được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0 (3)8A+5B=0 (4) Từ (3):B=0,C=–A Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0 Từ (4):8A+5B=0 Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 Ví dụ (Đại học Khối D−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 (Q):x−y+z−1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 2√ Lời giải : Ta có vectơ pháp tuyến (P) (Q) nP−→=(1;1;1) nQ−→=(1;−1;1), suy ra: [nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0 Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= ⇔D=22√ D=−22√ Vậy phương trình mặt phẳng (R):x−z+22√=0 x−z−22√=0 D Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y−32=z1 mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−4z+2=0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : (S) có tâm I(1;1;2), bán kính R=2 d có VTCP u→=(2;2;1) {(P)∥d(P)∥Ox⇒(P) có VTPT n→=[u→,i→]=(0;1;−2) Trong u→=(1,0,0) VTCP trục Ox Suy PT (P) có dạng: CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Qua TÓM TẮT LÝ THUYẾT n A tâm Vectơ pháp tuyến mp (P): n→≠0→ vectơ pháp tuyến (P)⇔n→⊥(P) Đưa Cặp vectơ phương mặt phẳng (P) : hai vectơ không phương a→,b→ vào cặp vectơ phương mặt phẳng (P)⇔a→,b→ có giá song song với (P) sổ tay Quan hệ vectơ pháp tuyến n→ cặp vectơ phương a→,b→ : n→=[a→,b→] Phương trình mặt phẳng (P) qua M0(x0,y0,z0) có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) : (P):A(x−x0)+b(y−y0)+C(z−z0)=0 Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến n→=(A,B,C) Phương trình mặt phẳng qua A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) : xa+yb+zc=1 Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz):x=0;(Oxz):y=0;(Oxy):z=0 Khoảng cách từ M0(x0,y0,z0) đến (P):Ax+By+Cz+D=0 d(M;(P))=∣∣ Ax0+By0+Cz0+D∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ Góc hai mặt phẳng: (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A′x+B′y+C′z+D′=0 cos((P),(Q))=∣∣ AA′+BB′+CC′∣∣ A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√.A′2+B′2+C′2−−−−− −−−−−−−−√ Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng có hai phương pháp Phương pháp Xác định điểm mà mặt phẳng qua vectơ pháp tuyến Phương pháp Xác định vectơ pháp tuyến tham số D phương trình dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng I Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),B(– 1;1;3) mặt phẳng (P):x–3y+2z–5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A,B vuông góc với mặt phẳng (P) Lời giải : mp(Q) qua A,B nên AB−→−=(−3,−3,2) vec phương (VTCP) mp(Q) Mặt khác mp(Q) vuông góc với mp(P) ⇒ vec pháp tuyến (VTPT) nP−→ (P) VTCP (Q) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[nP−→,AB−→−]=(0;−8;−12) Hiển nhiên thấy (Q) qua A(2;4;1) nQ−→=(0;−8;−12) nên (Q):0(x−2)−8(y−4)−12(z−1)=0 (Q):2y+3z−11=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1;3),B(1;−2;1) song song với đường thẳng d:⎧⎩⎨x=−1+ty=2tz=−3−2t (t∈R) Lời giải : mp(P) qua A,B nên BA−→−=(1,3,2) VTCP mp(P) Mặt khác mp(P) song song với đường thẳng d⇒ VTCP ud−→ (d) VTCP (P) Như vậy, VTPT (Q):nQ−→=[BA−→−,ud−→]=(−10;4;−1) Hiển nhiên thấy (Q) qua B(1;−2;1) nQ−→=(−10;4;−1) nên (P):−10(x−1)+4(y+2)−1(z−1)=0 (P):10x−4y+z−19=0 C Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 cách điểm M(1;2;–1) khoảng 2√ Lời giải : Phương trình mp(P) qua O(0,0,0) nên có dạng : Ax+By+Cz=0 (A2+B2+C2≠0) Vì (P)⊥(Q) nên nP−→.nQ−→=0⇔1.A+1.B+1.C=0⇔C=−A−B (1) d(M,(P))=2√⇔|A+2B−C|A2+B2+C2−−−−−−−−−− −√=2√⇔(A+2B−C)2=2(A2+B2+C2) (2) Từ (1) (2) ta được: (2A+3B)2=2(2A2+2B2+2AB)⇔8AB+5B2=0 ⇔[B=0 (3)8A+5B=0 (4) Từ (3):B=0,C=–A Chọn A=1,C=–1⇒(P):x−z=0 Từ (4):8A+5B=0 Chọn A=5,B=–8 ⇒C=3⇒(P):5x−8y+3z=0 Ví dụ (Đại học Khối D−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 (Q):x−y+z−1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) 2√ Lời giải : Ta có vectơ pháp tuyến (P) (Q) nP−→=(1;1;1) nQ−→=(1;−1;1), suy ra: [nP−→,nQ−→]=(2;0;−2) vectơ pháp tuyến (R) Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x−z+D=0 Ta có d(O,(R))=|D|2√, suy ra: |D|2√= ⇔D=22√ D=−22√ Vậy phương trình mặt phẳng