Đang tải... (xem toàn văn)
de thi hsg mon toan 8 de chinh thuc 24611 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
1. Chuyªn ®Ị : §a thøc Bài 1: Tính giá trò của biểu thức: a. A = 4 3 2 17 17 17 20x x x x− + − + tại x = 16. b. B = 5 4 3 2 15 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14. c. C = 14 13 12 11 2 10 10 10 . 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9 d. D = 15 14 13 12 2 8 8 8 . 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7. Bài 2: Tính giá trò của biểu thức: a. M = 1 1 1 650 4 4 2 . .3 315 651 105 651 315.651 105 − − + b. N = 1 3 546 1 4 2 . . 547 211 547 211 547.211 − − Bài 3: Tính giá trò của biểu thức: a. A = ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 x x y y x y− + − với x = 2; 1y = . b. M.N với 2x = .Biết rằng:M = 2 2 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . Bài 4: Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5: a. ( ) ( ) 2 2 2 65x x y y xy+ + − − + b. ( ) 2 2 75x y y x+ − + Bài 5: Tính giá trò của đa thức: ( ) ( ) 2 1 1x y y xy x y+ − − − biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − ; biết rằng 2x = a + b + c b. ( ) 2 2 2 2 4bc b c a p p a+ + − = − ; biết rằng a + b + c = 2p Bài 7: a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3. b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: ( ) ( ) M a a b a c= + + ; ( ) ( ) N b b c b a= + + ; ( ) ( ) P c c a c b= + + Bài 9: Cho biểu thức: M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M theo a, b, c, biết rằng 1 1 1 2 2 2 x a b c= + + . Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B. 1 b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Bài 12: Chứng minh rằng: a. 7 9 13 81 27 9− − chia hết cho 405. b. 2 1 2 12 11 n n+ + + chia hết cho 133. Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…, ( ) 1 2 n n + , … Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương. 2. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 1. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 1 2 n (a a . a )+ + + = = − + + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n a a . a 2(a a a a . a a a a . a a . a a ) ; 2. (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = a 3 ± b 3 ± 3ab(a ± b); (a ± b) 4 = a 4 ± 4a 3 b + 6a 2 b 2 ± 4ab 3 + b 4 ; 3. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) ; a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) ; a n – b n = (a – b)(a n – 1 + a n – 2 b + a n – 3 b 2 + + ab… n – 2 + b n – 1 ) ; 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 5 ) ; a 2k + 1 + b 2k + 1 = (a + b)(a 2k – a 2k – 1 b + a 2k – 2 b 2 – + a… 2 b 2k – 2 – ab 2k – 1 + b 2k ) ; II. B¶ng c¸c hƯ sè trong khai triĨn (a + b) n Tam gi¸c Pascal– §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®ỵc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triĨn (x + y)… n thµnh tỉng th× c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư lµ c¸c sè trong dßng thø n cđa b¶ng trªn. Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®ỵc sư dơng khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 vµ víi n = 5 th× : (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 10ab 4 + b 5 2 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z) 3 (x + y z) 3 (y + z x) 3 (z + x y) 3 . Lời giải A = [(x + y) + z] 3 [(x + y) z] 3 [z (x y)] 3 [z + (x y)] 3 = [(x + y) 3 + 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 + z Onthionline.net ĐỀ THI KHẢO SÁT HS GIỎI Năm học 2004-2005 Môn:Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút(không kể giao đề) Bài (4 điểm) Cho phân thức A= x4 − x2 + x3 − 3x − a)Tìm điều kiện x để A có nghĩa b)Rút gọn A c)Tìm x để A có giá trị Bài (3 điểm) Xác định đa thức f(x) bậc cho chia đa thức cho nhị thức (x-1);(x-2);(x-3)j dư x=-1 đa thức nhận giá trị -18 Bài (4 điểm) a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= 4x + x2 + b)Chứng minh a4+b4 ≥ a3b+ab3 Bài (7 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD cho CM=AN.Các đường thẳng AM,BN cắt CD theo thứ tự E,F a)Chứng minh CE.DF=a2 b)Gọi I giao điểm FA EB.Chứng minh tam giác CEB đồng dạng với tam giác DAF góc EIF=900 a c)Cho CM= Tính diện tích đa giác AIBCD theo a d)Các điểm M N có vị trí EF có độ dài nhỏ Bài (2 điểm) Giải phương trình: x + + x − = + x − ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2006-2007 Trường THCS Lương Thế Vinh Thời gian: 90 phút(không kể thời gian phát đề ) Câu 1: Cho . CMR: Câu 2: Chứng tỏ biểu thức sau luôn dương với mọi x: Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) b) Câu 4: Cho đa thức và đa thức . Chứng minh P chia hết cho Q. Câu 5: Xác định các số hữu tỉ a,b sao cho đa thức chia hết cho đa thức Câu 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. a) CM: AH=DE b) Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của HB và HC. CM:tứ giác DIKE là hình thang vuông. c) Tính độ dài đường trung bình của hình thang DIKE, nếu biết rằng AB= 6cm, AC= 8 cm. Câu 7: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt hình bình hành. Gọi E,H lần lượt là hình chiếu của B,D trên xy. Hãy xác định vị trí của đường thẳng xy để tổng BE+DH có giá trị lớn nhất. UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Năm học: 2010 – 2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 16/01/2011. Chú ý: - Đề thi này gồm 01 trang. - Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Câu 1. (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 6 – x 4 – 2x 3 + 2x 2 . b) x k+3 – x k + x – 1 . Câu 2. (3 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên: 3 146 3 + ++ = x xx A Câu 3. (3 điểm) Tìm x, biết: a) .)45()45( 20102011 −=− xx b) ⋅ ++ = ++ ++++ 351 777 91 999 3212212 xxxxxx Câu 4. (3 điểm) a) Cho hai đa thức: P(x) = x 2 + 2mx + m 2 và Q(x) = x 2 + (2m + 1)x + m 2 với Rm ∈ . Tìm m khi P(1) = Q(-1). b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 203610 24 +−= xxB . Câu 5. (4điểm) Cho hình bình hành ABCD có BD = 3AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = EF = FD. a/ Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật. b/ Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông? Câu 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A < 120 o . Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE. a) Chứng minh rằng BE = CD. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC ? – Hết – Đề chính thức HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8, NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán (Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang) Chú ý: Thí sinh có cách giải khác nhưng đảm bảo đúng kết quả vẫn được hưởng điểm tối đa. Câu Lời giải Điểm 1 (3đ) a) x 6 – x 4 – 2x 3 + 2x 2 = x 2 (x 4 – x 2 – 2x + 2) = x 2 [(x 4 – 2x 2 + 1) + (x 2 – 2x + 1)] = x 2 [(x 2 – 1) 2 + (x – 1) 2 ] = x 2 (x – 1) 2 [(x+1) 2 + 1] = x 2 (x – 1) 2 (x 2 + 2x + 2) b) x k+3 – x k + x – 1 = x k (x 3 – 1) + (x – 1) = x k (x – 1) (x 2 + x + 1) + (x – 1) = (x – 1)[x k (x 2 + x + 1) + 1] = (x – 1)(x k+2 + x k+1 + x k + 1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 (3đ) Ta có: 3 31 153 3 146 2 3 + −+−= + ++ = x xx x xx A Nếu tồn tại giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên thì x 2 – 3x +15 có giá trị nguyên và 3 31 + x cũng có giá trị nguyên. Khi đó: x + 3 là ước của 31. Tập hợp các ước của 31 là: { } 31;31;1;1 −− - Nếu x + 3 = – 1 thì x = – 4. - Nếu x + 3 = 1 thì x = – 2. - Nếu x + 3 = – 31 thì x = – 34. - Nếu x + 3 = 31 thì x = 28. Vậy với x = – 4; x = – 2; x = – 34; x = 28 thì giá trị của biểu thức A là số nguyên. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 3 (3đ) a) 20102011 )45()45( −=− xx ⇔ (5x – 4) 2011 – (5x – 4) 2010 = 0 ⇔ (5x – 4) 2010 (5x – 5) = 0 ⇔ 5x – 4 = 0 hoặc 5x – 5 = 0 ⇔ x = 5 4 hoặc x = 1. b) 351 777 91 999 3212212 ++++ ++ = ++ xxxxxx ⇔ 351 )771(7 91 )199(9 322 ++ = ++ xx ⇔ 9 x = 49 x ⇔ 1 49 9 = x ⇔ 0 49 9 49 9 = x ⇔ x = 0. 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4 (3đ) a) Khi: P(1) = Q(-1); ta được: 1 + 2m + m 2 = 1 – 2m – 1 + m 2 2m + 2m = – 1 4m = – 1 ⇒ m = - 1 4 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) 203610 24 +−= xxB ( ) ( ) 201120115 2011251020112510 2 2 2424 ≥+−= ++−=++−= x xxxx Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2011. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 (4đ) 2 2 1 1 N M C B E F A D a/ ∆ BME = ∆ DFN (c.g.c) ⇒ ME = NF và 11 ˆˆ FE = ⇒ 22 ˆˆ FE = nên ME // NF Vậy tứ giác MENF là hình bình hành. Ta lại có: Tứ giác AMND là hình bình hành ⇒ AD = MN Mà BD = 3AD nên BD = 3 MN Mặt khác BD = 3 EF nên MN = EF Vậy MENF là hình chữ nhật b/ Hình chữ nhật MENF là hình vuông ⇔ MN ⊥ EF ⇔ MN ⊥ BD ⇔ AD ⊥ BD (vì MN // AD) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 6 (4đ) K a) Hai tam giác ADC và ABE có: AD = AB (vì ∆ ABD đều). DÂC = BÂE (= 60 o + BÂC) AC =AE (vì ∆ ACE đều ) Vậy ∆ ADC = ∆ ABE (c-g-c). Suy ra CD = BE. b/ Từ ∆ ADC = ∆ ABE ta có: EBACDA ˆˆ = . Gọi K là giao điểm của AB và CD. Xét hai tam giác AKD và IKB, Chúng có hai góc bằng nhau từng đôi một: BKIDKA ˆˆ = (đối đỉnh) KBIKDA ˆˆ = (Vì EBACDA ˆˆ = ). Vậy hai góc còn Trường THCS Nhơn Tân GV: Huỳnh Văn Rỗ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2002 – 2003 (Thời gian 150 phút không kể phát đề) ================ Bài 1: (4 điểm) a/ Chứng minh rằng, nếu a + b + c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3abc b/ Cho xy + yx + xz = 0 và xyz ≠ 0. dựa vào kết quả câu trên hãy tính A = 2 2 2 yz xz xy x y z + + Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n 2 + 2002 là một số chính phương Bài 3: (4 điểm) Tìm mọi số nguyên n thoả mãn (n + 5) 2 = (4(n – 2)) 3 Bài 4: (4 điểm) Một trường có 2392 học sinh. Trong đó có một số học sinh đạt giải trong kỳ thi quốc tế, một số học sinh đạt giải quốc gia, một số đạt giải của tỉnh và một số đạt giải của trường (nhưng không có học sinh nào đạt 2 giải). Biết rằng số các học sinh đạt mỗi giải nói trên cũng là các chữ số của học sinh còn lại; và số học sinh đạt giải quốc tế ít hơn số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia ít hơn số học sinh đạt giải tỉnh và số học sinh đạt giải tỉnh ìt hơn số học sinh đạt giải của trường. Hãy cho biết số học sinh đạt mỗi giải nói trên và số học sinh còn lại không đạt giải? Bài 5: (4 điểm) Cho ∆ ABC, trên AB và AC về phía ngoài tam giác ta dựng hai hình vuông ABDE và ACMN. Chứng minh rằng trung tuyến qua A của ∆ AEN kéo dài chính là đường cao của ∆ ABC BÀI GIẢI: Bài 1: a/ Từ a + b + c = 0 <=> a + b = -c <=> (a + b) 3 = -c 3 <=> a 3 + b 3 + 3ab(a + b) = -c 3 <=> a 3 + b 3 + 3ab(-c) = -c 3 <=> a 3 + b 3 + c 3 = 3abc b/ Vì xyz ≠ 0 nên từ xy + yz + xz = 0 <=> 1 1 1 x y z + + = 0. p dụng câu a ta suy ra: 3 3 3 1 1 1 x y z + + = 3. 1 1 1 . . x y z Từ A = 2 2 2 yz xz xy x y z + + = 3 3 3 xyz xyz xyz x y z + + = xyz( 3 3 3 1 1 1 x y z + + ) = xyz. 3. 1 1 1 . . x y z = 3 Bài 2: Giả sử có số chính phương thì n 2 + 2002 = k 2 (x ∈ N) <=> 2002 = (k + n)(k – n) (1) Suy ra (k + n) và (k – n) là ước của 2002. Mà (k + n) + (k – n) = 2k là số chẵn, nên (k + n) và (k – n) cùng tính chẵn lẻ. Do 2002 là số chẵn nên (k + n) và (k – n) đều là số chẵn; Suy ra (k + n)(k – n) 4. Khi đó từ (1) ta lại có 2002 4. Điều này vô lí. Vậy không có số nguyên n nào để n 2 + 2002 là số chính phương. Bài 3: (n + 5) 2 = (4(n – 2)) 3 <=> n 2 + 10n + 25 = 64(n 3 – 6n 2 + 12n – 8) Tài liệu Tích luỹ chuyên môn – Đề thi HSG Toán 8 Trường THCS Nhơn Tân GV: Huỳnh Văn Rỗ <=> n 2 + 10n + 25 = 64n 3 – 384n 2 + 768n – 512 <=> 64n 3 – 385n 2 + 758n – 537 = 0 <=> (n – 3)(64n 2 – 193n + 179) = 0 <=> n – 3 = 0 hoặc 64n 2 – 193n + 179 = 0 <=> n = 3 Vì 64n 2 – 193n + 179 = 0 vô nghiệm Bài 4: Gọi số học sinh đạt giải là a, b, c, d; Trong đó 1 ≤ a, b, c, d ≤ 9 Theo bài toán ta có: abcd + a + b + c + d = 2392 Vì 1 ≤ a, b, c, d ≤ 9 => a + b + c + d ≤ 36 => abcd > 2300 => a = 2 và b = 3 Lúc đó ta có: 23cd + 2 + 3 + c + d = 2392 <=> 2300 + 10c + d + 5 + c + d = 2392 <=> 11c + 2d = 87 Mà 0 ≤ 2d ≤ 18 <=> 69 ≤ 11c ≤ 87 <=> 6 ≤ c ≤ 7 Nếu c = 6 => 11.6 + 2.d = 87 => d = 21/2 (không thoả mãn) Nếu c = 7 => 11.7 + 2.d = 87 => d = 5 Vậy số học sinh giỏi quốc tế của trường đó là 2; Số học sinh giỏi quốc gia là 3; Số học sinh giỏi cấp tỉnh là 5 và Số học sinh giỏi cấp trường là 7; Và số học sinh còn lại là 2375 Bài 5: Gọi F là trung điểm FN Nối FA kéo dài cắt BC tại H Trên tia đối tia FA lấu I sao cho FI = FA => AEIN là hình bình hành => IN = AE = AB và IE = AN = AC · · IEA BAC= (cùng bù với góc EAN) => ∆ AEI = ∆ BAC (c-g-c) => · · BIA ACB= Mà · · BIA IAN= (Sole trong EI//AN) => · · IAN ACB= Mặt khác: · · IAN HAC+ = 1v => · · HCA HAC+ = 1v => · AHC = 1v Hay AF ⊥ BC Tài liệu Tích luỹ chuyên môn – Đề thi HSG Toán 8 A B CH D E M N I F Trường THCS Nhơn Tân GV: Huỳnh Văn Rỗ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2003 – 2004 (Thời gian 150 phút không kể phát đề) ================ Bài 1: (3 điểm) Chứng minh rằng tích của một PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 (VÒNG I) Môn: Toán. Thời gian: 150 phút Họ tên thí sinh: SBD: (ĐỀ CHÍNH THỨC) Đề bài Bµi I(4 điểm) Cho biÓu thøc: 3 2 3 6 2 3 2 3 1 3 x x x A x x x x − − + = + + − − + − 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. 2. Tìm x để 2A x ≥ − . Bài II(4 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2 2 2 2 8 20 6 16 4 2 1 4 3 2 x x x x x x x x x x x x − + − + − + − + + = + − − − − 2. Cho 2011 số tự nhiên 1 2 2011 , , ,x x x thỏa mãn điều kiện: 11 11 11 1 2 2011 1 1 1 2011 2048x x x + + + = Tính tổng 1 2 2011 1 2 2011 1 1 1 M x x x = + + + . Bài III(5 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 4 8 4 8 x N x x − = − + 2. Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 2.6 992 a a a b + + + + = . Bài IV(4 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Lấy điểm M nằm trên đoạn HB, điểm N nằm trên đoạn HC sao cho 0 90AMC ANB∠ = ∠ = . Chứng minh: 1. Tam giác AMN cân. 2. . . AF BC BD AC AE BF = . Bài V(3 điểm) Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, biết AB=5cm, AM=6cm và AC=13cm. Đường thẳng qua B và vuông góc với BC cắt đường thẳng AM ở D. Đường thẳng qua C và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB ở E. Chứng minh CD vuông góc ME. (Hết) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Hướng dẫn chấm đề thi chọn HSG dự thi cấp tỉnh năm học: 2011-2012 (vòng I). Môn: Toán câu Đáp án Điểm Bài I 1. (2điểm) +) điều kiện xác định 1x ≠ − và 3x ≠ +) rút gọn A 0,5 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 6 2 3 3 1 1 3 3 8 24 1 3 8 1 x x x x x A x x x x x A x x x A x − + − − − + + = + − − + − = + − + = + Vậy 2 8 1 x A x + = + 0.5 0,5 2. (2 điểm) 2 8 2 2 1 10 0 1 10 0 à 1 0 10 0 à 1 0 1 10 x A x x x x x x v x x v x x x + ≥ − ⇔ ≥ − + + ⇔ ≥ + + ≥ + > ⇔ + ≤ + < > − ⇔ ≤ − Vậy x > -1 hoặc 10x ≤ − và 3x ≠ thì 2A x ≥ − 0,25 0,5 0,5 0,5 0.25 Bài II 1. (2,5 điểm) +) điều kiện 1,2,3,4.x ≠ +) dùng hằng đẳng thức, tách các phân thức đưa phương trình về dạng: 1 4 7 2 1 4 3 2x x x x + = − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 5 8 0 1 4 2 3 x x x x x ⇔ − − = ÷ ÷ − − − − 5 8 0x ⇔ − = hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 4 2 3x x x x − = − − − − *) 8 5 8 0 5 x x− = ⇔ = (thỏa mãn) *) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 4 2 3x x x x − = − − − − (chứng tỏ phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm 8 5 x = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. (1,5 điểm) - Nếu có ít nhất 1 số bé hơn 2 thì: 11 11 11 1 2 2011 1 1 1 x x x + + + >1> 2011 2048 ( trái giả thiết) - Nếu có 1 số bằng 2, các số còn lại lớn hơn 2 thì: 11 11 11 1 2 2011 1 1 1 x x x + + + < 11 11 11 1 1 1 2011 2 2 2 2048 + + + = ( trái giả thiết). 1 2 2011 2x x x⇒ = = = = , thay vào biểu thức ta có: 0,5 0,5 0,5 2 2011 2011 2011 1 1 1 2 2 2 2 1 2 M M = + + + − ⇒ = Bài III 1. (3 điểm) 2 2 ) 1 0 4 8 1 x M x x M + + = ≥ − + ⇒ ≥ − với mọi x Dấu “=” xảy ra khi x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = -1 tại x = 0. ( ) 2 2 4 ) 1 0 4 8 1 x M x x M − − + − = ≤ − + ⇒ ≤ Với mọi x Dấu “=” xảy ra khi x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 1 tại x = 4. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2. (2 điểm) vì 2 1,2 2,2 3 a a a + + + là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 a a a + + + chia hết cho 3 - Nếu 1b ≥ thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3 (vô lí) ⇒ b = 0. Thay b = 0 vào ta tìm được a = 3. Vậy a = 3 và b = 0. 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài IV N M H F E D C B A 1.(2 điểm) 2 ( . ) . AM AC AMC AEM g g AM AE AC AE AM ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =: (1) 0,5 0,5 2 ( . ) .AF . (2) AF AF ( . ) .AF(3) AF AB AE ABE ACF g g AB AC AE AC AN AB ANB N g g AN AB AN ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = : : Từ (1), (2) và (3)