Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.b[r]
(1)PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH
TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8Mơn: Tốn Năm học 2018-2019
Thời gian: 90 phút(khơng kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức:
2
2
x 10 x
A : x
x x x x
a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x =
1 .
c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên
Bài 2 (2,0 điểm). Giải phương trình sau: a.b) (6x8)(6x6)(6x7)2 72 b x2
+9x+20+
1
x2
+11x+30+
1
x2
+13x+42=
1 18
Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N
a Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật
b Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF
c Chứng minh rằng: 2
1 1
= +
AD AM AN .
Câu (1,5 điểm) Cho a b c, , ba số dương thoả mãn abc1 Chứng minh :
3
1 1
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b .
Bài 5 (1,0 điểm). Cho an = 1+2+3+…+ n. Chứng minh an + an+1 số
phương
(2)PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019
Mơn:Tốn Lớp:
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 (2,0đ)
Biểu thức:
2
2
x 10 x
A : x
x x x x
a
(0.75) Rút gọn kết qủa:
1 A x 0.75 b
(0.5) x 21 x12 x21 ⇒ A= 32 A= 52
0.5
c (0.25)
A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 0.25
d
(0.75) A Z ⇔
−1
x −2∈Z ⇔ x-2 Ư(-1) ⇔ x-2 { -1; 1} ⇔ x {1; 3}
0,5 Bài2 (2,0đ ) a (1.0)
(6x8)(6x6)(6x7) 72
Đặt 6x 7 t. Ta có (t1)( 1)t t2 72 (t21)t2 72t4 t2 72 0
4 9 8 72 0 2( 9) 8( 9) 0 ( 9)( 8) 0
t t t t t t t t
Mà t2 8 0 nên
2 9 0 9 3
3
t t t x
5 x
PT có nghiệm
2
;
3
x
. 0.25 0.25 0.25 0.25 b (1.0)
x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;
(0,25 điểm)
ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6;x ≠ −7
Phương trình trở thành : ¿
1
(x+4)(x+5)+
1
(x+5)(x+6)+
1
(x+6)(x+7)=
1 18
¿ x1
+4−
1
x+5+
1
x+5−
1
x+6+
1
x+6−
1
x+7=
1 18
x+14− x+7=
1
18
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Từ tìm x=-13; x=2;
(3)a (1.0)
0.5
Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH )
AB = AD ( gt)
BAF = ADM = 90 (ABCD hình vng) ΔADM = ΔBAF(g.c.g)
0.25
=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM
Lại có AE // DM ( AB // DC ) 0.25
Suy tứ giác AEMD hình bình hành
Mặt khác.DAE = 90 (gt) 0.25
Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25
b (1.0)
Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)
AB BH
=
AF AH
hay
BC BH
=
AE AH ( AB=BC, AE=AF)
0.25
Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH )
ΔCBH ΔEAH
(c.g.c) 0.25
2 ΔCBH
ΔEAH
S BC
=
S AE
, mà
ΔCBH ΔEAH S
=
S (gt)
2 BC
= AE
nên BC2 = (2AE)2
BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD
0.25 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25
c (1.0)
Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:
AD AM
=
CN MN
AD CN
=
AM MN
0.25
Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:
MN MC AB MC
= =
AN AB AN MN
hay
AD MC
=
AN MN 0.25
2 2 2 2 2
2
AD AD CN CM CN + CM MN
+ = + = = =
AM AN MN MN MN MN
(Pytago)
0.25
2
AD AD
+ =
AM AN
2
1 1
AM AN AD
(đpcm) 0.25
(4)(1.5)
2
2 2 a b c
a b c
x y z x y z
(*)
Dấu “=” xảy
a b c
x y z
Thật vậy, với a, b R x, y > ta có
2 2 a b
a b
x y x y
(**)
2 2
a y b x x y xy a b
2 bx ay
(luôn đúng) Dấu “=” xảy
a b x y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
2 2
2 2 a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
Dấu “=” xảy
a b c
x y z
0.5
Ta có:
2 2
3 3
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
2
2 2
1 1 1
1 1
1 1
2( ) 2
a b c a b c
a b c
ab ac bc ab ac bc ab bc ac
a b c
(Vì abc1)
0.25
Hay
2 2
1 1
1 1
a b c
ab ac bc ab ac bc a b c
0.25
Mà
1 1 a b c nên
2 2
1 1
3
a b c
ab ac bc ab ac bc
0.25
Vậy 3
1 1
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b (đpcm) 0.25
Bài 5 (1.0)
Ta có an+1= +2 +3 +…+ n + n +
an+ an+1 = 2(1+ + +…+ n) + n +
=
( 1)
2 n n
+n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 số phương
0.5 0.5
(5)