SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số = + + 3 2 3 1y x x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm có tung độ 1y = . Câu 2: (1,0 điểm) a) Giải phương trình: 1 cos (2cos 1) 2 sinx 1 1 cos x x x − + − = − b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 2 ) (2 3 ) 2 2i z i z i + + − = − − . Tính mô đun của z. Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình: 2 log (9 2 ) 3 x x + − = . Câu 4: (1,0 điểm) Giải phương trình: 2 2 (4 7) 2 10 4 8x x x x x − − + > + − Câu 5: (1,0 điểm) Tính tích phân: ln2 2 0 1 x x e I dx e = + ∫ Câu 6: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC a = = , 2CD a = , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a = . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d 1 : 3x – 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phương trình d 2 : x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A. Câu 8: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0;0; 3), (2;0; 1)A B− − và mặt phẳng ( ) :3 1 0P x y z− − + = . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng AB, bán kính bằng 2 11 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Câu 9: (0,5 điểm) Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3. Câu 10: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c≤ và 2 2ab bc c+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c P a b b c c a = + + − − − . HẾT SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ SỐ 1 - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN: TOÁN CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu 1 (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) + Tập xác định: D = ¡ + Giới hạn: →−∞ →+∞ = −∞ = +∞lim ; lim x x y y = + 2 ' 3 6y x x 0,25 + Sự biến thiên: Chiều biến thiên: = = ⇔ = − 0 ' 0 2 x y x Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0) và đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;-2), (0; +∞ ) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x= -2; y CĐ = 5, đạt cực tiểu tại x=0; y CT =1 0,25 Bảng biến thiên: x - ∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 5 + ∞ - ∞ Z ] 1 Z 0,25 + Đồ thị (C) f(x)=x^3+3x^2+1 x(t)=-2, y(t)=t f(x)=5 x(t)=1, y(t)=t x(t)=-3, y(t)=t f(x)=1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y 0,25 b) (1,0 điểm) Hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình + + = 3 2 3 1 1x x . Suy ra 0 0 0; 3x x= = − 0,25 Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là: '(0) 0; '( 3) 9y y= − = 0,25 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (0;1) là: y=1 0,25 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3;1) là: y=9x+28 0,25 CÂU 2 (1,0 điểm) a) (0,5 điểm) b) Điều kiện: cos 1 2 ,x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈ ¢ Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương: 2 1 cos (2cos 1) 2 sinx 1 cos 2sin 2 sin 2 0x x x x x− + − = − ⇔ − − = 0,25 2 5 sin , ; , 2 4 4 x x k k x k k π π π π = − ⇔ = − + ∈ = + ∈¢ ¢ (thỏa điều kiện) 0,25 b) (0,5 điểm) Gọi z=x+yi ( ) ,x y R∈ . Phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 2i x yi i x yi i+ + + − − = − − 0,25 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2x y x y i x y x y i i− + + + − + − − = − − ⇔ ( ) ( ) 3 5 2 2x y x y i i− + − − = − − 3 5 2 1 2 1 x y x x y y − = − = ⇔ ⇔ − − = − = Do đó 2 2 1 1 2z = + = 0,25 CÂU 3 (0,5 điểm) Điều kiện: 9 2 0 x − > . Phương trình đã cho tương đương: 3 2 log (9 2 ) 3 9 2 2 x x x x − − = − ⇔ − = 0,25 2 2 1 0 8 9 2 2 9.2 8 0 3 2 2 8 x x x x x x x x = = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = = (thỏa điều kiện) 0,25 CÂU 4 (1,0 điểm) Điều kiện: 2x ≥ − , bất phương trình đã cho tương đương: [ ] 2 2 (4 7) 2 2(4 7) 2 ( 2) 4x x x x x x − − + + − − > + − 2 (4 7)( 2 2) 2( 2 2)( 2 2)x x x x x − − + + > + − + + 0,25 2 2 2 2 4 7 2 2 4 4 ( 2) 2 2 1 (2 ) ( 2 1) ( 2 1 2 )( 2 1 2 ) 0 x x x x x x x x x x x x ⇔ − − > + − ⇔ > + + + + ⇔ > + + ⇔ + + − + + + < 0,25 2 2 1 2 2 1 x x x x + > − ⇔ + < − − hoặc 2 2 1 2 2 1 x x x x + < − ⇔ + > − − 2 1x⇔ − ≤ < − hoặc 5 41 8 x + ⇔ > Vậy tập nghiệm [ ) 5 41 2; 1 ; 8 T + = − − ∪ +∞ ÷ ÷ 0,5 CÂU 5 (1,0 điểm) Đặt 2 1 1 2 x x x t e t e tdt e dx= + ⇒ = + ⇒ = 0 2, ln 2 3x t x t= ⇒ = = ⇒ = 0,25 3 3 2 2 2 2 ( 1)2 2 ( 1) t tdt I t dt t − = = − ∫ ∫ 0,25 3 3 2 2 2 2 3 3 t t = − = ÷ 0,5 CÂU 6 (1,0 điểm) Kẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt AD tại E. Ta có: AE BC a = = ; DE= 2 2 (2 ) 3DE a a a= − = Suy ra diện tích hình thang ABCD là: ( ) = + 2 1 2 3 2 ABCD S a 0,25 Vậy: ( ) 3 . 1 1 . 2 3 3 6 S ABCD SABCD V SA S a= = + 0,25 Vì AD//(SBC) nên ( ,( )) ( ,( ))d D SBC d A SBC= Kẻ AI vuông góc SB tại I, chứng minh được AI vuông góc (SBC). Nên ( ,( ))d A SBC AI= 0,25 Trong tam giác SAB vuông tại A có AI là đường cao nên: 2 2 2 1 1 1 AI SA AB = + Suy ra: = = . 2 SA AB a AI SB 0,25 CÂU 7 (1,0 điểm) Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là: ( ) 4;3n = r . Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 4 3 5 0x y+ − = .Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 4 3 5 0 1 ( 1;3) 2 5 0 3 x y x C x y y + − = = − ⇔ ⇒ − + − = = 0,25 Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d 2 , I là giao điểm của BB’ và d 2 . Suy ra phương trình BB’: 2 1 1 2 − + = x y 2 5 0⇔ − − =x y Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 2 5 0 3 (3;1) 2 5 0 1 − − = = ⇔ ⇒ + − = = x y x I x y y 0,25 Vì I là trung điểm BB’ nên: ' ' 2 4 (4;3) 2 3 = − = ′ ⇒ = − = B I B B I B x x x B y y y Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0. 0,25 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 3 0 5 ( 5;3) 3 4 27 0 3 − = = − ⇔ ⇒ − − + = = y x A x y y 0,25 CÂU 8 (1,0 điểm) Đường thẳng AB đi qua A(0;0;-3) có VTCP (2;0;2)AB = uuur Nên phương trình tham số của đường thẳng AB là: 2 0 3 2 x t y z t = = = − + Gọi I là tâm của mặt cầu thì I(2t;0;-3+2t). 0,25 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi: ( ) 6 3 2 1 ( ;( )) 2 11 2 11 11 t t d I P − − + + = ⇔ = 0,25 9 4 4 22 2 4 4 22 4 4 22 13 2 t t t t t = + = ⇔ + = ⇔ ⇔ + = − = − 0,25 9 (9;0;6) 2 t I= ⇒ . Phương trình mặt cầu 2 2 2 ( ) :(x 9) (z 6) 44S y− + + − = 13 ( 13;0; 16) 2 t I= − ⇒ − − Phương trình 2 2 2 ( ) (x 13) (z 16) 44S y = + + + + = 0,25 CÂU 9 (0,5 điểm) Gọi 1 2 3 4 5 a a a a a là số tự nhiên cần tìm, 1 2 3 4 5 , , , ,a a a a a thuộc { } 1;2;3;4;5 Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có 3 5 10C = (cách) Còn lại hai vị trí, 4 chữ số. Chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí đó, có 0,25 2 4 12C = (cách) Vậy không gian mẫu có 10.12 120= phần tử Gọi A là biến cố: “số được chọn chia hết cho 3”, có hai phương án: Hai chữ số còn lại là 1 và 5, có 3 5 .2! 20C = số Hai chữ số còn lại là 2 và 4, có 3 5 .2! 20C = số Vậy biến cố A có 40 phần tử. Xác suất của biến cố A là: 40 1 120 3 P = = 0,25 CÂU 10 (1,0 điểm) Theo giả thiết: 1 2 ên 2 a a c n c ≤ ≤ ; 2 2 2 . 2 1 a b b a c ab bc c c c c c b + = ⇔ + = ⇔ = − Vì 1 2 a c ≤ nên 4 3 b c ≥ Đặt c t b = thì 3 0 4 t< ≤ 0,25 2 2 1 2 1 1 2 7 1 2 1 1 2(1 ) 2 1 6(1 ) 1 1 a b t t c c P a b b a t t t t t t c c c c − = + + = + + = − + − − − − + − − − − 0,25 Xét hàm số 2 7 3 ( ) 1 , 0; 2 1 6(1 ) 4 f t t t t = − + ∈ + − . Ta có: 3 '( ) 0, 0; 4 f t t > ∀ ∈ , do đó ( )f t đồng biến trên 3 0; 4 0,25 Do đó GTLN của hàm số đạt tại 3 4 t = , suy ra 27 max 5 P = Đẳng thức xảy ra khi 2 2 8 3 4 2 ab bc c a b c a c + = ⇔ = = = , chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6). 0,25 . + + − − − . HẾT SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ SỐ 1 - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN: TOÁN CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu 1 (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) + Tập xác định: D = ¡ +. ĐỊNH ĐỀ THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số = + + 3 2 3 1y x x a) Khảo sát sự biến thi n. gian mẫu có 10.12 120= phần tử Gọi A là biến cố: số được chọn chia hết cho 3”, có hai phương án: Hai chữ số còn lại là 1 và 5, có 3 5 .2! 20C = số Hai chữ số còn lại là 2 và 4, có 3 5 .2!