Trường THPT Nguyễn Diêu MA TRẬN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 1 8 0 phút Mạch kiến thức, kỹ năng Mức độ nhận thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Câu 1.1 1 1 2 Bài toán liên quan đến hàm số (tiếp tuyến, tính đơn điệu, cực trị, tương giao các đồ thị, tìm điểm trên đồ thị ) Câu 1.2 1 1 3 Phương trình lượng giác, công thức lượng giác Câu 2.1 0.5 4 Số phức Câu 2.2 0.5 5 Phương trình và bất phương trình lôgarit, mũ. Câu 3 0.5 0,5 6 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. Câu 4 1 1 6 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân Câu 5 1 1 7 Thể tích khối đa diện, khối tròn xoay; diện tích hình tròn xoay; bài toán khoảng cách, góc. Câu 6.2 0.5 Câu 6.1 0.5 1 8 Phương pháp tọa độ trong không gian Câu 7 1 1 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Câu 8 1 1 10 Xác suất, tổ hợp, nhị thức Niutơn, giới hạn của hàm số Câu 9 0.5 0.5 11 Bất đẳng thức, GTLN - GTNN Câu 10 1 1 Tổng 4.0 4.0 2.0 10 Trường THPT Nguyễn Diêu ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2y x x = − (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C tại điểm M có hoành độ 0 2.x = Câu 2 (1,0 điểm). 1) Giải phương trình ( ) sin 4 2cos2 4 sin cos 1 cos4x x x x x + + + = + . 2) Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( 4 )w z i i = − biết z thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 1 2 1 4 .i z i z i + + − = − Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 2 5 0,2 log log (5 ) 5 0.x x+ − = Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 ( )( 3) 3( ) 2 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y x − + + + = + + + + − = + ( ) ,x y ∈ ¡ . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân π = + ∫ 2 2 0 ( sin )cos .I x x xdx Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . ,E F lần lượt là trung điểm của AB và BC , H là giao điểm của AF và DE . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( )ABCD bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SH , DF . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD . Điểm (2;3)E thuộc đoạn thẳng BD , các điểm ( 2;3)H − và (2;4)K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ các đỉnh , , ,A B C D của hình vuông .ABCD Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;0;0) và đường thẳng d có phương trình 2 1 1 . 1 2 1 x y z− − − = = Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Từ đó suy ra tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d. Câu 9 (0,5 điểm). Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3? Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực , ,x y z thoả mãn: 2 2 2 2 4 1x y z x y + + ≤ − − . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2( ) .T x z y = + − Hết -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA II NĂM 2015 MÔN : TOÁN CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 1 1đ 4 2 2y x x = − + TXĐ: D = R\ + Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: 3 ' 4 4y x x = − . 3 0 ' 0 4 4 0 1 x y x x x = = ⇔ − = ⇔ = ± Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ) ;1 −∞ và (0;1) ; đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và ( ) 1; +∞ . • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y cđ = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = ± , y ct = - 1. • Giới hạn : →±∞ = +∞ lim . x y Bảng biến thiên : + Đồ thị: - Giao điểm với Ox : (0; 0); ( ) ( ) 2;0 , 2;0− - Giao điểm với Oy : (0 ; 0) Nhận xét : Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1đ Với x 0 = 2 , y 0 = 0, 0 '( ) 4 2.f x = Pttt là 4 2 8.y x = − 0,5 0,5 2 1 0,5đ ( ) xxxxx 4cos1cossin42cos24sin +=+++ x −∞ -1 0 1 +∞ y / - 0 + 0 - 0 + y +∞ 0 +∞ -1 -1 ( ) 0cossin42cos22cos22cos2sin2 2 =++−+⇔ xxxxxx ( ) ( ) 0cossin22cos12sin2cos =++−+⇔ xxxxx ( ) ( ) 0cossin2sin2cossin22cos 2 =+++⇔ xxxxxx ( )( ) 01sin2coscossin =++⇔ xxxx Với Zkkxxx ∈+−=⇔=+ , 4 0cossin π π Với ( ) ( ) ( ) 01sin21sin01sinsin2101sin2cos 22 =−−−⇔=+−⇔=+ xxxxxx Zmmxx ∈+=⇔=⇔ ,2 2 1sin π π 0.25 0.25 2 0,5đ Gỉa sử ( ) , . ,z x yi x y = + ∈ ¡ suy ra .z x yi = − Thế vào gt ta tìm được x= 3, y = 4. Vậy z = 3 +4i. Do đó w = 3i w có phần thực 0; phần ảo 3. 0,25 0,25 3 0,5đ Gpt: 2 5 0,2 log log (5 ) 5 0x x + − = (1) Đk: x>0. Pt (1) 2 2 5 5 5 5 log log (5 ) 5 0 log log 6 0x x x x ⇔ − − = ⇔ − − = 5 5 log 3 125 log 2 1/ 25 x x x x = = ⇔ ⇔ = − = KL: Vậy tập nghiệm pt (1) là { } 1/ 25;125T = 0,25 0,25 4 1đ ĐK: 16 2, 3 x y ≥ − ≤ 3 3 (1) ( 1) ( 1) 2x y y x⇔ − = + ⇔ = − Thay y=x-2 vao (2) được 2 4( 2) 3( 2) 4 2 22 3 8 ( 2)( 2) 2 2 22 3 4 x x x x x x x x x − − + + − = + ⇔ = − + + + + − + 2 4 3 ( 2) 0(*) 2 2 22 3 4 x x x x = ⇔ − + + + = + + − + Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm số đồng biến. suy ra x=-1 là nghiệm duy nhất của (*) KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3) 0,5 0,25 0,25 5 1đ π π π = + = + ∫ ∫ ∫ 1 42 43 1 442 4 43 2 2 2 2 2 0 0 0 ( sin )cos cos sin cos . M N I x x xdx x xdx x xdx Tính M Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x = = ⇒ = = 2 0 sin sin cos 1. 2 2 2 2 0 0 M x x xdx x π π π π π = − = + = − ∫ Tính N Đặt sin cost x dt xdx = ⇒ = 0,25 0,25 Đổi cận 1 2 0 0 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 1 3 2 0 1 1 . 0 3 3 t N t dt = = = ∫ Vậy 2 . 2 3 I M N π = + = − 0,25 0,25 6 1 1đ Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên 2 4 ABCD S a = . ( )SH ABCD ⊥ HA ⇒ là hình chiếu vuông góc của SA trên mp ( ) ABCD · 0 60 3SAH SH AH ⇒ = ⇒ = ( ) · · . .ABF DAE c g c BAF ADE ∆ = ∆ ⇒ = Mà: · · 0 90AED ADE+ = Nên · · 0 90BAF AED + = · 0 90AHE DE AF⇒ = ⇒ ⊥ Trong ADE ∆ có: 2 . . 5 a AH DE AD AE AH= ⇒ = Thể tích của khối chóp .S ABCD là: 3 2 1 2 3 8 15 . .4 3 15 5 a a V a= = (đvtt) Trong mp ( ) ABCD kẻ HK DF ⊥ tại K . ( ) ,d SH DF HK ⇒ = . Trong ADE ∆ có: 2 4 . 5 a DH DE DA DH= ⇒ = Có : 5DF a= Trong DHF ∆ có: 2 2 2 2 2 2 16 9 3 5 5 5 5 a a a HF DF DH a HF = − = − = ⇒ = . 12 5 25 HF HD a HK DF ⇒ = = Vậy ( ) 12 5 , 25 a d SH DF = 0,25 0,25 0,25 0,25 7 1đ Ta có: : 3 0EH y − = : 2 0EK x − = : 2 0 : 4 0 AH x AK y + = ⇒ − = ( ) 2;4A ⇒ − Giả sử ( ) ;n a b r , ( ) 2 2 0a b + > là VTPT của đường thẳng BD . 0,25 Có: · 0 45ABD = nên: 2 2 2 2 a a b a b = ⇔ = ± + • Với a b = − , chọn 1 1 : 1 0b a BD x y = − ⇒ = ⇒ − + = ( ) ( ) 2; 1 ; 3;4B D ⇒ − − ( ) ( ) 4; 4 1;1 EB ED = − − ⇒ = uuur uuur E ⇒ nằm trên đoạn BD (thỏa mãn) Khi đó: ( ) 3; 1C − • Với a b = , chọn 1 1 : 5 0b a BD x y = ⇒ = ⇒ + − = . ( ) ( ) 2;7 ; 1;4B D ⇒ − ( ) ( ) 4;4 1;1 EB ED = − ⇒ = − uuur uuur 4EB ED ⇒ = uuur uuur E ⇒ nằm ngoài đoạn BD (L) Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;4 ; 2; 1 ; 3; 1 ; 3;4A B C D − − − − 0,25 0,25 0,25 8 1đ +) d có 1 VTCP là ( ) 1;2;1 .u = r +) (P) qua A(-1;0;0) và có VTPT ( ) 1;2;1n u= = r r có pt : x + 2y + z +1 = 0. +) H là giao điểm của (d) và (P) nên tọa độ H là nghiệm của hệ pt 1 2 1 1 1. 1 2 1 2 1 0 0 x x y z y x y z z = − − − = = ⇔ = − + + + = = Vậy H(1;-1;0). 0,25 0,5 0,25 9 0,5đ Số có 5 chữ số cần lập là abcde ( 0a ≠ ; a, b, c, d, e ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}) 3abcde M ( ) 3a b c d e ⇔ + + + + M - Nếu ( ) 3a b c d + + + M thì chọn e = 0 hoặc e = 3 - Nếu ( )a b c d + + + chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5 - Nếu ( )a b c d + + + chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4 Như vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số chia hết cho 3 Số các số dạng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số 0,25 0,25 10 1đ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 4 1x y z x y x y z + + ≤ − − ⇔ − + + + ≤ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Xét mặt cầu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 4S x y z − + + + = . Có tâm ( ) 1; 2;0I − ,bán kính 2R = . Xét mp ( ) : 2 2 0x y z T α − + − = G/s ( ) ; ;M x y z . Từ ( ) 1 có điểm M nằm bên trong ( ) S và kể cả trên mặt cầu ( ) S ( ) ( ) ,d I R α ⇒ ≤ 4 2 2 10 3 T T − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ • Với 2T = − thì M là giao điểm của mp ( ) β : 2 2 2 0x y z − + + = Và đường thẳng ∆ đi qua I và ( ) β ⊥ . 1 2 : 2 2 x t y t z t = + ∆ = − − = 1 4 4 ; ; 3 3 3 M ⇒ − − − ÷ Với 10T = . Tương tự 7 8 4 ; ; 3 3 3 M − ÷ 0,25 0,25 0,25 Vậy min 2T = − khi 1 3 4 3 x y z = − = = − max 10T = khi 7 3 8 3 4 3 x y z = = − = 0,25 * Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa. . vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số chia hết cho 3 Số các số dạng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số 0,25 0,25 10. -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA II NĂM 201 5 MÔN : TOÁN CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 1 1đ 4 2 2y x x = − + TXĐ: D = R + Sự biến thi n: • Chiều biến thi n: 3 ' 4 4y x x =. Niutơn, giới hạn của hàm số Câu 9 0.5 0.5 11 Bất đẳng thức, GTLN - GTNN Câu 10 1 1 Tổng 4.0 4.0 2.0 10 Trường THPT Nguyễn Diêu ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 201 5 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: