Một số khái niệm 1.Giai thừa của một số tự nhiên n là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n Ký hiệu n! = 1.2.3… n qui ước 0! = 1 2.Qui tắc cộng,qui tắc nhân: Giả sử có k công việc A 1 ,A 2 ,….A k công việc A 1 có n 1 cách thực hiện. công việc A 2 có n 2 cách thực hiện … công việc A k có n k cách thực hiện .Khi đó: Có n 1 + n 2 + ….+ n k cách thực hiện công việc A 1 hay A 2 hay….hay A k Có n 1 . n 2 . …. n k cách thực hiện công việc A 1 và A 2 và….và A k 3.Hoán vị:cho tập hợp A có n phần tử,mỗi cách sắp xếp tất cả các phần tử của A theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị n phần tử *Công thức :số hoán vị của n phần tử là : P n = n! 4.Chỉnh hợp: cho tập hợp A có n phần tử,mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (0 ≤ k ≤ n)theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp n chập k *Công thức :số chỉnh hợp n chập k là = k n A 5.Tổ hợp: cho tập hợp A có n phần tử,mỗi cách chọn k phần tử của A (0 ≤ k ≤ n) không cần thứ tự gọi là một tổ hợp n chập k *Công thức :số tổ hợp n chập k là = k n C Qui tắc chọn 1.Rút gọn các biểu thức sau: !7 !9 ; !5 !3 ; )!3( )!1( + − n n ; !2!102 !105 ; ) !7!2 !9 !5!3 !8 ( !10 !4!7 − 2.Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ.Có mấy cách chọn 1 tổ trưởng,1tổ phó nếu : a)Tổ trưởng là nam,tổ phó là nữ b)Tổ trưởng là nam,tổ phó tuỳ ý c)Tổ trưởng ,tổ phó đều là nam 3.Có mấy cách chia 4 đồ vật cho 3 người sao cho mỗi người có đúng 1 đồvật. 4.Một người có 3 áo xanh,4áo trắng; 2 quần đen,3 quần vàng 2 giày đen,1 giày trắng.Có mấy cách chọn 1 bộ đồng phục nếu: a)Áo,quần,giày tuỳ ý b)Nếu áo xanh thì quần giày tuỳ ý;còn nếu áo trắng thì quần đen,giày đen 5.Một đoàn tàu có 3 toa,trên sân ga có 5 hành khách. Có mấy cách sắp xếp hành khách lên tàu ? 6.Có mấy cách sắp xếp 5 người A,B,C,D,E ngồi vào 1 bàn dài sao cho: a)C ngồi ở giữa b)A ngồi ở phía ngoài 7.Có 1 bàn dài gồm 2 dãy ghế đối diện nhau,mỗi bên 5 ghế Có mấy cách sắp xếp 5 nam ,5 nữ sao cho: a)Hai người đối diện nhau thì không cùng giới b)Hai người đối diện nhau hoặc cạnh nhau thì không cùng giới 8.Có 4 nam và 4 nữ.Có mấy cách sắp xếp thành 1 hàng dọc saocho: a)Đứng đầu là nam b)Đứng xen kẻ nhau 9.Có mấy số tự nhiên gồm 2 chữ số mà a)Hàng đơn vị chẳn,hàng chục lẽ b)Hàng đơn vị lẽ,hàng chục chẳn c)Hàng đơn vị chẳn khác hàng chục 10.Từ 4 chữ số1,2,3,4 có thể lập được mấy số tự nhiên gồm 4 chữ số trong các trường hợp sau : a)4 chữ số tuỳ ý b)4 chữ số khác nhau c)4 chữ số sao cho 2 chữ số kề nhau thì khác nhau 11.Từ 5 chữ số 0,1,3,5,7 có thể lập được mấy số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 5 12.Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được mấy số tự nhiên gồm 4 chữ số thoả: a)là số lẽ gồm 4 chữ số khác nhau b)là số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau c)hai chữ số kề nhau phải khác nhau 13.Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được mấy số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10 (ĐHSPVinh 99 khối A) Hoán vị,chỉnh hợp tổ hợp 1.Từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được mấy số tự nhiên gồm 4 chữ số thoả mãn : a)4 chữ số khác nhau b)là số chẵn có 4 chữ số khác nhau 2.Một lớp học có 40 học sinh.Có mấy cách chọn 1 ban cán sự 3 người nếu : a) 3 người tuỳ ý b)1 lớp trưởng,1 lớp phó,1 uỷ viên 3.Có mấy cách chia 12 người thành 4 nhóm,mỗi nhóm có 3 người 4.Có mấy cách chia đều 8 cuốn sách cho 4 người 5.Có 10 nam và 12 nữ;có mấy cách lập 1 tổ 5 người : a)5người tuỳ ý b)có ít nhất 1 nữ c)có nhiều nhất 2 nam 6.Có 10 đường thẳng song song cắt 7 đường thẳng song song khác.Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành 7.Có 10 công nhân,3 kỹ sư.Có mấy cách lập 1 tổ 7 người gồm 1 tổ trưởng là kỹ sư ,1tổ phó là công nhân,5 uỷ viên là công nhân 8.Một đội bóng có 30 cầu thủ gồm :2 thủ môn,8 tiền đạo,10 tiền vệ,10 hậu vệ .Có mấy cách chọn 1 đội hình thi đấu gồm: 1 thủ môn,2 tiền đạo,4 tiền vệ,4 hậu vệ 9.Có mấy cách chia 17 người vào ở 4 phòng A,B,C,D,biết rằng phòng A chứa được 4 người,phòng B chứa được 3 người, phòng C,D chứa được mỗi phòng 5 người 10.Tìm số BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT PHẦN A: TỔ HỢP I Quy tắc đếm: Quy tắc cộng: Một công việc thực theo k phương án khác mà phương án có số cách thực n1, n2, , nk Nếu phương án độc lập với tức cách thực xuất hai phương án trở lên công việc có n = n1 + n2 + + nk cách thực Quy tắc nhân: Một công việc thực qua k giai đoạn để hoàn thành Nếu giai đoạn thứ i có n i cách thực ứng với cách có n i+1 cách thực giai đoạn công việc có n = n1.n2 nk cách thực Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường, từ thành phố A đến C có đường Không có đường nối thành phố B với D nối A đến D Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 20 cách Bài 2: Có số tự nhiên nhỏ 200000, chia hết cho 3, viết chữ số 0, 1, 2? ĐS: Có 2.34 = 162 (số) Bài 3: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho d) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 6.7.7 = 294 b) 6.6.5.4 = 720 c) 6.5.4.3 + 3.5.5.4.3 = 1260 d) 6.5.4.3.2 + 5.5.4.3.2 = 1320 Bài 4: Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh Cứ đội phải đấu với trận gồm lượt lượt Hỏi có trận đấu? Nếu vòng đấu đội đá thêm trận có vòng đấu? ĐS: có 20.19 = 380 trận, 38 vòng đấu Bài 5: a Một bó hoa gồm có: hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa gồm đủ ba màu? b Từ chữ số 1, 2, lập số khác mà chữ số khác nhau? ĐS: a 5.6.7 = 210 b 15 Bài 6: a Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? b Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? c Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? d Có số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho ĐS: a 168 b 20 c 900 d 72 Bài 7: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo cà vạt nếu: a Chọn áo cà vạt được? b Đã chọn áo trắng không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a 35 b 29 II Hoán vị: Khái niệm giai thừa: n! = n(n – 1) 2.1 Qui ước: 0! = Tính chất: n! = (n – 1)!n Hoán vị (không lặp): Cho tập hợp gồm n phần tử, n số nguyên dương, cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho tập hợp gồm k phần tử a 1, a2, , ak, k số nguyên dương Một cách xếp n phần tử gồm n1 lần lặp phần tử a1, n2 lần lặp phần tử a2, …, nk lần lặp phần tử ak cho n1 + n2 + …+ nk = n, theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 !n ! n k ! Chứng minh: giả sử ta có n phần tử ta có n! hoán vị không lặp, có n phần tử a1 giống n! hoán vị có n1! lần trùng lặp cách xếp ta đổi chổ n1 phần tử giống Chứng minh tương tự có n phần tử a2 giống số lần trùng lặp cách xếp nhân thêm n 2! Như a1, a2, , ak lặp lại n1, n2, , nk lần số lần trùng lặp toàn cách xếp nói n 1!n2! nk! Nếu ta gọi Pn(n1, n2, …, nk) số cách xếp khác cần tìm n1!n2! nk!Pn(n1, n2, …, nk) = n! Từ suy công thức nói Ví dụ: Nếu có viên bi đỏ viên bi xanh có cách xếp tất bi thành dãy bi? Mỗi cách xếp bi nói hoán vị lặp cấp kiểu (2, 3) phần tử bi đỏ xanh Số cách xếp P5(2, 3) = 5!/(2!3!) = 10 cách Hoán vị vòng: Cho tập hợp gồm n phần tử, n số nguyên dương, cách xếp n phần tử theo thứ tự vòng tròn kín hoán vị vòng n phần tử Số hoán vị vòng n phần tử là: Qn = (n – 1)! Chứng minh: Nếu xếp thành vòng tròn không phân biệt vị trí dầu vị trí cuối so với hoán vị không vòng Trên vòng tròn ta phải có chiều quy ước để xét thứ tự Nếu lấy vị trí vòng làm điểm đầu tách khỏi đuôi ta cách xếp hoán vị không vòng theo thứ tự quy ước Như ta tách n vị trí khác vòng tạo thành n hoán vị khác không vòng Trong tất hoán vị vòng tròn lại tính cách xếp nên số hoán vị vòng nhỏ số hoán vị không vòng n lần Gọi Qn số hoán vị vòng ta nQn = n! Từ ta suy công thức cho Ví dụ: Có người tham gia hội nghị bàn tròn có ghế bố trí cách Vậy số cách xếp người vào bàn tròn 3! = cách Để dễ dàng kiểm chứng ta gọi tên người A, B, C, D cách bao gồm thứ tự sau: ABCD, ADCB, ACBD, ADBC, ABDC, ACDB Bài 1: Chứng minh a) Pn – Pn–1 = (n – 1)Pn–1 b) Pn = (n – 1)Pn–1 + (n – 2)Pn–2 + + 2P2 + P1 + 1 1 c) + + + + + < 1! 2! 3! n! n 1 = + d) n! (n − 1)! (n − 2)! x!− (x − 1)! = Bài 2: Giải phương trình: (x + 1)! ĐS: x = 2; x = Bài 3: Giải bất phương trình: (n + 1)! n.(n − 1)! − ≤5 n − n + (n − 3)!4! 12(n − 3).(n − 4)!2! ÷ (1) ĐS: n = 4, n = 5, n = Bài 4: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 5: Với hoán vị số 1, 2, 3, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên? ĐS: Tổng tất số là: 3! (1 + + + 4).(1 + 10 + 100 + 1000) = 66660 Bài 6: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) Bài 7: Có học sinh nam A 1, A2, A3, A4 học sinh nữ B 1, B2 xếp ngồi xung quanh bàn tròn có chổ Hỏi có cách xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? ĐS: a) Q6 = 5! ... CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n 1 cách chọn đối tượng A 1 . n 2 cách chọn đối tượng A 2 . A 1 ∩ A 2 = ∅ ⇒ Có n 1 + n 2 cách chọn một trong các đối tượng A 1 , A 2 . 2) Quy tắc nhân: Có n 1 cách chọn đối tượng A 1 . Ứng với mỗi cách chọn A 1 , có n 2 cách chọn đối tượng A 2 . ⇒ Có n 1 .n 2 cách chọn dãy đối tượng A 1 , A 2 . 3) Hoán vị: − Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. − Số hoán vị: P n = n!. 4) Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. − Số các chỉnh hợp: k n n! A (n k)! = − 5) Tổ hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. − Số các tổ hợp: k n n! C k!(n k)! = − − Hai tính chất k n k n n C C − = k 1 k k n 1 n 1 n C C C − − − + = 6) Nhị thức Newton n n k n k k n k 0 0 n 1 n 1 n n n n n (a b) C a b C a C a b . C b − = − + = = + + + ∑ − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): k n k k k 1 n T C a b − + = − Đặc biệt: n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C . x C+ = + + + + Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 1 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh II / MỘT SỐ VÍ DỤ 1. Bài toán đếm. 1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập. Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho a) Các chứ số đều khác nhau. b) Chữ số đầu tiên là 3. c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4. Giải a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có 5 7 A = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số đàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn b, c, d, e đều có 7 cách chọn ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số. c) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4) a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số. Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau Giải Gói số cần thiết lập là abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn Khi đó a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số. + Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài 2 CHUYÊN ĐỀ: ĐẬI SỐ TỔ HỢP Phương Xuân Trịnh d có 3 cách chọn ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5. Giải Cách 1: Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có 3 6 A = 120 số Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5. ⇒ Có 120.4 = 480 số. Cách 2: − Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 5bcd,a5bc,ab5d,abc5 − Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3. Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0 ⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0 Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2 Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0 ⇒ Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0 Chọn chữ số đầu tiên là 1 Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 ⇒ có 2 2007 C = 2007.1003 = 2013021 Vậy có 1 + 4014 + 2013021 Chuyờn II. I S T HP A. KIN THC CN NH V I S T HP. 1. Quy tc cng 1: Gi s mt cụng vic cú th c thc hin bi k phng ỏn A 1 , A 2 , ., A k . V cú n 1 cỏch thc hin phng ỏn A 1 , n 2 cỏch thc hin phng ỏn A 2 , ., n k cỏch thc hin phng ỏn A k . Khi ú cú n 1 + n 2 +n k cỏch thc hin cụng vic. Quy tc cng 2: Nu A, B l hai tp hp hu hn phn t khụng giao nhau thỡ A B A B = + Quy tc cng m rng: Cho A, B l hai tp hp hu hn phn t A B A B A B = + 2. Quy tc nhõn: Gi s mt cụng vic cú th c thc hin bi k cụng on A 1 , A 2 , ., A k . V cú n 1 cỏch thc hin cụng on A 1 , n 2 cỏch thc hin cụng on A 2 , ., n k cỏch thc hin cụng on A k . Khi ú cú n 1 n 2 n k cỏch thc hin cụng vic. 3. Hoỏn v: S cỏc hoỏn v ca n phn t 1.2 . ! n P n n= = 4. Chnh hp: S cỏc chnh hp chp k ca n phn t (0kn) ! .( 1).( 2) .( 1) ( )! k n n A n n n n k n k = + = 5. T hp : S cỏc t hp chp k ca n phn t: ! (0 ) ! ( )! ! k k n n A n C k n k n k k = = 6. Tớnh cht ca k n C : 1 1 ; ,(0 ) k n k k k k n n n n n C C C C C k n + = = + 7. Nh thc Niuton: Cụng thc khai trin: ( ) 0 1 1 0 0 . . n n n n n k n k k n n k n k k k k n k n n n n n n k k a b C a C a b C a b C b C a b C a b = = + = + + + + + = = S hng th k+1: 1 k k n k k n T C a b + = H qu: ( ) 0 1 0 1 1 1 . . . . n k k n n n n k n k n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x C x C + = + + + + + = + + + + + . Cho x nhng giỏ tr c bit ta c nhng ng thc c bn x =1, x =-1, x = 2, x = -2, B. BI TP VN DNG I. Bi toỏn v sp xp v trớ. V D Vớ d 1. Cú bao nhiờu cỏch b 6 lỏ th vo 8 phong bỡ mi phong bỡ cha nhiu nht mt lỏ th Vớ d 2. Cú bao nhiờu cỏch nht 5 con th vo 3 lng mi lng cú ớt nht 1 con Vớ d 3. Cú bao nhiờu cỏch xp 5 hc sinh A, B, C, D, E vo mt hng ngang sao cho: a. C ng chớnh gia b. Hai hc sinh A, E ng hai u Vớ d 4. Cú 12 cun sỏch ụi mt khỏc nhau, trong ú cú 5 cun sỏch vn hc, 4 cun sỏch õm nhc v 3 cun sỏch hi ha em cho 6 hc sinh A, B, C, D, E, F mi hc sinh mt cun. a. Nu ch cho hc sinh nhng cun sỏch thuc th loi vn hc v õm nhc. Hi cú bao nhiờu cỏch cho sỏch. b. Cú bao nhiờu cỏch cho sỏch sau ú mi th loi sỏch cũn ớt nht 1 cun. BI TP Bài 1. Liệt kê tất cả các hoán vị của {a,b,c} Bài 2. Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} Bài 3. Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} với phần tử cuối cùng là a. Bài 4. Có 6 ứng cử viên chức thống đốc bang. Tính số cách in tên ứng cử viên lên phiếu bầu cử. Bài 5. Có bao nhiêu cách xắp xếp 6 ngời ngồi xung quanh một bàn tròn "hai cách gọi là nh nhau nếu cách này xoay bàn đi ta đợc cách kia". Trang 1 II. Bi toỏn chn i tng s. V D Vớ d 1. Cú bao nhiờu s chn cú 6 ch s ụi mt khỏc nhau vi ch s ng u l s l Vớ d 2. Cú bao nhiờu s cú 6 ch s khỏc nhau ụi mt trong ú cú 3 ch s chn. 3 ch s l Vớ d 3. T cỏc ch s {0;1;2;3;4;5} cú th vit c bao nhiờu ch s: a. Cú 8 ch s trong úch s 1 cú mt 3 ln cũn cỏc ch s khỏc cú mt ỳng mt ln b. Cú 4 ch s khỏc nhau sao cho cỏc ch s 1 v 5 cú mt v ng cnh nhau. Vớ d 4. T cỏc ch s {1,2,3,4,5,6,7,8,9} cú th vit c bao nhiờu ch s khụng ln hn 789 Vớ d 5. Vi cỏc ch s {1;3;4;5;6} cú th vit c bao nhiờu s a. Cú 3 ch s khỏc nhau m ch s ng trc nh hn ch s lin sau ú b. Cú 3 ch s phõn bit v chia ht cho 3. c. Cú 3 ch s. Tớnh tng cỏc s ú. Vớ d 6. Vi 8 ch s 0,1,2,3,4,5,6,7 cú bao nhiờu s gm 6 ch s khỏc nhau trong ú nht thit phi cú mt ch s 4. Vớ d 7. T cỏc s 0, 1, 3, 5, 7 cú th lp c bao nhiờu s, mi s gm 4 ch s khỏc nhau v khụng chia ht cho 5. Vớ d 8. T cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lp c bao nhiờu s chn cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau. Vớ d 9. Cú bao nhiờu s gm 5 ch s sao cho tng cỏc ch s ca mi s l l. Vớ d 10. Cú bao nhiờu s t nhiờn gm 4 ch s sao cho khụng cú s no lp lo ỳng 3 ln BI TP Bài 1. Cho tập S = {1, 2, 3, 4, 5} a. Liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của S b. Liệt kê các tổ hợp chập 3 của S Bài 2. Từ các chữ số 1,2,5,7,8 lập đợc bao nhiêu số tự nhiêncó 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276. Bài 3. Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau? Bài 4. Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 8 chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số: 0, 1, 2 Bài Chuyên đề: Đại số tổ hợp Dạng 4 Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Nội dung Nội dung Dạng 4: • Dạng 4A. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau • Dạng 4B. Tính số nghiệm nguyên của phương trình Dạng 4A Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Bài tập mẫu Bài 1. Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống nhau cho ba người sao cho mỗi người đười được ít nhất một đồ vật. Giải Giả sử ta đặt 50 đồ vật đã cho thành một hàng ngang, giữa chúng có 49 khoảng trống (xem hình minh hoạ). o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o người 1 người 2 người 3 Nếu đặt hai vạch một cách bất kỳ vào hai trong số 49 khoảng trống đó, ta được một phép chia 50 đồ vật ra làm ba phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Ba người lần lượt nhận số đồ vật trong ba phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán. Vậy số cách chia là số cách đặt hai vạch vào hai trong 49 khoảng trống. Ta được số cách chia là Đáp số: 1176 cách chia. = 2 49 C 1176 Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Lưu ý • Nếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là ( ) − − ≥ n 1 m 1 C m n . Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Bài tập tương tự - Bài tập 1 Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho bốn người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật. Giải Ta đem chia trước cho mỗi người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là: 60 – 4.4 = 44 Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, mỗi người được ít nhất một đồ vật. Khi đó cùng với 4 đồ vật đã nhận trước, mỗi người được ít nhất 5 đồ vật, thoả mãn bài toán. Giả sử ta đặt 44 đồ vật đó thành một hàng ngang, giữa chúng có 43 khoảng trống (xem hình minh hoạ). o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o │ o o . . o o người 1 người 2 người 3 người 4 Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 1 (tt) Nếu đặt ba vạch một cách bất kỳ vào ba trong số 43 khoảng trống này, ta được một phép chia 44 đồ vật ra làm bốn phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Bốn người lần lượt nhận số đồ vật trong bốn phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán. Vậy số cách chia là số cách đặt ba vạch vào ba trong 43 khoảng trống. Ta được số cách chia là Đáp số: 12341 cách chia. = 3 43 C 12341 Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Lưu ý: • Tính số cách chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật (m ≥ kn). Cách giải • Ta chia trước cho mỗi người k –1 đồ vật. • Số đồ vật còn lại là s = m – n(k – 1) • Đem số đồ vật này chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật, thì số cách chia là Mỗi cách chia như vậy thoả mãn bài toán. − − n 1 s 1 C . Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Dạng 4B Tính số nghiệm nguyên của phương trình Bài tập mẫu Tính số nghiệm của phương trình x + y + z = 100 với x, y, z ∈ N*. Nhận xét Về bản chất mỗi nghiệm của phương trình tương ứng với một phép chia 100 đồ vật cho ba người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật. Lặp lại cách làm như hai bài tập trên, ta được số nghiệm của phương trình là Đáp số: 4851 nghiệm. = 2 99 C 4851. Tính số nghiệm nguyên của phương trình [...]... + 1, b = y + 1, c = z + 1, d = t + 1 ta được phương trình a + b + c + d = 1 04 (2) với a, b, c, d ∈ N* Mỗi nghiệm của PT (2) tương ứng với một nghiệm của PT (1) Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là 3 C103 = 176851 Đáp số: 176851 nghiệm Tính số nghiệm nguyên của phương trình Lưu ý: Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1,... bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là n −1 Cm+n Tính số Chuyên đề Tổ hợp 11 - 1 - Ng.S: Văn Phong TỔ HỢP I. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1. Quy tắc cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A 1 , A 2 , A 3 , A k . Có n 1 cách lựa chọn phương án 1, n 2 cách chọn phương án 2, và n k cách chọn phương án k. Khi đó công việc đó có thể được thực hiện bởi n 1 + n 2 + n 3 + +n k cách. 2. Quy tắc nhân Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A 1 , A 2 , A 3 , A k . Công đoạn A 1 có thể thực hiện theo n 1 cách, công đoạn A 2 có thể thực hiện theo n 2 cách, , công đoạn A k có thể thực hiện theo n k cách. Khi đó công việc đó có thể thực hiện theo n 1 .n 2 n k cách. II. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP 1. Hoán vị - Cho tập hợp A có n(n 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). - Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: P n = n! = n(n – 1)(n – 2) 1 = 1.2.3.4.5 n 2. Chỉnh hợp - Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A) - Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: )1) (2)(1( knnnnA k n Chú ý: +) Với 0<k<n thì: )!( ! kn n A k n +) Ta quy ước: 0! = 1 và 1 0 n A 3. Tổ hợp - Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A). - Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: ! )1) (2)(1( ! k knnnn k A C k n k n - Tính chất 1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n. Khi đó kn n k n CC - Tính chất 2. Cho số nguyên n và k với 1 k n. Khi đó: 1 1 k n k n k n CCC (hằng đẳng thức Pascal) Các dạng toán ứng dụng. Dạng 1: Các bài toán đếm số phương án. Dạng 2: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. Dạng 3. Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. Dạng 4. Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp Chuyên đề Tổ hợp 11 - 2 - Ng.S: Văn Phong DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN Dạng này gồm 3 phần: 1. Các bài toán liên quan đến số tự nhiên. 2. Các bài toán liên quan đến yếu tố hình học 3. Các bài toán đếm thực tế 1. Các bài toán liên quan đến số tự nhiên. Ví dụ 1. Một nhóm học có 15 học sinh. Nhóm cần bầu ra 1 nhóm trưởng, một nhóm phó và một thư ký. Biết rằng không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có bao nhiêu cách? Giải - Có 15 cách chọn nhóm trưởng. - Có 14 cách chọn nhóm phó - Có 13 cách chọn thư ký. Vậy có 15.14.13 = 2730 cách chọn. Ví dụ 2. Có 4 tuyến xe bus giữa A và B. Có 3 tuyến giữa B và C. Hỏi: a. Có mấy cách đi bằng xe bus từ A qua B và đến C. b. Có mấy cách đi rồi về bằng xe bus từ A đến C, qua B. c. Có mấy cách đi rồi về bằng xe bus từ A đến C qua B sao cho mỗi tuyến xe bus không đi quá một lần? Giải a. – Có 4 cách đi từ A đến B - Có 3 cách đi từ B đến C. Vậy có 4.3 = 12 cách đi từ A đến C qua B. b. – Có 12 cách đi từ A đến C qua B. - Có 12 cách đi về từ C đến A qua B. Vậy có 12.12 = 144 cách đi rồi về từ A đến C qua B. c. – Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C. Để tránh đi đường cũ thì chỉ có 2 cách từ C quay về B và 3 cách đi từ B về A. Vậy có 4.3.2.3 = 72 cách. Ví dụ 3. Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các số đã cho lập được bao nhiêu số đôi một khác nhau và: a. Gồm 3 chữ số b. Gồm 3 chữ số nhỏ hơn 400 c. Gồm 3 chữ số và chẵn d. Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5. Giải Đặt A = abc a. Có 6 cách chọn a. Có 5 cách chọn b. Có 4 cách chọn c. Vậy có 6.5.4 = 120 số b. Có 2 ... 9.10 = 90 IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử, n số nguyên dương Mỗi tập gồm k phần tử A, k số nguyên dương không lớn n, gọi tổ hợp chập k n phần tử n! k Số tổ hợp chập k n... Vậy số chỉnh hợp lặp có công thức nêu Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: Chỉnh hợp: có phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa chọn a1 chọn a2 chọn a2 chọn a1 tính hai cách khác a1 a2 khác Tổ hợp: không phân... người ta muốn chọn tổ công tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình không đồng thời có mặt tổ? ĐS: a 2974 b 15048