chuyen de he thuc vi et

Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì: 1 2 1 2 . b x x a c x x a ỡ ù ù + = - ù ù ù ớ ù ù = ù ù ù ợ L u ý : Khi đó ta cũng có: 1 2 x x a D - = 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai: - Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1; c x x a = = - Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1; c x x a = - = - 3) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phơng trình: X 2 SX + P = 0 Điều kiện S 2 4P. Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phơng trình khi biết hai nghiệm: Bài 1: a) x 1 =2; x 2 =5 b) x 1 =-5; x 2 =7 c) x 1 =-4; x 2 =-9 d) x 1 =0,1; x 2 =0,2 e) 1 2 1 3; 4 x x= = f) 1 2 3 5; 2 x x= - = - g) 1 2 1 3 ; 4 2 x x= = - h) 1 2 1 1 2 ; 3 4 3 x x= - = i) 1 2 1 1 ; 0, 9 3 x x= = - j) 1 2 1 2; 1 2x x= - = + k) 1 2 1 3 2; 3 2 x x= + = + l) 1 2 5 2 6; 5 2 6x x= + = - m) 1 2 3 2 2; 3 2 2x x= + = - Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định n) 1 2 1 1 ; 2 3 2 3 x x= = + - o) 1 2 1 1 ; 10 72 10 72 x x= = - + p) 1 2 4 3 5; 4 3 5x x= - = + q) 1 2 3 11; 3 11x x= + = - r) 1 2 3 5; 3 5x x= - = + s) 1 2 4; 1 2x x= = - t) 1 2 1 ; 2 3 3 x x= - = + u) 1 2 1, 9; 5,1x x= - = Bài 2: Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 2 7 3 0x x- - = . Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) 3x 1 và 3x 2 b) -2x 1 và -2x 2 c) 1 1 x và 2 1 x d) 2 1 1 x và 2 2 1 x e) 2 1 x x và 1 2 x x f) 1 1 1x x + và 2 2 1x x + g) 1 2 1x x + và 2 1 1x x + h) 1 2 1 x x + và 2 1 1 x x + i) 1 2 1 x x + và 2 1 1 x x + j) 2 1 2x + và 1 1 2x + B i 3 : Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 5 0x px+ - = . Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) -x 1 và -x 2 b) 4x 1 và 4x 2 c) 1 1 3 x và 2 1 3 x d) 1 1 x và 2 1 x e) 2 1 x x và 1 2 x x f) 1 1 2x x - và 2 2 2x x - g) 1 2 3x x - + và 2 1 3x x - + h) 1 2 1 x x - và 2 1 1 x x - i) 1 2 1 x x - và 2 1 1 x x - j) 2 1 x và 2 2 x k) 1 2 1 x x + và 2 1 1 x x + l) x 1 2 x 2 và x 1 x 2 2 Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phơng trình 2 3 7 4 0x x+ + = . Không giải phơng trình. Hãy lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: 1 p q - và 1 q p - Bài 5: Tơng tự: a) 2 4 2 0x x+ + = b) 2 5 3 0x x- - = c) 2 2 6 7 0x x+ - = Bài 6: Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) Chứng minh rằng nếu a 1 ; a 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 0x px+ + = , b 1 ; b 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 0x qx+ + = thì: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a b a b a b a b q p- - + + = - b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt: 2 1 0x ax+ + = với mộ nghiệm nào đó của pt 2 1 0x bx+ + = là nghiệm pt thì: 2 2 2 2 4 1 1 2 a b a b - - = c) Cho pt 2 0x px q+ + = Chứng minh rằng nếu 2 2 9 0p q- = thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm: Bài 1: Cho phơng trình: 2 5 3 0x x- + = . Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình không giải phơng trình hãy tính: a) 2 2 1 2 x x+ b) 3 3 1 2 x x+ c) 1 2 x x- d) 2 2 1 2 x x- e) 3 3 1 2 x x- f) 1 2 1 1 x x + g) 2 2 1 2 1 1 x x + h) 1 2 1 2 3 3x x x x - - + i) 1 2 1 1 2 2x x + - - j) 1 2 2 1 5 5x x x x + + + k) 1 2 1 2 1 1 x x x x + + + l) 1 2 1 2 1 1 2 2 x x x x - - + m) 2 2 1 2 1 2 x x x x+ n) 1 2 2 1 x x x x + Bài 2: Tơng Trường học Online http://school.vnmic.com A MỞ ĐẦU Trong vài năm trở lại đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , toán phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Ta thấy để giải toán có liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số , thông qua học sinh có cách nhìn tổng quát hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số Vậy nên nhóm toán xây dựng chuyên đề mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức giúp em làm quen với số dạng toán có đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông Nội dung chuyên đề gồm : Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn I Ứng dụng II Ứng dụng Lập phương trình bậc hai III Ứng dụng Tìm hai số biết tổng tích chúng IV Ứng dụng Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình V Ứng dụng VI Ứng dụng VII Ứng dụng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai VIII Ứng dụng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN ax2 + bx + c = (a≠0) (*) −b − ∆ −b + ∆ x1 = ; x2 = Có hai nghiệm 2a 2a −b − ∆ − b + ∆ −2b −b Suy ra: x1 + x2 = = = 2a 2a a (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b − ∆ 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a Cho phương trình bậc hai: Sưu tầm chia sẻ miễn phí Trang Trường học Online Vậy đặt : http://school.vnmic.com - Tổng nghiệm S : S = x1 + x2 = −b a c a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải toán - Tích nghiệm P : P = x1 x2 = I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a+b+c=0 c a b) Nếu cho x = − ta có (*) a.( − 1) + b( − 1) + c = a − b+c=0 −c Như phương trình có nghiệm x1 = −1 nghiệm lại x2 = a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x + x + = (1) 2) x + x − 11 = (2) Ta thấy : −3 Phương trình (1) có dạng a − b + c = nên có nghiệm x1 = −1 x2 = −11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 = x2 = Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x − 37 x + = x + 500 x − 507 = x − 49 x − 50 = 4321x + 21x − 4300 = Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x − px + = Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai Như vây phương trình có nghiệm x1 = nghiệm lại x2 = b) Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4−4p +5 = ⇒ p = 5 T x1 x2 = suy x2 = = x1 b) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc Sưu tầm chia sẻ miễn phí Trang Trường học Online 25 + 25 + q = ⇒ q = −50 http://school.vnmic.com −50 −50 = = −10 x1 c) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = , ta T x1 x2 = −50 suy x2 =  x1 − x2 = 11  x1 = giải hệ sau:  ⇔ + = x x   x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 Suy  x = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔   x2 = Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 = th ì x1 = 10 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 = Theo hệ thức VI-ÉT ta có  x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng:  P = x1 x2 = x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a x2 = a x1 = 36 vµ vµ x1 = + vµ x2 = − x2 = -104 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x − x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 x +x S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  +  = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = 2 Bài tập áp dụng: Sưu tầm chia sẻ miễn phí Trang Trường học Online http://school.vnmic.com 1/ Cho phương trình x + x − = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + (Đáp số: y + 1 y2 = x2 + x2 x1 y − = hay y + y − = ) 2/ Cho phương trình : x − x − = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 = x14 y2 = x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y − 727 y + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : (Đáp số a) y1 = x1 − y2 = x2 − b) y1 = x1 − y2 = x2 − a) y − y + − m = b) y − y − (4m − 3) = ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA ... Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào THPT ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Toán nâng cao ứng dụng định lí vi- ét I. LP PHNG TRèNH BC HAI 1. Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim 1 2 ;x x Vớ d : Cho 1 3x = ; 2 2x = lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn Theo h thc VI-ẫT ta cú 1 2 1 2 5 6 S x x P x x = + = = = vy 1 2 ;x x l nghim ca phng trỡnh cú dng: 2 2 0 5 6 0x Sx P x x + = + = Bi tp ỏp dng: 1. x 1 = 8 và x 2 = -3 2. x 1 = 3a và x 2 = a 3. x 1 = 36 và x 2 = -104 4. x 1 = 1 2+ và x 2 = 1 2 2. Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim tho món biu thc cha hai nghim ca mt phng trỡnh cho trc: V ớ d: Cho phng trỡnh : 2 3 2 0x x + = cú 2 nghim phõn bit 1 2 ;x x . Khụng gii phng trỡnh trờn, hóy lp phng trỡnh bc 2 cú n l y tho món : 1 2 1 1 y x x = + v 2 1 2 1 y x x = + Theo h th c VI- ẫT ta c ú: 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 9 ( ) ( ) 3 2 2 x x S y y x x x x x x x x x x x x + = + = + + + = + + + = + + = + = ữ 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 9 ( )( ) 1 1 2 1 1 2 2 P y y x x x x x x x x = = + + = + + + = + + + = Vy phng trỡnh cn lp cú dng: 2 0y Sy P + = hay 2 2 9 9 0 2 9 9 0 2 2 y y y y + = + = Bi tp ỏp dng: 1/ Cho phng trỡnh 2 3 5 6 0x x+ = cú 2 nghim phõn bit 1 2 ;x x . Khụng gii phng trỡnh, Hóy lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim 1 1 2 1 y x x = + v 2 2 1 1 y x x = + (ỏp s: 2 5 1 0 6 2 y y+ = hay 2 6 5 3 0y y+ = ) 2/ Cho phng trỡnh : 2 5 1 0x x = cú 2 nghim 1 2 ;x x . Hóy lp phng trỡnh bc 2 cú n y tho món 4 1 1 y x= v 4 2 2 y x= (cú nghim l lu tha bc 4 ca cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi. 1 Trêng THCS C¶n h D ¬ng «n thi vµo THPT ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (Đáp số : 2 727 1 0y y− + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: 2 2 2 0x x m− − = có các nghiệm 1 2 ;x x . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 2 ;y y sao cho : a) 1 1 3y x = − và 2 2 3y x= − b) 1 1 2 1y x = − và 2 2 2 1y x= − (Đáp số a) 2 2 4 3 0y y m− + − = b) 2 2 2 (4 3) 0y y m− − − = ) II. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : 2 0x Sx P− + = (§iều kiện để có hai số đó là S 2 − 4P ≥ 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4 Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 2 3 4 0x x+ − = giải phương trình trên ta được 1 1x = và 2 4x = − Vậy nếu a = 1 thì b = − 4 nếu a = − 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = − 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x 2 − y 2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a 2 + b 2 = 41 2. a − b = 5 và ab = 36 3. a 2 + b 2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. T ừ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 81 9 81 2 81 20 2 a b a b a b a ab b ab − + + = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = = Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 1 2 2 4 9 20 0 5 x x x x =  − + = ⇔  =  Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 1 2 2 4 5 36 0 9 x x x x = −  − − = ⇔  =  Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9 nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 4 Cách 2: Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + = ( ) 2 2 13 13 13 a b a b a b + = −  ⇒ + = ⇒  + =  -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Biªn so¹n: §ång §øc Lîi. 2 Trờng THCS Cản h D ơng ôn thi vào THPT ---------------------------------------------------------------------- nguyen thi nhung THCS SON TAY Chuyên đề hệ thức Viét và ứng dụng A. Mục tiêu: - Học sinh nắm chắc hệ thức Viét. Biết vận dụng hệ thức Viét để: + Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm. + Xét dấu các nghiệm. + Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số + Lập một phơng trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó B. Phần chuẩn bị - Giáo viên: Giáo án và các tài liệu tham khảo nh: + Toán nâng cao và các chuyên đề 9. + Toán nâng cao và phát triển 9 + Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9. + SGK, SBT, các dạng toán 9. - Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét. + Các tài liệu tham khảo. C. Nội dung I. Lý thuyết: 1. Hệ thức Viét: Nếu x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì S = x 1 + x 2 = - a b P = x 1 . x 2 = a c 2. ứng dụng: * Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Muốn tìm 2 số biết tổng của chúng bằng s, tích của chúng bằng p, ta chỉ cần giải phơng trình x 2 - sx + p = 0 Nếu s 2 4p thì phơng trình có 2 nghiệm, đó là 2 số cần tìm 1 nguyen thi nhung THCS SON TAY Nếu s 2 < 4p thì phơng trình vô nghiệm, không tồn tại 2 số mà tổng bằng s tích bằng p. * Xét dấu các nghiệp của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Điều kiện để phơng trình (1) - Có 2 nghiệm trái dấu là p < 0 - Có 2 nghiệm cùng dấu là: 0 và p > 0 - Có 2 nghiệm cùng dơng là: 0; p > 0; s > 0 - Có 2 nghiệm cùng âm là: 0; p > 0; s < 0 II. Ví dụ minh hoạ: 1. Dạng 1: Tính trí trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) * Phơng pháp giải: Vận dụng các phép biến đổi, để đa biểu thức cần tính giá trị về một biểu thức bằng nó nhng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm. a. Ví dụ 1: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0; c 0). Cho biết x 1 , x 2 là 2 nghiệm. Tính theo a, b, c giá trị của các biểu thức sau: +) 2 2 2 1 xx + +) 3 2 3 1 xx + + (x 1 - x 2 ) 2 +) x 1 - x 2 + 2 2 2 1 xx * Giải: +) 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 2 2.22)( a acb a c a b a c a b xxxxxx == =+=+ +) 2 212 2 1 3 2 2 212 2 1 3 1 3 2 3 1 33333 xxxxxxxxxxxx =+++=+ = ( ) ).(3 2121 3 21 xxxxxx ++ = 3 3 23 3 3 33 3 a babc a bc a b a b a c a b =+ = +) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 4 44 12121 a acb a c a b xxxxxx = == +) x 1 - x 2 = ( ) = 2 21 xx a acb a acb = 2 2 2 4 2. Dạng 2: Xác định dấu các nghiệm. 2 nguyen thi nhung THCS SON TAY Phơng pháp giải: Vận dụng điều kiện về dấu các nghiệp của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 Ví dụ: Cho phơng trình với tham số m mx 2 - 2 (m + 1) x + (m - a) = 0 (1) a. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm. b. Tìm hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? * Giải: a. +) m = 0 phơng trình (1) có dạng - 2x - 4 = 0, có nghiệm x = - 2 +) m 0 thì phơng trình (1) là phơng trình bậc 2. = (m + 1) 2 - m (m - 4) = 6m + 1 Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0, tức là m 6 1 KL: Với m 6 1 thì (1) có nghiệm b. Theo hệ thức Viét ta có s = m m p m m 4 ; )1(2 = + ĐK để (1) có 2 nghiệm trái dấu là: P < 0 400 4 <<< m m m Khi đó, do 0 < m < 4 nên s > 0, do đó nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn. 3. Dang 3: Tìm hệ thức liên hệ 2 nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số. * Giải: + Bớc 1: Theo thớc Viét viết các hệ thức của s và p theo tham số + Bớc 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc thế Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn 1 Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì: 1 2 1 2 . b x x a c x x a Lu ý : Khi đó ta cũng có: 1 2 x x a 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai: - Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1; c x x a - Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1; c x x a 3) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phơng trình: X 2 SX + P = 0 Điều kiện S 2 4P. Bài tập Dạng thứ nhất : Lập phơng trình khi biết hai nghiệm: Bài 1: a) x 1 =2; x 2 =5 b) x 1 =-5; x 2 =7 c) x 1 =-4; x 2 =-9 d) x 1 =0,1; x 2 =0,2 e) 1 2 1 3; 4 x x f) 1 2 3 5; 2 x x g) 1 2 1 3 ; 4 2 x x h) 1 2 1 1 2 ; 3 4 3 x x i) 1 2 1 1 ; 0,9 3 x x j) 1 2 1 2; 1 2 x x k) 1 2 1 3 2; 3 2 x x l) 1 2 5 2 6; 5 2 6 x x m) 1 2 3 2 2; 3 2 2 x x Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn 2 n) 1 2 1 1 ; 2 3 2 3 x x o) 1 2 1 1 ; 10 72 10 72 x x p) 1 2 4 3 5; 4 3 5 x x q) 1 2 3 11; 3 11 x x r) 1 2 3 5; 3 5 x x s) 1 2 4; 1 2 x x t) 1 2 1 ; 2 3 3 x x u) 1 2 1, 9; 5,1 x x Bài 2: Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 2 7 3 0 x x . Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) 3x 1 và 3x 2 b) -2x 1 và -2x 2 c) 1 1 x và 2 1 x d) 2 1 1 x và 2 2 1 x e) 2 1 x x và 1 2 x x f) 1 1 1 x x và 2 2 1 x x g) 1 2 1 x x và 2 1 1 x x h) 1 2 1 x x và 2 1 1 x x i) 1 2 1 x x và 2 1 1 x x j) 2 1 2 x và 1 1 2 x Bi 3: Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 5 0 x px . Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) -x 1 và -x 2 b) 4x 1 và 4x 2 c) 1 1 3 x và 2 1 3 x d) 1 1 x và 2 1 x e) 2 1 x x và 1 2 x x f) 1 1 2 x x và 2 2 2 x x g) 1 2 3 x x và 2 1 3 x x h) 1 2 1 x x và 2 1 1 x x i) 1 2 1 x x và 2 1 1 x x j) 2 1 x và 2 2 x k) 1 2 1 x x và 2 1 1 x x l) x 1 2 x 2 và x 1 x 2 2 Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phơng trình 2 3 7 4 0 x x . Không giải phơng trình. Hãy lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: 1 p q và 1 q p Bài 5: Tơng tự: a) 2 4 2 0 x x b) 2 5 3 0 x x c) 2 2 6 7 0 x x Bài 6: Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn 3 a) Chứng minh rằng nếu a 1 ; a 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 0 x px , b 1 ; b 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 0 x qx thì: 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a b a b a b a b q p b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt: 2 1 0 x ax với mộ nghiệm nào đó của pt 2 1 0 x bx là nghiệm pt thì: 2 2 2 2 4 1 1 2 a b a b c) Cho pt 2 0 x px q Chứng minh rằng nếu 2 2 9 0 p q thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Dạng thứ hai : Tìm tổng và tích các nghiệm: Bài 1: Cho phơng trình: 2 5 3 0 x x . Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình không giải phơng trình hãy tính: a) 2 2 1 2 x x b) 3 3 1 2 x x c) 1 2 x x d) 2 2 1 2 x x e) 3 3 1 2 x x f) 1 2 1 1 x x Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì: 1 2 1 2 . b x x a c x x a ỡ ù ù + = - ù ù ù ớ ù ù = ù ù ù ợ L u ý: Khi đó ta cũng có: 1 2 x x a D - = 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai: - Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1; c x x a = = - Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm 1 2 1; c x x a = - = - 3) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phơng trình: X 2 SX + P = 0 Điều kiện S 2 4P. Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phơng trình khi biết hai nghiệm: Bài 1: a) x 1 =2; x 2 =5 b) x 1 =-5; x 2 =7 c) x 1 =-4; x 2 =-9 d) x 1 =0,1; x 2 =0,2 e) 1 2 1 3; 4 x x= = f) 1 2 3 5; 2 x x= - = - g) 1 2 1 3 ; 4 2 x x= = - h) 1 2 1 1 2 ; 3 4 3 x x= - = i) 1 2 1 1 ; 0,9 3 x x= = - j) 1 2 1 2; 1 2x x= - = + k) 1 2 1 3 2; 3 2 x x= + = + l) 1 2 5 2 6; 5 2 6x x= + = - m) 1 2 3 2 2; 3 2 2x x= + = - n) 1 2 1 1 ; 2 3 2 3 x x= = + - o) 1 2 1 1 ; 10 72 10 72 x x= = - + p) 1 2 4 3 5; 4 3 5x x= - = + q) 1 2 3 11; 3 11x x= + = - r) 1 2 3 5; 3 5x x= - = + s) 1 2 4; 1 2x x= = - 1 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định t) 1 2 1 ; 2 3 3 x x= - = + u) 1 2 1,9; 5,1x x= - = Bài 2: Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 2 7 3 0x x- - = . Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) 3x 1 và 3x 2 b) -2x 1 và -2x 2 c) 1 1 x và 2 1 x d) 2 1 1 x và 2 2 1 x e) 2 1 x x và 1 2 x x f) 1 1 1x x + và 2 2 1x x + g) 1 2 1x x + và 2 1 1x x + h) 1 2 1 x x + và 2 1 1 x x + i) 1 2 1 x x + và 2 1 1 x x + j) 2 1 2x + và 1 1 2x + B i 3 : Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 5 0x px+ - = . Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: a) -x 1 và -x 2 b) 4x 1 và 4x 2 c) 1 1 3 x và 2 1 3 x d) 1 1 x và 2 1 x e) 2 1 x x và 1 2 x x f) 1 1 2x x - và 2 2 2x x - g) 1 2 3x x - + và 2 1 3x x - + h) 1 2 1 x x - và 2 1 1 x x - i) 1 2 1 x x - và 2 1 1 x x - j) 2 1 x và 2 2 x k) 1 2 1 x x + và 2 1 1 x x + l) x 1 2 x 2 và x 1 x 2 2 Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phơng trình 2 3 7 4 0x x+ + = . Không giải phơng trình. Hãy lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: 1 p q- và 1 q p- Bài 5: Tơng tự: a) 2 4 2 0x x+ + = b) 2 5 3 0x x- - = c) 2 2 6 7 0x x+ - = Bài 6: a) Chứng minh rằng nếu a 1 ; a 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 0x px+ + = , b 1 ; b 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 0x qx+ + = thì: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a b a b a b a b q p- - + + = - b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt: 2 1 0x ax+ + = với mộ nghiệm nào đó của pt 2 1 0x bx+ + = là nghiệm pt thì: 2 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định 2 2 2 2 4 1 1 2 a b a b - - = c) Cho pt 2 0x px q+ + = Chứng minh rằng nếu 2 2 9 0p q- = thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm: Bài 1: Cho phơng trình: 2 5 3 0x x- + = . Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình không giải phơng trình hãy tính: a) 2 2 1 2 x x+ b) 3 3 1 2 x x+ c) 1 2 x x- d) 2 2 1 2 x x- e) 3 3 1 2 x x- f) 1 2 1 1 x x + g) 2 2 1 2 1 1 x x + h) 1 2 1 2 3 3x x x x - - + i) 1 2 1 1 2 2x x + - - j) 1 2 2 1 5 5x x x x + + + k) 1 2 1 2 1 1 x x x x + + + l) 1 2 1 2 1 1 2 2 x x x x - - + m) 2 2 1 2 1 2 x x x x+ n) 1 2 2 1 x x x x + Bài 2: Tơng tự: 2 2 5 1 0x x- + = ; 2 3 4 3 0x x+ - = ; 2 3 2 5 0x x- + + = Bài 3: Cho phơng ... loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức VI- ÉT vi t S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng... sau:  ⇔ + = x x   x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo VI- ÉT ta có x1 x2 = 50 Suy  x = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔   x2 = Với x2 = −5 th... −50 http://school.vnmic.com −50 −50 = = −10 x1 c) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo VI- ÉT ta có x1 + x2 = , ta T x1 x2 = −50 suy x2 =  x1 − x2 = 11  x1 = giải hệ