Chuyên đề hệ thức vi ét nguồn của ngoc hùng game

http://NgocHung.name.vn Chuyên đề 1: Ph-ơng pháp tìm cực trị đại số Ch-ơng I: sở lý thuyết I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1.Định nghĩa1: Cho biểu thức f(x,y,) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x,y,) D hai điều kiện sau đ-ợc thoả mãn: - Với (x, y,) thuộc D f(x,y,) M với M số - Tồn (x0, y0 ,) thuộc D cho f(x0, y0 ,) = M Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y,) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x,y,) D hai điều kiện sau thoả mãn: - Với (x, y,) thuộc D f(x,y,) m với m số - Tồn (x0, y0 ,) thuộc D cho f(x0, y0 ,) = m II Các kiến thức th-ờng dùng Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),Ta ký hiệu giá trị lớn biểu thức P tập xác định D biến GTLN(P) hay maxP, giá trị nhỏ P GTNN(P) hay minP 1) Cho P = A + B maxP = maxA + maxB P = A + minB Trong A B biểu thức chứa biến độc lập với nhau, A B chứa biến đạt GTLN (GTNN) giá trị xác định x = x0, tức maxA = A(x0), maxB = B(x0) maxP = P(x0) 1 với A maxP = A A 2n 3) a) P(x,y) = [Q(x,y)] + a a với a số, n N* 2) Cho P = Nếu có (x0, y0) cho Q(x0, y0) = P(x,y) = a với x, y thuộc D b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b b với b số, n N* Nếu có (x0, y0) cho Q(x0, y0) = maxP(x,y) = b với x, y thuộc D 4) A max(A2) = (maxA)2 min(A2) = (minA)2 5) Các dạng bất đẳng thức Cô-si: a) a + b ab ( a 0, b 0) Đẳng thức xảy a = b b) a b + b a (ab 0) Đẳng thức xảy a = b 6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) Đẳng thức xảy ay = bx Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn 7) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a + b ab Đẳng thức xảy ab 8) Định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) Khi đó: Nếu f(x) luôn dấu với a, x R Nếu f(x) luôn dấu với a, x R , x b 2a Nếu f(x) dấu với a x nằm khoảng nghiệm trái dấu với a x nằm khoảng nghiệm Ch-ơng II: Ph-ơng pháp giải toán cực trị Các toán cực trị toán khó Do nhiều học sinh việc giải toán cực trị không đơn giản ph-ơng pháp giải kinh nghiệm Nó đòi hỏi ng-ời làm toán phải nhìn toán theo góc độ khác nhau, biết vận dụng kiến thức phù hợp với tình Sau đây, tác giả xin đ-ợc đ-a số ph-ơng pháp giải toán cực trị đ-ợc đúc rút từ kinh nghiệm giải toán : Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức Ph-ơng pháp xét biểu thức phụ Ph-ơng pháp đổi biến tìm cực trị biến Ph-ơng pháp chia khoảng để tìm cực trị Ph-ơng pháp dùng tam thức bậc hai Ph-ơng pháp tham biến Ph-ơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu Ph-ơng pháp giải toán cực trị với biến có điều kiện I.Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị VD1: Tìm GTNN A = x x2 + x2 12 x Giải: A = (1 x)2 + (2 x 3)2 = 2x + x x x = Đẳng thức xảy (1 2x)(2x 3) Lập bảng xét dấu: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn x 2x 2x - (1 2x)(2x 3) + - 0 + 0 + - x 2 Vậy GTNN A với x 2 Từ ta có (1 2x)(2x 3) VD2: Tìm GTNN hàm số f(x) = x + x + 3x + x 16 + 5x 25 Giải: Ta có: f(x) = ( x + x + 3x + x + 25 5x ) + x ( x 1) (2 x 4) (3 x 9) (4 x) (25 x) + x = 15 + x 15 Mặt khác ta có f(4) = 15 suy minf(x) = 15 VD3: Tìm GTNN S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2 + c2 0).Giá trị đạt đ-ợc nào? Giải: Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski ta có: ( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) (ax + by + cz)2 Do S = x2 + y2 + z2 P a b2 c2 S có giá trị bé xảy dấu = tức khác Smin = Khi P a b2 c2 aP bP cP x= 2 ; y = 2 ; z = 2 a b c a b c a b c VD4: Tìm GTLN của: a) A = x + b) B = x y z , hay nói cách a b c x + x y biết x + y = y2 x Giải: Điều kiện x 1, y Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Ta có x = 1.( x 1) 1.( x 1) x 1 x x x 2x y2 = 2.( y 2) Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.( x 1) x 1 x x x 2x y2 2.( y 2) y 2 y y 2y 2 Max B = x x 2 2 4 y y VD5: Tìm GTLN, GTNN A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 Giải: Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: A2 = 2 x 3 y x2 x y 2 2 = (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25 x y x y x y x y x y A2 = 25 Do A2 25 nên -5 A x y x y x y MinA = -5 x y x y x y MaxA = VD6: Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức (a x)(b x) x Khi đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: (a x )(b x ) ab(a b) x x ab ab x x x x Đối với hai số d-ơng ab x, ta có bất đẳng thức Cô-si: x ab ab x2 x ab x x Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Khi đó: (a x )(b x ) a b ab ( a b ) x Vậy giá trị nhỏ biểu thức ( a b ) đạt đ-ợc x ab VD7: Tìm giá trị lớn của: a) f ( x) (2 x 1)(3 5x) ; b) f ( x) (1 x) (1 x) ; x ; x x2 d) f ( x) ( x 3) c) f ( x) Giải: a) Do ab (a b) , nên ta có: 2 1 f ( x ) (2 x 1)(3 5x ) (5x )(3 5x ) 5x (3 5x ) 5 4 40 1 Vậy f(x) lớn x 40 20 b) f ( x) (1 x) (1 x) *) Nêú x < -1 x > f(x) *) Nếu -1 < x < 1 3x x x x f ( x ) (3 3x )(1 x )(1 x )(1 x ) 3 27 Vậy f(x) lớn x 16 x x c) f ( x ) Ta có: x 2 x 2 x suy x x 2 Vậy f(x) lớn x 2 x2 d) f(x) = Ta có: x 33 x ( x 2) 27 x f ( x ) 27 ( x 2) Vậy f(x) đạt giá trị lớn , x 27 4 VD8: Tìm giá trị d-ơng nhỏ 2x f ( x) x Giải: Do f(x) > nên x > ta có: f ( x ) x 3 2 x x x Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Vậy f(x) d-ơng bé x VD9: Cho số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức f ( x, y, z ) x y z Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có: (12 12 12 )( x y z ) x y z x y z y z x ( xy yz zx ) 2 Từ suy 3x y z xy yz zx 16 Suy f x, y, z 16 f x, y, z Vậy f x, y, z bé 16 , x y z 3 Bài tập đề nghị: Bài Tìm GTLN, GTNN của: A x y x y Bài Tìm GTNN của: A x2 x2 2x Bài Tìm GTLN, GTNN của: A 2x x2 Bài Tìm GTNN của: A = x + y biết x , y số d-ơng thoả mãn a b (a b số d-ơng) x y Bài Tìm GTLN của: A x y biết x y II.ph-ơng pháp xét biểu thức phụ VD1: Tìm GTLN, GTNN A= x2 Giải: Điều kiện: x Dễ thấy A Ta xét biểu thức: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn B= = x2 A x2 Ta có: x2 x2 MinB = x2 x MaxA = 3 MaxB = x2 x Khi minA = Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm cực trị A, A nên ta xét biểu thức phụ Các biểu thức phụ th-ờng xét -A, A2, A Trong ví dụ d-ới đây, ta A xét biểu thức phụ B sai khác với A số VD2: Tìm GTNN của: A= với < x nên A > Xét A2 ( x2 x 12 x2 x 3)2 Hiển nhiên A2 nh-ng dấu = không xảy ( A > ) Ta biến đổi A2 d-ới dạng khác: A2 ( x 2)(6 x) ( x 1)(3 x) ( x 2)(6 x)( x 1)(3 x) ( x 1)(6 x) (6 x) ( x 2)(3 x) (3 x) ( x 2)(6 x)( x 1)(3 x) ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x) ( x 2)(6 x)( x 1)(3 x) A2 Do A > nên minA = với x = Bài tập đề nghị: Bài TìmGTLN, GTNN của: A x 99 101 x Bài TìmGTLN, GTNN của: A 2x x2 Bài Tìm GTNN của: A x2 x x2 x Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn III Ph-ơng pháp đổi biến tìm cực trị biến VD1: Tìm GTLN, GTNN A= (x4 + 1) (y4 + 1) biết x, y > 0, x + y = 10 Giải: A= (x4 + 1) (y4 + 1) = x4 + y4 + x4y4 + Ta có x + y = 10 x2+ y2 = 10 2xy x4 + y4 + x2y2 = 100 40xy + 4x2y2 x4 + y4 = 100 40xy + 2x2y2 Đặt xy = t x4 + y4 = 100 40t + 2t2 Do A = 100 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101 a) Tìm GTNN A = t4 8t2 + 16 + 10t2 40t + 40 +45 = (t2 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 1 y x x 45 4 MinA = 45 t = Khi xy = , x + y = 10 nên x y nghiệm ph-ơng trình X2 - 10 X + =0 Tức x = 10 ,y= 10 2 Hoặc x = 10 ,y= 10 2 b) Tìm GTLN 2 x y 10 Ta có xy t (1) 2 Viết A d-ới dạng: A = t(t3 + 2t 40 ) + 101 125 , 2t 125 t3 + 2t 40 + 40 < t > nên A 101 Do (1) nên t3 Max A = 101 t = tức x = , y= 10 x = 10 , y = VD2: Tìm GTNN của: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn A x x x x Giải: Đặt x y A y y y y Suy minA = y x VD3: Tìm GTLN, GTNN của: A = x x y y biết x y Giải: Đặt x a, y b , ta có a, b 0, a b A a3 b3 a b a ab b2 a ab b2 a b 3ab 3ab Do ab nên A MaxA = a b x 0, y x 1, y a b Ta có: ab 1 ab 3ab 4 4 1 A a b x y 4 Bài tập đề nghị: Bài Tìm GTLN, GTNN của: x2 y x y M 10 x y x y với x, y Bài Tìm GTNN của: A 3x x2 Bài Tìm GTLN, GTNN của: A x xy y x xy y IV ph-ơng pháp chia khoảng để tìm cực trị VD1 Tìm GTLN A = x2 (3 x) với x Giải: a) Xét x Viết A d-ới dạng: A=4 x x (3 x) 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm x x , , x ta đ-ợc: 2 Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn VD2: Cho ph-ơng trình: m x2 m x m Xác định m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 Giải: Ph-ơng trình hai nghiệm x1, x2: a m ' m 3 m (*) Khi ph-ơng trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: m x1 x2 m x x m m Suy x1 x2 x1 x2 m m m2 m thỏa mãn (*) m Vậy với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu VD3: Xác định m để ph-ơng trình mx2 m x m có hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: x12 x2 Giải: Điều kiện để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 là: a m m ' m Khi ph-ơng trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: m x1 x2 m x x m m Ta có: x x x1 x2 x1 x2 2 2 Vậy với m m m 2 m m 2m thoả mãn điều kiện đầu VD4: Giả sử ph-ơng trình: ax2 bx c có hai nghiệm x1, x2 CMR hệ thức: b3 a2c ac2 3abc điều kiện cần đủ để ph-ơng trình có nghiệm bình ph-ơng nghiệm lại Giải: Theo giả thiết, ta đ-ợc: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn b S x1 x2 a P x x c a Xét biểu thức: P x1 x2 x x12 x1 x2 x12 x2 x13 x2 x1 x2 x12 x2 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 c c b3 c b b3 a 2c ac 3abc a a a a a a3 Vậy b3 a2c ac2 3abc hai thừa sốcủa P phải ng-ợc lại (đpcm) VD5: Giả sử ph-ơng trình: ax2 bx c có hai nghiệm x1, x2 CMR hệ thức: k ac kb2 k điều kiện cần đủ để ph-ơng trình có nghiệm k lần nghiệm lại Giải: Theo giả thiết, ta đ-ợc: b S x1 x2 a P x x c a Xét biểu thức: P x1 kx2 x2 kx1 x1 x2 k x12 x2 k x1 x2 x1 x2 k x1 x2 x1 x2 k x1 x2 b2 c c c k ac kb k 2 k a a a a2 a Vậy k ac kb2 hai thừa số P phảibằng ng-ợc lại (đpcm) III.Bài tập đề nghị: Bài Cho ph-ơng trình: x2 m x m2 3m Xác định m để ph-ơng trình: a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m c) Xác định m để x12 x2 20 Bài Cho ph-ơng trình: x2 m x m2 3m Xác định m để: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn a) b) c) d) Ph-ơng trình có hai nghiệm Tổng bình ph-ơng nghiệm ph-ơng trình Ph-ơng trình có hai nghiệm trị tuyệt đối Ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 Bài Cho ph-ơng trình: m x2 m x m Xác định m để: a) Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu b) Tổng bình ph-ơng nghiệm ph-ơng trình c) Ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 Bài Tìm m để ph-ơng trình x2 2mx có hai nghiệm x1, x2 Khi a) Tính theo m giá trị biểu thức: E x1 x2 F x1 x2 b) Xác định m cho x14 x2 32 2 x x c) Xác định m cho x2 x1 Bài Cho ph-ơng trình ax2 bx c Tìm hệ thức liên hệ a b để ph-ơng trình có nghiệm k lần nghiệm lại Bài toán Giải số toán hàm số I ph-ơng pháp Dạng 1: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua hai điểm A xA , yA , B xB , yB thuộc Parabol P : y ax2 bx c cho tr-ớc, ta thực theo b-ớc: B-ớc Giả sử ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB : y kx m B-ớc Ph-ơng trình hoành độ giao điểm AB P là: ax bx c kx m ax b k x c m B-ớc Ta có x A xB nghiệm ph-ơng trình theo định lí Viét, ta đ-ợc: k b x A xB a k ph-ơng trình (d) m x x c m A B a Dạng 2: Lập ph-ơng trình tiếp tuyến Parabol P điểm M xM , yM đ-ợc thực nh- cách thay xA xB xM Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn II Ví dụ minh họa VD1: Cho Parabol P có ph-ơng trình: P : y x Gọi A B hai điểm thuộc P có hoành độ lần l-ợt -1, Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB Giải: Cách 1: Cách giải thông th-ờng Từ giả thiết, ta đ-ợc A 1;1 , B 2; Ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB đ-ợc cho bởi: quaA(1;1) x y AB : AB : x y 11 quaB(2; 4) AB : Cách 2: áp dụng định lí Viét Giả sử ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB : y ax b Ph-ơng trình hoành độ giao điểm AB P là: x2 ax b x2 ax b Ta có xA xB nghiệm ph-ơng trình theo định lí Viét, ta đ-ợc: xA xB a a b xA xB b Vậy ph-ơng trình AB : y x VD2: Cho Parabol P có ph-ơng trình: P : y x2 A điểm thuộc P có hoành độ Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với P A Giải: Cách 1: Cách giải thông th-ờng Từ giả thiết, ta đ-ợc A 2;1 Giả sử ph-ơng trình tiếp tuyến với P A d : y ax b A (d ) 2a b b 2a (1) Ph-ơng trình hoành độ giao điểm d P là: x2 ax b x 4ax 4b Ta có, d tiếp xúc với P (2) có nghiệm kép ' 4a2 4b (2) (3) Từ (2) (3) ta đ-ợc a = b = -1 Vậy, ph-ơng trình tiếp tuyến d : y x Cách 2: áp dụng định lí Viét Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Giả sử ph-ơng trình tiếp tuyến với P A d : y ax b Ph-ơng trình hoành độ giao điểm d P là: x2 (*) ax b x 4ax 4b Ta có xA nghiệm kép (*) x1 x2 theo định lí Viét, ta đ-ợc: x1 x2 4a a b x1 x2 4b Vậy, ph-ơng trình tiếp tuyến d : y x III Bài tập đề nghị: Bài Cho Parabol P có ph-ơng trình: P : y x2 3x Gọi A B hai điểm thuộc Parabol P có hoành độ lần l-ợt a) Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB b) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với P A Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với P B Bài Cho Parabol P có ph-ơng trình: P : y x2 x c) Gọi A B hai điểm thuộc Parabol P có hoành độ lần l-ợt -2 a) Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB b) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với P A c) Lập ph-ơng trình tiếp tuyến với P B Bài toán Định lí Viét cho ph-ơng trình bậc ba bậc bốn ứng dụng I Hệ thức viét Hệ thức viét cho ph-ơng trình bậc ba Giả sử ph-ơng trình ax3 bx2 cx d a có ba nghiệm x1 , x2 , x3 Khi đó: b b b b x1 x2 x3 a 3x2 a x2 3a x1 x2 x3 a c c x1 x2 x2 x3 x3 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x1 a a d d x1 x2 x3 a x1 x2 x3 a Hệ thức viét cho ph-ơng trình bậc bốn Giả sử ph-ơng trình ax4 bx3 cx2 dx e a có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Khi đó: b x1 x2 x3 x4 a x x x x x x x x x x x x c 4 a x x x x x x x x x x x x d 4 a e x1 x2 x3 x4 a II ứng dụng Giải ph-ơng trình biết tính chất nghiệm Ta thực b-ớc: B-ớc 1: Dựa vào định lí Viét ta xác định đ-ợc nghiệm x0 ph-ơng trình B-ớc 2: Lựa chon hai h-ớng: H-ớng 1: Nếu ph-ơng trình không chứa tham số, biến đổi ph-ơng trình dạng x x0 g x nghiệm H-ớng 2: ph-ơng trình chứa tham số, thay x x0 vào ph-ơng trình tham số B-ớc Thử lại kết luận VD1: Giải ph-ơng trình 12 x3 x2 17 x Biết số nghiệm có hai nghiệm có tích -1 Giải: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 x1.x3 Khi đó: x1 x2 x3 1 x2 x2 2 Viết lại ph-ơng trình dạng: x x 2 x x x x x x x Vậy ph-ơng trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x 3 VD2: Xác định m để ph-ơng trình : x m x x 2m (1) Có ba nghiệm phân biệt, biết số nghiệm có hai nghiệm đối Giải: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 x1 x3 Khi đó: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn x1 x2 x3 m x2 m thay vào (1), ta đ-ợc: m m x2 m 2m m thay vào (1), ta đ-ợc: x1 x x x x x x x2 thỏa mãn x1 x3 x3 2 Vậy m = thỏa mãn điều kiện đầu Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Ta thực b-ớc: B-ớc 1: Thiết lập hệ thức Viét nghiệm ph-ơng trình (I) B-ớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) Chú ý: Biểu thức đối xứng nghiệm ph-ơng trình biểu thức có giá trị không thay đổi ta hoán vị nghiệm x12 x2 x32 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 b2 2ac a2 1 x1 x2 x3 b x1 x2 x3 x1 x2 x3 d VD: Giả sử ph-ơng trình: x3 x2 m có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Tính tổng x12 x2 x32 Giải: Theo giả thiết, ta có: x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 m x1 x2 x3 Khi đó: 2 x12 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 Tìm tham số để ph-ơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K Bài toán th-ờng đ-ợc giải ph-ơng pháp điều kiện cần đủ Ta thực theo b-ớc sau: B-ớc 1: Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm, ta có đ-ợc hệ thức Viét nghiệm (I) B-ớc 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I) điều kiện cho tham số B-ớc 3: Điều kiện đủ: VD: Xác định m để ph-ơng trình : x3 3mx2 3x 3m Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , thỏa mãn x12 x2 x32 15 Giải: Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ,khi đó: x1 x2 x3 3m x1 x2 x2 x3 x3 x1 x x x 3m Khi đó: 2 15 x12 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 9m2 m2 m Điều kiện đủ: Viết lại ph-ơng trình dạng x x x 3m x 3m g x x 3m x 3m Ta phải chứng minh với m g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức chứng minh: g 9m2 6m với m m0 g Vậy, m thỏa mãn điều kiện đầu Ph-ơng trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Để tìm điều kiện tham số cho ph-ơng trình ax3 bx2 cx d a (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, ta thực theo b-ớc: B-ớc 1: Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, đó: x1 x3 x2 x1 x2 x3 b b b thay vào (1), ta đ-ợc: 3x2 x2 a a 3a b b b a b c d 3a 3a 3a 2b3 9abc 27a d (2) Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng B-ớc 2: Điều kiện đủ: b Khi đó: 3a b b b 2b x1 x2 x3 x1 x3 x1 x3 x2 a 3a a 3a Từ (2) suy ph-ơng trình có nghiệm x2 Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Vậy điều kiện cần đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng 2b3 9abc 27a d Chú ý: Với toán tham số m, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể ph-ơng trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định ph-ơng trình cho có nghiệm phân biệt VD: Xác định m để ph-ơng trình (1) x 3x x m có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Giải: Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, đó: (*) x1 x3 x2 x1 x2 x3 3x2 x2 thay vào (1), ta đ-ợc: 11 m m 11 Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Điều kiện đủ: Với m = 11, ta đ-ợc: x1 12 x 3x x 11 x x x 11 x2 x3 12 2 thỏa mãn ( *) Vậy với m = 11 thỏa điều kiện đầu Ph-ơng trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Để tìm điều kiện tham số cho ph-ơng trình ax3 bx2 cx d a (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân, ta thực theo b-ớc: B-ớc 1: Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 x2 x1 x2 x3 b a c c x1 x2 x2 x3 x2 a a c c x2 x1 x2 x3 x2 thay vào (1), ta đ-ợc: a b x1 x2 x2 x3 x3 x1 c c c a b c d ac3 b3d b b b (2) Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn B-ớc 2: Điều kiện đủ: c b Từ (2) suy ph-ơng trình có nghiệm x2 Khi đó: c b c x2 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 b a a x2 x3 x2 Vậy điều kiện cần đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ac3 b3d Chú ý: Với toán tham số m, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể ph-ơng trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định ph-ơng trình cho có nghiệm phân biệt VD: Xác định m để ph-ơng trình x3 x2 m x m (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Giải: Điều kiện cần: Giả sử ph-ơng trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 x2 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 m x1 x2 x2 x3 x2 m x2 x1 x2 x3 m x2 m Thay vào (1), ta đ-ợc: m m m m m m m m 2m 15 m m Đó điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: Với m = -1 ta đ-ợc: x x x3 x2 không thỏa mãn Với m = 3, ta đ-ợc: x3 x2 x x x , không thỏa mãn Với m = -5, ta đ-ợc: x3 x2 x x x2 , không thỏa mãn Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Vậy không tồn m thỏa mãn điều kiện đầu ứng dụng giải hệ ph-ơng trình Đây ứng dụng để giải ph-ơng trình ẩn, cách sử dụng định lí Viét, việc chuyển hệ cho hai dạng: x y z A Dạng 1: xy yz zx B xyz C (I) Khi x, y, z nghiệm ph-ơng trình: (1) u3 Au Bu C áp dụng ph-ơng pháp biết ph-ơng trình bậc ba để giải (1) x y z t A xy xz xt yz yt zt B Dạng 2: xyz xyt xzt yzt C xyzt D Khi x, y, z, t nghiệm ph-ơng trình: (2) u Au3 Bu Cu D áp dụng ph-ơng pháp biết ph-ơng trình bậc bốn để giải (2) VD1: Giải hệ ph-ơng trình: x y z xy yz zx xyz (I) Giải: Ta có x, y, z nghiệm ph-ơng trình: u 2u u u u 3u u u u x 1& y 1& z x 1& y & z u x 1& y 1& z u x 1& y & z u x & y 1& z x & y 1& z Vậy hệ có nghiệm VD2: Giải hệ ph-ơng trình: x y z t xy xz xt yz zt xyz xyt xzt yzt xyzt (I) Giải: Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Ta có x, y, z nghiệm ph-ơng trình: u u 7u u u u u u u u u u Vậy hệ có 24 nghiệm III Bài tập đề nghị: Bài CMR x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm ph-ơng trình : ax4 bx2 c x1 x2 x3 x4 c x1 x2 x3 x4 a Bài Xác định a, b để ph-ơng trình: x3 ax b có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Bài Cho ph-ơng trình x3 ax2 bx c có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 CMR nghiệm lập thành cấp số cộng khi: 2a3 9ab 27c Bài Giải ph-ơng trình: x4 8x3 19 x2 3mx Biết ph-ơng trình có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 Bài Giải ph-ơng trình: x4 x3 3x2 8x 10 Biết ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu nh-ng giá trị tuyệt đối Bài Giải hệ ph-ơng trình: a) b) x y z 2 x y z xyz x x y z 2 x y z 3 x y z z Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Phần kết Trong thời gian không dài, với nỗ lực thân với giúp đỡ nhiệt tình quý thầy cô, bạn bè, thân xây dựng đ-ợc đề tài ph-ơng pháp tìm cực trị đại số - định lí Viét ứng dụng mang tính ứng dụng khả thi Mặc dù cố gắng song lần nghiên cứu đề tài, kinh nghiệm giảng dạy thân ch-a có nên tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để đề tài đ-ợc hoàn chỉnh Dạy học nghệ thuật, đòi hỏi ng-ời giáo viên phải say mê với nghề nghiệp, kiên trì, tận tuỵ với học sinh, mang đến cho em niềm say mê Toán học, tạo cho em có thói quen t- khả lập luận Bây ngồi giảng đ-ờng Đại học nh-ng ngày đứng bục giảng không xa xăm, -ớc mơ trở thành ng-ời giáo viên trở thành thực Qua đây, cho phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giáo khoa Toán - Tin, bạn lớp đặc biệt thầy giáo.Ths.NCS Nguyễn Quang Hoè trực tiếp h-ớng dẫn hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhận xét, đánh giá: Đồng Hới, ngày 13 tháng 12 năm 2008 Sinh viên thực Lê Thị Mai Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Một số tài liệu tham khảo Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ NXB Giáo dục Năm 2007 Toán nâng cao chuyên đề Đại Số 9.Vũ D-ơng Thuỵ NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Năm 2006 Một số vấn đề phát triển Đại Số 9.Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm 2005 Nâng cao phát triển Toán Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Năm 2006 Tuyển chọn đề Toán thi vào lớp 10 Huỳnh Quang Lâu.NXB Đại Học S- Phạm Năm 2008 Tuyển chọn đề Toán thi vào lớp 10 Nguyễn Thuý Mùi.NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Năm 2008 Tài liệu hội thảo bồi d-ỡng học sinh giỏi môn Toán cấp THCS Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Bình năm 2005 Giáo trình Đại số sơ cấp thực hành giải toán Hoàng Kỳ Hoàng Thanh Hà NXB Đại họ s- phạm Năm 2005 Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu http://NgocHung.name.vn Mục lục Phần Mở Đầu Error! Bookmark not defined Phần Nội Dung Error! Bookmark not defined Chuyên đề 1: Ph-ơng pháp tìm cực trị đại số Ch-ơng I: Cơ sở lý thuyết I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức II Các kiến thức th-ờng dùng Ch-ơng II: Ph-ơng pháp giải toán cực trị I Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị II Ph-ơng pháp xét biểu thức phụ III.Ph-ơng pháp đổi biến tìm cực trị biến IV.Ph-ơng pháp chia khoảng để tìm cực trị 10 V Ph-ơng pháp dùng tam thức bậc hai 11 VI.Ph-ơng pháp tham biến để tìm cực trị biểu thức 16 VII.Ph-ơng pháp giải toán cực trị biểu thức chứa dấu 19 VIII.Ph-ơng pháp giải toán cực trị đại số với biến có điều kiện 21 Ch-ơng III Một số sai lầm giải toán cực trị 24 Chuyên đề 2: Định lí Vi ét ứng dụng 31 Bài toán Tìm hai số biết tổng tích chúng 32 Bài toán Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm 34 Bài toán Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số 36 Bài toán Xét dấu nghiệm 37 Bài toán Tìm điều kiện tham số để nghiệm ph-ơng trình thoả mãn điều kiện K 41 Bài toán Giải số toán hàm số 44 Bài toán Định lí Viét cho ph-ơng trình bậc ba bậc bốn ứng dụng 46 Phần Kết 545 Một số tài liệu tham khảo 55 Hóy luụn truy cp http://NgocHung.name.vn cp nht mi ti liu