THCS Ngun Thị Thu - Vũng Liêm – Vĩnh Long 1. Chuyªn ®Ị : §a thøc Bài 1: Tính giá trò của biểu thức: a. A = 4 3 2 17 17 17 20x x x x− + − + tại x = 16. b. B = 5 4 3 2 15 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14. c. C = 14 13 12 11 2 10 10 10 . 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9 d. D = 15 14 13 12 2 8 8 8 . 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7. Bài 2: Tính giá trò của biểu thức: a. M = 1 1 1 650 4 4 2 . .3 315 651 105 651 315.651 105 − − + b. N = 1 3 546 1 4 2 . . 547 211 547 211 547.211 − − Bài 3: Tính giá trò của biểu thức: a. A = ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 x x y y x y− + − với x = 2; 1y = . b. M.N với 2x = .Biết rằng:M = 2 2 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . Bài 4: Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5: a. ( ) ( ) 2 2 2 65x x y y xy+ + − − + b. ( ) 2 2 75x y y x+ − + Bài 5: Tính giá trò của đa thức: ( ) ( ) 2 1 1x y y xy x y+ − − − biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − ; biết rằng 2x = a + b + c b. ( ) 2 2 2 2 4bc b c a p p a+ + − = − ; biết rằng a + b + c = 2p Bài 7: a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3. b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: ( ) ( ) M a a b a c= + + ; ( ) ( ) N b b c b a= + + ; ( ) ( ) P c c a c b= + + Bài 9: Cho biểu thức: M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M theo a, b, c, biết rằng 1 1 1 2 2 2 x a b c= + + . Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B. Giáo viên: Mai Văn Vinh 1 THCS Ngun Thị Thu - Vũng Liêm – Vĩnh Long b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Bài 12: Chứng minh rằng: a. 7 9 13 81 27 9− − chia hết cho 405. b. 2 1 2 12 11 n n+ + + chia hết cho 133. Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…, ( ) 1 2 n n + , … Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương. 2. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 1. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 1 2 n (a a . a )+ + + = = − + + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n a a . a 2(a a a a . a a a a . a a . a a ) ; 2. (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = a 3 ± b 3 ± 3ab(a ± b); (a ± b) 4 = a 4 ± 4a 3 b + 6a 2 b 2 ± 4ab 3 + b 4 ; 3. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) ; a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) ; a n – b n = (a – b)(a n – 1 + a n – 2 b + a n – 3 b 2 + + ab… n – 2 + b n – 1 ) ; 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 5 ) ; a 2k + 1 + b 2k + 1 = (a + b)(a 2k – a 2k – 1 b + a 2k – 2 b 2 – + a… 2 b 2k – 2 – ab 2k – 1 + b 2k ) ; II. B¶ng c¸c hƯ sè trong khai triĨn (a + b) n Tam gi¸c Pascal– §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®ỵc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triĨn (x + y)… n thµnh tỉng th× c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư lµ c¸c sè trong dßng thø n cđa b¶ng trªn. Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®ỵc sư dơng khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 vµ víi n = 5 th× : (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 10ab 4 + b 5 Giáo viên: Mai Văn Vinh 2 THCS Nguyờn Th Thu - Vng Liờm Vnh Long II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = TON Hẩ 2015- 2016 Cể CễNG MI ST Cể NGY NấN KIM CH 1: PHẫP NHN N THC - A THC TIT A.TểM TT Lí THUYT: 1.Quy tc nhõn n thc vi a thc: Mun nhõn n thc vi a thc ta nhõn n thc vi tng hng t ca a thc ri cng cỏc tớch vi A(B + C) = AB + AC 2.Quy tc nhõn a thc vi a thc: Mun nhõn mt a thc vi a thc, ta nhõn mi hng t ca a thc ny vi tng hng t ca a thc ri cng cỏc tớch vi (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD B.V D: *Vớ d 1: Thc hin phộp nhõn: a) (- 2x)(x3 3x2 x + 1) = - 2x4 + 3x3 + 2x2 2x b) (- 10x3 + 1 y - z )( xy) = 5x4y 2xy2 + xyz 5 *Vớ d 2: Tớnh giỏ tr ca biu thc: x(x y) + y(x + y) ti x = - v y = Ta cú: x(x y) + y(x + y) = x2 xy + xy + y2 = x2 + y2 Khi x = - 1 v y = 3, giỏ tr ca biu thc l: ( - )2 + 32 = 2 *Chỳ ý 1: Trong cỏc dng bi nh th, vic thc hin phộp nhõn v rỳt gn ri mi thay giỏ tr ca bin vo s lm cho vic tớnh toỏn giỏ tr biu thc c d dng v thng l nhanh hn *Chỳ ý 2: HS thng mc sai lm trỡnh by nh sau Ta cú: x(x y) + y(x + y) = x2 xy + xy + y2 = (- )2 + 32 = Trỡnh by nh th khụng ỳng, vỡ v trỏi l mt biu thc, cũn v phi l giỏ tr ca biu thc ti mt giỏ tr c th ca bin, hai bờn khụng th bng *Vớ d 3: Tớnh C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8 *Chỳ ý 3: Ly tha bc n ca mt n thc l nhõn n thc ú cho chớnh nú n ln tớnh ly tha bc n mt n thc, ta ch cn: - Tớnh ly tha bc n ca h s - Nhõn s m ca mi ch cho n *Vớ d 4: Chng t rng cỏc a thc sau khụng ph thuc vo bin: a) x(2x + 1) x2(x + 2) + (x3 x + 3) Ta cú: x(2x + 1) x2(x + 2) + (x3 x + 3) = 2x2 + x x3 2x2 + x3 x + = b) 4(x 6) x2(2 + 3x) + x(5x 4) + 3x2(x 1) Ta cú: 4(x 6) x2(2 + 3x) + x(5x 4) + 3x2(x 1) = 4x 24 2x2 3x3 + 5x2 4x + 3x3 3x2 = - 24 Kt qu l mt hng s, vy cỏc a thc trờn khụng ph thuc vo giỏ tr ca x *Vớ d 5: Tỡm x, bit: Giỏo viờn: Nguyn Quc Dng Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TON Hẩ 2015- 2016 Cể CễNG MI ST Cể NGY NấN KIM a) 5x(12x + 7) 3x(20x 5) = - 100 60x2 + 35x 60x2 + 15x = -100 50x = -100 x=-2 b) 0,6x(x 0,5) 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 0,6x2 0,3x 0,6x2 0,39x = 0,138 -0,69x = 0,138 x = 0,2 C.BI TP LUYN TP: *Bi 1: Thc hin cỏc phộp tớnh sau: a) 3x2(2x3 x + 5) = 6x5 3x3 + 15x2 b) (4xy + 3y 5x)x2y = 4x3y2 + 3x2y2 5x3y c) (3x2y 6xy + 9x)(d) - xy) = - 4x3y2 + 8x2y2 12x2y xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 yz) = - 5xyz2 + 6x2yz2 e) (x3 + 5x2 2x + 1)(x 7) = x4 2x3 37x2 + 15x f) (2x2 3xy + y2)(x + y) = 2x3 x2y 2xy2 + y3 g) (x 2)(x2 5x + 1) x(x2 + 11) = x3 5x2 + x 2x2 + 10x x3 11x = - 7x2 h) [(x2 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x y)] 2xy = - 12x2y3 + 2x3y2 + 16xy4 Bi 2: Chng minh cỏc ng thc sau: a) a(b c) b(a + c) + c(a b) = - 2bc VT = a(b c) b(a + c) + c(a b) = ab ac ab bc + ac bc = - 2bc = VP Vy ng thc c chng minh b) a(1 b)+ a(a2 1) = a(a2 b) VT = a ab + a3 a = a3 ab = a(a2 b)=VP Vy ng thc c chng minh c) a(b x) + x(a + b) = b(a + x) VT = ab ax + ax + bx = ab + bx = b(a + x) = VPVy ng thc c CM *Nhn xột: - chng minh ng thc ta cú th thc hin vic bin i biu thc v ny (thng l v phc hn) ca ng thc c biu thc bng biu thc v -Trong s trng hp , chng minh ng thc ta cú th bin i ng thi c v ca ng thc cho chỳng cựng bng biu thc th ba, hoc cng cú th ly biu thc v trỏi tr biu thc v phi v bin i cú kt qu bng thỡ chng t ng thc ó cho c chng minh TIT *Bi 3: Chng minh cỏc ng thc sau: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) = a3 + b3 + c3 3abc Ta cú : VT = a3 + ab2 + ac2 a2b abc a2c + a2b + b3 + bc2 ab2 b2c abc + a2c + b2c + c3 abc bc2 ac2 = a3 + b3 + c3 3abc = VP Giỏo viờn: Nguyn Quc Dng Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TON Hẩ 2015- 2016 Cể CễNG MI ST Cể NGY NấN KIM Vy ng thc c c/m b) (3a + 2b 1)(a + 5) 2b(a 2) = (3a + 5)(a + 3) + 2(7b 10) Ta cú: VT = 3a2 + 15a + 2ab + 10b a 2ab + 4b = 3a2 + 14a + 14b VP = 3a2 + 9a + 5a + 15 + 14b 20 = 3a2 + 14a + 14b Do ú VT = VP nờn ng thc c c/m *Bi 4: Cho cỏc a thc: f(x) = 3x2 x + v g(x) = x a)Tớnh f(x).g(x) b)Tỡm x f(x).g(x) + x2[1 3.g(x)] = Gii: a) f(x).g(x) = (3x2 x + 1)(x 1) = 3x3 3x2 x2 + x + x = 3x3 4x2 + 2x b) Ta cú: f(x).g(x) + x2[1 3.g(x)] = (3x3 4x2 + 2x ) + x2[1 3(x 1)] = 3x3 4x2 + 2x + x2(1 3x + 3) = 3x3 4x2 + 2x + x2 3x3 + 3x2 = 2x Do ú f(x).g(x) + x2[1 3.g(x)] = 2x = 2x = + 2x = 7 x= *Bi 5: Tỡm x, bit: a) 6x(5x + 3) + 3x(1 10x) = 30x2 + 18x + 3x 30x2 = 21x = x= b) (3x 3)(5 21x) + (7x + 4)(9x 5) = 44 15x 63x2 15 + 63x + 63x2 35x + 36x 20 = 44 79x = 79 x=1 c) (x + 1)(x + 2)(x + 5) x2(x + 8) = 27 (x2 + 3x + 2)(x + 5) x3 8x2 = 27 x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 x3 8x2 = 27 17x + 10 = 27 17x = 17 x = Giỏo viờn: Nguyn Quc Dng Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TON Hẩ 2015- 2016 Cể CễNG MI ST Cể NGY NấN KIM Dạng 1/ Thực phếp tính: -3ab.(a2-3b) (x2 2xy +y2 )(x-2y) (x+y+z)(x-y+z) 4, 12a2b(a-b)(a+b) 5, (2x2-3x+5)(x2-8x+2) Dạng 2:Tìm x 1/ 1 x ( x 4) x = 14 2 2/ 3(1-4x)(x-1) + 4(3x-2)(x+3) = - 27 3/ (x+3)(x2-3x+9) x(x-1)(x+1) = 27 Dạng 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức: 1/ A=5x(4x2-2x+1) 2x(10x2 -5x -2) với x= 15 2/ B = 5x(x-4y) -4y(y -5x) với x= 1 ; y= 2 3/ C = 6xy(xy y2) -8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) với x= ; y= 2 4/ D = (y2 +2)(y- ... Chuyên đề 3: phân tích đa thức thành nhân tử A.lí thuyết: 1. Phơng pháp đặt nhân tử chung AB+AC-BD=A(B+C-D) 2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. 3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử: Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phơng pháp khác phân tích thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với từng nhóm. 4. Phơng pháp tách: Ta có thể tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng phơng pháp khác để phân tích đợc. VD: 2x 2 -7xy+5y 2 =2x 2 -2xy-5xy+5y 2 =2x(x-y)-5y(x-y)= (x-y)(2x-5y) 5. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử: Ta thêm hoặc bớt cùng 1 hạng tử nào đó vào đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có dùng các phơng pháp khác để phân tích đợc. VD: a 4 +4= a 4 + 4a 2 +4 -4a 2 = (a 2 + 2) 2 - (2a) 2 =(a 2 +2+2a)(a 2 +2-2a) = (a 2 +2a+2)(a 2 -2a+2) 6. Phơng pháp đặt biến phụ: Trong 1 số trờng hợp để việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc thuận lợi ta phải đặt biến phụ thích hợp VD: Phân tích đa thức thành nhân tử. A=(x 2 +4x+8) 2 + 3x(x 2 +4x+8) + 2x 2 Đặt y = x 2 +4x+8 ta có : A= y 2 +3xy+2x 2 = y 2 + xy + 2xy +2x 2 = y(y+x) + 2x(y+x) =(x+y)(2x+y) A= (x 2 +5x+8)( x 2 +6x+8) = (x 2 +5x+8)(x+2)(x+4) Nói chung khi phân tích 1 đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phơng pháp trên và phải biết kết hợp chúng một cách hợp lý. Kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là duy nhất. http://violet.vn/tranthuquynh81 Chuyên đề 3: phân tích đa thức thành nhân tử b.bài tập áp dụng: Bài toán 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a). x 2 +11x+28 b). x 2 -8x+12. c). x 2 +x-20 d). x 2 -3x-10. Bài toán 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a). x 2 -13x+42 b). 6x 2 -11x-7. c). x 2 -7x-12 d).15 x 2 +29x-14. e). x 2 -6x+8 f). 9x 2 +6x 8. Bài toán 3: Cho B = 6 x 2 +7x-3. Tìm x để : a).B=0 ; b).B > 0 ; c). B < 0. Bài toán 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a).(x 2 +x) 2 +4x 2 +4x-12 b). x 3 +3x 2 -4 c).2x 3 -5x 2 +8x-3 c).x 3 - 4x 2 - 8x+8 d).x 2 (x 2 +4)- x 2 +4 e). x 2 (x+4) 2 - (x 2 +4) 2 - (x 2 - 1). Bài toán 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a).3x 2 -22xy-4x+8y+7y 2 +1 b).12x 2 +5x-12y 2 +12y-10xy-3. c).x 4 +6x 3 +11x 2 +6x+1 d).x 3 +3x 2 +6x+4. Bài toán 6: Tìm số nguyên msao CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan. Bài 1:Cho 1 2 2 & 2 3 5 23 2 x x b x a Q x x x P . Với những giá trị nào của a,b thì P=Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng. Giải: Điều kiện: .1,2 x Ta có: P=Q 1,2 2 3 2)2( 2 3 5 )1,2( 3 2 3 2 x x x baxbaax x x x x 2 1 52 02 1 b a ba ba a Bài 2:Cho số nguyên n, A= n 5 - n. a-Phân tích A thành nhân tử. b-Tìm n để A=0. c-CMR: A chia hết cho 30. Giải: a) A= n 5 - n = n.(n 4 -1) = n.(n-1).(n+1).(n 2 + 1) b) A=0 n = 0,1,-1. c) Theo Định Lý Fecma: 55)5(mod 55 Annnn (1). Lại có: 22)1( Ann (2) và: 33)1.().1( Annn (3). Vì 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2)&(3) suy ra )5.3.2(A (đpcm). Bài 3: CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3. Giải: Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vì vậy từ giả thiết x 2 + y 2 chia hết cho 3 .3, yx Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x 4 + 1) chia hết cho đa thức x 2 + px + q. Giải: Giả sử (x 4 + 1) = (x 2 + px + q).( x 2 + mx + n) Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ: q qp qn pm qn qpmn pm 1 1 1 0 0 2 Vậy có thể thấy các giá trị của p,q cần tìm là: q qp q 1 0 Bài 5:Cho đa thức: 1201547114)( 234 xxxxxA Zx . a)Phân tích A(x) thành nhân tử. b)Chứng minh đa thức A(x) chia hết 24. Giải: a).Ta có: 1201547114)( 234 xxxxxA 3 2 2 ( 2).( 12 47 60) ( 2).( 3).( 9 20) x x x x x x x x b).Ta có:A(x)= 24 2 )( 12014472)14).(1).(1( xxxxxx xB -Nếu x chia hết cho 4,x-14 chia hết cho 2 B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 1 thì x-1 chia hết cho 4,x+1 chia hết cho 2 B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 2 thì x-14 chia hết cho 4,x chia hết cho 2 B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 3 thì x + 1 chia hết cho 4,x-1 chia hết cho 2 B(x) chia hết cho 8. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có B(x) chia hết cho 8 (1). Mà tích của ba số nguyên liên tiếp thì chi hết cho 3 nên (x-1).x.(x+1) chia hết cho 3 B(x) chia hết cho 3 (2). Mà (3,8)=1 nên từ (1) và (2) suy ra B(x) chia hết cho 24. Vậy ta có đpcm. Bài 6:Tìm tất cả các số nguyên x để: x 2 + 7 chia hết cho x-2. Giải: Ta có: x 2 + 7 = (x-2).(x + 2) +11 chia hết cho x-2 khi và chỉ khi 11 chia hết cho x- 2. x-2=-1,-11,1,11. Từ đó ta dễ dàng tìm ra các giá trị x thỏa mãn bài ra. Bài 7: Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3). Giải: Gọi đa thức đã cho là F(x).Theo bài ra ta giả sử đa thức dư cần tìm là ax+b. Ta có: F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b. (trong đó A(x) là đa thức thương trong phép chia) Theo giả thiết và theo định lý Bơdu ta có: F(2)=2a +b=5 và F(3)=3a+b=7. Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a = 2, b = 1. Vậy đa thức dư là 2x+1. Bài 8: Cho biết tổng các số nguyên a 1 , a 2 , a 3 , a n chia hết cho 3.Chứng minh rằng: A(x) = 33 2 3 1 n aaa cũng chia hết cho 3. Giải: Theo định lý fecma ta có: Znnn )3(mod 3 . Áp dụng ta có: )3(mod 1 3 1 aa , )3(mod 2 3 2 aa , , )3(mod 3 nn aa . Suy ra: 33 2 3 1 n aaa )3(mod0)3(mod 21 n aaa Ta có đpcm. Bài 9:Chứng minh rằng (7.5 n2 +12.6 n ) luôn chia hết cho 19, với mọi số n tự nhiên. Giải: Ta có: A = 7.5 2n + 12.6 n = 7.25 n + 12.6 n . Ta có: )19(mod625)19(mod625 nn .Suy ra: )19(mod0)19(mod6.196.126.7 nnn A . Ta có đpcm. Bài 10: Phân tích thành nhân tử x 10 + x 5 + 1. Giải: Ta có: x 10 + x 5 + 1 = (x 2 + x + 1).(x 8 -x 7 + x 5 -x 4 + x 3 -x + 1). Trường THCS VINH THANH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO fx 570 MS CHUYÊN ĐỀ : ĐA THỨC A) MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC : Bài 1 : Cho F (x ) = 4 3 2 2 3 10 5 6x x x x− − + − . Các giá trị sau đây là nghiệm của F (x) ? a) x = -2 b) x = 5 c) x = -6 d) x = 3 Giải : Ta xử dụng phiếm Cale Ghi vào màn hình : 4 3 2 2 3 10 5 6x x x x− − + − Ấn 2 ALPHA X ^ 4 - ALPHA X^ 3 – 10 ALPHA X ^ 2 + 5 ALPHA X – 6 Ấn Cale màn hình xuất hiện X ? , Ta ấn – 2 = kết quả : 0 Ấn Cale màn hình xuất hiện X ? , Ta ấn 5 = kết quả : 644 Ấn Cale màn hình xuất hiện X ? , Ta ấn -6 = kết quả : 2844 Ấn Cale màn hình xuất hiện X ? , Ta ấn 3 = kết quả : 0 Vậy câu a , d đúng Bài 2 : Cho P ( x ) = 9 7 5 3 1 1 13 82 32 630 21 30 63 35 x x x x x− + − + Tính giá trị của P (x) khi x = -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 Giải : Ta có thể giải theo cách sau : x = -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 G án A -6 SH IFT STO A , ghi vào màn hình : A = A + 1 : 9 7 5 3 1 1 13 82 32 630 21 30 63 35 x x x x x− + − + Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : -5 ) ấn = kết quả : - 576 Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : -4 ) ấn = kết quả : 0 Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : -3 ) ấn = kết quả : 0 Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : -2 ) ấn = kết quả : 0 Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : -1 ) ấn = kết quả : 0 Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : 0 ) ấn = kết quả : 0 ……… Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : 4 ) ấn = kết quả : 0 Ấn = màn hình xuất hiện A = A + 1 ( kết quả : 5 ) ấn = kết quả : 576 V ậy P(-4) = P(-3) = P(-2) = P(-1) = P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0 P(-5) = -576 , P(5) = 576 Bài 3 : Cho A = 2 3 2 3 2 5 6 a b ac abc ab ac − + + Tính giá trị của A biết : Đỗ Kim Thach 1 Trường THCS VINH THANH a) a = 2,41 ; b = -3,17 ; c = 4 3 b) a = 1,123 ; b = 2,345 ; c = -3, 456 Giải : a) Ghi vào màn hình : 2 3 2 3 2 5 6 a b ac abc ab ac − + + Ấn ( 3 ALPHA A ^ 2 ALPHA B – 2 ALPHA A ALPHA C ^ 3 + 5 ALPHA A ALPHA B ALPHA C ) ÷ ( 6 ALPHA A ALPHA B ^ 2 + ALPHA A ALPHA C ) Ấn Cale màn hình xuất hiện A ? Ấn 2,41 = Ấn Cale màn hình xuất hiện B ? Ấn -3,17 = Ấn Cale màn hình xuất hiện C ? Ấn 4/3 = kết quả : -0,791753374 b) Ấn Cale màn hình xuất hiện A ? Ấn 1,123 = Ấn Cale màn hình xuất hiện B ? Ấn 2,345 = Ấn Cale màn hình xuất hiện C ? Ấn -3,456 = kết quả : 1, 690532096 Bài 4 : Tính giá trị của biểu thức A = 5 4 2 3 2 3 2 3 1 4 3 5 x x x x x x x − + − + − + + khi x = 1,8165 Giải : Ghi vào màn hình : 5 4 2 3 2 3 2 3 1 4 3 5 x x x x x x x − + − + − + + Ấn ( 3 ALPHA X ^ 5 -2 ALPHA X ^ 4+ 3 ALPHA X ^ 2 - ALPHA X + 1 ) ÷ ( 4 ALPHA X ^ 3 - ALPHA X ^ 2 + 3 ALPHA X + 5 ) Ấn Cale màn hình xuất hiện X ? , Ta ấn 1,8165 kết quả : 1.498465582 Bài 5 : Cho hàm số y = 4 3 2 5 3 1x x x x+ − + − . Tính y khi x = 1, 35627 Giải : Ghi vào màn hình : 4 3 2 5 3 1x x x x+ − + − Ấn ALPHA X ^ 4 + 5 ALPHA X ^3 – 3 ALPHA X ^ 2 + ALPHA X -1 Ấn Cale màn hình xuất hiện X ? , Ta ấn 1, 35627 kết quả : 10, 69558718 BÀI TẬP : 1) Cho P (x) = 5 3 2 6,723 CHUYÊN Đề Phân Tích đa thức thành nhân tử Đ1: PP đặt nhân tử chung Đ2: PP dùng hằng đẳng thức. (đã học trong SGK) Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt. Dạng1: f(x) = ax 2 + bx +c VD1: f(x) = x 2 + x - 6 C 1 , = x 2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x+ 3)(x - 2) C 2 , = x 2 - 9 + x + 3 =(x - 3)(x + 3) +(x + 3) =(x +3)(x - 2) C 3 , = (x 2 + 6x + 9)- 5x - 15 =(x + 3) 2 - 5(x + 3) =(x +3)(x + 3 - 5) =(x + 3)(x - 2) 1 1 1 C 4 , =x 2 + 2.x + - - 6 2 4 4 1 25 =(x + ) 2 - 2 4 1 5 1 5 =(x + - )(x + + ) 2 2 2 2 =(x - 2)(x - 3) C 5 , =x 2 - 4x + 4 + 5x - 10 =(x - 2) 2 + 5(x - 2) =(x - 2)(x - 2 + 5) =(x - 2)(x + 3) Nhận xét: * Mục đích làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. * Có nhiều cách tách hoặc thêm bớt hạng tử. * Cách 1 và cách 4 dể phát hiện. Tổng quát: f(x) = ax 2 + bx + c C 1 , Tách b = b 1 + b 2 Thoả mản b 1 .b 2 = a.c C 2 , B 1 , Đa f(x) về dạng: x 2 + bx + c b b b 2 B 2 , f(x) = x 2 + 2.x +( ) 2 - + c 2 2 4 b b 2 - 4c b 2 - 4c 1 = (x + ) 2 - (Nếu = m 2 ) 2 4 4 b b = (x + - m)(x + + m) 2 2 Chú ý: Nếu mọi (b 1 ,b 2 ) không thoả mãn b 1. b 2 = ac b 2 - 4c Hoặc không viết đợc dới dạng m 2 thì f(x) không pt đợc 4 VD 2 : Ptđt x 2 + 4x - 5 C 1 , = x 2 + 5x - x - 5 C 2 , = x 2 + 2.2x + 4 - 9 = x(x + 5) - (x + 5) = (x + 2) 2 - 3 2 = (x + 5)(x - 1) = (x + 5)(x - 1) PVD: f(x) = x 2 + 4x - 3 C 1 , Có ac = 1.(- 3) = -1.3 C 2 , = x 2 + 4x + 4 - 7 Nhng 1 + (-3) = -2 4 = b = (x + 2) 2 - 7 - 1 + 3 = 2 4 = b Số 7 không phải số chính phơng Nên f(x) không pt đợc trên Q Dạng2: f(x) là đa thức bậc cao (kết hợp với pp khác) Bài tập: Ptđt thành nhân tử: a, x 2 - 2x - 3 = (x 3)( x + 1) b, 4x 2 - 4x 3 = (2x 3)(2x + 1) c, 6x 2 - 11x + 3 = (3x 1)(2x 3) d, 2x 2 + 3x - 27 = (x 3)(2x + 9) e, 3x 2 - 8x + 4 = (x 2)(3x 2) g, 2x 2 -5xy + 3y 2 = (x 3y)(2x y) h, 2x 2 - 5xy - 3y 2 = (x 3y)(2x + y) i, 2x 2 + 5xy - 7y 2 = (2x + 7)(x y) Đ5: PP đổi biến. VD 1 : f(x) = x 4 - 8x 2 + 12 Đặt : x 2 = t f(t) = t 2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) Thay t = x 2 f(x) = (x 2 - 2)(x 2 - 6) VD 2 : f(x) = (x 2 +x) 2 + 4x 2 + 4x - 12 = (x 2 + x) 2 + 4(x 2 +x) - 12 Đặt x 2 + x = t f(t) = t 2 + 4t - 12 = ( t - 2)( t + 6) Thay t = x 2 + x f(x) = (x 2 + x - 2)(x 2 + x + 6) = (x + 2)(x - 1)(x 2 + x + 6) VD 3 : f(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) - 12 C 1 , Đặt x 2 + x = t f(t) = (t + 1)(t + 2) -12 = t 2 + 3t + 2 - 12 = t 2 + 5t - 2t - 10 = t(t + 5) - 2(t + 5) 2 = (t + 5)(t - 2) f(x) = (x 2 + x + 5)(x 2 + x - 2) = (x + 2)(x - 1)(x 2 + x + 5) C 2 , Đặt x 2 + x + 1 = y f(t) = t(t +1) - 12 = t 2 + t -12 = (t - 3)(t + 4) f(x) = (x 2 + x + 1 - 3)(x 2 + x + 1 + 4) = (x + 2)(x - 1)(x 2 + x + 5) Tổng quát: B 1 , Viết f(x) = f(g(x)) = f(t) Với t = g(x) B 2 Ptđt f(t) Thành nhân tử B 3 , Thay t = g(x) vào f(t), rồi pt f(x) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử a, (x 2 + 3x + 1) 2 + 2x 2 + 6x 13 = (x 2 + 3x + 1) 2 +2(x 2 + 3x + 1) 15 = t 2 + 2t 15 = (t + 5)(t 3) = (x 2 + 3x + 6) (x 2 + 3x - 2) b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x 2 + 10x)(x 2 + 10x + 24) +128 = t (t + 24) + 128 = t 2 + 24t + 128 = t 2 + 16t + 8t + 128 = (t + 16)(t + 8) = (x 2 + 10x + 16) (x 2 + 10x + 8) = (x + 8)(x + 2)( x 2 + 10x + 8) c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 = (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) 3 = t (t + 2) 3 = t 2 + 2t 3 = (t + 1) 2 4 = (t + 3)(t 1) = (x 2 + 5x + 7)(x 2 + 5x + 3) d, x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 C1, +++= 2 22 11 676 x x xxx + + += 7 1 6 1 2 22 x x x xx Đặt x x