Bài tập giải tích vi phân

BỘ MÔN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH B1 KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐHKHTN THHCM Chương Dãy số, chuỗi số A Bài tập mở đầu chuỗi số I Tìm 10 tổng riêng phần chuỗi Vẽ đồ thị dãy số hạng dãy tổng riêng hệ trục tọa độ Chuỗi hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ tìm tổng chuỗi Nếu phân kỳ giải thích 1 X nD1 X 12 5/n cos n  X p n n p nD1 nD1 Đặt an D X n2 C nD1 X 7nC1 10n nD1 X nD1 n.n C 2/ 2n 3n C a) Dãy fan g hội tụ hay không X b) Chuỗi an hội tụ hay không nD1 a) Giải thích khác biệt n X iD1 b) Giải thích khác biệt n X iD1 n X aj j D1 p n X aj iD1 II Xác định chuỗi hình học hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ tính tổng nC1 à A Bài tập mở đầu chuỗi số 16 10 C C C 4C 11 10 C 0:4 64 C 27 C 16 15 13 6.0:9/n 0:08 C 16 17 1 X nD1 10n 9/n X p 2/n nD0 X n 3nC1 nD0 nD1 14 nD1 12 C 0:5 C 0:125 C 0:03125 C X X 3/n 4n 18 1 X en 3n nD1 III Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ, tính tổng chuỗi 1 1 19 C C C C C 12 15 27 X n2 C ln 2n2 C nD1 2 20 C C C C C C 27 81 243 729 28 X nD1 C X n 21 3n nD1 29 X 30 kD1 X Án Ák kD0 X k.k C 2/ 22 .k C 3/2 ! cos 1/k kD0 X C 2n 23 3n 31 nD1 X arctan n nD1 X C 3n 24 2n 32 nD1 à  X C 5n n nD1 25 X p n à  X 1 33 C en n.n C 1/ nD1 26 X nD1 n Œ.0:8/ nD1 n 0:3/  X en 34 n2 nD1 Chương Dãy số, chuỗi số IV Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ cách triệt tiêu cặp số hạng tổng riêng phần sn để rút gọn Nếu chuỗi hội tụ tính tổng chuỗi 35 X nD2 36 X n2 ln nD1 37 X nD1 38 1  X nD1 n nC1 39 X cos n e 1=n cos n C 1/2 e 1=.nC1/ Á nD1 n.n C 3/ 40 X nD2 n3 n 41 Cho x D 0:999999:::: a) x < hay x D 1? b) Dùng tổng chuỗi hình học để tìm x c) Có biểu diễn thập phân đại diện cho số 1? d) Những số có biểu diễn thập phân? 42 Cho dãy định nghĩa a1 D 1; an D Tính X n/an an nD1 B Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi I Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ 1 X p n X n5 nD1 nD1 X nD1 X nD1 II Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ 2n C 1/3 p nC4 X nD1 X nD1 n2 n C1 n2 e n3 à B Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi X p nD1 X n n 17 0:9999 : 1 1 11 C C C C C 1 1 C C C 12 C C 11 14 17 p X nC4 13 n2 nD1 nD1 15 X nD1 16 18 X nD1 1 1 C C C C C 27 64 125 1 1 10 1C p C p C p C p C 2 3 4 5 14 X ln n : n3 nD1 nD3 X n2 : n3 C 1 : n2 C X 3n : n2 2n 19 X nD2 20 X nD2 : n2 C 6n C 13 : n ln n : n.ln n/2 X e 1=n 21 : n2 nD1 X n2 : 22 en nD3 23 X nD1 24 nD3 n2 : C n3 n4 n : C1 X nD1 III Giải thích Tiêu chuẩn Tích phân áp dụng để xác định chuỗi hội tụ hay không X cos n/ 25 p n nD1 X cos2 n : 26 n2 C nD1 IV Tìm giá trị p để chuỗi hội tụ 27 X nD2 28 X nD3 : n.ln n/p 29 : n ln nŒln ln n/p 30 X n.1 C n2 /p : nD1 X ln n : np nD1 Chương Dãy số, chuỗi số C Bài tập tiêu chuẩn Leibnitz (chuỗi đan dấu) I Kiểm tra hội tụ hay phân kỳ chuỗi 2 2 C C p 2 C 11 C 1 p Cp 10 C 1 p Cp X 1/n 2n C 11 X 1/nC1 ne n nD1 12 X 1/n 2=n 1/n e nD1 13 X arctan n nD1 nD1 X 1/n ln n C 4/ 14 X sin n C 21 / p 1C n nD0 nD1 X nD1 X 3n 1/n 2n C 1/ p nD1 X n n X n cos n 15 2n nD1 16 n3 C n 1/ e n nD1 17 10 nD1 p n 1/ 2n C X nC1 nD1 X nD1 nD1 X X n 1/ n2 n3 C 18 X 1/n sin / n 1/n cos / n 1/n nD1 19 X nn n! p 1/n n C p n/ nD1 II Chứng minh chuỗi hội tụ Ta cần cộng số hạng chuỗi để tìm tổng với sai số tương ứng X ˇ 1/nC1 ˇˇ ˇ < 0:00005 20 , sai số n6 nD1 X ˇ 1/n ˇˇ ˇ < 0:0001 21 , sai số n5n nD1 X ˇ 1/n ˇˇ ˇ < 0:000005 22 , sai số 10n n! nD0 23 X nD1 1/n ne n ˇ ˇ , ˇsai sốˇ < 0:01 D Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert III Xấp xỉ tổng chuỗi đến chữ số thập phân X 1/n 24 .2n/! X 1/n n2 26 10n X 1/nC1 25 n6 X 1/n 27 3n n! nD1 nD1 nD1 D nD1 Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert 1-27 Cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện, hay phân kỳ? X 2/n n2 X 1/n e 1=n 10 n3 nD1 11 nD1 X X 1/ n n C4 X 1/n 5n C 12 nD1 13 nD0 X nD0 X kD1  Ãk k X nD1 16 X X X n 1:1/n n4 n 1/ p n3 C nD1 26 1:3 1:3:5 C 3! 5! 21 n10 10/nC1 17 nD1 22 cos n n2=3 23 n2 C 2n2 C 24 Ã5n 1C n Ãn2 X 2n/! n!/2 X n100 100n n! nD1 X 2n 25 n! nD1 nD1 :.2n 2n 1/! 1:3:5:7: 1/ C !n 2n nC1 nD1 n! nn C 1/n  X nD1 X cos n =3 18 n! 1:3:5:7 C 7!  X nD2 X 1/n ln n nD1 X nD1 10n n C 1/42nC1 nD1 nD1 1/n 20 X 1/n arctan n 14 n2 15 X n! 100n nD1 X nD1 3/n 2n C 1/! nD1 X sin 4n 4n nD1 nD1 nD1 X n n5 n 1 X 2/n 19 nn Chương Dãy số, chuỗi số 27 2:6 2:6:10 2:6:10:14 C C C C 5:8 5:8:11 5:8:11:14 28-57 Kiểm tra hội tụ phân kỳ chuỗi sau 28 X n C 3n nD1 29 X 2n C 1/n n2n 38 X 1/n nD1 31 X nD1 n nC2 n 1/ n C2 n X n2 2n 32 5/n 39 33 2n C nD1 X 34 p n ln n nD1 35 X kD1 36 X 2k k! k C 2/! k e k 37 n e n3 49 k k2 C 1 X sin 2n 41 C 2n 51 3kC1 52 kk 53 X 44 2n 3n nD1 X 1/n 45 p n nD2 n ln n 1/ p X X n sin.1=n/ X n! en X n2 C 5n nD1 nD1 46 tan.1=n/ nD1 X n2 C 43 n3 C 1 X X 2C sin k nD1 nD1 kD1 X nD1 nD1 42 1/n cos.1=n2 / kD1 50 nD1 nD1 E p X 2k X nD1 X 3n n2 40 n! kD1 X X kD1 nD1 X 48 nD1 nD1 30 à  X 1 C 3n n3 n 1/ 1/ 54 kD1 k C 1/3 X e 1=n 55 n2 nD1 X 1/n 56 cosh n nD1 p k 47 p k k C 1/ kD1 X k ln k 57 X p j 1/ j D1 j j C5 Bài tập chuỗi luỹ thừa 1-26 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi 1 X nD1 1/n nx n X 1/n x n p n nD1 X nD1 xn 2n E Bài tập chuỗi luỹ thừa X 1/n x n n2 12 nD1 X xn nD0 X nn x n 14 n2 x n 1/n n X 10n x n n3 nD1 X 3/n n p x n n X xn 10 n3n nD1 1/n nD2 1/n X 3n x C 4/n 15 p n 21 X a/n , với 1/n n!.2x nD1 22 X nD1 X n x C 1/n 16 4n 23 n2 x n 2n/ nD1 17 X x nD1 2/n 24 nn 25 X n x bn 26 nD1 X nD1 X 2x 1/n 18 p 5nn 19 X 5x nD1 a/n , với X nD1 nD1 xn 4n ln n X bn x ln n nD2 b>0 nD1 nD1 X x 2n C 3/n nD0 nD1 11 .x n2 C 2/n nD0 nD1 X 20 X X b>0 x 2nC1 2n C 1/! 1/n nD0 13 n! X X nD1 4/n n3 x 2n n.ln n/2 xn 2n 1/ n!x n 2n 1/ Chương Hàm số liên tục Cho đồ thị hàm số f hình a) Tìm điểm gián đoạn f giải thích b) Từ điểm tìm câu a/, xác định điểm mà hàm số liên tục bên trái bên phải không liên tục hai bên Từ đồ thị hàm số g cho bên dưới, tìm khoảng mà hàm số g liên tục Vẽ đồ thị minh hoạ hàm số f liên tục thoả mãn khẳng định gián đoạn sau a) Gián đoạn liên tục bên phải b) Gián đoạn liên tục bên trái liên tục bên phải 14 Chương Đạo hàm a) Mô tả so sánh tốc độ chạy hai vận động viên b) Dựa vào đồ thị, ước đoán thời điểm khoảng cách vận động viên lớn nhất? c) Ước đoán xem thời điểm họ có vận tốc? Nếu bóng ném thẳng đứng lên không trung với vận tốc 40f t=s, độ cao (đơn vị feet) sau thời gian t giây cho y D 40t 16t Tìm vận tốc t D Nếu đá ném thẳng đứng lên cao hành tinh Hoả với vận tốc 10m=s, chiều cao (tính mét) sau t giây cho H D 10t 1:86t a) b) c) d) Tìm vận tốc đá sau giây Tìm vận tốc đá t D a Trong đá quay lại chạm mặt đất? Vận tốc đá đá chạm mặt đất? Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị y D g.x/ x D g.5/ D g 5/ D Nếu phương trình tiếp tuyến tới đường cong y D f x/ điểm a D y D 4x 5, tìm f 2/ f 2/ Nếu đường tiếp tuyến y D f x/ 4; 3/ qua điểm 0; 2/, tìm f 4/ f 4/ 10 Vẽ đồ thị hàm f mà f 0/ D 0, f 0/ D 3, f 1/ D 0, f 2/ D 11 Vẽ đồ thị hàm g mà g.0/ D g.2/ D g.4/ D 0, g 1/ D g 3/ D 0, g 0/ D g 4/ D 1, g 2/ D 1, lim g.x/ D lim g.x/ D x!5 x! 1C 12 Nếu f x/ D 3x x , tìm f 1/ dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường cong y D 3x x điểm 1; 2/ 13 Nếu g.x/ D x 2, tìm g 1/ dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường cong y D x điểm 1; 1/ 14 15 5x , tìm F 2/ dùng để tìm phương trình tiếp tuyến C x2 5x đường cong y D điểm 2; 2/ C x2 b) Minh hoạ phần (a) cách vẽ đồ thị đường cong tiếp tuyến hình a) Nếu F.x/ D a) Nếu G.x/ D 4x x , tìm G a/ dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường cong y D 4x x điểm 2; 8/ 3; 9/ b) Minh hoạ phần (a) cách vẽ đồ thị đường cong tiếp tuyến hình 16 Tìm f a/ vớif định B Bài tập định lý Rolle, Lagrange a) f x/ D 3x 4x C b) f t/ D 2t C t 15 c) f t/ D 2t C t C3 d) f x/ D x 17 Lượng dưỡng khí hoà tan nước phụ thuộc vào nhiệt độ nước (vì ô nhiễm nhiệt ảnh hưởng hàm lượng oxy nước) Đồ thị sau cho thấy độ hoà tan S dưỡng khí thay đổi hàm theo nhiệt độ T nước a) Ý nghĩa đạo hàm S T / gì? Đơn vị gì? b) Ước tính giá trị S 16/ giải thích Adapted from Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; by Charles E Kupchella, c 1989 Reprinted by permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ 18 Đồ thị sau cho thấy ảnh hưởng nhiệt độ T tốc độ bơi tối đa ổn định S cá hồi Soho a) Ý nghĩa đạo hàm S T / gì? Đơn vị gì? b) Ước tính giá trị S 15/ S 25/, giải thích chúng B Bài tập định lý Rolle, Lagrange - Hãy kiểm tra hàm số thoả mãn ba giả thiết Định lý Rolle khoảng cho trước Sau tìm tất số c thoả mãn kết luận Định lý Rolle 16 Chương Đạo hàm 12x C 3x ; Œ1; 3 f x/ D f x/ D x p x2 6x C 2; Œ0; 3 x; Œ0; 9 f x/ D cos 2x; Œ =8; =8 f x/ D x Cho f x/ D x 2=3 Chứng tỏ f 1/ D f 1/ không tồn số c khoảng 1; 1/ cho f c/ D Tại điều không mâu thuẫn với Định lý Rolle? Cho f x/ D tan x Chứng tỏ f 0/ D f / không tồn số c khoảng 0; / cho f c/ D Tại điều không mâu thuẫn với Định lý Rolle? - Hãy kiểm tra hàm số thoả mãn ba giả thiết Định lý giá trị trung bình khoảng cho trước Sau tìm tất số c thoả mãn kết luận Định lý giá trị trung bình p f x/ D 1=x; Œ1; 3 f x/ D x; Œ0; 1 - 10 Tìm số c thoả mãn Định lý giá trị trung bình khoảng cho trước Vẽ đồ thị hàm số, đường cát tuyến qua hai điểm đầu mút đường tiếp tuyến c; f c// Đường cát tuyến đường tiếp tuyến có song song không? p f x/ D x; Œ0; 4 10 f x/ D x 2x; Œ 2; 2 11 Cho f x/ D x 3/ Chứng tỏ không tồn c khoảng 1; 4/ cho f 4/ f 1/ D f c/.4 1/ Tại điều không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình? 12 Cho f x/ D j2x 1j Chứng tỏ không tồn c cho f 3/ f 0/ D f c/.3 0/ Tại điều không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình? 13 - 14 Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm thực 13 2x C cos x D 15 Chứng tỏ phương trình x Œ 2; 2 14 2x sin x D 15x C c D có nhiều nghiệm đoạn 16 Chứng tỏ phương trình x C 4x C c D có nhiều hai nghiệm 17 C a) Chứng tỏ đa thức bậc có nhiều nghiệm thực b) Chứng tỏ đa thức bậc n có nhiều n nghiệm thực Bài tập vi phân, hàm hợp hàm ẩn Tính vi phân C Bài tập vi phân, hàm hợp hàm ẩn a) f x/ D 3x 2 cos x p b) f x/ D x sin x c) f x/ D sin x C cot x d) y D sec x csc x 17 j) y D sin  cos  sec  k) f  / D C sec  cos x l) y D sin x t sin t m) y D 1Ct sec x n) y D tan x o) h. / D  csc  cot  e) y D sec  tan  f) g.t/ D sec t C tan t g) y D c cos t C t sin t h) y D u.a cos u C b cot u/ x i) y D tan x p) y D x sin x tan x Viết hàm sau theo dạng f g.x// (Xác định hàm bên u D g.x/ hàm nên y D f u/) Sau tìm đạo hàm dy=dx p p a) y D C 4x c) y D tan x e) y D sin x p b) y D 2x C 5/4 d) y D sin.cot x/ f) y D sin x Tìm đạo hàm hàm sau: F.x/ D x C 3x F.x/ D 4x p F.x/ D f x/ D f z/ D f t/ D 2/5 1/4 2t C 1/ !3 x2 C 17 y D x2 s s2 C 18 f s/ D s2 C 16 F.t/ D 3t x /100 2x 1 C sec x/2 z2 p C1 19 y D sin.x cos x/ x 20 f x/ D p 3x r z 21 F.z/ D zC1 C tan t y D cos.a3 C x / 10 y D a3 C cos3 x 22 G.y/ D 11 y D x sec kx 12 y D cot n 13 f x/ D 2x 23 y D p 3/ x C x C 1/ 14 g.x/ D x C 1/3 x C 2/6 15 h.t/ D t C 1/2=3 2t 1/3 y 1/4 y C 2y/5 r r2 C cos x 24 y D sin x C cos x p 25 y D sin C x 18 Chương Đạo hàm  26 F.v/ D v v C1 Ã6 27 y D sin.tan 2x// 29 y D sec2 x C tan2 x x  cos 2x 31 y D C cos 2x r t 32 f t/ D t C4 x2 C b2/ 35 y D Œx C 3x/5 3 36 y D sin.sin.sin x// q p 37 y D x C x r q p 38 y D x C x C x 28 y D sec2 m / 30 y D x sin p 34 y D ax C Ã4 39 g.x/ D 2r sin r x C n/p 40 y D cos4 sin3 x/ p 41 y D cos sin.tan x/ 33 y D cot2 sin  / 42 y D Œx C x C sin2 x/3 4 Tìm công thức xác dy=dx (dùng công thức hàm ẩn) biết : 43 x C y D p p 44 x C y D 51 cos x sin y D Á Á 52 y sin x D x sin y 45 x C xy 53 tan x=y/ D x C y p 54 x C y D C x y p 55 xy D C x y 46 2x C x y y2 D xy D 47 x x C y/ D y 3x y/ 48 y C x y D C x y 56 x sin x C y sin y D 49 y cos x D x C y 57 y cos x D C sin xy/ 50 cos xy/ D C sin y 58 tan x y/ D y C x2 59 Dùng vi phân ẩn để tìm công thức đường tiếp tuyến đường cong điểm cho trước a) y sin 2x D cos 2y; =2; =4/ b) sin.x C y/ D 2x 2y; ; / c) x C xy C y D 3; 1; 1/ (ellip) 60 d) x C 2xy y C x D 2; 1; 2/ (hyperbola) Á2  à e) x Cy D 2x C 2y x ; 0; (cardioid) a) Đường cong với phương trình y D 5x x gọi kampyle of Eudoxus Tìm phương trình tiếp tuyến đường cong điểm 1; 2/ D Bài tập ứng dụng đạo hàm 19 b) Vẽ đồ thị đường cong tiếp tuyến 61 a) Đường cong với phương trình y D x C3x gọi Tschirnhausen cubic Tìm phương trình tiếp tuyến đường cong điểm 1; 2/ b) Tìm điểm đường cong có tiếp tuyến nằm ngang c) Vẽ đồ thị đường cong tiếp tuyến 62 Tìm công thức xác y 00 a) 9x C y D D b) p p xC yD1 Bài tập ứng dụng đạo hàm Mỗi cạnh hình vuông tăng với tỷ lệ cm=s Tỷ lệ diện tích hình vuông tăng lên diện tích hình vuông 16 cm2 ? Chiều dài hình chữ nhật tăng với tỷ lệ cm=s chiều rộng tăng với tỷ lệ cm=s Khi chiều dài 20 cm chiều rộng 10 cm, diện tích hình chữ nhật tăng lên nhanh nào? Một thùng hình trụ với bán kính m đổ đầy nước với tốc độ m3 /phút Chiều cao nước tăng nhanh nào? Bán kính hình cầu tăng với tỷ lệ mm=s Thể tích tăng nhanh đường kính 80 mm? p Giả sử y D 2x C 1, x y hàm số t a) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt x D b) Nếu dy=dt D 5, tìm dx=dt x D 12 Giả sử 4x C 9y D 36, x y hàm số t 2p a) Nếu dy=dt D , tìm dx=dt x D y D 3 2p b) Nếu dx=dt D 3, tìm dy=dt x D y D Nếu x Cy Cz D 9, dx=dt D dy=dt D 4, tìm dz=dt x; y; z/ D 2; 2; 1/ Một hạt chuyển động dọc theo hyperbol xy D Khi đến điểm 4; 2/, toạ độ y giảm với tốc độ cm=s Toạ độ x điểm thay đổi nhanh thời điểm đó? 9-12 a) Chỉ đại lượng nêu toán b) Ẩn số gì? c) Vẽ hình minh họa cho tình thời điểm t 20 Chương Đạo hàm d) Viết phương trình liên quan tới đại lượng e) Kết thúc giải vấn đề Một máy bay bay theo chiều ngang độ cao dặm, tốc độ 500 dặm/giờ, bay thẳng qua phía trạm radar Tìm tốc độ tăng cự ly máy bay trạm máy bay cách trạm dặm 10 Nếu cầu tuyết tan chảy cho diện tích bề mặt giảm với tốc độ cm2 = phút, tìm tốc độ giảm đường kính đường kính 10 cm 11 Một đèn đường đặt cột điện cao 15-ft Một người đàn ông cao ft từ cột với tốc độ ft/s theo hướng thẳng Bóng người đàn ông di chuyển nhanh ông ta cách cột 40 ft? 12 Vào buổi trưa, tàu A cách 150 km phía tây tàu B Tàu A di chuyển phía đông với tốc độ 35 km/h tàu B di chuyển phía bắc với tốc độ 25 km/h Khoảng cách hai tàu thay đổi nhanh vào lúc 4:00 PM? 13 Hai xe bắt đầu di chuyển từ điểm Một phía nam với tốc độ 60 mi/h lại di chuyến phía tây với tốc độ 25 mi/h Khoảng cách hai xe tăng lên mức hai sau đó? 14 Một đèn chiếu mặt đất chiếu lên tường cách 12 m Nếu người đàn ông cao m từ đèn chiếu đến nhà với tốc độ 1:6 m/s, chiều dài bóng tường giảm nhanh ông ta cách m từ nhà? 15 Một người đàn ông bắt đầu phía bắc với vận tốc ft/s từ điểm P Năm phút sau, người phụ nữ bắt đầu phía nam với vận tốc ft/s từ điểm 500 ft phía đông P Ở tốc độ hai người di chuyển xa 15 phút sau người phụ nữ bắt đầu di chuyển? 16 Một sân bóng chày hình vuông với chiều dài cạnh 90 ft Một vận động viên bóng chày đánh vào bóng chạy mức với tốc độ 24 ft/s a) Khoảng cách so với mức hai giảm với tốc độ mức thứ nhất? b) Khoảng cách so với mức thứ ba tăng với tốc độ thời điểm? D Bài tập ứng dụng đạo hàm 21 17 Độ cao tam giác gia tăng với tốc độ cm/phút diện tích tam giác gia tăng với tốc độ cm2 /phút Cạnh ứng với chiều cao tam giác thay đổi với tốc độ độ cao tam giác 10 cm diện tích 100 cm2 ? 18 Một thuyền kéo vào bến tàu sợi dây gắn vào mũi thuyền qua ròng rọc bến tàu, mà cao m so với mũi thuyền Nếu sợi dây kéo vào với tốc độ m/s, thuyền tiến gần đến bến tàu nhanh cách bến tàu m? 19 Vào buổi trưa, tàu A cách 100 km phía tây tàu B Tàu A di chuyển phía nam với tốc độ 35 km/h tàu B di chuyển phía bắc với tốc độ 25 km/h Khoảng cách hai tàu thay đổi nhanh vào lúc 4:00 PM? 20 Một hạt di chuyển dọc theo đường cong y D sin x=2/ Khi hạt qua điểm ; 1/, p toạ độ x tăng với tốc độ 10 cm/s Khoảng cách từ hạt tới nguồn thay đổi nhanh lúc này? 21 Nước bị rò rỉ khỏi bể hình nón ngược với tốc độ 10:000 cm3 /phút lúc nước bơm vào bể với tốc độ không đổi Bể có chiều cao m đường kính phía m Nếu mực nước tăng với tốc độ 20 cm/phút chiều cao mực nước m, tìm tốc độ nước bơm vào bể 22 Một máng dài 10 f t phần đầu phần cuối có hình dạng tam giác cân cạnh bên f t có chiều cao f t Nếu máng bơm đầy nước với tốc độ 12 f t =phút, mức nước dâng cao nhanh nước sâu inch? 23 Một máng nước dài 10 m, mặt cắt ngang có hình dạng hình thang cân đáy rộng 30 cm, đáy rộng 80 cm, có chiều cao 50 cm Nếu máng bom đầy nước với tốc độ 0:2 m3 /phút Mực nước tăng lên nhanh nước sâu 30 cm? 24 Một hồ bơi rộng 20ft, dài 40 ft, sâu ft cuối vùng cạn ft sâu điểm sâu Một mặt cắt ngang thể hình Nếu hồ bơi bơm đầy với tốc độ 0:8 f t /phút Mức nước dâng cao nhanh (tốc độ dâng) mực nước cách đáy chỗ sâu ft? 22 Chương Đạo hàm E Bài tập xấp xỉ đa thức Taylor a) Tìm đa thức Taylor đến bậc f x/ D cos x a D Vẽ đồ thị f đa thức đồ thị b) Đánh giá f đa thức x D =4; =2; c) Bình luận hội tụ đa thức f a) Tìm đa thức Taylor đến bậc f x/ D 1=x a D Vẽ f đa thức đồ thị b) Tính f đa thức 0:9; 1:3 c) Bình luận hội tụ đa thức f 3-10 Tìm đa thức Taylor T3 x/ cho hàm f a Vẽ f T3 x/ đồ thị f x/ D 1=x; aD2 f x/ D ln x; f x/ D x C e x f x/ D x cos x; f x/ D cos x; f x/ D e x ; aD0 a D =2 sin x; aD0 aD1 f x/ D xe 2x 10 f x/ D tan ; x/; aD0 aD0 aD1 11-12 Sử dụng CAS để tìm đa thức Taylor Tn a, bậc n D 2; 3; 4; Vẽ đa thức f đồ thị p 11 f x/ D cot x; a D =4 12 f x/ D C x ; a D 13-22 a) Xấp xỉ f đa thức Taylor bậc n a b) Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để ước lượng độ xác xấp xỉ f x/ Tn x/ x nằm đoạn cho trước c) Kiểm tra kết phần b/ đồ thị jRn x/j p 13 f x/ D x; a D 4; n D 2; Ä x Ä 4:2 14 f x/ D x ; a D 1; n D 2; 0:9 Ä x Ä 1:1 15 f x/ D x 2=3 ; a D 1; n D 3; 0:8 Ä x Ä 1:2 16 f x/ D sin x; a D =6; 17 f x/ D sec x; a D 0; 18 f x/ D ln C 2x/; 19 f x/ D e x ; a D 0; n D 4; n D 2; a D 1; n D 3; Ä x Ä =3 0:2 Ä x Ä 0:2 n D 3; 0:5 Ä x Ä 1:5 Ä x Ä 0:1 E Bài tập xấp xỉ đa thức Taylor 20 f x/ D x ln x; a D 1; 21 f x/ D x sin x; n D 3; a D 0; 22 f x/ D sinh 2x/; 23 0:5 Ä x Ä 1:5 n D 4; a D 0; 1ÄxÄ1 n D 5; 1ÄxÄ1 23 Sử dụng thông tin từ Bài tập để ước lượng cos 80o xác đến chữ số thập phân 24 Sử dụng thông tin từ Bài tập 16 để ước lượng cos 38o xác đến chữ số thập phân 25 Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để xác định số số hạng chuỗi Maclaurin e x dùng để xấp xỉ e 0:1 với độ xác khoảng 0:00001: 26 Bao nhiêu số hạng chuỗi Maclaurin ln C x/ cần dùng xấp xỉ ln 1:4 với độ xác khoảng 0:001 ? 27-29 Dùng Định lý Đánh giá Chuỗi đan dấu Bất đẳng thức Taylor để ước lượng miền giá trị x để xấp xỉ có độ xác tương ứng với giá trị cho trước Kiểm tra lại đồ thị 27 sin x x x3 28 cos x x2 x4 C 24 29 arctan x x jsai sốj 10d ước lượng v D gd xác đến 0:014gL Hình 3.2: 35 Một đĩa tích điện có bán kính R mật độ điện tích mặt hình Điện V điểm P cách khoảng d dọc theo trục qua tâm vuông góc với đĩa p V D ke d C R2 d / E Bài tập xấp xỉ đa thức Taylor 25 ke số Coulomb Chứng minh với d lớn V ke R2 d Hình 3.3: 36 Nếu người quan sát đo sai biệt độ cao lên kế hoạch xây dựng đường cao tốc xuyên sa mạc hiệu chỉnh phải dựa độ cong trái đất a) Nếu R bán kính trái đất L chiều dài đường cao tốc, chứng minh hiệu chỉnh C D R sec L=R/ R b) Dùng đa thức Taylor để C L2 5L4 C 2R 24R3 c) So sánh hiệu chỉnh cho phần (a) (b) cho đường cao tốc dài 100 km (Lấy bán kính trái đất 6370 km.) Hình 3.4: 26 Chương Đạo hàm 37 Chu kỳ lắc với chiều dài L, tạo góc lớn Â0 so với phương thẳng đứng s Z =2 L dx T D4 p g k sin2 x k D sin Â0 / g gia tốc trọng trường (Trong Bài tập 42 Mục 7.7 xấp xỉ tích phân công thức Simpson.) a) Khai triển hàm lấy tích phân thành chuỗi nhị thức dùng kết Bài tập 50 Mục 7.1 để s " # 12 L 12 32 12 32 52 T D2 C 2k C C 2k C C 2 2k C g 2 4 p Nếu Â0 không lớn, xấp xỉ T L=g, thu cách dùng số hạng chuỗi Một xấp xỉ tốt thu cách dùng hai số hạng: s L T C k / g b) Nhận xét tất số hạng chuỗi sau số hạng không Sử dụng điều để so sánh chuỗi với chuỗi hình học chứng minh s s L L 3k 2 C k / Ä T Ä g g 4k c) Dùng bất đẳng thức phần b/ để ước lượng chu kỳ lắcpvới L D mét Â0 D 10o Xấp xỉ so sánh với ước lượng T L=g nào? Nếu Â0 D 42o sao? 38 Trong mục trước, xét phương pháp Newton để xấp xỉ nghiệm r phương trình f x/ D giá trị khởi tạo x1 , xấp xỉ x2 ; x3 ; f xn / xnC1 D xn f xn / Sử dụng Bất đẳng thức Taylor với n D 1; a D xn ; x D r để f 00 x/ tồn đoạn l chứa r; xn ; xnC1 jf 00 x/j Ä M , jf x/j K với x l jxnC1 rj Ä M jxn 2K r j2 [Điều có nghĩa xn xác d chữ số xnC1 xác khoảng 2d chữ số Chính xác hơn, sai số bước n 10 m sai số bước n C không M=2K/10 2m :] Chương Tích phân Xác định xem tích phân sau hội tụ hay phân kỳ Tính giá trị tích phân hội tụ Z Z Z 1 x arctan x dx dx 11 sin ˛d˛ 22 3=2 C x /2 x 2/ 0 Z Z Z 12 cos t dt dx 23 dx p x 1Cx Z Z Z 1 13 dx 24 dx p dx x Cx x 4x Z Z 14 dv Z dx 14 25 p 4 dx v C 2v xC2 2x C 1/3 Z Z Z 2z 15 ze dz 26 dx 5p e dp 6/3 x Z Z Z 16 ye 3y dy 27 dx r x dr Z Z ln x dx Z 17 dx 28 dx p x x 1 x dx p Z Z C x2 3x 18 x e dx 29 dx p Z x .y Z Z x2 w 19 dx dx 30 3y /dy C x w Z Z Z ex dx xe x dx 20 dx 31 2x C e 6x C 0 x Z Z px Z e 32 csc xdx 10 p dx dx 21 x x.ln x/3 =2 e 28 Chương Tích phân Z 33 Z 34 e 1=x dx x3 e 1=x dx x3 Z 2 z ln zdz 35 Z 36 ln x p dx x