ôn tập giải tích 12

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 10 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 10 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y  ax  bx  c, a  0 13 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 15 4.1 Định nghĩa 15 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 16 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17 5.1 Đường tiệm cận ngang 17 5.2 Đường tiệm cận đứng 17 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức 17 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 19 TIẾP TUYẾN 22 7.1 Tiếp tuyến 22 7.2 Điều kiện tiếp xúc 22 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 22 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 22 9.1 Bài toán tìm điểm cố định họ đường cong 22 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun 23 9.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng 23 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 24 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 27 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 27 1.1 Khái niệm lũy thừa 27 1.2 Phương trình x n  b 27 1.3 Một số tính chất bậc n 28 1.4 Hàm số lũy thừa 28 1.5 Khảo sát hàm số mũ y  ax ,  a  0, a  1 29 LOGARIT 30 2.1 Khái niệm Logarit 30 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-loarrit thường gặp 30 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 31 3.1 Bất phương trình mũ 31 3.2 Bất phương trình logarit 32 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 33 4.1 Lãi đơn 33 4.2 Lãi kép 33 4.3 Tiền gửi hàng tháng 34 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 34 4.5 Vay vốn trả góp 34 4.6 Bài toán tăng lương 35 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 35 4.8 Lãi kép liên tục 35 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 37 NGUYÊN HÀM 37 1.1 Định nghĩa 37 1.2 Tính chất nguyên hàm 37 1.3 Sự tồn nguyên hàm 37 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 38 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 38 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 39 2.1 Phương pháp đổi biến 39 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 41 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 TÍCH PHÂN 42 3.1 Cơng thức tính tích phân 42 3.2 Tính chất tích phân 42 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 43 4.1 Phương pháp đổi biến 43 4.2 Phương pháp tích phân phần 44 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 44 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 44 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ 46 5.3 Tích phân hàm lượng giác 50 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 53 6.1 Diện tích hình phẳng 53 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay 54 PHẦN IV SỐ PHỨC 55 SỐ PHỨC 55 1.1 Khái niệm số phức 55 1.2 Hai số phức 55 1.3 Biểu diễn hình học số phức 55 1.4 Số phức liên hợp 55 1.5 Môđun số phức 55 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 56 2.1 Phép cộng phép trừ số phức 56 2.2 Phép nhân số phức 56 2.3 Chia hai số phức 56 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 57 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 57 4.1 Căn bậc hai số thực âm 57 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 57 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC 58 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa  Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f x xác định K ta có:   Hàm số y  f x gọi đồng biến (tăng) K nếu:     x1, x  K, x1  x  f x1  f x   Hàm số y  f x gọi nghịch biến (giảm) K nếu:     x1, x  K, x1  x  f x1  f x Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét:   Hàm số f x đồng biến K    x  x1 đồ thị hàm số lên từ trái sang phải   Hàm số f x nghịch biến K     0  x , x f x  f x1      0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi  K ,  x  x Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải       Nếu f   x   0, x   a; b   hàm số f x  nghịch biến khoảng a;b  Nếu f  x   0, x  a;b   hàm số f x  không đổi khoảng a;b  Nếu f x  đồng biến khoảng a;b   f  x   0, x  a;b  Nếu f x  nghịch biến khoảng a;b   f  x   0, x  a;b  Nếu thay đổi khoảng a ;b  đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm giả thiết “hàm số f x  liên tục đoạn nửa khoảng đó”  Nếu f  x  0, x  a;b  hàm số f x đồng biến khoảng a;b      1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm   Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : số ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Tổng, hiệu: u  v   u   v     Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u       u  u .v  v .u  C  C u   Thương:    , v      2 v u v  u         Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp C   (C số) x   .x  Đạo hàm hàm hợp x   .x   1 u   u  1   1 u       (x  0) x x    u    u  u u   x   1x x  0  u   2uu u  0  sin x   cos x  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u  tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sinu u e  e a   a ln a e   u.e a   u.a ln a  ln x   x1  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x x x x a ST&BS: PHẠM LÊ DUY    u  u u u u a Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax  b  ad  bc      cx  d  cx  d    ax  bx  c       dx  ex  f  a    b a    c b    c x 2 x d    e d    f e    f  dx  ex  f  1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa  f   x    f   x  1.5.2 Ý nghĩa học  Gia tốc tức thời chuyển động s  f t     thời điểm t0 là: a t0  f  t0 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f * Một số ý: n   x    f   x  , n  n 1   ,n 2   Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghịch biến) K hàm số   f x  g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng   hiệu f x  g x    hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f x  g x  đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f x  , g x  không hàm số  Nếu hàm số f x g x dương K        Cho hàm số u  u x , xác định với x  a;b u x  c;d Hàm số f u  x    xác định với x  a;b Ta có nhận xét sau:    đồng biến với x  a;b   f u  đồng biến với u   c; d   Giả sử hàm số u  u x đồng biến với x  a;b Khi đó, hàm số f u  x  ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12     Giả sử hàm số u  u x nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u x    nghịch biến với x   a; b   f u  nghịch biến với u  c;d Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K      Nếu f ' x  với x  K f ' x  số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K      Nếu f ' x  với x  K f ' x  số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y  ax  b  d  x    dấu "  " xét dấu cx  d  c đạo hàm y  không xảy   Giả sử y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến  a        a    b    c     f  x  0; x     f  x  0; x   a        a    b    c   Trường hợp hệ số c khác a  b  c  f x  d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau:   Bước 1: Tính y   f  x ; m  ax  bx  c   Bước 2: Hàm số đơn điệu x1; x  y   có nghiệm phân biệt     a  *  Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN   x1  x  l  x  x   LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  4x 1x  l  S2  P  l * *   Bước 4: Giải * giao với * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập K x  K Ta nói:  x điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi f  x  gọi giá 0 trị cực tiểu hàm số f   f  x  gọi giá trị  x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a ;b chứa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi 0 cực đại hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số     gọi điểm cực  Nếu x điểm cực trị hàm số điểm x ; f x trị đồ thị hàm số f * Nhận xét:    Giá trị cực đại (cực tiểu) f x nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ   nhất) hàm số f tập D; f x giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm   số f khoảng a ;b chứa x hay nói cách khác x điểm cực   đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa x cho f x giá trị lớn   (nhỏ nhất) hàm số f khoảng a;b ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:   Giả sử hàm số y  f x đạt cực trị điểm x Khi đó, y  f x có đạo hàm   điểm x f  x  Chú ý:  Đạo hàm f   x  điểm x hàm số f không đạt cực trị điểm x  Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm x f '  x0        x điểm cực đại hàm số f  x  Nếu f  x   khoảng x  h; x  f  x   khoảng  x ; x x điểm cực tiểu hàm số f  x    Nếu f  x  khoảng x  h; x f  x  khoảng x ; x  h  0 0  h  2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:  i  1;2;  mà đạo hàm hàm số  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  x  Bước 2: Tìm điểm x i hàm số liên tục khơng có đạo hàm      Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f  x Nếu f  x đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Định lí 3: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Nếu f  x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số   Giả sử y  f x có đạo hàm cấp khoảng x  h; x  h với h  Khi đó:   0 f đạt cực đại x 0 f đạt cực tiểu x Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:   Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  x      Bước 2: Tìm nghiệm x i i  1;2; phương trình f  x      Bước 3: Tính f  x tính f  x i   Nếu f   x   hàm số f  Nếu f  x i  hàm số f đạt cực đại điểm x i  i đạt cực tiểu điểm xi MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tổng qt:   Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D   Đạo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu)  y   có hai nghiệm phân biệt y  đổi dấu qua nghiệm  phương trình y   có hai nghiệm phân biệt   A  3a  a     m  D1  2 b  3ac  y   B  4AC  4b  12ac      Bước 3: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình y   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 b b u (b ) a a u (a ) Vậy: I   f (x )dx   g u(x ).u '(x )dx   g(u)du 4.2 Phương pháp tích phân phần 4.2.1 Định lí Nếu u x v x hàm số có đạo hàm liên tục a;b  thì: b b ' a u(x )v (x )dx  u(x )v(x ) a  a v(x )u (x )dx b '  b b a udv  uv a  a vdu b  Hay 4.2.2 Phương pháp chung  Bước 1: Viết f x dx dạng udv  uv 'dx cách chọn phần thích hợp f x làm u x phần lại dv  v '(x )dx  Bước 2: Tính du  u ' dx v   dv   v '(x )dx b  Bước 3: Tính  vu '(x )dx uv a b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên: b b b b x  P(x )e dx  P(x )ln xdx  P(x )cos xdx e u P(x) lnx P(x) dv e xdx P(x)dx cosxdx ex cosxdx Lốc-đa-mũ-lượng a a a x cos xdx a Chú ý: Nên chọn u phần f x mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv  v 'dx phần f x dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 5.1.1 Dạng   dx adx    ln ax  b I=  a  ax  b a  ax  b  Chú ý: Nếu I =   (với a≠0)  dx 1 k k 1  (ax  b)k  a  (ax  b) adx  a(1  k ) (ax  b)   5.1.2 Dạng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 44 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  I    ax dx  bx  c LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 a  0 ( ax  bx  c  với x   ;   ) Xét   b2  4ac  Nếu   x1  b   b   ; x2  2a 2a  1 1       : ax  bx  c a(x  x )(x  x ) a(x  x )  x  x x  x    1  ln x  x  ln x  x    dx    a(x  x )   x  x x  x  a(x  x )  x  x1   ln a(x  x ) x  x  I   Nếu   1  ax  bx  c a(x  x )2    Đặt x  b  2a dx  ax  bx  c       b  x0   2a   dx dx    I =  2 a  (x  x ) a(x  x )  ax  bx  c  Nếu   I     dx   b     a x      2a   4a            tan t  dx   tan2 t dt 2 4a a   5.1.3 Dạng  I  (trong f (x )  mx  n dx,  bx  c   ax a  0 mx  n liên tục đoạn ;   ) ax  bx  c  Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: A(2ax  b) B mx  n A(ax  bx  c)' B     2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c   Ta có I=    Tích phân   mx  n dx  ax  bx  c    A(2ax  b) dx = A ln ax  bx  c ax  bx  c ST&BS: PHẠM LÊ DUY  A(2ax  b) B dx   dx 2 ax  bx  c ax  bx  c    Trang 45 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  Tích phân   ax dx  bx  c LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 thuộc dạng 5.1.4 Dạng b I  P (x )  Q(x ) dx với P x Q x đa thức x a  Nếu bậc P x lớn bậc Q x dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P x nhỏ bậc Q x xét trường hợp:  Khi Q x có nghiệm đơn 1, 2, , n đặt A1 A2 An P(x )     Q(x ) x  1 x  2 x  n  Khi Q x có nghiệm đơn vô nghiệm    Q(x )  x   x  px  q ,   p  4q  đặt P(x ) A Bx  C   Q(x ) x   x  px  q  Khi Q x có nghiệm bội Q(x )  (x   )(x   )2 với    đặt A P(x ) B C    Q(x ) x   x  x    Q(x )  (x   )2 (x   )3 với    đặt P(x ) A B C D E      (x   )2 (x   )3 (x   )2 (x   ) (x   )3 (x   )2 x   5.2 Tích phân hàm vơ tỉ b  R(x, f (x ))dx Trong R x, f x có dạng: a  a x  R  x,  a x      Đặt x  acos2t, t  0;    2   R x, a  x  Đặt x  a sin t x  a cost  ax  b  R  x, n  cx  d   ax  b  Đặt t  n  cx  d   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 46 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN     (ax  b)  R x, f x LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 x   x   Đặt t   x   x   , Đặt t     R     Với  x   x   '  k ax  b  ax  b     R x, a  x Đặt x  a tan t , t    ;   2  R x, x  a  n1 n n a   ,  t  [0;  ] \   cos x 2  Đặt x   x ; x ; ; i x Gọi k tk BSCNN n1; n2 ; ; ni Đặt x 5.2.1 Dạng  I    ax  bx  c dx a  0  b x u     b   2a     du  dx Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x    2a    4a     K  2a Khi ta có :    Nếu   0, a   f (x )  a u  k  f (x )  a u  k (1) a   b    Nếu :    f (x )  a  x  (2) b   f ( x )  a x   a u 2a    2a   Nếu :       Với a : f (x )  a x  x x  x   Với a : f (x )  a x  x x  x       f (x )  a x  x x  x f (x )     (3)  a x  x x  x (4) Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phương pháp :   * Trường hợp :   0, a   f (x )  a u  k  f (x )  a u  k Khi đặt : ax  bx  c  t  a x ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 47 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  t2  c x  ; dx  tdt  bx  c  t  ax b  a b  a    x    t  t0 , x    t  t1 t2  c   t  a x  t  a b 2 a    a   b   * Trường hợp :    f (x )  a  x  b   2a    f (x )  a x  2a  a u   Khi : I   b a x 2a  dx  a      b  b ln  x   : x  0  2a   2a  a  dx    b   ln  x  b  : x  b  x 2a  a  2a   2a     x a x  x x  x    x    x t  x t  x x t * Trường hợp :   0, a  Đặt : ax  bx  c  a x  x x  x    x  x t  * Trường hợp :   0, a  Đặt : ax  bx  c    2 5.2.2 Dạng  I    mx  n ax  bx  c a  0 dx  Phương pháp :  Bước 1: Phân tích f (x )  mx  n ax  bx  c  Ad  ax  bx  c ax  bx  c  B ax  bx  c 1  Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B  Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1)  Bước : Tính I  2A  Trong    ax  bx  c ax  bx  c     B dx (2)  ax  bx  c  dx a  0 biết cách tính 5.2.3 Dạng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 48 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  I    mx  n  LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 ax  bx  c a  0 dx  Phương pháp :  Bước 1: Phân tích : mx  n   ax  bx  c  n m  x   ax  bx  c m  (1)  Bước 2:   n dx y   t    dy   x t  m x t n   Đặt :  x  y m x   t  ax  bx  c  a   t   b   t   c      y y  y    Bước 3: ' Thay tất vào (1) I có dạng : I    ' dy Ly  My  N Tích phân biết cách tính 5.2.4 Dạng  x     dx I   R x ; y dx  R  x ; m    x           ( Trong : R x; y hàm số hữu tỷ hai biến số x,y ,  ,  ,  số biết )  Phương pháp :  Bước 1: Đặt : t  m x   (1) x    Bước 2:  Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x   t  Bước 3:  Tính vi phân hai vế : dx   ' t dt đổi cận  Bước 4: '  x    m Tính :  R  x ;  dx   R  t ; t  ' t dt   x     '   ST&BS: PHẠM LÊ DUY     Trang 49 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 5.3 Tích phân hàm lượng giác 5.3.1 Một số cơng thức lượng giác 5.3.1.1 Công thức cộng cos(a  b)  cos a.cos b   sin a.sin b sin(a  b)  sin a.cos b  sin b cos a tan(a  b)  tan a  tan b tan a tan b 5.3.1.2 Công thức nhân đôi cos 2a  cos2 a – sin2 a  cos2 a –  – sin2 a  sin 2a  sin a.cos a  tan a  tan2 a cos 3  cos3   cos  ; tan 2a  ;  tan2 a  tan2 a tan a  tan2 a sin 3  sin   sin3  5.3.1.3 Công thức hạ bậc sin2 a   cos 2a  cos 2a  cos 2a ; cos2 a  ; tan2 a  2  cos 2a sin   sin 3 ; 5.3.1.4 Cơng thức tính theo t sin   Với t  tan cos3   cos 3  cos  a 2t 2t  t2 cos a  Thì sin a  ; ; tan a  2 1t 1t  t2 5.3.1.5 Công thức biến đởi tích thành tởng cos(   )  cos(   ) 2 sin  sin   cos(   )  cos(   ) sin  cos   sin(   )  sin(   ) 5.3.1.6 Công thức biến đởi tởng thành tích cos  cos   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 50 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN cos   cos   cos  cos   cos   2 sin sin   sin   sin cos  LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12   sin      cos 2    sin   sin   cos sin 2 sin(   ) tan   tan   cos  cos  sin(   ) tan   tan   cos  cos  Công thức thường dùng:  cos 4  cos 4 cos6   sin6   cos4   sin   Hệ quả:     cos   sin   cos      sin     4 4       cos   sin   cos       sin     4 4   5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác b  Nếu gặp I   f  sin x  cos xdx ta đặt t  sin x a b  Nếu gặp dạng I   f  cos x  sin xdx ta đặt t  cos x a b  Nếu gặp dạng I   f  tan x  a b  Nếu gặp dạng I   f  cot x  a dx ta đặt t  tan x cos x dx ta đặt t  cot x sin x 5.3.2.1 Dạng I1 =   sinx  n dx ; I   cosx  dx n * Phương pháp  Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc  Nếu n sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi  Nếu 3n lẻ (n p 1) thực biến đổi: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 51 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN I1 =   sinx  n dx =   sinx  2p+1 LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 dx    sin x  sin xdx    1  cos2 x  d  cos x  p 2p k p k p      C p0  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x   d  cos x  k p    1 k  1 p 2k 1 p 1 1       c   C p cos x  C p cos x   C cos x   C cos x 2k  p 2p  p   I2 = 2p n 2p+1   cosx  dx =   cosx  dx    cos x  cos xdx   1  sin x  d  sin x  p k p k p     C p0  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin x   d  sin x     1k k  1p p 2k 1 p 1 1  C p sin x  C p sin x   C p  sin x    C p  sin x    c 2k  2p    5.3.2.2 Dạng I sin m x cos n xdx m, n N * Phương pháp  Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ (n I=   sinx  m p 1) biến đổi:  cosx 2p+1 dx    sin x m  cos x 2 p cos xdx    sin x m 1  sin2 x  d  sin x  p k p m  k p     sin x  C p0  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin2 x   d  sin x     sin x m 1  m 3  sin x 2k 1m  sin x 2 p 1m  k p sin x k p C p  c Cp    1 C p    1 C p m 1 m3 2k   m 2p   m   c Nếu m lẻ m I=   sinx  2p+1 p , n chẳn biến đổi:  cosx n dx    cos x n  sin x 2 p sin xdx     cos x n 1  cos2 x  d  cos x  p k p n  k p      cos x  C p0  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x   d  cos x     cos x n 1  n 3  cos x 2k 1n  cos x 2 p 1n  k p cos x k p  c  C p Cp    1 C p    1 C p n 1 n3 2k   n 2p   n   d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé  Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u B   sinm x cosn xdx    sin x  m Tích phân (*) tính  số n 1  cos2 x  sinx cos xdx   u m 1  u  n 1 du (*) m 1 n 1 m k ; ; số nguyên 2 5.3.2.3 Dạng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 52 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN   tan x  I1 = n LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 dx ; I =   cot x  n dx (n  dx  1  tan x  dx   cos x   d  tan x   tan x  c  dx  1  cot x  dx   sin x   tan xdx    cot xdx   sin x dx   N ) 2 2    d  cot x    cot x  C sin x d  cos x  dx    cos x  cos x   ln cos x  C cos x d  sin x   ln sin x  C sin x ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x ) liên tục đoạn a;b  , b  f (x ) dx trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S  a y y  f (x) O a c1 c2 y  f (x)  y  (H )  x  a  x  b c3 b x b  f (x ) dx S  a 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x ) , y  g(x ) liên tục đoạn a;b  hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S  y b  f (x )  g(x ) dx a (C1 ) : y  f1 ( x )  (C ) : y  f2 ( x ) (H )  x  a x  b  (C1 ) (C2 ) b O a c1 c2 b x S   f (x )  f (x ) dx a b - Nếu đoạn [a;b ] , hàm số f (x ) không đổi dấu thì:  a ST&BS: PHẠM LÊ DUY b f (x ) dx   f (x )dx a Trang 53 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g(y ) , d x  h(y ) hai đường thẳng y  c , y  d xác định: S   g(y)  h(y) dy c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S (x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a  x  b) Giả sử S (x ) hàm số liên tục đoạn [a;b ] ( ) O x a b x V b   S (x )dx a S(x) 6.2.2 Thể tích khối tròn xoay - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x ) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b x (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  V x     f ( x ) dx  x  a a   x  b - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g(y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d O c x (C ) : x  g( y )  (Oy ) : x   y  c  y  d d V y     g ( y ) dy c - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x ) , y  g(x ) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V    f (x )  g (x ) dx a ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 54 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức   Số phức (dạng đại số) : z  a  bi; a,b   Trong : a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i  1  Tập hợp số phức kí hiệu:    z số thực  phần ảo z b     z số ảo (hay gọi ảo)  phần thực a   Số vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức   Hai số phức z1  a  bi a, b   z   c  di c, d   bàng phần thực phần ảo chúng tương đương  a  c  Khi ta viết z  z  a  bi  c  di   b d   y 1.3 Biểu diễn hình học số phức  Số phức z  a  bi a, b  M (a;b)  biểu diễn điểm M a;b    hay u  a;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy O 1.4 Số phức liên hợp  Số phức liên hợp z  a  bi a, b   z z; z z' z z';  z  a  bi z  z z z '  z z ';    ; z  z  2 z z  a  b  z số thực  z  z ; z số ảo z  z 1.5 Môđun số phức Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy z  OM hay z  a  bi  OM  a  b Một số tính chất: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 55 x TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  z  a  b2  zz  OM ; z  z  z  0, z  ; z   z  z1  z1.z  z1 z ;  z2  z1 z2 z1 ; z2  z1 z z2 z1  z  z1  z  z1  z PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức  Cho hai số phức z1  a  bi a, b      z   c  di c, d   Khi đó:  z1  z  a  c  b  d i  Số đối số phức z  a  bi z  a  bi  Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z  a  bi, z  z  2a 2.2 Phép nhân số phức   Cho hai số phức z1  a  bi a, b       z     c  di c, d    Khi đó: z1z  a  bi c  di   ac – bd  ad  bc i   Với số thực k số phức z  a  bi a, b    , ta có  k.z  k a  bi  ka  kbi Đặc biệt: 0.z  với số phức z  Lũy thừa i : i  1, i 4n  1, i 4n 1  i, i 4n 2  1, i  i, i  1, i 4n   i, i  i i  i n   2.3 Chia hai số phức Số phức nghịch đảo z khác số z 1  Phép chia hai số phức z ' z  ST&BS: PHẠM LÊ DUY z z z' z '.z z '.z  z ' z 1   z z z z Trang 56 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:  ax  by  c   tập hợp điểm đường thẳng  x   tập hợp điểm trục tung Oy  y   tập hợp điểm trục hoành Ox   x  a   y  b   2       R  tập hợp điểm hình tròn tâm I a;b , bán kính R  x  a  y  b  R2    tập hợp điểm đường tròn có tâm I a;b , bán x  y  2ax  2by  c     kính R  a  b2  c  x   tập hơp điểm miền bên phải trục tung  y   tập hợp điểm miền phía trục hồnh  x   tập hợp điểm miền bên trái trục tung  y   tập hợp điểm phía trục hồnh  y  ax  bx  c  tập hợp điểm đường Parabol x y2     tập hợp điểm đường Elip a b  x y2    tập hợp điểm đường Hyperbol a b2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm  Cho số z , có số phức z cho z12  z ta nói z bậc hai z  Mọi số phức z  có hai bậc hai  Căn bậc hai số thực z âm i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a, b, c  , a  Xét biệt số   b2  4ac phương trình Ta thấy:  Khi   , phương trình có nghiệm thực x   ST&BS: PHẠM LÊ DUY b 2a Trang 57 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Khi   , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2   Khi   , phương trình có hai nghiệm phức x 1,2  b  i  2a b   2a BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC  z r max z   z1 z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r ,  r    min z  z  r  z1 z1   Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r1 ,  r1   max P  z2 z1  z3  r1 z1 P  z2 z1  z3   r1 z1   Cho số phức z thỏa mãn z1.z  z  z1.z  z  k, k  max z  ST&BS: PHẠM LÊ DUY k z1 z  k  z2 2 z1 Trang 58