Bài tập giải tích

BỘ MÔN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH B2 KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐH KHTN TPHCM Mục lục ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ A Ôn tập mở rộng kiến thức hình học tọa độ B Mặt trụ mặt bậc hai C Hàm vectơ biến đường cong 10 ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 17 A Hàm số nhiều biến 17 B Giới hạn liên tục hàm số nhiều biến 24 C Đạo hàm riêng 25 D Sự khả vi 33 E Quy tắc mắt xích hay đạo hàm hàm hợp 37 F Đạo hàm theo hướng vectơ gradient 43 G Cực trị không điều kiện hàm số nhiều biến 50 H Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện 55 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 59 A Tích phân kép hình chữ nhật 59 B Tích phân lặp 60 C Tích phân kép miền tổng quát 62 D Tích phân kép tọa độ cực 65 LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69 A Phương trình vi phân cấp 69 B Phương trình vi phân cấp 72 MỤC LỤC Chương ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ A Ôn tập mở rộng kiến thức hình học tọa độ I Bài tập tích vô hướng Vào ngày, người bán dạo bán a bánh hamburgers, b hot dogs c ly nước Anh ta tính $2 cho hamburger, $1; cho hot dog $1 cho ly nước Nếu viết ! u D ha; b; ci ! v D h2; 1:5; 1i ý nghĩa ! u ! v gì? ! ! ! ! Tìm vectơ đơn vị vuông góc với hai vectơ i C j j C k Tìm hai vectơ đơn vị hợp với ! v D h3; 4i góc 600 Tìm cô-sin góc hướng vectơ sau (các góc làm tròn đến đơn vị độ) a) h3; 4; 5i b) h1; 2; 1i ! ! ! c) i C j k ! ! ! d) i j C2k e) hc; c; ci với c > Tính góc đường chéo khối lập phương với cạnh Tính góc đường chéo khối lập phương với đường chéo mặt khối lập phương Nếu vectơ có hai góc hướng ˛ D =4, ˇ D =3 Tìm góc phương thứ ba ! Tìm vectơ hình chiếu b lên ! a ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ! a) ! a D h3; 4i, b D h5; 0i ! b) ! a D h1; 2i, b D h 4; 1i ! c) ! a D h3; 6; 2i, b D h1; 2; 3i ! ! d) a D h 2; 3; 6i, b D h5; 1; 4i ! ! ! ! e) ! a D 2i j C4k, b D ! 1! j C2k ! ! ! ! f) ! a D i C j C k, b D ! ! ! i j C k ! ! ! proj! a b hình chiếu b a b , tạm gọi orth! ! (lên phương) trực giao với ! a Chứng minh vectơ orth! a b vuông góc với ! a ! ! Ký hiệu orth! a b D b ! ! 10 Cho ! a D h1; 2i b D h 4; 1i Tìm orth! a b vẽ minh họa vectơ ! ! ! ! a , b , proj! b orth! b a a ! ! 11 Nếu ! a D h3; 0; 1i Tìm vectơ b cho comp! a b D ! ! 12 Giả sử ! a b hai vectơ khác ! ! a? a) Trong trường hợp comp! a b D comp! b ! ! b) Trong trường hợp proj! a b D proj! a ? b ! ! ! ! 13 Tính công lực F D i j C k (độ lớn đo newtons) tác động vào vật di chuyển từ điểm 0; 10; 8/ đến điểm 6; 12; 20/ dọc theo đường thẳng Khoảng cách đo mét 14 Một xe tải kéo xe chết máy đường Dây xích kéo tạo góc 300 so với mặt đường Lực căng dây xích 1500N Tính công xe tải kéo xe đoạn đường 1km 15 Một thuyền giương buồm hướng Nam với sức gió 400lb Hướng gió lệch từ Nam đến Đông 360 Tính công sức gió thuyền dịch chuyển 120f t II Bài tập tích hữu hướng 16 Tính tích ! a ! ! b kiểm tra vuông góc với ! a b ! a) ! a D h6; 0; 2i, b D h0; 8; 0i ! b) ! a D h1; 1; 1i, b D h2; 4; 6i ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ! ! ! ! ! ! c) ! a D i C3 j 2k, b D i C5k ! ! ! ! ! ! d) ! a D j C7k, b D2 i j C4k ! e) ! a D ht; t ; t i, b D h1; 2t; 3t i ! ! ! ! ! 17 Cho ! a D i k b D j C k Tính ! a ! ! a b có chung điểm đầu gốc tọa độ ! ! b vẽ vectơ ! a, b, 18 Tính mà không dùng định thức, thay vào dùng tính chất tích hữu hướng ! ! ! a) i j/ k ! ! ! b) k i 2j/ ! ! c) j k/ ! ! d) i C j / ! k ! i ! i/ ! j/ 19 Các biểu thức có nghĩa hay không? Nếu không, giải thích Nếu có, biểu thức vectơ số ! a) ! a b ! b) ! a b c) ! a 20 Tính j! u ! b ! d) ! a b/ ! e) ! a b/ ! c/ ! c/ f) ! a ! c/ ! v j xác định hướng ! u ! v hướng vào hay trang b) a) ! 21 Trong hình bên, ! a nằm mặt-xy, b ! hướng với k Độ dài chúng ! j! a j D j b j D a) Tính j! a ! c ! ! c d/ ! ! ! b/ c d/ ! bj b) Sử dụng qui tắc bàn tay phải, xác ! định thành phần ! a b dương, âm hay ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ 22 Một bu-loong xiết chặt cách áp lực 40N vào khóa vặn dài 0; 25m hình bên Tính độ lớn mô-men xoắn quanh tâm bu-loong mô tả vectơ mô-men xoắn 23 Bàn chân đẩy bàn đạp xe đạp lực 60lb hình vẽ Tay đòn quay có bán kính 18cm Tìm độ lớn vectơ mô-men quay quanh điểm P 24 Tính độ lớn vectơ mô-men quay quanh P lực 36lb đặt hình bên B Mặt trụ mặt bậc hai Mô tả phác họa mặt cong có phương trình a) b) c) d) x2 C y2 D y2 C z2 D y C 4z D z D x2 e) yz D f) z D cos x g) x y2 D Sử dụng vết để mô tả phác họa mặt cong có phương trình a) z D 4x C y b) x C c) x2 C y2 y2 D1 z2 D1 4z C d) x D y C e) x D y C 4z z2 f) x C 4y g) 9x z2 D y2 C z2 D ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ 3-10 Các phương trình diễn tả mặt cong (được đánh số I-VIII), giải thích x C 4y C 9z D y D 2x C z 9x C 4y C z D y D 2x C z x x C 2z D y2 C z2 D x2 C y2 z2 D 10 y D x 11 Phác họa miền bị bao quanh mặt z D Ä z Ä p z2 x C y , x C y D với 10 ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ 12 Phác họa miền bị bao quanh paraboloids z D x C y z D x2 y 13 Tìm phương trình mặt tạo đường parabol y D x quay quanh trục-Oy 14 Tìm phương trình mặt tạo đường thẳng x D 3y quay quanh trục-Ox 15 Tìm phương trình mặt bao gồm điểm cách điểm 1; 0; 0/ mặt phẳng x D Phác họa mặt 16 Tìm phương trình mặt bao gồm điểm P cho khoảng cách từ P đến trục-Ox hai lần khoảng cách từ P đến mặt-yz Phác họa mặt 17 Tháp làm nguội lò phản ứng hạt nhân có hình dạng hyperboloid mảnh (hình bên) Nếu đường kính đáy tháp 280m đường kính chỗ eo thắt tháp 200m, độ cao cách đáy 500m, phương trình mặt hyperboloid gì? C Hàm vectơ biến đường cong I Bài tập phương trình, hình vẽ đường cong 1-8 Vẽ đường cong có phương trình vectơ cho trước Dùng mũi tên rõ hướng đường cong t tăng ! r t/ D hsin t; ti ! r t/ D ht ; t i ! r t/ D ht ; t; 2i ! ! ! ! r t/ D t i C t j C t k ! r t/ D ht; cos 2t; sin 2t i ! r t/ D h1 C t; 3t; ti ! ! r t/ D cos t i ! sin t k ! r t/ D h1; cos t; sin ti ! cos t j C 9-14 Tìm phương trình tham số phù hợp với đường cong đánh số từ I-VI Giải thích x D cos 4t, y D t, z D sin 4t 10 x D t, y D t , z D e t 11 x D t, y D 1=.1 C t /, z D t 12 x D e t cos 10t , y D e t sin 10t, z D e t 60 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN p Lấy V thể tích khối rắn nằm đồ thị f x; y/ D 52 x y miền cho Ä x Ä 4, Ä y Ä Dùng đường x D y D để chia R thành hình chữ nhật nhỏ Lấy L U tương ứng tổng Riemann tính điểm góc bên trái, góc bên phải Không tính V; L U , xếp chúng theo thứ tự tăng dần giải thích sao? Hình bên cho biết đường cong mức hàm f miền hình vuông R D Œ0; 2 Œ0; 2 Dùng quy tắc điểm với m D n D để ước lượng ’ R f x; y/dA Làm để để cải thiện kết ước lương? Đường contour map cho biết nhiệt độ (Fahrenheit), lúc 4:00 PM, ngày 26 tháng 2, 2007 Colorado Với diện tích 388 dặm từ đông sang tây 276 dặm từ bắc sang nam Sử dụng quy tắc điểm với m D n D để ước lượng nhiêt độ trung bình Colorado thời điểm 10-12 Ước lượng tích phân kép với miền cho sau: ’ 10 R 3dA; R D f.x; y/ j Ä x Ä 2; Ä y Ä 6g ’ 11 R x/dA; R D f.x; y/ j0 Ä x Ä 5; Ä y Ä 3g ’ 12 R 2x/dA; R D Œ0; 1 Œ0; 1 ’ p 13 Tích phân R y dA với miền R D Œ0; 4 Œ0; 2 thể tích khối rắn Hãy phác họa miền thể tích khối rắn B Tích phân lặp 1-2 Tính R5 f x; y/dx R1 f x; y/dy f x; y/ D 12x y f x; y/ D y C e y 3-?? Tính tích phân lặp sau: R3R1 C 4xy/dxdy R1R2 4x R2R R R2R1 R1R2 0 =2 9x y /dydx x sin ydydx =2 R cos ydxdy =6 0 2x C y/8 dxdy xe x y dydx R4R2 10 R1R3 e xC3y dxdy R1R1 u 1 x y C y x dydx v/5 dudv R1R1 p 12 0 xy x C y dydx R2R 13 0 r sin2 ÂdÂdr R1R1p 14 0 s C t dsdt 11 0 61 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 15-22 Tính tích phân tích phân kép sau: ’ 15 R 6x y 5y /dA; R D f.x; y/ j Ä x Ä 3; Ä y Ä 1g ’ 16 R cos.x C 2y/dA; R D f.x; y/ j Ä x Ä ; Ä y Ä =2g xy R x C1 dA; R 17 ’ 18 ’ 19 ’ 20 ’ 21 ’ 22 ’ 1Cx R 1Cy dA; R R D f.x; y/ j Ä x Ä 1; Ä y Ä 1g x sin.x C y/dA; R D Œ0; =6 x R 1Cxy dA; R D f.x; y/ j Ä x Ä 1; Ä y Ä 3g R D Œ0; 1 xye x y dA; R D Œ1; 2 x R x Cy dA; R D Œ1; 2 Œ0; =3 Œ0; 1 Œ0; 2 Œ0; 1 23-24 Phác họa thể tích khối rắn cho tích phân lặp sau: 23 R1R1 0 x 2y/dxdy 24 R1R1 0 x2 y /dydx 25 Tính thể tích khối rắn làm măt phẳng 3x C 2y C z D 12 miền hình chữ nhật R D f.x; y/j0 Ä x Ä 1; Ä y Ä 3g 26 Tính thể tích khối rắn làm mặt hyperbolic paraboloid z D C x miền hình vuông R D Œ 1; 1 Œ0; 2 y2 27 Tính thể tích khối rắn làm mặt eliptic paraloid x =4 C y =9 C z D miền R D Œ 1; 1 Œ 2; 2 28 Tính thể tích khối rắn bao quanh mặt z D x sec2 y mặt phẳng z D 0; x D 0; x D 2; y D y D =4 29 Tính thể tích khối rắn góc phần tám thứ nhất, bao hình trụ z D 16 x mặt phẳng y D 30 Tính thể tích khối rắn bao mặt paraboloid z D C x C y mặt phẳng z D 1; x D 1; x D 1; y D 0; y D 31-32 Tìm giá trị trung bình f miền chữ nhật sau: 31 f x; y/ D x y, R có đỉnh 1; 0/; 1; 5/; 1; 5/; 1; 0/ 2/2 62 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN p 32 f x; y/ D e y x C e y ; R D Œ0; 4 33 C Œ0; 1 a) Trong trường hợp định lý Fubini Clairaut tương tự? RxRy b) Nếu f x; y/ liên tục miền Œa; b Œc; d g.x; y/ D a c f s; t/dt ds, với a < x < b; c < y < d, chứng minh gxy D gyx D f x; y/ Tích phân kép miền tổng quát 1-5 Tính tích phân lặp: R R py R1R2 R1Rx 0 0 xy dxdy 2x x x =2 R cos  R R1Rvp e sin  drd y/dydx C 2y/dydx 0 v dudv 6-17 Tính tích phân kép sau: ’ D y dA; D D f.x; y/ j Ä y Ä 1; y Ä x Ä yg ’ D x 5yC1 dA; D D f.x; y/ j Ä x Ä 1; Ä y Ä x g ’ D xdA; D D f.x; y/ j Ä x Ä ; Ä y Ä sin xg ’ D x dA; D D f.x; y/ j Ä x Ä e; Ä y Ä ln xg ’ 10 D y e xy dA; D D f.x; y/ j Ä y Ä 4; Ä x Ä yg p ’ 11 D x y x dA; D D f.x; y/ j Ä x Ä 1; Ä x Ä yg ’ 12 D x cos ydA, D miền bao y D 0; y D x ; x D ’ p 13 D x C y/dA, D miền bao y D x; y D x ’ 14 D y dA, D miền hình tam giác với đỉnh 0; 2/; 1; 1/; 3; 2/ p ’ 15 D xy dA, D miền bị chặn mặt x D 0; x D y ’ 16 D 2x y/dA, D miền bao hình tròn có tâm góc tọa độ bán kính ’ 17 D 2xydA, D miền hình tam giác với đỉnh 0; 0/; 1; 2/; 0; 3/ 18-27 Tính thể tích khối rắn cho sau: 63 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 18 Dưới mặt phẳng x C 2y z D miền bị chặn y D x y D x 19 Dưới mặt z D 2x C y miền bị chặn x D y x D y 20 Dưới mặt z D xy miền tam giác với đỉnh 1; 1/; 4; 1/; 1; 2/ 21 Được bao paraboloid z D x C 3y mặt x D 0; y D 1; y D x; z D 22 Được bao mặt phẳng tọa độ mặt phẳng 3x C 2y C z D 23 Được bao mặt phẳng z D x; y D x; x C y D 2, z D 24 Được bao hình trụ z D x ; y D x mặt z D 0; y D 25 Được bao hình trụ y C x D mặt x D 2y; x D 0; z D góc phần phần tám thứ hệ tọa độ 26 Được bao hình trụ x C y D mặt y D z; x D 0; z D góc phần phần tám thứ hệ tọa độ 27 Được bao hình trụ x C y D r y C z D r 28-29 Tìm thể tích khối rắn cách trừ hai khối thể tích: 28 Khối rắn bao mặt y D x ; y D x x C y C z D 2, 2x C 2y z C 10 D ,mặt phẳng 29 Khối rắn bao mặt y D x mặt z D 3y; z D C y 30-31 Tính tích phân lặp: 30 R1R1 x x y/dydx 31 R1R1 x2 x/dydx 32-38 Phác họa miền tích phân đổi thứ tự tích phân sau: 32 R R px 33 R1R4 34 R R p9 0 0 f x; y/dydx 4x f x; y/dydx p x x2 f x; y/dxdy 35 R R p9 36 R R ln x 37 R1R x2 0 f x; y/dydx =4 acr t anx 39-44 38 Tính phần cách đổi thứ tự tích phân sau: f x; y/dxdy f x; y/dydx 64 39 40 41 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN R1R3 Rp Rp 0 R4R2 x 3y e dxdy p cos.x /dxdy x y C1 dydx 42 R1R1 43 R1R 44 R8R2 46 ’ 0 x e x=y dydx =2 acr si ny p p cos x C cos2 xdxdy y e x dxdy 45-46 Tính tích phân miền loại I II 45 ’ D x dA D ydA 47-48 Ước lượng tích phân Tính chất 11: ’ 2 47 Q e x Cy / dA, Q góc phần tư thứ đường tròn có tâm tâm gốc tọa độ bán kính 1=2 ’ 48 T sin4 x C y/dA, T miền tam giác bị chặn đường y D 0; y D 2x; x D 49-50 Tìm giá trị hàm f miền D: 49 f x; y/ D xy, D miền tam giác với đỉnh 0; 0/; 1; 0/; 1; 3/ 50 f x; y/ D x sin y, D miền bị chặn đường y D 0; y D x ; x D 51 Chứng minh Tính chất thứ 11: 52 Khi ước lượng tích phân kép miền D, ta tổng tích phân lặp sau: R3R3 y ’ R R 2y f x; y/dxdy Phác họa D f x; y/dA D 0 f x; y/dxdy C miền D biểu diễn tích phân kép theo dạng tích phân lặp cách đổi thứ tự tích phân ’ 53 Ước lượng D x tan x C y C 4/dA, với D D f.x; y/ j x C y Ä 2g [Gợi ý: D miền đối xứng qua hai trục tọa độ.] ’ 54 Dùng tính đối xứng để tính D 3x C4y/dA, D miền hình vuông với đỉnh ˙5; 0/; 0; ˙5/ ’ p 55 Tính D x y dA, với D đĩa tròn x C y Ä 1, xác định tích phân thể tích khổi rắn 65 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN D Tích phân kép tọa độ cực ??-2 Cho miền R sau Dùng hệ tọa độ cực hay tọa độ thông thường để ’ định R f x; y/dA tích phân lặp, với f hàm liên tục tùy ý 3-4 Phác họa miền tích phân tính tích phân sau: R2 R7 rdrd R =2 R cos  rdrd ??-11 Tính tích phân sau cách đổi hệ tọa độ cực: ’ D xydA, với D đĩa tròn tâm gốc tọa độ bán kính ’ R x C y/dA, với R miền nằm bên trái trục Oy hai đường tròn x C y D x C y D ’ R cos.x C y /dA, với R miền nằm trục Ox bên đường tròn x C y D ’ p R x y dA, với R D f.x; y/ j x C y Ä 4; x 0g ’ R ye x dA, với R góc phần tư thứ bị chặn đường tròn x C y D 25 ’ 10 R ar ct an.y=x/dA, với R D f.x; y/ j Ä x C y Ä 4; Ä y Ä xg ’ 11 D xdA, với D miền góc phần tư thứ nằm đường tròn x C y D x C y D 2x ??-15 Dùng tích phân kép để tính diện tích miền sau đây: 12 Một cánh hoa có r D cos 3 13 Miền bao đường cong r D C cos  14 Miền nằm hai đường tròn r D cos  r D sin  15 Miền nằm đường r D C cos  đường tròn r D cos  ??-24 Dùng tọa độ cực để tìm thể tích khối rắn sau: p 16 Dưới hình nón z D x C y đĩa tròn x C y Ä 66 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2x 17 Dưới miền paraboloid z D 18 18 Miền bao hyperboloid x 2y mặt phẳng Oxy y C z D mặt phẳng z D 19 Miền nằm mặt cầu x C y C z D 16 hình trụ x C y D 20 Một cầu bán kính a 21 Miền bao hyperboloid z D C 2x C 2y mặt z D góc phần tám thứ p 22 Trên hình nón z D x C y mặt cầu x C y C z D 23 Miền bao hyperboloid z D C 3x C 3y mặt z D x2 y2 24 Miền nằm hình trụ x C y D elipsoid 4x C 4y C z D 64 25 a) Dùng mũi khoan có bán kính r1 để khoan xuyên qua tâm cầu bán kính r2 Tìm thể tích khối rắn có dạng nhẫn lại sau khoan b) Tính thể tích khối rắn theo chiều cao h nhẫn Chú ý thể tích phụ thuộc vào h không phụ thuộc vào r1 hay r2 ??-?? Dùng tích phân kép để tính diện tích miền sau đây: R R p9 x R R p2 y 2 C y /dydx 26 sin.x x C y/dxdy 28 0 y 27 RaR0 p a2 y2 x ydxdy 29 R R p2x x2 p x C y dydx 30 Một hồ bơi hình tròn đường kính 40-ft Độ sâu từ Đông sang Tây không đổi, giảm theo đường thẳng từ 2-ft đến 7-ft từ Nam sang Bắc Tìm thể tích nước hồ 31 Dùng tọa độ cực để gộp tổng Z Z p 1= p x Z p x2 xydydx C 2Z x Z xydydx C p p Z x2 xydydx thành tích phân kép Tính tích phân 32 a) Tìm tích phân (trong toàn miền R2 (the improper integral)) “ “ Z 1Z x Cy / x Cy / e dxdy D lim ID e dA D R2 1 a!1 e Da với Da đĩa tròn với bán kính a tâm gốc tọa độ Chứng minh R1 R1 2 1 e x Cy / dA D x Cy / dA 67 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN b) Một định nghĩa tương đương tích phân câu (a) “ “ 2 x Cy / e dA D lim e x Cy / dA a!1 R2 Sa với Sa hình vuông với đỉnh ˙a; ˙a/ Dung điều để chứng minh Z Z e x2 e y2 dy D p D p d) Bằng cách đổi biến t D 2x, chứng minh Z p e x =2 dx D c) Suy R1 1e x2 (Đây kết xác suất thống kê.) 33 Dùng kết câu c để tính tích phân sau: a) R1 x2e x dx b) R1p xe x dx 68 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Chương LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A Phương trình vi phân cấp 1-10 Giải phương trình vi phân xy D y p y e y D x .x C 1/y D xy dy t et D p dt y C y2 dy e y sin2  D d y sec  y D y sin x u0 t/ D C 2u C t C t u .1 C tan y/y D x C p 1C r du D p dr 1C u 10 dz C e t Cz D dt 11-18 Tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa điều kiện đầu cho trước 11 y y D x; y.0/ D 12 .1 C y /y D y cos x; y.0/ D 13 x cos x D 2y C e 3y /y ; y.0/ D p 14 P t/ D tP ; P 1/ D 15 dy 2t C sec2 t D ; dt 2u 16 xy C y D y ; u.0/ D y.1/ D 70 LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 17 y tan x D a C y; 18 dL D kL2 ln t; dt y / D a; < x < L.1/ D 19 Tìm phương trình đường cong qua điểm 0; 1/ mà độ dốc x; y/ xy 20 Tìm hàm số f cho f x/ D f x/Œ1 f x/ f 0/ D 21 21 Giải phương trình y D x C y cách đổi biến u D x C y 22-28 Giải phương trình vi phân cách đổi biến u D y=x 22 xy D y C xe y=x y 23 xy D x sin C y x 24 x y C y C xy C x D 25 xy D x C 2y 26 .x xy/y D y2 y D x C y/2 e 27 xyy y=x 28 xy C y ln x D y ln y y.1/ D 29-32 Các phương trình vi phân có tuyến tính hay không? 29 y C cos x D y 30 y C cos y D tan x 31 yy C xy D x p 32 xy C x D e x y 33-42 Giải phương trình vi phân 33 y C 2y D 2e x 34 y D x C 5y 35 xy 39 y sin x C y cos x D sin.x / 40 xy 2y D x 4y D x e x 36 x y C 2xy D cos2 x p 37 xy C y D x 41 .1 C t/ 38 y C y D sin.e x / 42 t ln t 43-48 Giải toán giá trị đầu du C u D C t; dt dr C r D t et dt t >0 71 LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 43 y D x C y; 44 t 45 y.0/ D dy C 2y D t ; dt dv dt t > 0; 2t v D 3t e t ; 46 2xy C y D 6x; y.1/ D v.0/ D x > 0; 47 xy D y C x sin x; 48 .x C 1/y C 3x.y y.4/ D 20 y / D 1/ D 0; 49-50 y.0/ D 50 y C 49 xy C y D xy y3 yD x x 51 Giải phương trình vi phân cấp xy 00 C y D 12x by cách u D y 52 Hình sơ đồ mạch điện đơn giản gồm nguồn phát điện, tụ điện có điện dung C Farads (F), điện trở có trở kháng R Ohms ( ) Hiệu điện hai đầu tụ Q=C , Q điện lượng (đơn vị Coulombs) Định luật Kirchhoff cho RI C Q C D E.t/ Nhưng I D dQ=dt , ta có R dQ C Q D E.t/ dt C Giả sử R D , điện dung C D 0:05 F pin cấp điện 60 V, điện lượng lúc đầu Q.0/ D C Tìm điện lượng tụ thời điểm t 53 Trong Bài tập 52, R D , C D 0:01 F, Q.0/ D E.t/ D 10 sin 60t Tìm điện lượng thời điểm t 72 LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 54 Hàm số P t/ đại lượng đo mức độ thục người thụ huấn kỹ đó, theo thời gian huấn luyện t Đồ thị P gọi đường cong rèn luyện (learning curve) Người ta lập mô hình P t/ nghiệm phương trình vi phân dP Dk M dt P t/ k số dương, M mức độ bão hòa kỹ Hãy giải phương trình vẽ đường cong rèn luyện 55 Hai công nhân nhận vào dây chuyền lắp ráp Jim gia công 25 đơn vị (trong công đoạn sản phẩm) đầu 45 đơn vị Mark gia công 35 đơn vị đầu 50 đơn vị Sử dụng mô hình Bài tập 54, với giả thiết P t/ D 0, ước tính số đơn vị tối đa gia công mà công nhân có khả làm B Phương trình vi phân cấp 1-13 Giải phương trình vi phân sau y 00 y 6y D y 00 C 4y C 4y D y 00 4y C y D y 00 4y C 13y D y 00 C 16y D 10 y 00 C 3y D y 00 11 d 2y dy C2 dt dt 12 d 2y dy C 12 C 5y D dt dt 9y 00 8y C 12y D 12y C 4y D 25y 00 C 9y D 13 100 y D 2y 00 d 2P dP C 200 C 101P D dt dt 14-21 Giải toán điều kiện đầu (giá trị đầu) 14 2y 00 C 5y C 3y D 0; 15 y 00 C 3y D 0; 16 4y 00 y.0/ D 1; 4y C y D 0; 17 2y 00 C 5y y.0/ D 3; 3y D 0; y 0/ D y 0/ D y.0/ D 1; y.0/ D 1; y 0/ D yD0 1:5 y 0/ D LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 18 y 00 C 16y D 0; y =4/ D 3; y =4/ D 2y C 5y D 0; y / D 0; y / D 20 y 00 C 2y C 2y D 0; y.0/ D 2; y 0/ D 19 y 00 21 y 00 C 12y C 36 D 0; 73 y 1/ D y.1/ D 0; 22-29 Giải toán giá trị biên (the boundary-value problem), 22 4y 00 C y D 0; 23 y 00 C 2y D 0; 24 y 00 y.0/ D 3; y.0/ D 1; 3y C 2y D 0; 25 y 00 C 100y D 0; y.0/ D 2; 6y C 25y D 0; 27 y 00 6y C 9y D 0; y.3/ D y / D y / D y.0/ D 1; y.0/ D 1; 28 y 00 C 4y C 13y D 0; 18y C 10y D 0; y.1/ D y.0/ D 1; 26 y 00 29 9y 00 y / D y.1/ D y.0/ D 2; y.0/ D 0; y =2/ D y / D 30 Cho L số thực khác không a) Chứng minh toán giá trị biên y 00 C y D 0, y.0/ D 0, y.L/ D có nghiệm tầm thường (the trivial solution) Ä b) Khi > 0, tìm giá trị cho toán có nghiệm không tầm thường tìm nghiệm 31 Nếu a; b; c ba số dương y.x/ nghiệm phương trình ay 00 C by C cy D 0, chứng minh limx!1 y.x/ D 32-41 Giải phương trình vi phân toán giá trị đầu với phương pháp hệ số bất định 32 y 00 C 3y C 2y D x 33 y 00 C 9y D e 3x 34 y 00 2y D sin 4x 35 y 00 C 6y C 9y D C sin x 36 y 00 4y C 5y D e x 74 LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN x 37 y 00 C 2y C y D xe 38 y 00 C y D e x C x ; y.0/ D 2; y 0/ D 39 y 00 4y D e x cos x; y.0/ D 1; y 0/ D 40 y 00 y D xe x ; 41 y 00 C y y.0/ D 2; y 0/ D 2y D x C sin 2x; y.0/ D 1; y 0/ D 42-47 Viết dạng nghiệm cho phương pháp hệ số bất định, không tính giá trị hệ số 42 y 00 C 9y D e 2x C x sin x 43 y 00 C 9y D xe x 45 y 00 C 3y 4y D x C x/e x 46 y 00 C 2y C 10y D x e cos x 44 y 00 C 9y D C xe 9x x cos 3x 47 y 00 C 4y D e 3x C x sin 2x 48-51 Giải phương trình vi phân cách dùng (a) hệ số bất định (b) biến thiên số 48 y 00 C y D cos x 50 y 00 2y C y D e 2x 49 y 00 51 y 00 y D ex 2y 3y D x C 52-57 Giải phương trình cách dùng phương pháp biến thiên số ; cos2 x 53 y 00 C y D ; cos3 x 52 y 00 C y D 54 y 00 3y C 2y D 0