CHUONG 5 KHONG GIAN EUCLIDE VA DANG TOAN PHUONG

CHUONG 5 KHONG GIAN EUCLIDE VA DANG TOAN PHUONG tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE 4.1. Không gian Euclide 4.1.1. Các định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 1: Cho V – KGVT trên R. Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ u,v V  là ánh xạ , :V V R (u,v) u,v        thỏa 4 tiên đề sau: u,v,w V, k R     1. u,v v,u     2. u v,w u,w v,w         3. ku,v k u,v      4. u,u 0, u,u 0 u θ        Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị một tích vô hướng gọi là KG Euclide. Ví dụ 1: Trong KGVT R 2 , R 3 các vectơ tự do trong mặt phẳng và không gian, ta xét tích vô hướng của 2 vectơ theo ý nghĩa thông thường: u,v | u |.| v| cos(u,v)          thì R 2 , R 3 là các KG Euclide. Ví dụ 2: Xét KGVT R n với 1 2 n 1 2 n u (u ,u , ,u ),v (v ,v , ,v )   , ta định nghĩa: 1 1 2 2 n n u,v u v u v u v      thì (R n , < , >) là KGVT Euclide. 4.1.2. Độ dài và góc trong không gian Euclide, các bất đẳng thức. Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Với mỗi u V  ta định nghĩa và ký hiệu độ dài (môđun) hay chuẩn của u: u : u,u    Nếu u 1  thì u được gọi là vectơ đơn vị. Ví dụ 3: Trong R n , 1 2 n u (u ,u , ,u )  , ta có: 2 2 2 2 2 2 1/2 1 2 n 1 2 n u u u u (u u u )         Tính chất của độ dài. Độ dài của vectơ có các tinh chất sau: 1. u 0, u 0 u θ     2. ku |k| u  3. u v u v    Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Góc giữa hai vectơ u,v V  được cho bởi công thức: ^ u,v cos(u,v): u . v    Bất đẳng thức Cauchy – Schwars (BĐT C-S): Cho (V, < , >) – KG Euclide. Khi đó u,v V   thì | u,v | u . v    . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi u,v tỉ lệ. Áp dụng BĐT C-S vào KG Euclide R n ta có BĐT Bunnhiacopsky: 1 2 n 1 2 n u (u ,u , ,u ),v (v ,v , ,v )    thì 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n (u v u v u v ) (u u u )(v v v )           4.2. Hệ trực giao. Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid 4.2.1. Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn. Định nghĩa 1:Trong một KG Euclide, hai vectơ u và v gọi là trực giao, ký hiệu u v, nếu u,v 0.    Định nghĩa 2: Giả sử V là một KG Euclide. Ta gọi hệ 1 2 k u , u , , u V   là i) trực giao nếu i j u , u 0, i, j 1, ,k, i j.       ii) trực chuẩn nếu nó là trực giao và i u 1, i 1, ,k.    Định lý 1: Mọi hệ trực giao các vectơ khác không (trực chuẩn) là hệ độc lập tuyến tính. Định lý 2: Giả sử 1 2 n S {u , u , , u }   là một hệ độc lập tuyến tính các vectơ của KG Euclide của V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực giao (trực chuẩn) ' 1 2 n S {v , v , , v }   sao cho 1 2 k 1 2 k span{u ,u , ,u } = span{v ,v , ,v }, k 1,2, ,n.     4.2.2. Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt. Trong không gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt   1 2 n u , u , , u  . Quá trình trực trao: Đặt 1 1 v u ,  2 1 2 2 1 1 1 u ,v v u v , v ,v       . . . . . . n 1 n i n n i i 1 i i u ,v v u v . v ,v          Khi đó   1 2 n v , v , , v  là hệ trực giao. Quá trình trực chuẩn: Đặt 1 1 1 u v , u  2 2 2 2 1 1 2 2 v v u u ,v v , v v       . . . . . . n 1 n n n n i i n i 1 n v v u u ,v v v v          Khi đó   1 2 n v , v , ,v  là hệ trực chuẩn. Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ 1 2 3 S {u , u , u }  trong R 3 1 2 3 u (1,1,1),u ( 1,1,1),u (1,2,1)     Giải:  1 1 1 u 1 1 1 v ( , , ), u 3 3 3    2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 2 v u u ,v v ( 1,1,1) ( , , ) ( , , ) Chương KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN \n KHÔNG GIAN EUCLIDE 1.1 Đònh nghóa i) Với u = ( a1 , a , , a n ) v = ( b1 , b2 , , bn ) ∈ \ n , ta đònh nghóa u, v = a1 b1 + a b2 + + a n bn u, v gọi tích vô hướng hai vectơ u v \ n ii) Không gian vectơ \ n có trang bò tích vô hướng gọi không gian Euclide 1.2 Tính chất i) u, u ≥ , u, u = ⇔ u = , ii) ku, v = u, kv = k u, v , iii) u + u′, v = u, v + u′, v , u, v + v′ = u, v + u, v′ , iv) u, v = v, u , với u, u′, v, v′ ∈ \ n , k ∈ \ 1.3 Đònh nghóa (Chuẩn vectơ) Với u = ( a1 , a , , a n ) ∈ \ n , ta đặt u = u, u = a12 + a 22 + + a 2n gọi u chuẩn vectơ u ∈ \ n 1.4 Đònh nghóa (Khoảng cách hai vectơ) Với u = ( a1 , a , , a n ) , v = ( b1 , b2 , , bn ) ∈ \ n , ta đặt d ( u, v ) = u − v = ( a1 − b1 ) + ( a2 − b2 ) + + ( a n − bn ) gọi d ( u, v ) khoảng cách hai vectơ u v Hiển nhiên d ( u, v ) > u ≠ v d ( u, v ) = u = v Ví dụ Cho u = ( 2, 3, ) , v = (1, 2, 3) ∈ \ Ta có u, v = ⋅ + ⋅ + ⋅ = 20 74 u = u, u = 22 + 32 + 42 = 29 d ( u, v ) = u − v = 2 ( − 1) + ( − ) + ( − 3) = CƠ SỞ TRỰC GIAO 2.1 Đònh nghóa i) Cho u = ( a1 , a , , a n ) , v = ( b1 , b2 , , bn ) ∈ \ n Ta nói u v hai vectơ trực giao, ký hiệu u ⊥ v , u, v = ii) Cho tập hợp S = {u1 , u , , u m } ⊂ \ n Ta nói { } S tập trực giao u i ⊥ u j với i ≠ j , i, j ∈ 1, 2, , m S tập trực chuẩn S tập trực giao u i = với i ∈ {1, 2, , m} Ví dụ Cho hệ S = {e1 , e2 , e3} ⊂ \ , với e1 = (1, 0, ) , e2 = ( 0,1, 0) , e3 = ( 0, 0,1) Ta có S tập trực giao Hơn nữa, S tập trực chuẩn 2.2 Đònh nghóa Cho S = {e1 , e2 , , en } sở \ n i) Nếu S tập trực giao ta nói S sở trực giao \ n ii) Nếu S tập trực chuẩn ta nói S sở trực chuẩn \ n Ví dụ Hệ S ví dụ sở trực giao sở trực chuẩn \ 2.3 Đònh lý Mọi hệ trực giao \ n không chứa vectơ độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử u1 , u , , u m họ trực giao không gian Euclide \ n , u i ≠ với i = 1, m k1u1 + k 2u + + k m u m = Khi đó, với j = 1, m , ta có u j , k1u1 + k 2u + + k m u m = k j u j , u j = Suy k j = với j = 1, m Vậy u1 , u , , u m độc lập tuyến tính 2.4 Đònh lý (Quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt) Cho họ vectơ độc lập tuyến tính u1 , u , , u m (m ≥ 2) không gian Euclide \ n Khi đó, tồn họ trực giao v1 , v2 , , v m cho u1 , u , , u m = v1 , v2 , , v m 75 Chứng minh Quy nạp theo m • Với m = : Chọn v1 = u1 , hiển nhiên v1 ≠ Chọn v dạng v = u + tv1 , t ∈ \ Ta có * v ≠ (vì không u1 , u phụ thuộc tuyến tính) * u1 , u = v1 , v Ngoài ra, v ⊥ v1 ⇔ v , v1 = ⇔ u , v1 + t v1 , v1 = ⇔t=− u , v1 (5.1) v1 , v1 Vậy với t cho (5.1) v1 , v họ trực giao cần tìm • Giả sử đònh lý với m Xét họ độc lập tuyến tính u1 , u , , u m , u m +1 Theo giả thiết quy nạp, \ n tồn họ trực giao v1 , v , , v m cho u1 , u , , u m = v1 , v2 , , v m Bây giờ, ta tìm vectơ v m +1 dạng v m +1 = u m +1 + t1 v1 + t v2 + + t m v m , t i ∈ \ Ta có v m +1 ≠ u1 , u , , u m , u m +1 = v1 , v , , v m , v m +1 Mặt khác, họ v1 , v , , v m , v m +1 trực giao v m +1 , v i = , với i = 1, m , ⇔ t i v i , v i = − u m +1 , v i , với i = 1, m ⇔ ti = − u m +1 , v i vi , vi , với i = 1, m (5.2) Do đó, với t1 , t , , t m cho (5.2) v1 , v , , v m , v m +1 họ trực giao cần tìm đònh lý với m + Chú ý Phương pháp xác đònh họ trực giao v1 , v , , v m từ họ độc lập tuyến tính u1 , u , , u m chứng minh đònh lý gọi phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt Ta tóm tắt lại trình tìm v k công thức 76 vk = uk − ∑ i< k uk , vi vi , vi vi Chẳng hạn, ta có v1 = u1 ; v = u − v4 = u − u , v1 v1 , v1 u , v1 v1 , v1 v1 − u , v1 v1 ; v = u − u4 , v2 v2 , v2 v1 , v1 u , v3 v2 − v3 , v3 v1 − u , v2 v2 , v2 v2 ; v3 ; { } Ví dụ Trong \ , xét sở S = u1 = ( 2, 3, ) , u = ( 5, −3, 8) , u = ( 8, 5, 3) Đặt v1 = u1 = ( 2, 3, ) v2 = u − v3 = u3 − u , v1 v1 , v1 u , v1 v1 , v1 v1 = ( 3, −6, ) v1 − u , v2 v2 , v2 v = ( 6, 2, −3) Ta {v1 , v2 , v 3} sở trực giao \ Hơn nữa, với w1 = 1 v1 = ( 2, 3, ) v1 w2 = 1 v = ( 3, −6, ) v2 w3 = 1 v = ( 6, 2, −3) v3 {w1 , w , w 3} sở trực chuẩn \ 2.5 Hệ Quả Trong không gian Euclide \ n luôn tồn sở trực chuẩn CHÉO HÓA MA TRẬN ĐỐI XỨNG BẰNG MA TRẬN TRỰC GIAO 3.1 Đònh nghóa Cho ma trận A ∈ Mn Ta nói A ma trận trực giao AA T = A T A = In , nghóa A khả nghòch A −1 = A T 77 Ví dụ Cho ⎛ −2 ⎞ ⎟ 1⎜ A = ⎜ −2 ⎟ ∈ M3 3⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Ta có A ma trận trực giao AA T = A T A = I3 Do A khả nghòch A −1 ⎛ −2 ⎞ 1⎜ ⎟ = A = ⎜ 2 1⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ T Ta chấp nhận kết sau 3.2 Đònh lý Nếu A ∈ Mn ma trận đối xứng tồn ma trận trực giao P ∈ Mn làm chéo hóa A , nghóa P −1 AP ma trận chéo 3.3 Giải thuật chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao Để chéo hóa ma trận đối xứng A ∈ Mn ma trận trực giao, ta thực bước sau Bước Tìm sở S \ n gồm toàn vectơ riêng A (xem chương 4) Bước Xây dựng sở trực giao S′ từ S trình trực giao hóa Gram – Schmidt Từ suy sở trực chuẩn B \ n gồm vectơ riêng A Gọi B0 sở tắc (và sở trực chuẩn) \ n P ma trận đổi sở từ B0 sang B P ma trận trực giao cần tìm P −1 AP ma trận chéo Ví dụ Chéo hóa ma trận đối xứng sau ma trận trực giao ⎛ −1 − ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 −1 ⎟ ∈ M3 ⎜ −1 − ⎟ ⎝ ⎠ Bước Tìm sở \ gồm toàn vectơ riêng A Ta có A có ...Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE 4.1. Không gian Euclide 4.1.1. Các định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 1: Cho V – KGVT trên R. Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ u,v V  là ánh xạ , :V V R (u,v) u,v        thỏa 4 tiên đề sau: u,v,w V, k R     1. u,v v,u     2. u v,w u,w v,w         3. ku,v k u,v      4. u,u 0, u,u 0 u θ        Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị một tích vô hướng gọi là KG Euclide. Ví dụ 1: Trong KGVT R 2 , R 3 các vectơ tự do trong mặt phẳng và không gian, ta xét tích vô hướng của 2 vectơ theo ý nghĩa thông thường: u,v | u |.| v| cos(u,v)          thì R 2 , R 3 là các KG Euclide. Ví dụ 2: Xét KGVT R n với 1 2 n 1 2 n u (u ,u , ,u ),v (v ,v , ,v )   , ta định nghĩa: 1 1 2 2 n n u,v u v u v u v      thì (R n , < , >) là KGVT Euclide. 4.1.2. Độ dài và góc trong không gian Euclide, các bất đẳng thức. Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Với mỗi u V  ta định nghĩa và ký hiệu độ dài (môđun) hay chuẩn của u: u : u,u    Nếu u 1  thì u được gọi là vectơ đơn vị. Ví dụ 3: Trong R n , 1 2 n u (u ,u , ,u )  , ta có: 2 2 2 2 2 2 1/2 1 2 n 1 2 n u u u u (u u u )         Tính chất của độ dài. Độ dài của vectơ có các tinh chất sau: 1. u 0, u 0 u θ     2. ku |k| u  3. u v u v    Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide. Góc giữa hai vectơ u,v V  được cho bởi công thức: ^ u,v cos(u,v): u . v    Bất đẳng thức Cauchy – Schwars (BĐT C-S): Cho (V, < , >) – KG Euclide. Khi đó u,v V   thì | u,v | u . v    . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi u,v tỉ lệ. Áp dụng BĐT C-S vào KG Euclide R n ta có BĐT Bunnhiacopsky: 1 2 n 1 2 n u (u ,u , ,u ),v (v ,v , ,v )    thì 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n (u v u v u v ) (u u u )(v v v )           4.2. Hệ trực giao. Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid 4.2.1. Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn. Định nghĩa 1:Trong một KG Euclide, hai vectơ u và v gọi là trực giao, ký hiệu u v, nếu u,v 0.    Định nghĩa 2: Giả sử V là một KG Euclide. Ta gọi hệ 1 2 k u , u , , u V   là i) trực giao nếu i j u , u 0, i, j 1, ,k, i j.       ii) trực chuẩn nếu nó là trực giao và i u 1, i 1, ,k.    Định lý 1: Mọi hệ trực giao các vectơ khác không (trực chuẩn) là hệ độc lập tuyến tính. Định lý 2: Giả sử 1 2 n S {u , u , , u }   là một hệ độc lập tuyến tính các vectơ của KG Euclide của V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực giao (trực chuẩn) ' 1 2 n S {v , v , , v }   sao cho 1 2 k 1 2 k span{u ,u , ,u } = span{v ,v , ,v }, k 1,2, ,n.     4.2.2. Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt. Trong không gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt   1 2 n u , u , , u  . Quá trình trực trao: Đặt 1 1 v u ,  2 1 2 2 1 1 1 u ,v v u v , v ,v       . . . . . . n 1 n i n n i i 1 i i u ,v v u v . v ,v          Khi đó   1 2 n v , v , , v  là hệ trực giao. Quá trình trực chuẩn: Đặt 1 1 1 u v , u  2 2 2 2 1 1 2 2 v v u u ,v v , v v       . . . . . . n 1 n n n n i i n i 1 n v v u u ,v v v v          Khi đó   1 2 n v , v , ,v  là hệ trực chuẩn. Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ 1 2 3 S {u , u , u }  trong R 3 1 2 3 u (1,1,1),u ( 1,1,1),u (1,2,1)     Giải:  1 1 1 u 1 1 1 v ( , , ), u 3 3 3    2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 2 v Chương 1 Không gian affine và phẳng 1.1 Không gian affine Hình học cổ điển trong chương trình phổ thông trung học (PTTH) được xây dựng với các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và một hệ tiên đề qui định những mối “quan hệ” ban đầu giữa chúng. Hình học định nghĩa theo cách này có ưu điểm là trực quan, dễ trình bày và phù hợp với khả năng tiếp thu cũng như trình độ của học sinh PTTH, nhưng có nhược điểm là sẽ gặp khó khăn khi mở rộng cho trường hợp nhiều chiều vì sẽ có quá nhiều đối tượng cơ bản (các phẳng) và theo đó chắc chắn sẽ là một hệ thống tiên đề phức tạp. Hơn nữa nhiều chứng minh trong hình học cổ điển thường đòi hỏi sự khôn ngoan, mưu mẹo và thường không có phương pháp thống nhất. Sau các thành tựu của đại số và nhất là của Đại số tuyến tính, người ta đã tìm thấy một cách trình bày lại hình học cổ điển đơn giản hơn, dưới dạng tổng quát hơn và có phương pháp nghiên cứu một cách thống nhất (phương pháp tọa độ). Hình học affine được xây dựng với chỉ hai đối tượng cơ bản là điểm, vector cùng với 8 tiên đề về vector và hai tiên đề về điểm. Các chứng minh trong hình học affine đa số ngắn gọn và chủ yếu sử dụng các thành tựu của Đại số tuyến tính. Các khái niệm như các phẳng (đường thẳng và mặt phẳng là các phẳng 1-chiều và 2-chiều) sẽ có định nghĩa của chúng. Có thể có những định nghĩa khác nhau (nhưng tương đương) về một không gian affine (Bài tập ?? là một ví dụ) nhưng định nghĩa dưới đây là một định nghĩa kinh điển được trình bày trong hầu hết các giáo trình về Hình học affine ở Việt Nam. 1.1.1 Không gian affine Định nghĩa 1. Cho V là một không gian vector trên trường K và A là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó được gọi là điểm. Các vector, để thuận tiện cho việc trình bày cũng như để có tính trực quan, thường được ký hiệu bằng các chữ thường với một mũi tên ở bên trên như −→ x , −→ y , . . . , −→ u , −→ v . . . ; còn các điểm thường được ký hiệu bằng các chữ hoa A, B, C . . . , M, N, P, . . . . Giả sử có ánh xạ Φ : A × A −→ V (M, N) −→ Φ(M, N) thoả mãn hai điều kiện sau: 1 Hình học affine và Euclid 1. với điểm M ∈ A và vector −→ v ∈ V, có một và chỉ một điểm N ∈ A sao cho Φ(M, N) = −→ v ; 2. với ba điểm M, N, P tuỳ ý của A ta luôn luôn có Φ(M, N) + Φ(N, P ) = Φ(M, P ). Khi đó ta nói A là một không gian affine, hay đầy đủ hơn A là không gian affine trên trường K liên kết với không gian vector V bởi ánh xạ liên kết Φ. V được gọi là không gian vector liên kết với (hay không gian nền của) A và thường được ký hiệu lại là −→ A . Còn Φ được gọi là ánh xạ liên kết và để thuận tiện cũng như trực quan hơn ta thay ký hiệu Φ(M, N) bằng −−→ MN. Khi đó các điều kiện trong định nghĩa có thể được viết lại như sau: 1. ∀M ∈ A, ∀ −→ v ∈ −→ A ; ∃! N ∈ A, −−→ MN = −→ v ; 2. ∀M, N, P ∈ A; −−→ MN + −−→ NP = −−→ MP . Đẳng thức trong điều kiện 2 của định nghĩa được gọi là hệ thức Chasles. Khi K = R, ta nói A là một không gian affine thực. Khi K = C, ta nói A là một không gian affine phức. Đôi khi ta nói A là một K-không gian affine để nhấn mạnh về trường K. (A, −→ A , Φ) là ký hiệu đầy đủ của một không gian affine. Trong trường hợp không có điều gì gây nhầm lẫn, để đơn giản ta chỉ ghi vắn tắt là A(K) hoặc A. Khi −→ A là không gian vector n-chiều thì ta nói A là không gian affine n-chiều và dùng ký hiệu A n để nhấn mạnh về số chiều của A. Ký hiệu số chiều của A là dim A. Như vậy dim A = dim −→ A . Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm thì không gian affine là không gian affine n-chiều và trường K sẽ là trường số thực R hoặc là trường số phức C. Tuy vậy, một số chương như các chương liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ sẽ chú trọng đến việc trình bày trong không gian thực. Các vấn đề liên quan đến không gian phức sẽ được giới thiệu trong các phụ lục. Các không gian affine trên một trường K tùy ý như K là trường hữu hạn, K là trường có đặc số khác không . sẽ là các đề tài dành cho sinh viên làm tiểu luận, niên luận, khóa luận hoặc đề tài nghiên cứu. 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1. Đối với hình học giải tích ở PTTH, chúng ta CHƯƠNG 3 CHƯƠNG 3 1. Không gian vectơ hình học ν 3 : Trong hình học giải tích, ta đã làm quen với vectơ tự do trong không gian (tức là vectơ có thể chuyển đến điểm bất kỳ của không gian mà không thay đổi độ dài và hướng) và đã đònh nghóa các phép toán tuyến tính đối với chúng (cộng các vectơ và nhân vectơ với số thực). KHÔNG GIAN VECTƠ  Tập hợp các vectơ tự do trong không gian xét cùng với các phép toán tuyến tính được gọi là không gian vectơ 3 chiều ν 3 và các phần tử của không gian đó gọi là các vectơ (hình học). Nếu trong không gian ν 3 ta đưa vào hệ tọa độ thẳng trực giao với cơ sở B 0 = {i,j,k} thì thu được sự tương ứng đơn trò tương hỗ giữa các vectơ trong không gian ν 3 với bộ ba số thực sắp thứ tự (các tọa độ của chúng). Ta sẽ viết các tọa độ của vectơ trong không gian ν 3 dưới dạng ma trận cột gồm ba số. Khi đó các ma trận cột gồm các tọa độ của vectơ sẽ được gọi là vectơ 3 chiều. Tập hợp các vectơ 3 chiều được gọi là không gian vectơ 3 chiều. Thí duï : ; 3 2 1 321           =⇔++= a a a Ukajaiau ; 3 2 1 321           =⇔++= b b b Ukbjbibv ;)()()( 33 22 11 332211           + + + =+⇔+++++=+ ba ba ba VUkbajbaibavu ; 3 2 1 321           =⇔++= a a a Ukajaiau λ λ λ λλλλλ Bằng cách lý luận tương tự, ta xây dựng được không gian vectơ 2 chiều ν 2 và không gian vectơ 1 chiều ν 1 . 2. Không gian vectơ. Không gian con của vectơ :  Đònh nghóa : ν là tập hợp rỗng, trong đó xác đònh hai phép toán : 1. Luật hợp thành trong, gọi là phép tính cộng, u, v ∈ ν ; u + v ∈ ν . 2. Luật hợp thành ngoài, gọi là phép nhân vô hướng, u ∈ ν ; k ∈ R; ku ∈ ν . ν được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu đối với 2 luật hợp thành đó thỏa mãn các tiên đề sau : [A1] ∀u,v ∈ ν ; u + v = v + u. [A2] ∀u,v,w ∈ ν ; (u + v) + w = u + (v + w). [A3] ∃0 ∈ ν , u + 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ ν . [A4] ∀u ∈ ν , tồn tại vectơ đối –u, u + (– u) = 0 [M1] ∀k ∈ R, ∀u,v ∈ ν , k (u + v) = ku + kv. [M2] ∀h,k ∈ R, ∀u ∈ ν , (h + k) u = hu + ku. [M3] ∀h,k ∈ R, ∀u ∈ ν , h (ku) = (hk) u. [M4] ∃1 ∈ R, 1u = u, ∀u ∈ ν . Hiệu của 2 vectơ u và v là vectơ w ∈ ν : v + w = u. Ta ký hiệu các vectơ u và v là u – v, nghóa là u – v = w. Rõ ràng là u – v = u + (– v). Đònh lý 1 : a. Vectơ 0 tồn tại duy nhất. b. Với mỗi vectơ bất kỳ, vectơ đối tồn tại duy nhất. c. ∀u ∈ ν , đẳng thức 0u = 0 được thỏa mãn. d. ∀k ∈ R và 0 ∈ ν , đẳng thức k0 = 0 được thỏa mãn. e. Từ đẳng thức ku = 0 suy ra một trong hai đẳng thức k = 0 hoặc u = 0.  Các thí dụ về không gian vectơ : f. Vectơ (-1) u là vectơ đối của vectơ u. 1. Không gian vectơ R n . n là số nguyên dương, ta xét các dãy sắp thứ tự gồm n phần tử của R : [a 1 ,a 2 ,…, a n ]. Tập hợp các dãy đó là tập tích R n . Giả sử u = [a 1 ,a 2 ,…, a n ], v = [β 1 , β 2 ,…, β n ], là hai phần tử thuộc R n và k ∈ R. Ta đặt : u + v = [a 1 + β 1 , a 2 + β 2 ,…, a n + β n ] (3.1) ku = [ka 1 + ka 2 ,…, ka n ] (3.2) Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên thỏa mãn tất cả 8 tiên đề trong đònh nghóa không gian vectơ, vì vậy R n là không gian vectơ trên trường số thực R. Vectơ 0, phần tử trung hoà của phép tính cộng là vectơ [0, 0, …, 0] và phần tử đối của vectơ u = [a 1 ,a 2 ,…, a n ] là vectơ – u = [- a 1 , - a 2 ,…, - a n ]. Các số thực a 1 ,a 2 ,…, a n được gọi là các thành phần của vectơ u = [a 1 ,a 2 ,…, a n ]. 2. Gọi X là tập hợp không rỗng và F là tập hợp tất cả các hàm số từ X vào R. Tổng hai hàm f, g ∈ F là hàm f + g ∈ F được xác đònh bằng đẳng thức : (f + g) (t) = f (t) + g (t), ∀ t ∈ X. Tích vô hướng của hàm f ∈ F với K ∈ R là hàm k f ∈ F. Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên thỏa mãn tất cả 8 tiên đề của đònh nghóa không gian vectơ. Vậy F là một không gian vectơ trên R. 3. P n là tập hợp tất cả các KHÔNG GIAN EUCLIDE TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E Khi E gọi không gian Euclide (thực) < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − gọi tích vô hướng véctơ Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn tiên đề < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R < x, x >> 0, x = < x, x >= ⇔ x = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv Rn không gian Euclide cho tích vô hướng < ·, · >: Rn × Rn → R n (x, y ) −→< x, y >= xi yi i=1 với x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] không gian Euclide cho tích vô hướng < ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R b (f , g ) −→< f , g >= f (x)g (x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh b < f , g >= b f (x)g (x)dx = a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] g (x)f (x)dx = a b < f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx = a b b f (x)h(x)dx + a g (x)h(x)dx = a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = a b < f , f >= (f (x))2dx = ⇔ f (x) ≡ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho quy tắc ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 Tìm m để < x, y > tích vô hướng < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 + y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) = < x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2 < αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) = α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R < x, x >= x12 + x1x2 + x2x1 + mx22 = (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 > 0, (x = 0) ⇒ m > < x, x >= ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 = ⇔ x1 = x2 = hay x = m = Vậy m > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng < p, q >= p(x)q(x)dx, ∀p(x) = a1x + b1x + c1, q(x) = a2x + b2x + c2 Tính tích vô hướng p(x) = x − 4x + 5, q(x) = x + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Ví dụ Không gian Euclide Tích vô hướng p(x) q(x) < p, q >= p(x)q(x)dx = (x − 4x + 5)(x + 1)dx = = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 19 TP HCM — 2011 10 / 56 Sự trực giao Ví dụ < x3, y1 > < x3, y2 y1 − < y1, y1 > < y2, y2 1 − , , = − (1, 1, 1) − 3 3 1 = 0, − , 2 1 Vậy hệ (1, 1, 1), − , , , 3 trực giao y3 = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE > y2 + x3 > + (0, 0, 1) 1 0, − , 2 hệ TP HCM — 2011 46 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng < u, v >= u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 véctơ M = {1, x, x 2} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng < u, v >= u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 véctơ M = {1, x, x 2} Hệ véctơ M ĐLTT Theo công thức trực giao hóa, ta có v1 = u1 = 1 xdx < u2, v1 > v1 + u2 = − −1 v2 = − + x = x < v1, v1 > 1.dx −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ < u3, v1 > < u3, v2 > v1 − v2 + u3 < v1, v1 > < v2, v2 > 1 2 −1 x dx −1 x xdx − x +x = x − =− −1 1.dx −1 x dx Vậy hệ M = {1, x, x − } hệ trực giao v3 = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 48 / 56 Sự trực giao Ví dụ Hệ Trong không gian Euclide tồn sở trực giao Từ suy tồn sở trực ... độc lập tuyến tính u1 , u , , u m (m ≥ 2) không gian Euclide n Khi đó, tồn họ trực giao v1 , v2 , , v m cho u1 , u , , u m = v1 , v2 , , v m 75 Chứng minh Quy nạp theo m • Với m = : Chọn v1... = 1 v = ( 3, −6, ) v2 w3 = 1 v = ( 6, 2, −3) v3 {w1 , w , w 3} sở trực chuẩn 2 .5 Hệ Quả Trong không gian Euclide n luôn tồn sở trực chuẩn CHÉO HÓA MA TRẬN ĐỐI XỨNG BẰNG MA TRẬN TRỰC GIAO... nhận kết sau 4.4 Luật quán tính Khi dạng toàn phương không gian Euclide n đưa dạng tắc hai cách khác số hệ số dương số hệ số âm 4 .5 Giải thuật chuyển dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp dùng