Không gian Sobolev giangdayvn dmduc.toan Ch4 in

KHÔNG GIAN SOBOLEV Định lý Cho  tập mở n i  {1, , n} cho  trơn Lúc h f  f xi dx    xi hdx  f C (), h C (), 1 c Bài toán S1 Cho  tập mở n i {1, ,n} cho  trơn Lúc ~ ~ h f   f x dx    x hdx i i  f C1(), h Cc1(), fg d x  K | f | dx   Ta ký hiệu lớp tương đương cũa hàm số khả tích địa phương L1loc() Định nghĩa Cho p r [1,∞),  tập mở n, i {1, , n}, u v L1loc() Ta nói v đạo hàm suy rộng theo biến thứ i u ~ h   u xi dx    vhdx Theorem Cho  tập mở n f hàm số đo  Ta nói f khả tích vùng  Giả sử D Định nghĩa Cho  tập mở n f hàm số đo  Ta nói f khả tích vùng  với tập compắc K chứa   g  C c1 ( D ) Then f = a.e on   h Cc1(), Bài toán Cho f (x) = (0,1) (x) với x  = (-1 , 1) Chứng minh u  f  L1 () khơng có đạo hàm suy rộng H.D Chứng minh khơng có hàm số khả tích g cho h  f x dx    ghdx h Cc1(), i Bài toán Cho f (x) = |x| với x  = (-1 , 1) Chứng minh u  f  L1 () có đạo hàm suy rộng H.D Tìm hàm số khả tích g cho h  f x dx    ghdx i h Cc1(), Định nghĩa Cho  tập mở n i  {1, , n} cho  trơn p  [1, ] Ta ký hiệu W1,p() tập hợp lớp hàm u Lp () có đạo hàm suy rộng u  Lp () với i = 1,2, , n Đặt xi n u || u ||1, p || u ||Lp   || ||Lp u  W 1, p ()  x j 1 j Bài toán Chứng minh ||.||1,p chuẩn W1,p() Bài toán Chứng minh (W1,p(), ||.||1,p ) không gian Banach H.D Cho {um} dãy Cauchy W1,p() Chứng minh có v vj Lp() cho {um} hội tụ v, {um } hội tụ vm Lp() với i = 1, x j , n Định nghĩa Đặt W01, p () bao đóng Cc1 () (W1,p(), ||.||1,p ) Định lý Cho  tập mở n, p  (1,), T ánh xạ tuyến từ W1,p(D) vào  Lúc T liên tục W1,p(D) có g, g1, , gn Lp/(p-1)(D) cho T (u)  u D  ||| u ||| p  { | u | dx} p  1/ p  u W 1, p () Chứng minh |||.|||p chuẩn tương đương với ||.||1,p W01, p () Bài toán Cho  tập mở bị chặn ( W01,2 (),||.||1,2 ) ( W01,2 () ,|||.|||2 ) không gian Hilbert n gn ]dx u W1, p (D) n Định lý (Poincaré) Cho  tập mở bị chặn n p [1,) Lúc có số thực dương Cp cho p p 1, p  Bài toán Cho  tập mở bị chặn n p [1,) Đặt u  [ug  x g  x | u | dx  C p  | u | dx   u  W0 () Định lý Cho  tập mở bị chặn n T ánh xạ tuyến tính từ W01,2 (D ) vào  Lúc T 1,2 liên tục W0 (D ) có g W01,2 ( D ) cho T(u)  u g u g  ]dx xn xn x1  [x D u W01,2 (D) Định lý (Sobolev imbedding) Cho  tập mở bị chận n , u W1,p() u  Lq() với q  [1, với p  (1,) Lúc Định lý(Rellich-Kondrachov) Cho  tập mở bị chận n , p  [1,) np ] n p T(u) = u Định lý (Sobolev inequality) Cho  tập mở bị chận n, u W1,p() với p  (1,) Lúc có số thực dương C cho ||u||q  C ||u||1,p u W1,p() Bài toán Cho  tập mở bị chận Đặt T(u) = u2 với u  W1,2() Chứng minh T ánh xạ liên tục từ W1,2() vào L2 () 3 q [1, np ) Đặt n p  u  W1,p() Lúc T ánh xạ tuyến tính liên tục từ W1,p() vào Lq(), bao đóng T(A) Lq() tập compact Lq() với tập bị chặn A W1,p() Bài toán Cho  tập mở bị chận 3 Đặt T(u) = u2 với u  W1,2() Cho B(0,1) cầu đơn vị W1,2() Chứng minh T (B(0,1)) một tập compact L1 () Bài toán Cho  tập mở bị chận 4 f L3/2 () Đặt T (u )   ufdx  u  W01,2 () Chứng minh T ánh xạ tuyến tính liên tục từ W01,2 () vào  ...Bài toán Chứng minh ||.||1,p chuẩn W1,p() Bài toán Chứng minh (W1,p(), ||.||1,p ) không gian Banach H.D Cho {um} dãy Cauchy W1,p() Chứng minh có v vj Lp() cho {um} hội tụ... minh |||.|||p chuẩn tương đương với ||.||1,p W01, p () Bài toán Cho  tập mở bị chặn ( W01,2 (),||.||1,2 ) ( W01,2 () ,|||.|||2 ) không gian Hilbert n gn ]dx u W1, p (D) n Định lý (Poincaré)... (Sobolev imbedding) Cho  tập mở bị chận n , u W1,p() u  Lq() với q  [1, với p  (1,) Lúc Định lý(Rellich-Kondrachov) Cho  tập mở bị chận n , p  [1,) np ] n p T(u) = u Định lý (Sobolev