NỬA LIÊN TỤC DƯỚI Định nghĩa Cho (M,) không gian metric f hàm số thực M Ta nói f nửa liên tục M với dãy {xm} hội tụ x M, ta có f ( x ) liminf f ( xm ) m Bài toán Cho (M,) không gian metric, f hàm số thực nửa liên tục M, α số thực Chứng minh {x M : f (x) > α } tập mở M Hướng dẫn Chứng minh {x M : f (x) ≤ α} tập đóng M Hướng dẫn Cho dãy {xm} M cho lim f ( xm ) inf f ( M ) m Bài toán Cho (M,) không gian metric, f hàm số thực M, α f (M) Giả sử với β ≤ α tập Kβ = {x M : f (x) ≤ β } compắc Chứng minh có u M cho f(u) = f (M) H.D Cho {xm} dãy M cho {f (xm)} hội tụ đến inf f (M) Giả sử βm = f (xm) ≤ α Chứng minh có dãy {xm } {xm} hội tụ u tập m1 K k m Bài tốn Cho (M,) khơng gian metric, f hàm số thực M Giả sử {x M : f (x) > α } tập mở M với số thực α Chứng minh f nửa liên tục M Hướng dẫn Cho dãy {xm} hội tụ x M Cho số thực β cho β < f (x) Chứng minh liminf f ( xm ) m Bài tốn Cho (M,) khơng gian metric, f hàm số thực nửa liên tục M, α f (M) Giả sử {x M : f (x) ≤ α } compắc M Chứng minh có u M cho f(u) = f (M) Định nghĩa Cho {xm} dãy không gian định chuẩn E Ta nói {xm} hội tụ yếu x E {T(xm)} hội tụ T(x) với T L(E, ) Bài toán Cho {xm} dãy hội tụ yếu x không gian Banach (E,||.||) Chứng minh {||xm||} bị chặn H.D Đặt m(S) = S(xm) với số nguyên m với S F = L(E, ) Đặt |||S||| = sup {|S(u)| : u E , ||u|| ≤ 1} |||| m|||| = sup {| (T)| : T L(E, ), |||T||| ≤ 1} Dùng định lý Hahn-Banach chứng minh ||||m|||| = ||xm|| Dùng định lý Banach-Steinhaus chứng minh {||||m||||} bị chặn Định nghĩa Cho M tập khác trống không gian Banach E f hàm số thực M Ta nói f nửa liên tục yếu M với dãy {xm} hội tụ yếu x M, ta có f ( x ) liminf f ( xm ) m Định nghĩa Cho M tập khác trống không gian Banach (E,||.||) f hàm số thực M Ta nói f coersive M với dãy {xm} M với {||xm||} hội tụ ∞ , ta có {f (xm)} hội tụ ∞ Định nghĩa Cho M tập không gian Banach E Ta nói M đóng yếu E với dãy {xm} M hội tụ yếu x E, ta có x Bài tốn Cho E khơng gian Banach Giả sử dãy bị chặn {xm} E có dãy hội tụ yếu E Cho M tập đóng yếu E Cho f hàm số thực coersive nửa liên tục yếu M Chứng minh có u M cho f(u) = f(M) H.D Cho {um} dãy M cho {f (um)} hội tụ đến inf f (M) Chứng minh {um} dãy bị chặn có dãy hội tụ yếu u M Định lý Cho tập mở n F hàm số thực × ×n Giả sử : (i) Với (s,z) ×n , hàm số x F(x,s,z) đo (ii) Với x , hàm số (s,z) F(x,s,z) liên tục ×n (iii) Với (x,s) ×, hàm số z F(x,s,z) lồi n (iv) Có hàm số khả tích cho F(x,s,z) ≥ (x) (x,s,z) × ×n Đặt 1,1 J (u ) F ( x, u ( x ),u( x ))dx u W () Lúc J nửa liên tục yếu W1,1() ... Cho f hàm số thực coersive nửa liên tục yếu M Chứng minh có u M cho f(u) = f(M) H.D Cho {um} dãy M cho {f (um)} hội tụ đến inf f (M) Chứng minh {um} dãy bị chặn có dãy hội tụ yếu u M Định lý Cho... Banach E f hàm số thực M Ta nói f nửa liên tục yếu M với dãy {xm} hội tụ yếu x M, ta có f ( x ) liminf f ( xm ) m Định nghĩa Cho M tập khác trống không gian Banach (E,||.||) f hàm số thực M Ta