20162017 Giải Tích Cơ sở giangdayvn dmduc.toan

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH CƠ SỞ Học kỳ I - 2016-2017 THỜI GIAN : 90 PHÚT (Thí sinh tham khảo tài liệu mang theo ) Sinh viên chọn câu câu hỏi sau Với số nguyên n, cho An Bn tập khác trống cho ∞ An ⊂ Bn Hỏi ∪∞ n=1 An ⊂ ∪n=1 Bn hay sai? ∀ n ∈ IN : ”x ∈ An ” =⇒ ”x ∈ Bn ” (1) ∞ ? ”y ∈ ∪∞ m=1 Am ” =⇒ ”y ∈ ∪k=1 Bk (2) ? ”y ∈ {u : ∃k ∈ IN , u ∈ Ak }” =⇒ ”y ∈ {w : ∃m ∈ IN , w ∈ Am }” (2 ) Có bốn yếu tố : (a) x ∈ An , (b) x ∈ Bn , (c) y ∈ {u : ∃ k ∈ IN , u ∈ Ak }, (d) y ∈ {w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm }, Liên kết (c) với (a) dùng (1), ta có yếu tố : (f) "∃k ∈ IN , y ∈ Bk " Liên kết "Bk " (f) với "{w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm }" (2), ta có "Bk ⊂ {w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm }" (2’) Vậy y ∈ {w : ∃ m ∈ IN , w ∈ Bm } 2.(2, điểm) Cho {xn } dãy hội tụ IR Hỏi có hay khơng số ngun N cho < xn với n ≥ N ? ∀ > 0, ∃ N ( ) : |xn − 2| < ?∃ N : < xm ∀ n ≥ N( ) ∀m≥N (1) (2) Viết dạng ∀ > 0, ∃ N ( ) : − < xn − < ∀ > 0, ∃ N ( ) : − < xn < + ∀ n ≥ N( ) ∀ n ≥ N( ) (1 ) (1 ) Làm "2 − " "1" giống nhau: chọn = 3.(2, điểm) Cho k ∈ {1, · · · , N } {xk,n }n dãy hội tụ ak IR Đặt yn = x1,n + · · · + xN,n b = a1 + · · · + aN Hỏi {yn } có hội tụ b hay khơng ? ∀ > 0, ∃ N ( ) : |x1,n − a1 | < ∀ n ≥ N ( 1) (1) ··· ∀ ∀ N > 0, ∃ N ( ) : |x1,N − aN | < > 0, ?∃ N ( ) : |ym − b| < ∀ n ≥ N( N) ∀ m ≥ N( ) (N ) (N + 1) Viết dạng |ym − b| ≤ |x1,m − a1 | + · · · |xN,m − aN | < ∀ m ≥ max{N ( ), · · · , N ( + ··· + N N )} 4.(2, điểm) Cho a số thực {xn } dãy số thực Giả sử dãy {xnm } {xn } có dãy {xnmk } hội tụ a Hỏi {xn } có hội tụ a? Kết luận mạnh giả thiết: dùng phản chứng với giả thiết phản chứng; ∃ > 0, ∀ N ∈ IN , ∃ n > N : |xm − a| ≥ (1) Để liên kết (1) với giả thiết toán, ta phải thiết lập dãy {xn }: tìm tập vơ hạn J IN Chọn J = {m ∈ IN : |xm − a| ≥ } Đặt {xnm } dãy {xn } cho nm ∈ J với m ∈ IN : |xnm − a| ≥ for every m ∈ IN Theo giả thiết có dãy {xnmk } hội tụ a : ∀ > 0, ∃ N ( ) : |xnmk − a| < ∀ k ≥ N( ) Chọn = 5.(2, điểm) Với số nguyên n, cho fn hàm số thực [0, 1] Phủ định mệnh đề sau: "Với thực dương , có thực dương δ( ) cho |fm (x) − fm (y)| ≤ với số nguyên dương m, với x, y [0, 1], |x − y| < δ( )" Viết mệnh đề dạng ∀ > 0, ∃ δ( ) : |fm (x) − fm (y)| ≤ ∀ m ∈ IN , ∀ (x, y) ∈ {(u, v) ∈ [0, 1] : |u − v| < δ( )}