Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 178 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
GIỚI THIỆU MƠN GIẢI TÍCH A1 Mơn giải tích (6 tín chỉ) gồm hai mơn : - Giải tích A1 - Giải tích ( tín : 30 tiết giáo khoa + 30 tiết tập) - Giải tích A1 - Vi tích phân ( tín : 30 tiết giáo khoa + 30 tiết tập) (15 tiết tập môn dạy chung lớp lớn, phần lại dạy lớp tập nhỏ.) Bài giảng dựa slides soạn theo sách “Tốn Giải Tích” GS Dương Minh Đức, Nhà xuất Thống Kê 2005 Các slides để webpage http://www.math.hcmuns.edu.vn/~dmduc/giangday.html photocopy để sinh viên đọc trước nghe giảng Các tập tránh lối học đọc chép thụ động ( giảng viên sinh viên giải tập bảng sinh viên lại ghi chép giải) Lớp tập tạo tác phong học có thảo luận sáng tạo Sinh viên tìm hiểu cặn kẽ tranh luận lời giải số tập có giải sẵn ( xem dạng html tập) số toán giải học lý thuyết (xem dạng html slides giảng , danh sách tập ) CÁCH HỌC VÀ CHO ĐIỂM MƠN GIẢI TÍCH A1 Lớp học gồm 15 tuần, tuần có tiết lý thuyết tiết tập Mơn Giải tích dạy bảy tuần rưởi đầu, môn Vi tích phân dạy tuần rưởi cuối Cả hai môn thi sau tuần thứ 15 Điểm thi môn học (tối đa 10) tính sau : - điểm tập (chỉ tính đến 3) + điểm kỳ thi thức mơn học (chỉ tính đến 9) Tổng số điểm hai phần không 9,5 - sinh viên hỏi bạn tập, mà bạn không trả lời được, nửa điểm đỏ Các điểm đỏ nảy tính điểm tập khác.Nhưng sinh viên khơng có nửa điểm đỏ đạt điểm cuối mơn học 9,5 Các điểm kiểm tra lý thuyết tính vào điểm phần tập Nếu sinh viên có điểm phần tập, sinh viên tính điểm cho phần Các sinh viên vượt điểm bỏ qua lỗi nhỏ thi cuối học kỳ Các tập ghi danh sách tập Đầu học kỳ , giảng viên dạy tập thêm số tập danh sách này, hướng dẫn sinh viên giải lớp, để sinh viên làm quen với cách học "tương tác" (giữa sinh viên với sinh viên, sinh viên với giảng viên) Giảng viên dạy tập thêm số tập dư Bốn tập đầu danh sách phân công cho sinh viên xung phong nhận (sẽ tổ chức bốc thăm, có nhiều sinh viên xung phong nhận bài), tập khác phân theo lối bốc thăm Số tập không đủ cho sinh viên, số sinh viên kiếm điểm qua tranh luận lớp, việc cốt buộc sinh viên phải tranh luận với Các giải có sẵn (của sinh viên khố trước), khơng bảo đảm hoàn toàn đúng, giảng lý thuyết Sinh viên nhận tập, phải nghiên cứu thật kỹ định nghĩa, vấn đề có liên quan đến tốn (khơng thiết hạn chế chi tiết giải), chi tiết chứng minh, lỗi sai giải có sẵn Các sinh viên không phụ trách tập, phải nghiên cứu đề lời giải tập đó, ghi lại khơng hiểu rõ hỏi tập Các sinh viên quyền hỏi định nghĩa, định lý thí dụ liên quan đến từ ngữ đề lời giải tốn, hỏi cách suy nghĩ để tốn đó, phát triển toán Giảng viên tập gợi câu hỏi thêm cần thiết, loại câu hỏi khó trả lời câu hỏi mà sinh viên lớp không trả lời Cách cho điểm tập : - Điểm sinh viên phụ trách tập = [ 0,5 (nếu có photocopy giải cho lớp trước tuần) + 1] - 0.5×(tổng số điểm sinh viên đặt câu hỏi) - Điểm sinh viên đặt câu hỏi : 0,5 điểm đỏ cho câu hỏi mà sinh viên phụ trách tập không trả lời được, không hạn chế số lần hỏi buổi học - Nhóm sinh viên giải tập bị trừ điểm nào, cộng thêm 0,5 điểm đỏ cho sinh viên CHƯƠNG MỘT TẬP HỢP VÀ LÝ LUẬN CƠ BẢN TỐN GIẢI TÍCH vấn đề thực tiển DƯƠNG MINH ĐỨC Đây slides giảng mơn Tốn Giải Tích dành cho sinh viên năm thứ Khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa Học, Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, niên học 2007-2008 Bài giảng soạn theo : Giáo Trình Tốn Giải Tích 1, GS Dương Minh Đức, Nhà xuất Thống Kê, 2006 diễn giải kết luận mơ hình tốn học kết luận tốn học TỐN HỌC VÀ THỰC TIỂN Một vấn đề giải bước sau : dùng tốn để mơ hình vấn đề : làm rõ gọn hơn, Chúng ta mơ hình vấn đề sau: số tập mua số nguyên lớn hay 1, số tiền chi trả số từ đến 3.500.000, số tập mua n số tiền phải trả 3000n Chúng ta thấy mơ hình khơng vấn đề rắc rối : quĩ từ thiện, tập vở, tiền bạc học sinh nghèo dùng phương pháp tốn để giải tốn mơ hình diễn giải kết tốn học ngơn ngử thực tiển Thí dụ1 Giá tập 3.000$, quĩ tài trơ có 3.500.000$, hỏi mua tập cho học sinh nghèo? Và vấn đề biến thành : tìm số nguyên n lớn cho 3000n 3500000 Chúng ta mơ hình vấn đề sau: số tập mua số nguyên lớn hay 1, số tiền chi trả số từ đến 3.500.000, số tập mua n số tiền phải trả 3.000n Dùng kỹ thuật làm tốn thơng thường, tốn trở thành tìm số n lớn sau cho n 1166,66 Vậy ta có lời giải 1166 quyễn sách 1 Thí dụ Chúng ta có hai hệ thống đo C nhiệt độ : Celcius Fahrenheit Nhiệt 100 độ để nước đóng băng 0o C 32o F, Nhiệt độ nước lúc bắt đầu sôi 100oC C 212oF Để làm nhiệt kế dùng nhà, phải lập bảng kê số đo hệ Fahrenheit tương ứng với số đo từ -20 đến 70 hệ Celcius, F Đặt C F số đo nhiệt độ vật C hệ Celcius hệ Fahrenheit Ta biết: C=0 F=32, C=100 Ta 100 phải tính F tương ứng với trị giá C từ C -20 đến 70 212 F F 212 F C0 F 32 100 212 32 32 F 32 C 18 Vậy hay F 10 C 32 180 100 C -20 -15 -10 -5 10 15 20 25 30 35 F -4 14 23 32 41 50 59 68 77 86 95 Ta để ý 32 Đặt C F số đo nhiệt độ vật hệ Celcius hệ Fahrenheit Ta biết: C=0 F=32, C=100 Ta phải tính F tương ứng với trị giá C từ -20 đến 70 C 40 45 50 55 60 65 70 F 104 113 122 131 140 149 158 A TẬP HỢP Thí dụ : Trong tốn chuyển động quan tâm đến yếu tố thời gian, vận tốc khoảng đường di chuyển, yếu tố buộc phải xét tập hợp số thực Cho tập hợp E phần tử x E (ở x số, điểm liệu), lúc ta nói x E Trong việc mơ thí dụ trên, cần quan tâm đến vài số nguyên (chứ tất số nguyên) Trong vấn đề khác vậy, ta phải quan tâm đến số vật có chung vài tính chất Một tập thể số vật gọi tập hợp, vật gọi chung tên “phần tử” tập hợp Dùng lý thuyết tập hợp diễn tả dễ dàng số việc toán học Ngồi khảo sát lúc số vấn đề khác biệt cách sử dụng khái niệm tập hợp ánh xạ Thí dụ : tính số phải trồng dọc theo đường, ta phải tìm lời giải tập hợp số nguyên dương Õ 2 Ta thường mơ hình tập hợp số thực — tập hợp điểm đường thẳng D Số gán cho điểm A đường D, số thực dương x gán cho điểm M nằm phía bên phải A đường D với khoảng cách AM = x, số thực âm y gán cho điểm N nằm phía bên trái A đường D với khoảng cách NA = -y Thí dụ Để xét nghiệm phương trình x3 + 4x2 - = 0, Ta xác định tập hợp E = x : x3 + 4x2 - = 0 Ta có tập hợp thơng dụng tập hợp số nguyên dương Õ = 1,2, 3, , tập hợp số nguyên Ÿ = ,-3,-2,-1,0,1,2,3, , tập hợp số hữu tỉ – = m : m Ÿ nÕ , n tập hợp số thực — , tập hợp số phức ¬= x+iy : x y — , tập hợp trống tập hợp không chứa phần tử x N A M 10 Năm 1881, ơng John Venn (nhà tốn học người Anh) đề xuất việc mơ hình tập hợp X phần A mặt phẳng giới hạn đường cong X y Mơ hình tập hợp ơng Venn làm giản đơn nhiều tốn, thí dụ miền A mặt phẳng mơ hình tập hợp X có vài phần tử tập hợp có nhiều phần tử — Ở thấy tốn học nhìn vật theo nhiều cách, theo cách đó, X — nhìn theo ý nghĩa tập hợp, chúng đối sữ mơ nhau! Chúng ta thấy nhờ tính đồng hóa việc khác vậy, tốn có khái niệm chung cho vật : phần giao, phần hội tập hợp A Ta gán phần tử X điểm đánh dấu miền A Tuy nhiên nhiều lúc ta mơ hình X miền A, mà không cần đánh dấu điểm 11 gán A 12 3 Cho hai tập hợp A B Ta đặt y = sin x y=cos x E = x : x A x B , E phần giao A B ký hiệu A B A B X C 6 F = x : x A x B , F phần hợp A B ký hiệu A B D Y E F Đặt X Y đồ thị hàm số y = cos x y = sin x , với x [0,6] Lúc XY tập hợp gồm điểm A , B, C, D, E F Các điểm chung 14 đường thường gọi giao điểm AB 13 Thi dụ : Đặt A = {x — : sin x = 0} B = {x — : 2x2 + x - = 0} Cho hai tập hợp A B Ta đặt G = x : x A x B Ta ký hiệu G A \ B AB tập hợp nghiệm hệ phương trình sin x 0, 2 x x A\B AB tập hợp nghiệm phương trình (2x2 + x - ) sin x = 15 16 4 Nếu A B, ta gọi B \ A phần bù A B Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Ta nói A B rời A B = f, A A chứa B phần tử A thuộc B (lúc ta nói A tập B ký hiệu A B) B\A B B A B Cho A tập hợp, ta đặt P (A) tập hợp tất tập hợp A A Thí dụ : A = { , a , }, lúc A B A B B A , lúc ta ký hiệu A = B P (A) = { ,{2},{a},{},{2,a},{2, }, {a, },{2,a, }} 17 18 Để khảo sát thiết kế hệ thống máy lạnh giảng đường này, đo nhiệt độ số vị trí giãng đường (gọi A tập hợp vị trí đó) số thời điểm từ 7.00 sáng đến 6.00 chiều ngày Lúc quan tâm mợt lúc đến hai tập hợp : A [6,18] (các thời điểm mà ta đo nhiệt độ) Ta mơ hình việc tốn sau Thí dụ Gọi A tập hợp tất linh kiện cửa hàng máy tính ngày Một máy tính lắp ráp linh kiện coi tập A, phần tử P(A) Đặt M tập hợp máy tinh lắp ráp bán ngày hơm Lúc M tập P(A) Định nghĩa Cho A B hai tập hợp, ta đặt tích A B họ tất cặp (x,y) với x A y B ký hiệu A B Thí dụ Đặt A = {0,1,2, ,9} Lúc {1,9,2,4} tập A, số 1924 tập A Thí dụ: A = { , } B = {@,#,&}, lúc A B = {(2, @), (2, #), (2, &), (, @), (, #), (, &)} 20 B A = {(@, 2), (@, ), (#, 2), (#, ), (&, 2), (&, ) } 19 5 Thí dụ: A = { , } B = {@,#,&}, lúc A B = {(2, @), (2, #), (2, &), (, @), (, #), (, &)} B A = {(@, 2), (@, ), (#, 2), (#, ), (&, 2), (&, ) } A B • B A @ # & (#,•) (&,•) & (2,&) (•,&) • (@,•) # (2,#) (•,#) (@,2) (#,2) (&,2) @ (2,@) (•,@) Thí dụ: C = { m , n } D = {a,i,ơ}, lúc D C = {(a,m), (a, n), (i, m), (i,n), (ô,m), (ô,n) } C D = {(m,a), (m,i), (m,ơ), (n,a), (n,i), (n,ơ)} D C m a i ô am im oâm an n C in m n a ma na i mi ni oâ moââ noâ D oân 21 22 Thí dụ: C = { , } D = {-1,-2,-3}, lúc CD = {(1,-1), (1,-2), (1,-3), (2,-1), (2,-2), (2,-3)} DC = {(-1, 1), (-1,2), (-2,1), (-2,2), (-3,1), (-3,2) } Dùng biểu diển theo tích Descartes (b,d) d d (a,c) c a [a,b]x[c,d] c b a b Nếu B = A, ta thường ký hiệu A A A2 Lúc A2 họ tất cặp (x,y) với x A y A, ta phải lưu ý trường hợp (x,y) khác (y,x), thí dụ M = (1,2) khác N = (2,1) —2 23 M N 24 6 Liệt kê tất phần tử E Có hai toán liên quan đến tập hợp : xác định tập hợp chứng minh tập hợp chứa tập hợp khác Chúng ta xem phương pháp thông dụng sau dùng để giải vấn đề Thí dụ Xác định tập hợp : F = x Õ : 4x - 4x - x + x = , G = x Ÿ : 4x - 4x - x + x = , H = x – : 4x - 4x - x + x = , K = x — : 4x - 4x - x + x = A.1 Xác định tập hợp Để xác định tập hợp E ta có phương pháp sau : 4x - 4x - x + x = x(x - 1)(2x - 1)(2x + 1) Phương trình 4x - 4x - x + x = có nghiệm x = 0, , , Liệt kê tất phần tử E Định nghĩa lại tập hợp E cách giản dị Dùng đồ họa để diễn tả tập hợp E F = 1 , G = 0, , 1 1 H = 0, 1, , K = 0, 1, , 25 Định nghĩa lại tập hợp E cách giản dị Dùng Thí dụ Cho A B hai điểm mặt phẳng P Xác định tập hợp E = M P : AMB = 90o hình học phẳng ta thấy E đường tròn tâm O bán 2 26 đồ họa để diễn tả tập hợp E Dùng phương pháp giải hệ bất phương trình bậc chương trình trung học ta thấy E miền tam giác tô màu vàng hình vẽ kính OA P hay E =M P : OM = OA Thí dụ Xác định tập hợp E = x — : Thí dụ Xác định tập hợp x E = (x,y) —— : 2x > y > y - < -x Đặt O trung điểm AB Dùng kết x2 +x - < Dùng phương pháp xét dấu tam thức bậc hai ta có x2 + x - = (x - 1)(x +2 ) < -2 < x < Vậy E khoảng mở (-2, 1) 27 1 28 7 Như E F có diễn tả sau: giả thiết : cho x thuộc E x thuộc F kết luận : cho x thuộc E chứng minh x thuộc F Bài toán Cho A, B C ba tập hợp khác trống cho A B B C Chứng minh A C A.2 Chứng minh tập hợp A chứa tập hợp B Cho hai tập hợp E F Ta thấy E F có nhiều ý nghĩa sau: giả thiết : với x thuộc E x thuộc F kết luận : với x thuộc E chứng minh x thuộc F Tuy nhiên ta xét lúc “mọi x” E Một kỹ thuật tốn học giúp ta vượt qua khó khăn sau : Chỉ xét x E, x bất kỳ, nghĩa khơng có lựa chọn đặc biệt cho x Đây kỹ thuật “ăn một, nuốt tất cả” Kỹ thuật thuộc 29 nguyên lý “tập trung tư tưởng” toán học Giải Cho x A , ta có x thuộc B Cho x B , ta có x thuộc C Cho x A , chứng minh x thuộc C 30 Cách viết bên không chuẩn: phần tử ba dòng khơng thiết giống nhau, ta không dùng ký hiệu để diễn tả số vật khác Đây kỹ thuật “không viết trùng ký hiệu” Ba dòng phải viết thành: Cho x A , ta có x thuộc B Cho z B , ta có z thuộc C Cho t A , chứng minh t thuộc C Ta viết rõ giả thiết kết luận Cho x A , ta có x thuộc B (1) Cho z B , ta có z thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C (3) Từ (3), ta xét yếu tố “giống giống khác khác” toán : “t A” “x A ” Ta làm cho chúng giống viết lại toán (1) (2) (3) Ta phải chứng minh (3) dựa vào hai giả thiết (1) (2) Cho t A , ta có t thuộc B (1’) Cho z B , ta có z thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C 31 (3) 32 8 Cho t A , ta có t thuộc B (1’) Cho z B , ta có z thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C QUI TẮC GIẢI TOÁN Viết đánh số cẩn thận giả thiết kết luận toán, với yếu tố làm rõ (3) Ta xét yếu tố “giống giống khác khác” toán : “t B” “z B ” Ta làm cho chúng giống viết lại toán Cho t A , ta có t thuộc B (1’) Cho t B , ta có t thuộc C (2) Cho t A , chứng minh t thuộc C QUI TẮC GIẢI TỐN Khơng dùng ký hiệu cho hai việc khác (3) Bài toán giải xong 33 34 B Quan hệ tập hợp QUI TẮC GIẢI TOÁN Trong động nhiệt hay động nổ cần hệ thống piston cylinder, kích cở piston phải tương thích với kích cở cylinder : kích cở piston phải nhỏ hẵn kích cở cylinder, để piston chuyển động với ma sát nhỏ vận tốc nhanh cylinder, khơng q nhỏ để tạo lực nén cylinder Ta mơ hình tốn học sau: gọi r đường kính lòng cylinder s đường kính piston, ta phải có 0,998r s 0,999r Xét các yếu tố "giống giống khác khác" toán, cố gắng làm chúng dạng giống hẵn Sau viết lại toán với dạng mới, xét yếu tố giống giống khác khác dạng toán Lặp qui trình giải xong tốn Chủ yếu trình tâm trung quan sát yếu tố khác nhau, khơng nên để ý nhiều yếu tố hoàn toàn giống Như cần quan hệ thứ tự — 35 36 9 Bài toán 134 Cho f ( x ) x Chứng minh f khả tích (0,1) tính d z f (t )dt Bài toán 135 Cho f ( x ) với x (0,1) Chứng minh f khả tích f ( x )dx xác định với [c, d] (0, 1) z f (t )dt | < z f (t )dt | - c | | - d| c d dx = x 2( d c ) c x f ( x )dx xác định với [c, d] (-,) Có số thực cho với số thực dương ta tìm số thực dương M | - c d tính c Có số thực cho với số thực dương ta tìm số thực dương d d c | - với x x2 d z f (t )dt | 0 cho a + < b Làm mạnh bất đẳng thức a < b cách: có số >0 cho a < b - KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Khi có bất đẳng thức liên quan đến số dương số nguyên dương ( nghịch đảo số nguyên dương) , ta phải nhớ tính chất Archimède sau : Nếu x > < y, lúc có số nguyên dương m cho y < mx (hay m-1y < x ) KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Cho A tập bị chặn — M œ — Để chứng minh sup A § M , ta làm sau : Chứng minh x § M " x œ A Cho B tập bị chặn — S œ — Để chứng minh S § inf B , ta làm sau : Chứng minh S § y " y œB 170 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 6b Nếu số bị bé số cụ thể hơn, thay chặn trực tiếp số đó, ta chặn số cụ thể tương ứng KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 6c Nếu {an} hội tụ a Ta ước lượng |an| theo |a| sau Cho > ta có N() cho | an - a | < n > N() |an| | an- a| + |a| |a| + Nếu a : -1 |a| |a| - | an- a| | an| n > N(1) -1 n > N(2 |a| ) (1) (2) (3) KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Khi giải bất phương trình có “” với nhiều ẩn số Chúng ta thử giải phương trình có “=” ẩn số KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Cho {xn} dãy số thực Cauchy a số thực Để chứng minh {xn } hội tụ a, ta cần tìm dãy { xnk } {xn } cho { xnk } hội tụ a KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Cho {xn} dãy số thực Cauchy a số thực Để chứng minh {xn } hội tụ a, ta cần tìm dãy { xnm } {xn } cho { xnm } hội tụ a KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 10 Để chứng minh dãy {xn} hội tụ, chưa biết giới hạn Ta cần chứng minh {xn} dãy Cauchy KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 11 Trong tốn có giới hạn có sup inf, ta nên viết “{xn} hội a” dạng n N() Cho > tìm N() N cho | xn - a | 171 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 12 Bản chất chuỗi số hội tụ số thực , nữa, giới hạn dãy số Để khảo sát chuỗi số, ta phải xét dãy {sn} tổng riêng phần Sau khảo sát giới hạn {sn}, giới hạn {sn} KỸ THUẬT GIẢI TỐN 13 Để khảo sát dãy số {xn} , ta xét chuỗi số a m 1 m , với a1 = x1 , ak+1 = xk+1 – xk với số nguyên dương k Lúc dãy số {xn} dãy tổng riêng phần {sn} chuỗi Cho chuỗi số a m 1 m Để khảo sát dãy số {an} , ta để ý an = sn – sn-1 với số nguyên dương k , {sn} dãy tổng riêng phần chuỗi KỸ THUẬT GIẢI TỐN 14 Khi có số nguyên N cho |an| bn n N Để chứng minh chuỗi an n 1 sánh KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 15 Yếu tố “ f liên tục x” viết thành hai dạng tương đương : (i) Nếu {xn} hội tụ x, {f(xn)} hội tụ f(x) (ii) Cho > tìm > cho | f(y) - f(x) | < y A với | y – x | < (x) Ta thường dủng dạng (i) Thường ta dùng dạng dãy số Cho > ta có N() N cho | xn - x | < n N() (1) fl Cho ’ > ta có M(’) N cho | f(xn) - f(x) | < ’ n M(’) (2) 172 hội tụ, ta nên xét hội tụ b n 1 n dùng tiêu chuẩn so Có ” > cho với m œ Õ ta có zm A với | f(zm ) - f(x) | ” (3) | zm– x | < cho Theo QTGT 6, ta để ý {xn} (1) hội tụ {zm} (3) chưa hội tụ Để làm chúng giống nhau, ta nên dùng định lý BolzanoWeierstrass KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 16 Để chứng minh hàm số liên tục, ta nên xét có phải tổng tích hàm số liên tục KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 17 Nếu f '(x) |f (z) - f (x) | xuất toán, ta ta phải để ý dùng bất đẵng thức sau: Cho f hàm số thực khoảng mở (a,b) x (a,b) Giả sử f khả vi x (1) Có số thực M > cho |f (y) - f (x) | M|y-x| y, |y-x| < (2) Nếu f '(x) = : với số thực dương ()> cho : |f (t) - f (x) | |t-x| t, |t-x| < () (3) Nếu f '(x) : với số thực dương c