giangdayvn dmduc.toan chhong gian Lp n

giangdayvn dmduc.toan chhong gian Lp n tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

KHƠNG GIAN LP() Cho ánh xạ µ : M  [0, ∞] có tính chất sau Cho X tập hợp khác trống Cho M họ khác trống tập X có tính chất sau : (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu {An } dãy phần tử rời M   ( An ) (D1)   M  A n  A  M  (A ) n (ii) có B M  (B) <   {An }  M M n 1  n 1 n 1 (D2)  \ A  M (D3)  Lúc ta nói  độ đo dương X Lúc ta nói M -đại số X GIẢI TÍCH THỰC - CH 1 GIẢI TÍCH THỰC - CH Có -đại số M độ đo dương µ khơng gian n có tính chất sau : (ii) µ(E + a) = µ(E) (i) Các tập mở tập đóng n thuộc M (iv) à(cE) = |c|nà(E) (ii) à([a1,b1]ìì [an,bn]) = (b1 - a1)ì ì (bn - an) à((a1,b1)ìì (an,bn)) = (b1 - a1)× × (bn - an) O b3 a b2 b1  E  M , c   \ {0} cE Trong giáo trình M µ luôn -đại số Lebesgue độ đo Lebesgue n GIẢI TÍCH THỰC - CH E+a Định nghĩa Ta gọi M µ -đại số Lebesgue độ đo Lebesgue n a2 a E  E  M , a  n a E GIẢI TÍCH THỰC - CH Định lý Cho E tập đo n với µ(E) hữu hạn, cho số dương  Lúc có tập compact K tập mở V cho K  E  V µ(V \ K) <  Định lý Cho tập compact K tập mở V n cho K  V Lúc có hàm số liên tục  từ n vào [0,1] cho 1 0  ( x)   x  K , x  R n \ V GIẢI TÍCH THỰC - CH Ta viết rõ kết luận: Bài toán Cho E tập đo n với µ(E) hữu hạn, cho số dương  Lúc có hàm số liên tục  từ n vào [0,1] cho µ ({x  n : E(x) ≠ (x)}) <  Hướng dẫn Viết rõ toán E đo n (1) µ(E) <  (2) >0 (3) n Tìm hàm số liên tục  từ  vào [0,1] cho µ ({x  n :GIẢITÍCH ≠ (x)}) <  (4) E(x) THỰC - CH Có tập compắc K tập mở V cho µ({x E : (x) ≠ 1}  {x  \ E : (x) ≠ 0} ) <  (5) Yếu tố “liên tục” kết luận liên quan đến tập hợp đóng mở, nên ta viết “tập E ” giả thiết dạng có liên quan đến tập đóng mở: Có tập compắc K tập mở V cho n K  E V µ(V \ K) <  (6) (7) (6) (7) Tìm liên hệ giửa “tập compắc K  tập mở V ” hàm số liên tục: Có hàm số liên tục  cho 1 0  ( x)   Tìm liên hệ giửa “tập compắc K  tập mở V ” hàm số liên tục: GIẢI TÍCH THỰC - CH K  E V µ(V \ K) <  x  K , x  R n \ V Để ý {x E : (x) ≠ 1}  {x  n \ E : (x) ≠ 0} chứa (E \ K)  (V \ E)  V \ K Chọn  =  GIẢI TÍCH THỰC - CH Định nghĩa Cho  tập đo n, m số thực c1, , cm, m tập đo A1, , Am chứa m  Đặt s ( x )   ci  ( x ) x   A i 1 i Định lý Cho f hàm đo tập đo  Lúc có dãy hàm đơn {tm}  cho lim tm ( x)  f ( x) m  Ta nói f hàm đơn  Định nghĩa Cho  tập đo n Cho f ánh xạ từ  vào [-∞,∞] Ta nói f ánh xạ đo  f -1((a,]) M với số thực a Định lý Cho f hàm đo tập đo  n Giả sử f(x)  với x  Lúc có dãy hàm đơn {sm}  cho :  s1(x)  s2(x)   sm(x)  f (x)  x   lim sm ( x)  f ( x) m  GIẢI TÍCH THỰC - CH Định nghĩa Cho E  M Đặt gọi có  s d E  x   GIẢI TÍCH THỰC - CH GIẢI TÍCH THỰC - CH 10 Định nghĩa Cho  tập đo n, cho  s d    c ( A E  x   1 k  m k k E M , f hàm đo từ  vào [0,∞]  E) Đặt F (f ) họ hàm đơn s  cho  s  tích phân s E Tích phân thể  f đặt Ta gọi E f d   E f d  sup  s d  E s  F( f ) tích phân Lebesgue f E với độ đo  Tích phân f  GIẢI TÍCH THỰC - CH 11 GIẢI TÍCH THỰC - CH 12 Định nghĩa Cho  tập đo n, E M , f hàm thực đo  Lúc | f | hàm số từ  vào [0,∞) Giả sử  | f | d    Ta gọi E f d    d   f d E E với độ đo  Tích phân f số thực m  m d   f ( x) X f d  13 Bổ đề Fatou Cho  tập đo n, E  M , {gm} dãy ánh xạ đo từ  vào [0,] Ta có E lim inf g (ii) lim inf  g m d  m  E x  X lim f m ( x ) m X lim f m  m d  lim  m  fmd  14 14 Định lý (hội tụ bị chận Lebesgue) Cho  tập đo n {fm} dãy hàm số khả tích , f hàm số X giả sử có hàm số g khả tích  cho (ii) | fm ( x) |  g ( x) f ( x)   x  ,  m  N x   lim f m ( x) m  Lúc f khả tích  fmd   f d   mlim   lim  | f m  f |d   m  15 X GIẢI TÍCH THỰC - CH (i) GIẢI TÍCH THỰC - CH x  X Lúc tích phân Lebesgue f GIẢI TÍCH THỰC - CH f1 ( x )  f ( x )    f m ( x )   (i) Đặt f + (x) = max{f (x), 0}, f - (x) = max{- f (x), 0} E f d   E f Định lý (hội tụ đơn điệu Lebesgue) Cho X tập đo n {f m} dãy ánh xạ đo từ X vào [0 , ] , f ánh xạ từ X vào [0 , ] giả sử  GIẢI TÍCH THỰC - CH 16 Bài tốn Cho  tập đo n, cho E M , f hàm đo từ  vào [0,∞] Giả sử µ(E) = Chứng minh  f d  E f hàm đo từ  vào [0,∞] µ(E) = ?  E f d  (1) (2) (3) Xét trường hợp đơn giản f hàm đơn m s ( x )   ci  i 1  E s d  A i ( x)  c ( A 1 k  m k  E)   1 k  m ck  (3’) 17 Bài toán Cho  tập đo n f hàm đo từ  vào [0,∞] Giả sử  f d    với E M Chứng minh E µ({x   : f (x) = ∞}) = Làm rõ ký hiệu “f (x) = ∞” : f (x) ≥ α  α   Vậy {x   : f ( x )  }   R{x   : f ( x )   }  E f d   với E M (1) ({ x   : f (x) = ∞})  ({ x   : f (x) ≥ α}) với α   (2) Cho α  , đặt E= {x  : f (x) ≥ α}, tính (E) (3) GIẢI TÍCH THỰC - CH  E gd   lim  sn d   (5) n  E Xét hàm f tổng quát Liên hệ với phần chứng minh: f = f + - f - x   k THỰC - CH GIẢI TÍCH Liên hệ với phần chứng minh, xét hàm f phức tạp chút f = g  : Có dãy hàm đơn {sn} tiến lên điểm g  (4) Liên hệ (4) với yếu tố “tích phân”, ta có định lý hội tụ bi chặn Lebeague 19  E  E f d    f d    f d   E E GIẢI TÍCH THỰC - CH f d   với E M 18 (1) ({ x   : f (x) = ∞})  ({ x   : f (x) ≥ α}) với α   (2) Cho α  , đặt E= {x  : f (x) ≥ α}, tính (E) (3) Khi có điều kiện tích phân f , để tính độ đo tập hợp có dính dáng đến f : xét tích phân f tập ước lượng tích phân theo quan hệ tập f 0 E f d     d    ( E ) Chọn α =1 E GIẢI TÍCH THỰC - CH (4) 20 Bài toán Cho  tập đo n , f g hai hàm số khả tích  Đặt B = {x  : f (x) ≠g(x) } Giả sử µ(B) = Cho E tập đo chứa , chứng minh  E f d    gd    E hd    E  B hd    hd   hd  \ B - CH GIẢI TÍCH E THỰC  Cho E đo   ? E E (2) (2 ') f d    gd  hd   (1) (2) Ta làm rõ (1): B = {x  : |h(x)| ≠0 }  {x  :| h( x) | 0}  n1{x  :| h( x) | } n Đặt Cm={x: h(x) > m-1} Dm={x: - h(x) > m-1} với số nguyên m Vậy  B  ( m 1 Cm )  ( m 1 Dm )   m 1 m 1 E Chứng minh µ(B) = Đặt h = f – g Ta có B = {x  : h(x) ≠0 } Bài toán trở thành Cho E đo   (1)  hd   E ? µ(B) = 21 µ(B) =   E E Đặt h = f – g Ta có B = {x  : h(x) ≠0 } Bài toán trở thành µ({x  : h(x) ≠0 }) = µ(B) = (1) Cho E đo   :? Bài toán Cho  tập đo n , f g hai hàm số khả tích  Đặt B = {x  : f (x) ≠ g(x) } Giả sử với tập đo E chứa  (2) GIẢI TÍCH THỰC - CH  Cho E đo   E hd   22 (1) Cm={x: h(x) > m-1} Dm={x: - h(x) > m-1} (3) ? µ(Cm) = µ(Dm) =  m =1,2, … (2’) 1 d    (Cm )   hd    Cm Cm m m 1   hd    d    ( Dm ) Dm Dm m m Vậy µ(Cm) = µ(Dm) =  ( B )   (( m 1 Cm )  ( m 1 Dm ))    (Cm )    ( Dm )   ? µ(Cm) = µ(Dm) =GIẢI TÍCH THỰC  m- CH=1,2, … 23 (2’) GIẢI TÍCH THỰC - CH 24 Định nghĩa Đặt M(Ω) tập hợp hàm số thực đo Ω Cho f g M(Ω), ta nói f ~ g ({x   : g(x) – f (x) ≠ 0}) = Bài toán 6a Chứng minh quan hệ ~ quan hệ tương đương M(Ω) Cho f , g h M(Ω), chứng minh f~f f~g  g~f f ~ g g ~ h  f ~ h Chúng ta chứng minh tính chất truyền GIẢI TÍCH THỰC - CH f , g h M(Ω) ({x   : g(x) – f (x) ≠ 0}) = ({x   : h(x) – g (x) ≠ 0}) = ? ({x   : h(x) – f (x) ≠ 0}) = Biến “≠” thành “=” f , g h M(Ω) f~g g~h ? f~h (1) (2) (3) (4) Làm rõ toán f , g h M(Ω) (1) ({x   : g(x) – f (x) ≠ 0}) = ({x   : h(x) – g (x) ≠ 0}) = ? ({x   : h(x) – f (x) ≠ 0}) = (2’) (3’) (4’) 25 (1) (2’) (3’) (4’) A={x   : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 (2”) B={x   : h(x) – g (x) = 0}: ( \ B) =0 (3”) C={x   : h(x) – f (x) = 0}: ? ( \ C) =0 (4”) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , A B Quan hệ chúng : A  B  C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A)  ( \ B)   \ C Chuyển qua yếu tố GIẢI TÍCH THỰC - CH 27 lại : ( \ A) + ( \ B)  ( \ C) GIẢI TÍCH THỰC - CH 26 Bài toán 6b Cho f , g , h k M(Ω) Giả sử f~g h ~ k Chứng minh ( f+h) ~ ( g+k) ({x   : g(x) – f (x) ≠ 0}) = (1) ({x   : k(x) – h (x) ≠ 0}) = (2) ? ({x  : [h(x) + f (x)] - [g(x) + k (x)] ≠ 0}) = (3) Biến “≠” thành “=” A={x   : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 B={x   : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 C={x : [h(x)+f (x)] - [g(x)+k(x)] = 0}: ? ( \ C) =0 (1’) (2’) (3’) GIẢI TÍCH THỰC - CH 28 A={x   : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 B={x   : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 C={x : [h(x)+f (x)] - [g(x)+k(x)] = 0}: ? ( \ C) =0 (1’) (2’) (3’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , A B Quan hệ chúng : A  B  C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A)  ( \ B)   \ C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) + ( \ B)  ( \ C) Bài toán 6c Cho f g M(Ω)   Giả sử f~g Chứng minh (f ) ~ (g) Bài toán 6e Cho f , g , h k M(Ω) Giả sử f~g , h ~ k ({x  : f(x) > h(x) }) = Chứng minh ({x  : g(x) > k(x) }) = ({x   : g(x) – f (x) ≠ 0}) = ({x   : k(x) – h (x) ≠ 0}) = ({x  : f(x) > h(x) }) = ? ({x  : g(x) > k(x) }) = Biến “≠” thành “=” (1) (2) (3) (4) A={x   : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 B={x   : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 (1’) (2’) Bài toán 6d Cho f , g , h k M(Ω) Giả sử GIẢI TÍCH THỰC - CH 29 f~g h ~ k Chứng minh ( f.h) ~ ( g.k) A={x   : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 (1’) B={x   : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 C={x  : f(x)  h(x)}: ( \ C) = D = {x  : g(x)  k(x)} : ? ( \ D) = (2’) (3’) (4’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : D , A , B C Quan hệ chúng : A  B  C  D Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A)  ( \ B)  ( \ C)   \ D Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) + ( \ B) + ( \ C)  ( \ D) GIẢI TÍCH THỰC - CH 31 GIẢI TÍCH THỰC - CH 30 Định nghĩa Cho f M() Đặt f  {g  M () : g ~ f } , N ()  {h : h  M ()} Định nghĩa Cho số thực α, f g M() Đặt h = f + g , k = αf u = f g Ta ký hiệu f  g  h ,  f  k , f g  u Bài toán Chứng minh N(Ω) không gian vectơ với phép cộng nhân nói Hướng dẫn Dùng tốn 6a, 6b 6c Định nghĩa Cho u v N(), f u g v Ta GIẢI TÍCH THỰC - CH 32 nói u ≤ v µ({x   : f(x) > g(x) }) = Định nghĩa Cho uN(Ω), E M E  Ω Ta ký hiệu  sd  s u s hàm đơn  E  g u g  Ω E ud    E gd   h u h khả tích Ω  E hd  Trong trường hợp cuối, ta nói u khả tích Ω Định nghĩa Giả sử với x  có tính chất P(x) Ta nói P hầu hết khắp nơi  µ({x : P(x) khơng đúng}) = Cho f g M(Ω), lúc f ~ g có nghĩa f (x) = g(x) GIẢI TÍCH THỰC - CH h.h.k.n  33 Am={x  : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = (1’) B={x  : {fm(x)} hội tụ}: ( \ B) = (2’) C={x  : {gm(x)} hội tụ}: ? ( \ C) = (2’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , Am B Quan hệ chúng : (Am)  B  D Chuyển qua yếu tố lại : ( \ Am)  ( \ B)   \ C Chuyển qua  yếu tố lại :   ( \ Am )  ( \ B)   ( \ C ) m 1 Định nghĩa Cho {um} dãy N() u N() Ta nói {um} hội tụ u  có f u fm um cho {fm} hội tụ f GIẢI TÍCH THỰC - CH 35 h.h.m.n  Bài toán Cho {um} dãy N() Cho fm gm um Giả sử ({x  : {fm(x)} không hội tụ})=0 Chứng minh ({x  : {gm(x)} không hội tụ})=0 (1) ({x  : gm(x)- fm(x) }) = ({x  : {fm(x)} không hội tụ}) = ? ({x  : {gm(x)} không hội tụ})=0 (2) (3) Biến “≠” thành “=” “không hội tụ” thành “hội tụ” Am={x  : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = (1’) B={x  : {fm(x)} hội tụ}: ( \ B) = (2’) C={x  : {gm(x)} hội tụ}: ? - CH( \ C) = GIẢI TÍCH THỰC (2’)34 Bài tốn Cho {um} dãy N() Cho fm gm um Chứng minh lim inf f n ~ lim inf g n n  n  ({x  : gm(x)- fm(x) }) = (1) inf f n  lim inf g n  0})  (3) ?  ({x   : lim n  n  Biến “≠” thành “=” Am={x  : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = B  {x   : lim inf f n  lim inf g n  0} : n  (1’) n  ? ( \ B) = GIẢI TÍCH THỰC - CH (2’) 36 Am={x  : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = B  {x   : lim inf f n  lim inf g n  0} : n  (1’) n  ? ( \ B) = (2’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : B Am Quan hệ chúng : Am  B Chuyển qua yếu tố Chuyển qua yếu tố lại : lại : ( \ Am)   \ B    ( \ Am )   ( \ B) m 1 Định nghĩa Cho {um} dãy N() , fm um g  lim inf g n Ta ký hiệu n  lim inf un  g n  GIẢI TÍCH THỰC - CH 37 ( \ A) = (1) ( \ B) = (2) Dm={x  : fm(x) – gm (x)  0}: ( \ Dm) = (3) ? ( \ C) = (4) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , A, B Dm Quan hệ chúng : A  B  (Dm)  C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A)  ( \ B)  ( \  Dm)   \ C hay ( \ A)  ( \ B)  (  \ Dm)   \ C Chuyển qua yếu tố lại :  ( \ A)   ( \ B ) TÍCH   (-  GIẢI THỰC CH 1\ Dm )   (  \ C ) m 1 Bài toán 10 Cho {um} dãy N() u N() Cho f  u, fm gm um với m Đặt A={x  : fm(x)  f(x) } B={x: ≤ g1(x) ≤ g2(x) ≤ ≤ gm(x) ≤ } C={x: ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ ≤ fm(x) ≤ } Giả sử ( \ A) = ( \ B) = Chứng minh ( \ C) = ( \ A) = (1) ( \ B) = (2) Dm={x  : fm(x) – gm (x)  0}: ( \ Dm) = (3) ? ( \ C) = GIẢI TÍCH THỰC - CH (4)38 Bài tốn 11 Cho {um} dãy N() u N() Giả sử (i) {um} hội tụ u   (ii) ≤ u1 ≤ u2 ≤ ≤ um ≤ Chứng minh lim  um dx   udx m   Theo tập 10, có f  u, fm  um với m, cho (1) A={x  : fm(x)  f(x) } :( \ A) = B={x: ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ ≤ fm(x) ≤ }: ( \ B) = (2) Bài tốn trở thành 39 GIẢI TÍCH THỰC - CH 40 A={x  : fm(x)  f(x) } :( \ A) = (1) B={x: ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ ≤ fm(x) ≤ }: ( \ B) = (2)    um d    f m d   ud    f d    (3) (4) m   ? m ud   lim  um d  (5) m  Bỏ ( \ A) = ( \ B) = : đặt x  A  B,  f ( x) g ( x)   x   \ ( A  B )  x  A  B ,  f ( x) gm ( x)   m xTHỰC  - CH\ 1( A  B )  GIẢI TÍCH  m    um d    f m d   lim inf um dx  lim inf  um dx m Bỏ ( \ A) = : đặt  gm  um : gm(x)    m um d    g m d    (3’) m    (4’) ud   lim  um d  (5) m  Dùng Định lý Hội tụ đơn điệu   gd   lim  g m d  (6) m   GIẢI TÍCH THỰC - CH  gm  um : gm(x)     (2) (3) 42  x (1’) m   (2’) um d    g m d   lim inf um dx  lim inf  um dx m Dùng Bổ đề Fatou: m   (3)  lim inf g m dx  lim inf  g m dx m m  x  A,  f ( x) gm ( x )   m x   \ A   x m   GIẢI TÍCH THỰC - CH   ? m    ud    gd     m    um d    g m d  41  fm  um , Am={x   : fm(x)  0} : ( \ Am) =0 (1)   (1’) (2’) Từ (3’), (4’) (6) ta có (5) lim inf um dx  lim inf  um dx m  ? Bài toán 12 Cho {um} dãy N() Giả sử um với số nguyên m Chứng minh  gm(x)  g(x)  x  ≤ g1(x) ≤ g2(x) ≤ ≤ gm(x) ≤  x  (1’) 43 (2’) GIẢI TÍCH THỰC - CH 44 Bài toán 14 Cho u  N() khả tích  Giả sử Bài tốn 13 Cho {um} dãy N() u N() Giả sử có v N() (i) {um} hội tụ u  ,  m  (ii) |um | ≤ v (iii)  vdx      f  u, f khả tích  : BT 5: “g khả tích  , E  ”  “g ~ 0” Chứng minh lim  um dx   udx   E   GIẢI TÍCH THỰC - CH 45 Định nghĩa Cho p  [1, ∞) Ta ký hiệu Lp() tập lớp hàm u N() cho  Ta đặt | u | p dx   || u || p  { | u | p dx}1/ p  u  Lp () Định nghĩa Ta ký hiệu L∞() tập lớp hàm u N() cho có f u số thực M ({x : |f(x)| > M }) = Ta đặt || u ||  inf{M  : ({x  :| f ( x) | M })  0} GIẢI TÍCH THỰC - CH   E  | f | dx   | u | dx  (1)  gdx  với E  M , với E  M f dx  (2) Liên hệ yếu tố lim  | um  u | dx  m    u  Chứng minh  m   | u | dx  u  L (), f  u 47 47  | f | dx    | f | dx   f dx   | f | dx   | f | dx (3) E E E GIẢI TÍCH THỰC - CH  46 Bài toán 15 Cho p [1, ], u  Lp(Ω) f  u Chứng minh µ({x : f (x) = ∞}) = Bài toán 16 Cho u  L(Ω) f  u Chứng minh µ({x : |f (x)| > ||u||}) = ||u|| = inf {M  : µ({x : |f (x)| > M}) = 0} (1) (2) ? µ({x : |f (x)| > ||u||}) = Tìm yếu tố “giống khác khác” : M ||u|| Làm chúng giống nhau: có dãy {Mk} tập hợp {M  : µ({x : |f (x)| > M}) = 0} hội tụ ||u|| Vậy với số nguyên n có k cho ||u||  Mk < ||u|| + n-1 -1 - CH GIẢI TÍCH THỰC µ({x : |f (x)| > ||u||  + n }) = 48 (1’) µ({x : |f (x)| > ||u|| + n-1 }) = ? µ({x : |f (x)| > ||u||}) = Viết toán dạng (1’) (2)  {x   :| f ( x ) ||| u || }   m 1{x   : | f ( x ) |  || u ||  m1 } (3) Từ (1’) (3), ta có (2) Bài tập 17 Chứng minh ||.||∞ chuẩn Cho u, v, w  L∞() ,    L∞()  f  u,  M : ({x : |f(x)| > M }) = (1) (2) || u ||  inf{M  : ({x  :| f ( x) | M })  0} ? || v ||  ? || v || =  v 0 GIẢI TÍCH THỰC - CH ? ||  v || = | | ||v || ? || v + w ||  ||v || + ||w || Ta chứng minh (5) (6) Chứng minh (5) (5) (6) Cho f  v (1) ||v|| = inf {M  0: (x: |f(x)| > M})=0} || v|| = inf {K  0: (x: | f(x)| > K})=0} (2) || v ||  | | || v || (3) || v ||  | | || v || (4) (3) (4) 49 GIẢI TÍCH THỰC - CH 50 Viết rõ toán Chứng minh (6) inf {K  0: (x: | f(x)| > K})=0}  | | inf {M  0: (x: |f(x)| > M})=0} inf {K  0: (x: | f(x)| > K})=0}  | | inf {M  0: (x: |f(x)| > M})=0} Cho f  v g  w ||v|| = inf {M  0: ({x: |f(x)| > M})=0} (1) (2) ||w|| = inf {K  0: ({s: |g(s)| > K})=0} ||v+w|| = inf{L  0: ({t: |f(t)+ g(t)| > L})=0}(3) (3’) (4’) Viết toán dạng inf {K  0: (x: | f(x)| > K})=0}  inf {M  0: (x: | ||f(x)| > M})=0} (3’) inf {K  0: (x: | f(x)| > K})=0}  inf {M  0: (x: | ||f(x)| > M})=0} (4’) GIẢI TÍCH THỰC - CH 51 ||v+w||  ||v|| + ||w|| Viết rỏ toán inf{L  0: ({t: |f(t)+ g(t)| > L})=0}  ||v|| + ||w|| ? ({t: |f(t)+ g(t)| > ||v|| + ||w|| })=0 GIẢI TÍCH THỰC - CH (4) (4’) (4”) 52 ||v|| = inf {M  0: ({x: |f(x)| > M})=0} ||w|| = inf {K  0: ({s: |g(s)| > K})=0} ? ({t: |f(t)+ g(t)| > ||v|| + ||w|| })=0 (1) (2) (4”) Viết toán dạng ({x: |f(x)| > ||v|| })=0 } (1’) ({s: |g(s)| > ||w|| })=0 (2’) (4”) ? ({t: |f(t)+ g(t)| > ||v|| + ||w|| })=0 Viết quan hệ yếu tố “giống giống khác khác” {t: |f(t)+ g(t)| > ||v|| + ||w|| }   | v  w | d    [| v |  | w |]d  53 (5”)  Xét liên quan giửa yếu tố “giống giống khác khác”: |v + w |  |v| + |w | Định lý (Hölder) Cho p q (1, ), f Lp() g Lq() cho p-1 + q-1 = Lúc |  fgdx |  {|  | f | p dx}1/ p {|  | g |q dx}1/ q    {|  | f  g | dx}  1/ p  {|  | g | dx}  p 1/ p ? || v ||1  v  0 ? || v ||1 =  ? ||  v ||1 = | | ||v ||1 ? || v + w ||1  ||v ||1 + ||w ||1 Ta chứng minh (5) Viết rõ toán  | v  w | d   | v | d   | w | d     |w | v  w | d   GIẢI[|TÍCH v | THỰC |]d  - CH  (2) (3) (4) (5) (5’) (5”)54 Định nghĩa Cho {um} dãy N() fm  um với số nguyên m Đặt sn= f1 + + fn với số tụ s  Ta đặt nguyên n Nếu {sn} hội  u n m 1  s Bài toán 19 Cho p [1, ] {uk} Lp()  Giả sử  uk hội tụ u Lp() Chứng minh  || u ||p   || uk || p k 1  {|  | g | dx}  p (1)  k 1 Định lý (Minkowski) Cho p [1, ), f g Lp(E) Lúc p || u ||1   | u | d   TÍCH {s: |g(s)| > ||w|| } {x: |f(x)| > ||v|| }GIẢI THỰC - CH  Bài tập 18 Chứng minh ||.||1 chuẩn L1() Cho u, v, w  L∞() ,    1/ p Bài toán 19 Cho p (1, ), chứng minh chứng GIẢI TÍCH THỰC - CH minh (Lp(Ω),||.||p) không gian định chuẩn 55 Đặt vn= u1 + + un với số nguyên n  n  N() (1) (2) GIẢI u TÍCH|| THỰC - CH 56 || u || p  ||  m p   || um || p Cho  > 0, có N()  : ||u – vn||p   m 1 m 1 Cho  > 0, có N()  : ||u – vn||p   m 1 m 1  n  N() (1) || u || p  ||  um || p   || um || p (2) Bài tập 20 Cho p [1, ) một dãy {uk} u Lp() Giả sử có g  Lp(), f  u fk  uk với k cho lim f m ( x )  f ( x ) Liên kết yếu tố toán m n | f m ( x ) | g ( x ) || u || p  || u  || p  || || p    ||  um || p n  m 1 m 1 lim  | um  u | p dx  Chứng minh m 1     || um || p     || um || p x  , n  N ( ) (3) m   Viết toán dạng: đặt hm = fm – f , vm = um -u lim hm ( x )  x  , m | hm ( x ) | g ( x ) GIẢI TÍCH THỰC - CH 57 lim  | vm | p GIẢI dxTÍCH THỰC - CH 58 m   Bài tập 21a Cho một dãy {uk} L() fk   uk với k Giả sử  k 1 || uk ||    Chứng minh  k 1 f k ( x ) hội tụ h.h.m.n , có m v L() cho Bài tập 21b Cho một dãy {uk} L1() fk   uk với k Giả sử  k 1 || uk ||    Chứng minh  k 1 f k ( x ) hội tụ h.h.m.n , có m v L() cho k 1 k 1 |  uk |  v  m  N Ak= {x  : |fk(x)|  ||uk||}: ( \ Ak) =  k Õ (1)  (2)  k 1 || uk ||   A= {x  : {fk(x)} hội tụ}: ? ( \ A) = (3) Liên hệ yếu tố “giống giống khác khác”:   k 1 Ak  A Viết dạng với yếu tố khác  GIẢI \TÍCH - CH  \ A 59  A THỰC  k k 1 |  uk |  v   A= {x  :  k 1 f k 1 k   m  N | f k |d    ( x ) hội tụ}: ? ( \ A) = (1) (2) Viết toán dạng :  B= {x  :  | f k | ( x ) hội tụ}: ? ( \ B) = k 1 n B= {x  : { | f k | ( xGIẢI)}TÍCH hộiTHỰC tụ}: - CH 1? ( \ B) = k 1 (2’) 60   k 1  (1) | f k |d    n B= {x  : { | f k | ( x )} hội tụ}: ? ( \ B) = (2’) k 1 n gn ( x)   | f k | ( x) Bài tập 21c Cho p (1,), một dãy {uk}  Lp() fk  uk với k Giả sử  k 1 || uk || p    Chứng minh  k 1 f k ( x ) hội tụ h.h.m.n , có m v Lp() cho |  uk |  v Đặt : 0 g1 (x) g2 (x)  gn (x)  k 1 Dùng định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue     | f k |d   lim  Vậy  n 0 k 1  | f k 1  | f k |d   lim   | f k |d     | f k |d  n 0 k 1  {  n  k 1 k 1  A= {x  :  k1 f k 1 khả tích ta có (2’) | k n  m  N k 1 k (1) | f k | p d }1/ p   ( x ) hội tụ}: ? ( \ A) = (2) Viết toán dạng :  B= {x  :  | f k | ( x ) hội tụ}: ? ( \ B) = k 1 n GIẢI TÍCH THỰC - CH 61 B= {x  : { | f k | ( xGIẢI)}TÍCH hộiTHỰC tụ}: - CH 1? ( \ B) = (2’) 62 k 1  {  k 1 n (1) | f k | p d }1/ p   n  p p  { (  | f k |) p d }1/ p  { | f k | d }1/ p  { | f k | d }1/ p   || uk || p(3)  k 1  k 1 n k 1  k 1 B= {x  : { | f k | ( x )} hội tụ}: ? ( \ B) = nk 1 (2’) Đặt g n ( x )  (  | f k | ( x )}: 0 g1 (x) g2 (x)  gn (x)  Dùng định lýk 1hội tụ đơn điệu Lebesgue   { | f  k 1 p n k |} p d   lim  { | f k |} p d  n 0 n p  Bài tập 21d Cho p [1, ] một dãy Cauchy {vk}trong Lp() Chứng minh {vk} hội tụ Lp() Có dãy {vk } {vk} cho || vk  vk || p   m với số nguyên m Đặt um  vkm 1  vkm với số nguyên m Theo tập trước  m 1 um hội tụ m u Lp() Vì vkm 1  vk1   k 1 uk nên {vk } hội vk1  u Lp() m 1 m m m k 1   lim{  { | f k | d }1/ p } p  {  | f k |d } p  n 0 k 1  k 1  Vậy { | f k |}p khảGIẢI tích ta có (2’) TÍCH THỰC - CH k 1 63 GIẢI TÍCH THỰC - CH 64 Bài toán 22 Cho p [1, ) dãy{vm} hội tụ v Lp() Chứng minh có dãy {vmk } {vm} w Lp() cho | vmk |  w  H.D Chọn {vmk } toán 21c Đặt Bài tốn 23 Chứng minh L2() khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau:  u, v   uvdx u, v  L2 ()  Định lý Cho p [1, ) Đặt S = { u Lp() : có hàm đơn s u} w  | vk1 |   m1 |vkm 1  vkm |  Chứng minh S trù mật Lp() H.D Cho v Lp() , chứng minh có dãy {sm} S hội tụ v Lp() Xét trường hợp v ≥ Dùng Định lý tập 20 GIẢI TÍCH THỰC - CH 65 Định lý Cho p [1, ) Đặt 66 Định lý Cho p [1, ) Đặt C = { u Lp() : có hàm liên tục f u} Cc = C  Cc(n) Chứng minh C trù mật Lp() H.D Cho v S Dùng toán chứng minh có dãy {fm} C hội tụ v Lp() (n Định nghĩa Đặt Cc ) tập hợp hàm số thực n liên tục f  cho có tập compact Kf chứa tập {x  n : f(x) ≠ 0} GIẢI TÍCH THỰC - CH GIẢI TÍCH THỰC - CH 67 Chứng minh Cc trù mật Lp() H.D Dùng tốn 1, chứng minh có hàm số thực liên tục gm từ n vào [0,1] cho 1 gm ( x)   0 x,|| x || m, x,|| x || m  Cho f C Đặt fm = gm f Áp dụng toán 20 GIẢI TÍCH THỰC - CH 68 Định lý Cho p  [1, ), q  (1, ] với p-1+q-1 = 1, T ánh xạ tuyến tính liên tục từ Lp() vào  Lúc có u Lq() cho T ( v )   uvdx v  Lp (),  Định lý Cho p  (1, ), q  (1, ) với p-1+q-1 = 1, {um} dãy bị chặn Lp() Lúc có u Lp() dãy {umk } {um} cho lim  um vdx   uvdx v  Lq () k  Rn || T |||| u ||q k   Bài toán 24 Cho u L1(n) α số thực khác không Cho f  u , đặt g(x) = f(αx) với x n Chứng minh g khả tích  gd   |  | n 69 69 Rn fd  Hướng dẫn Cho E tập đo n với µ(E) < ∞ Xét trường hợp f hàm đặc trưng E Chứng minh g hàm đặc trưng α-1E Bài toán 25 Cho u L1(n) a vectơ n Cho f  u , đặt g(y) = f(a - y) với y n Chứng minh g khả tích  Rn GIẢI TÍCH THỰC - CH  gd    Rn fd  GIẢI TÍCH THỰC - CH 70 Hướng dẫn Cho E tập đo n với µ(E) < ∞ Xét trường hợp f hàm đặc trưng E Chứng minh g hàm đặc trưng (a – E) Hướng dẫn Đặt p = r-1s q = (1- s-1r)-1 Cho u  Ls(E) , f  u g hàm đặc trưng E Áp dụng bất đẳng thức Holder cho |f |r g Bài tập 26 Cho u L1(n)  số thực dương Chứng minh có số thực dương  cho với tập đo E với µ(E) <  Bài toán 28 Cho E tập đo n, p  [1,∞), u  Lp(E) f  u Giả sử  E | u | d    Hướng dẫn Xét trường hợp f hàm đặc trưng, hàm đơn hàm không âm Bài toán 27 Cho E tập đo n với µ(E) < ∞, r s [1,∞) cho r < s Chứng minh Ls(E)  Lr(E) GIẢI TÍCH THỰC - CH 71  E fgd   g  Cc ( n ) Chứng minh f = h.h.m.n E Hướng dẫn Dùng bất đẳng thức Hölder , chứng minh đẳng thức với g hàm đặc trưng tập đo F với µ(F) < ∞ Bài tốn 29 Cho E tập đo n, p  [1,∞], u  Lp(E) f  u Đặt g(x) = f(x) x  E GIẢI TÍCH THỰC - CH g(x) = x  n \ E Chứng minh |g|p khả tích 72 ... , f g  u Bài t n Chứng minh N( Ω) khơng gian vectơ với phép cộng nh n nói Hướng d n Dùng to n 6a, 6b 6c Định nghĩa Cho u v N( ), f u g v Ta GIẢI TÍCH THỰC - CH 32 n i u ≤ v µ({x   :... to n Cho {um} dãy N( ) Cho fm gm um Chứng minh lim inf f n ~ lim inf g n n  n  ({x  : gm(x)- fm(x) }) = (1) inf f n  lim inf g n  0})  (3) ?  ({x   : lim n  n  Bi n “≠” thành... L∞() ,    1/ p Bài to n 19 Cho p (1, ), chứng minh chứng GIẢI TÍCH THỰC - CH minh (Lp( Ω),||.||p) không gian định chu n 55 Đặt vn= u1 + + un với số nguy n n  n  N( ) (1) (2) GIẢI u TÍCH||