Chuyên đề 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬTI.MỤC TIÊU. Kiến thức: HS năm vững ccác dãy số viết theo quy luật và cách tính tỏng của các dãy số đó Kỹ năng:Rèn cho hs kỹ năng tính chính xác tổng của một dãy số Thái độ: giúp học sinh có húng thú, say mê học toán.II.CHUẨN BỊG: soạn bài, sách tham khảo.H: ôn tâp.III.TIẾN TRÌNH1.Ổn định2.Kiểm tra.3.Bài mớiTiết 1: DÃY CỘNG 1) Ví du 1: Xét các dãy số sau:a)Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; …b)Dãy số lẻ: 1; 3; 5; …c)Dãy các số chia cho 3 dư 1: 1; 4; 7; 10;….
Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Ngày soạn:01/10/2015 Ngày dạy: Buổi Chuyên đề 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT I.MỤC TIÊU - Kiến thức: HS năm vững ccác dãy số viết theo quy luật cách tính tỏng dãy số - Kỹ năng:Rèn cho h/s kỹ tính xác tổng dãy số - Thái độ: giúp học sinh có húng thú, say mê học toán II.CHUẨN BỊ G: soạn bài, sách tham khảo H: ôn tâp III.TIẾN TRÌNH Ổn định Kiểm tra Bài Tiết 1: DÃY CỘNG 1) Ví du 1: Xét dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; … b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; … c) Dãy số chia cho dư 1: 1; 4; 7; 10;… Trong dãy số trên, số hạng, kể từ số hạng thứ hai, lớn số hạng đứng liền trước số đơn vị, số đơn vị dãy a), dãy b), dãy c) Ta gọi dãy dãy cộng 2) Khái niệm: Dãy cộng dãy số có số hạng (kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng đứng liền trước số đơn vị Xét dãy cộng 4; 7; 10; 13; 16; 19; … Hiệu hai số liên tiếp dãy số hạng thứ dãy 19 = + (6 - 1).3; số hạng thứ 10 dãy là: + ( 10 – 1).3 = 31 Tổng quát 1: Nếu dãy cộng có số hạng đầu a1 hiệu hai số hạng liên tiếp d số hạng thứ n dãy ( kí hiệu an) bằng: an = a1 + (n – 1).d Ví dụ2: a) Tìm số hạng thứ 100 dãy số: 1, 3, 5, 7, … b) Tìm số hạng thứ 80 dãy số : 4, 7, 10, 13, … Giải: a) Số hạng thứ 100 dãy số: 1, 3, 5, 7, … là: a100 = + (100 – 1).2 = 199 b) Số hạng thứ 80 dãy số: 4, 7, 10, 13,… là: a80 = + (80 – 1).3 = 241 Tổng quát 2: Nếu dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu a1, số hạng cuối an Thì tổng n số hạng là: S = (a1 + an )n Chú ý; Dãy số tự nhiên liên tiếp từ a đến b có: (b – a ) + G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -1- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán số Dãy số tự nhiên lẽ (chẳn) từ m đến n có: (n – m): + số Ví dụ 3: Tính tổng số hạng dãy cộng sau: + + 10 +… + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số) Giải: S= ( + 31) 10 = 175 Ví dụ 4: a) Bạn Tâm phải dùng chữ số để đánh số trang sách số tự nhiên từ -> 100 b) Bạn Lâm đánh số trang sách dày 284 trang dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,… Biết chữ số viết giây Hỏi bạn Lâm cần phút để đánh số trang sách? Giải: a) Bạn Tâm phải dùng: + 90.2 + 1.3 = 192 chữ số b) Dãy 2, 4, 6, có số, gồm chữ số Dãy 10, 12, 14, 16,….98 có: (98 – 10): + = 45 (số) có hai chữ số, gồm 45.2 = 90 chữ số Dãy 100, 102, 104, …284 có: (284 – 100): + = 93(số) có chữ số, gồm 93.3 = 279 (chữ số) Do bạn Lâm phải viết tất cả: + 90 + 279 = 373 (chữ số), hết 373 giây hay phút13 giây Tiết 2: LUYỆN TẬP Bài 1: Tính tổng sau: + 12 + 18 +… + 1992 Giải: Tổng + 12 + 18 +… + 1992 có : (1992 - 6): + = 332 số hạng Vậy tổng: + 12 + 18 +… + 1992 = (6 + 1992) 332 = 331668 Bài 2: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 358 trang b) 1031 trang Giải: a) Muốn đánh số từ đến 358( kể 358), Ta phải dùng: số có chữ số (99 -10) + = 90 số có hai chữ số Và (358 – 100) + = 259 số có ba chữ số Vây ta phải dùng: + 90.2 + 259 = 966 (chữ số) b) Tương tự, Ta phải dùng: + 90 + 900 + 32 = 3017 chữ số để đánh số trang sách có 1031 trang Bài 3: Người ta viết liền dãy số tự nhiên 12345… Hỏi chữ số đơn vị số : a) 53 đứng hàng thứ mấy? b) 328 đứng hàng thứ mấy? c) 1587 đứng hàng thứ mấy? Giải: a) Từ số đến số 53 ( kể 53) Có: + (53 -10 +1).2 = 97 chữ số Vậy hàng thứ 97 b) Vậy hàng thứ 876 c) Vậy hàng thứ 5241 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -2- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Bài 4: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a) 752 trang b) 1251 trang Giải: HS tự giải Đáp số: a) 2148 chữ số c) 3897 chữ số Bài 5: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số? Giải: Phải dùng + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số để viết tất trang có 1, 2, chữ số Vì 2889 < 3897 nên số phải tìm số có chữ số Tất số có chữ số viết là: 3897 − 2889 1008 = = 252 (số) 4 Số thứ có chữ số 1000, số thứ 252 có chữ số là:1000 + 252 – = 1251 Vậy sách có 1251 trang Bài 6*: Bạn Lâm đánh số trang sách dày 284 trang dãy số chẳn 2, 4, 6, 8, … Giải: Chữ số 300 dãy số chữ số nào? Viết dãy số chẵn từ đến 98 phải dùng: + 90 = 94 (chữ số), lại 300 - 94 = 206 (chữ số) để viết số chẵn có ba chữ số kể từ 100 Ta thấy: 206:3 = 68 dư Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100 + (68 – 1) = 234 hai chữ số thuộc số 236 Vậy chữ số thứ 300 dãy chữ số thuộc số 236 Tiết 3: CÁC DÃY KHÁC Ghi nhớ: Tổng n số tự nhiên liên tiếp bằng: + + + …….+ n = n(n + 1) Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) d) 2, 5, 10, 17, 26,… (4) Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1.3, 2.4, 3.5, 4.6, 5.7,… Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100 Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100.102 = 10200 b) Dãy (2) viết dạng: 1.3, 4.6, 7.9, 10.12, 13.15,… Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ).3 = 298 Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 [ + (100 - 1) 3] = 89400 c) Dãy (3) viết dạng: G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -3- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 , , , , , 2 2 Số hạng thứ 100 dãy (3) bằng: 100.101 = 5050 d) Dãy (4) viết dạng: + 12 , + 22, + 32, + 42, + 52… Số hạng thứ 100 dãy (4) bằng: + 1002 = 10001 Bài tập: Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9.1 +90.2 = 189 Chữ số 999 trang đầu cần dùng: 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 – 189 = 411 (chữ số) Số trang có chữ số 411: = 137 trang Vậy quyễn sách có tất là: 99 +137 = 236 trang LUYỆN TẬP CHUNG 1/ a) Tính tổng số lẽ có hai chữ số b) Tính tổng số chẳn có hai chữ số 2/ Tính tổng: A = + + 11 + 15 + … + 407 B = + + 16 + 23 +… + 709 3/ Viết liên tiếp dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng chữ số A Giải: 1/ a) Tập hợp số lẽ có hai chữ số có: (99 – 11):2 + = 45 số Vậy tổng chúng là: S = ( 11 + 99 ) 45 = 2475 b) Tập hợp số chẳn có hai chữ số có: (98 – 10 ):2 + = 45 số Vậy tổng chúng là: S = ( 10 + 98 ) 45 = 2430 2/ Tổng A có (407 – ):4 +1 = 102 số hạng Tổng B có: (709 – 2):7 + = 102 số hạng Vậy: A = ( + 407 ) 102 = 20910 B= ( + 709 ) 102 = 36221 3/ Theo đề ta có: A = 123456789101112… 9899100 Hay A = 0123456789101112….9899100 Từ đến 99 có 100 số ghép thành 50 cặp số (0 99), (1 98),….; Mỗi cặp có tổng chữ số 18 Tổng chữ số 50 cặp số 18.50 = 9.2.50 = 900 Thêm số 100 có tổng chữ số Vậy tổng chữ số số A là: 900 + = 901 IV.RÚT KINH NGHIỆM Văn Hải ngày tháng năm 2015 BGH duyệt G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -4- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Ngày soạn:05/10/2015 Ngày dạy: Buổi Chuyên đề 2: CHIA HẾT, CHIA CÓ DƯ TRONG TOÁN I.MỤC TIÊU - Kiến thức: HS năm vững khái niệm chia hết, chia có dư số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác 0, nắm vững tính chất phép chia hết, dấu hiệu chia hết - Kỹ năng:Rèn cho h/s kỹ nắm vững phương pháp giải toán chia hết - Thái độ: giúp học sinh có húng thú, say mê học toán II.CHUẨN BỊ G: soạn bài, sách tham khảo H: ôn tâp III.TIẾN TRÌNH 1.Ổn định 2.Kiểm tra 3.Bài I- LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Định nghĩa Với a, b∈N (b≠ 0) ta tìm số tự nhiên r cho a = bq + r (0 ≤ r < b) a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư - Nếu r = ta phép chia hết, tanói a chia hết cho b (a: b), hay a bội b, hay b chia hết a, hay b ước a (b/a) - Nếu r > 0,ta phép chia có dư, ta nói a không chia hết cho b (a :b) Các tính chất phép chia hết (10 tính chất) 1) Số chia hết cho số b≠ 2) Số a chia hết cho a≠ 3) Nếu a: b, b: c a c 4) Nếu a b chia hết cho m a+b a-b chia hết cho m 5) - Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a+b a-b không chia hết cho m - Nếu tổng hiệu hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m 6) Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m Suy a : m a n : m (n∈N * ) 7) Nếu a: m, b: n ab : mn Suy a : b a n : b n 8) Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố chia hết cho tích hai số 9) Nếu tích ab chia hết cho m, b m hai số nguyên tố a chia hết cho m 10) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết cho p Suy a n p, p ngyên tố a p Các dấu hiệu chia hết (9 dấu hiệu) G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -5- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Cho số tự nhiên M = a n a n-1 a a a 1) M ⇔ a ∈{0; 2; 4; 6; 8} 2) M 5 ⇔ a ∈{0; 5} 3) M 3 ⇔ (a n-1 + a n-1 + + a + a ) 4) M 9 ⇔ (a n-1 + a n-1 + + a + a ) 5) M 4 ⇔ a1 a0 6) M 25 ⇔ a a 25 7) M 8 ⇔ a2 a1 a0 8) M 125 ⇔ a a a 125 9) M 11 ⇔ {(a + a + ) - (a + a + )} 11 ⇔ {(a + a + ) - (a + a + )} 11 Các phương pháp giải toán chia hết Có phương pháp sau: PP 1.Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên tố p,có thể xét trường hợp số dư chia n cho p Ví dụ1: Chứng minh A(n)= n(n -+1)(n +4) 5 với số nguyên n Giải: Xét trường hợp: Với n 5 ,rõ ràng A(n) 5 Với n=5k ± ⇒ n = 25k ± 10 ⇒ A(n) 5 Với n= 5h ± ⇒ n = 25k ± 20k+4 ⇒ n +1 5 ⇒ A(n) 5 A(n) tích ba thừa số trường hợp có thừa số chia hết cho A(n) 5 PP .Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m,ta phân tích m thừa số.Giả sử m=p.q.Nếu p q số nguyên tố,hay p q nguyên tố ta tìm cách chứng minh A(n) p A(n) q(từ suy A(n) p.q=m) Ví dụ2: Chứng minh tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: Ta có A(n) = n(n+1)(n+2) 6=2.3(2 số nguyên tố),ta tìm cách chứng minh A(n) A(n) 3 Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho A(n) Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho A(n) A(n) A(n) 3 A(n) 2.3=6 Nếu q p không nguyên tố ta phân tích A(n) thừa số,chẳng hạn A(n)=B(n).C(n) tìm cách chứng minh B(n) p C(n) q (suy A(n) =B(n).C(n) p.q = m ) Ví dụ Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số chẵn 2n,số chẵn 2n+2,tích chúng A(n) = 2n(2n+2) ta có 8=4.2 A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) tích hai thừa số thừa số 4 thừa số n(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Vì A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) 2.4 =8 PP 3.Để C/M A(n) m, biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng C/M số hạng chia hết cho m Ví dụ 4: Chứng minh n -13n 6 với n thuộc Z Giải: Ta phải chứng minh A(n) = n -13n 6 Chú ý 13n=12n+n mà 12n 6 ,ta biến đổi A(n) thành G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -6- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán A(n) = (n -n)-12n = n(n -1)-12n=(n-1)n(n+1)-12n Mà (n-1)n(n+1) tích ba số nguyên liên tiếp nên (n-1)n(n+1) 6 (Ví dụ 2) Và 12n 6 Vì (n-1)n(n+1)-12n 6 hay A(n) = n -13n 6 PP 4.Để C/M tổng không chia hết cho m,có thể chứng minh số hạng tổng không chia hết cho m tất số hạng lại chia hết cho m Ví dụ : Chứng minh với số n lẻ : n +4n+5 không chia hết cho Giải: Đặt n=2k+1 (nlẻ) ta có : n +4n+5=(2k+1) +4(2k+1) +5 = (4k +4k+1+)+ (8k+4)+5 = (4k +4k) +(8k+8)+2 Đây tổng ba số hạng số hạng đầu (4k +4k)=4k(k+1) 8 (ví dụ 3),Số hạng thứ hai chia hết cho số hạng thứ ba không chia hết cho tổng không chia hết cho PP 5.Phương pháp phản chứng Ví dụ 6: Chứng minh a - không chia hết cho với a∈N Giải: Chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử A(n)=a - 5,nghĩa A(n) phải có chữ số tận 5, suy a (là số phương) phải có số tận chữ số 3;8 Vô lý(vì số phương có chữ số tận là:0;1;4;6;9) Vậy a - không chia hết cho PP 6.Phương pháp qui nạp Ví dụ7: Chứng minh 16 n -15n-1 225 Giải: Với n=1 16 n -15n-1=16-15-1=0 225 Giả sử 16 k -15k-1 225 Ta chứng minh 16 k+1 -15(k+1)-1 225 Thực vậy: 16 k+1 -15(k+1)-1=16.16 k -15 k -15-1 =(16 k -15k-1)+15.16 k -15 Theo giả thiết qui nạp 16 k -15k-1 225 Còn 15.16 k -15=15(16 k -1) 15.15=225 Vậy 16 n -15n-1 225 PP7 : Nguyên kí Diriclê II- MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ Bài 1: Khi chia số a cho số b ta thương 18 số dư 24 Hỏi thương số dư thay đổi số bị chia số chia giảm lần Giải: Theo định nghĩa phép chia theo đề ta có: a = b18 + 24 (1) (b > 24) Nếu số bị chia số chia b giảm lần từ (1) ta có: a: = (b18 + 24) = b18 + 24 = (b 6) 18 + (b > 4) Vậy số bị chia số chia giảm lần thương không thay đổi số dư giảm lần G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -7- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Bài 2: Khi chia số tự nhiên a cho ta số dư chia a cho ta số dư Tìm số dư phép chia a cho 36 Giải: Theo đề ta có: a = 4q + = 9q + (q q thương hai phép chia) Suy a + 13 = 4q + + 13 = 4(q + 4) (1) a + 13 = 9q + + 13 = 9(q + 2) (2) Từ (1)(2) ta nhận thấy a + 13 bội mà (4; 9) = nên alà bội 4.9 = 36 Ta có a + 13 = 36k (k∈N * ) ⇒ a = 36k - 13 = 36(k - 1) + 23 Vậy a chia hết cho 36có số dư 23 Bài 4: Tìm chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 Giải: Vì số 5; 7; đôi nguyên tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315 Ta có 579xyz= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz Suy 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nên: Nếu 30 + xyz = 315 ⇒ xyz = 315 - 30 = 285 Nếu 30 + xyz = 630 ⇒ xyz = 630 - 30 = 600 Nếu 30 + xyz = 945 ⇒ xyz = 945 - 30 = 915 Vậy x = 2; y = 8; z = x = 6; y = 0; z = x = 9; y = 1; z = Bài 5: Tìm n∈N biết 2n + chia hết cho n + Giải: Vì (2n + 7) (n + 1) ⇒ [2n + - 2(n + 1)] n + ⇒ n + ⇒ n + ước Với n + = ⇒ n = Với n + = ⇒ n = Đáp số: n = 0; n = Bài tập: 1.CMR: a) 89 26 -45 21 2 ; 2009 2008 -2008 2009 không chia hết cho b) 10 n -4 3 ; 9.10 n + 18 27 10 c) 41 -1 10 ;9 2n -14 5 2.CMR a) (a -1)a 12 với a >1 b) (n-1)(n+1)n (n +1) 60 với n ( Sử dụng PP ) CMR với n lẻ: a) n +15n-1 9 b)10 n +18n-28 27 (Gợi ý: dùng qui nạp) Tìm số dư phép chia sau: a)bình phương số lẻ cho b) 1000 cho c) 1000 cho 25 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -8- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 5.Chứng minh với n ∈ Z : a) n -n 2 ; b)n -n 3 ; c) n -n 5 (phân tích thành tích áp dụng PP1) IV.RÚT KINH NGHIỆM Văn Hải ngày tháng năm 2015 BGH duyệt Ngày soạn:13/10/2015 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải -9- Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Ngày dạy: Buổi Chuyên đề 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I.MỤC TIÊU - Kiến thức: HS năm vững khái niệm số phương, biết cách chứng minh số số phương số phương - Kỹ năng:Rèn cho h/s kỹ nắm vững phương pháp giải toán số phương - Thái độ: giúp học sinh có húng thú, say mê học toán II.CHUẨN BỊ G: soạn bài, sách tham khảo H: ôn tâp III.TIẾN TRÌNH 1.Ổn định 2.Kiểm tra 3.Bài Bài 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Trong chương trình Toán lớp 6, em học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác đặc biệt giới thiệu số phương, số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 121; 144; …) Kết hợp kiến thức trên, em giải toán: Chứng minh số số phương Đây cách củng cố kiến thức mà em học Những toán làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho em Nhìn chữ số tận cùng: Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; Từ em giải toán kiểu sau đây: Bài toán 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 số phương Lời giải: Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042; 20032; 20022; 20012 6; 9; 4; Do số n có chữ số tận nên n số phương Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số 0; 1; 4; 5; 6; số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút nữa: Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2 Bài toán 2: Chứng minh số 1234567890 số phương Lời giải: Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 số phương Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 không số phương Bài toán 3: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương Lời giải: Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số số phương Dùng tính chất số dư: G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 10 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 1/15 x = 1/3 (gói bánh) Số phần gói bánh lại Lan từ nhà bà ngoại là: - 1/3 = 2/3 (gói bánh) Hai chị em Lan ăn hết gói bánh sau ngày là: 2/3 : 1/6 = (ngày) Đáp số: ngày Bài 6: Để làm xong bàn ghế có người thứ làm 15 ngày hoàn thành có người thứ hai làm 20 ngày hoàn thành Lúc đầu có người thứ làm, sau ngày người thứ có việc bận phải nghỉ làm nên người thứ hai đến làm thay phần việc lại Hỏi sau người thứ hai hoàn thành bàn ghế ? Phân tích: Tương tự 4, cần hướng dần học sinh tìm số phần việc lại mà người thứ hai phải làm thay phần ? Từ học sinh tính số ngày mà người thứ hai cần để hoàn thành bàn ghế Bài giải: ngày người thứ làm số phần công việc là: : 15 = 1/15 (bộ bàn ghế) ngày người thứ hai làm số phần công việc là: : 20 = 1/20 (bộ bàn ghế) ngày người thứ làm số phần công việc là: 1/15 x = 8/15 (bộ bàn ghế) Số phần công việc lại mà người thứ hai phải hoàn thành là: – 8/15 = 7/15 (bộ bàn ghế) Sau người thứ hai làm xong bàn ghế là: 7/15 : 1/20 = 28/3 (ngày) Đáp số: 28/3 ngày G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 38 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Bài 7: Để bơm cạn nước hồ người ta dùng hai máy bơm bơm Sau bơm máy bơm thứ bị hỏng lại máy bơm thứ tiếp tục bơm Hỏi sau máy bơm thứ hai bơm cạn nước hồ biết dùng máy bơm thứ sau hồ cạn nước dùng máy bơm thứ hai sau hồ cạn nước ? Phân tích: Muốn tính sau máy bơm thứ hai bơm cạn nước hồ phải tính số phần nước lại sau hai máy bơm Từ học sinh tính thời gian mà máy thứ hai cần để bơm hết số nước lại hồ Bài giải: máy bơm thứ bơm số phần hồ nước là: : = 1/7 (hồ nước) máy bơm thứ hai bơm số phần hồ nước là: : = 1/5 (hồ nước) hai máy bơm số phần hồ nước là: 1/7+ 1/5 = 12/35 (hồ nước) hai máy bơm số phần hồ nước là: x 12/35 = 24/35 (hồ nước) Số phần hồ nước lại mà máy bơm thứ hai phải bơm hết là: – 24/35 = 11/35 (hồ nước) Thời gian cần có để máy bơm thứ hai bơm cạn phần nước lại hồ là: 11/35 : 1/5 = 11/7 (giờ) Đáp số: 11/7 (giờ) Bài 8: Để sơn nhà ba người làm sau 10 ngày xong Nếu có người thứ làm sau 25 ngày xong có người thứ hai làm sau 30 ngày xong Nhưng thực tế người thứ ba đến làm trước G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 39 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ngày nghỉ sau người thứ thứ hai đến làm Hỏi sau hai người sơn xong nhà ? Phân tích: Để tính sau người thứ người thứ hai sơn xong nhà cần tính số phần công việc lại sau người thứ ba làm ngày Sau lấy số phần công việc lại chia cho tổng số phần công việc mà người thứ người thứ hai làm ngày Bài giải: ngày ba người làm số phần công việc là: : 10 = 1/10 (công việc) ngày người thứ làm số phần công việc là: : 25 = 1/25 (công việc) ngày người thứ hai làm số phần công việc là: : 30 = 1/30 (công việc) ngày người thứ người thứ hai làm số phần công việc là: 1/25 + 1/30 = 11/150 (công việc) ngày người thứ ba làm số phần công việc là: 1/10 – 11/150 = 2/75 (công việc) ngày người thứ ba làm số phần công việc là: 2/75 x = 2/15 (công việc) Số phần công việc lại mà người thứ người thứ hai phải làm là: – 2/15 = 13/15 (công việc) Sau người thứ người thứ hai sơn xong nhà là: 13/15 : 11/150 = 130/11 (ngày) Đáp số: 130/11 ngày G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 40 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Bài 9: Hai người làm công việc sau ngày xong Hai người làm ngày người thứ nghỉ, người thứ hai phải làm tiếp 10 ngày xong phần công việc Hỏi làm người phải ngày làm xong công việc ? Phân tích: Ngược lại với muốn tìm thời gian mà người làm để hoàn thành công việc trước hết hướng dẫn học sinh phải tính số phần công việc lại mà người thứ hai làm 10 ngày phần? Từ học sinh tính số ngày mà người thứ hai làm để hoàn thành công việc Khi biết số ngày người thứ hai học sinh tính số ngày người thứ cần có để hoàn thành công việc làm Bài giải: ngày hai người làm số phần công việc là: : = 1/6 (công việc) ngày hai người làm số phần công việc là: 1/6 x = 1/3 (công việc) Số phần công việc lại mà người thứ hai làm 10 ngày là: – 1/3 = 2/3 (công việc) Nếu làm người thứ hai hoàn thành công việc số ngày là: 10 : 2/3 = 15 (ngày) ngày người thứ hai làm số phần công việc là: : 15 = 1/15 (công việc) ngày người thứ làm số phần công việc là: 1/6 – 1/15 = 1/10 (công việc) Người thứ hai hoàn thành công việc làm số ngày là: : 1/10 = 10 (ngày) Đáp số: 10 ngày G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 41 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Một số tập tự luyện: Bài 1: Một đội xe có xe Để vận chuyển hết số gạo có kho xe phải chạy 10 ngày Nếu có xe thứ vận chuyển sau 25 ngày chuyển hết số gạo kho có xe thứ hai vận chuyển sau 21 ngày xe chuyển hết số gạo kho Hỏi xe thứ ba vận chuyển sau ngày hoàn thành nhiệm vụ ? Bài 2: Có bể có hai vòi đặt đáy bể Nếu bể nước người ta mở vòi thứ chảy vào sau đầy bể bể đầy nước người ta mở vòi thứ hai cho chảy sau bể cạn nước Hỏi bể cạn người ta mở đồng thời hai vòi lúc sau bể đầy nước Bài 3: Một xe tải khởi hành từ A lúc đến B lúc 10 40 phút Một xe khởi hành từ B lúc 20 phút đến A lúc 40 phút Hỏi hai xe gặp lúc ? IV.RÚT KINH NGHIỆM Văn Hải ngày tháng năm 2016 BGH duyệt Ngày soạn: 20/2/2016 Ngày giảng: Buổi 10 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 42 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Chuyên đề: DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I.MỤC TIÊU - Kiến thức: Học sinh nắm vững số dãy số viết theo quy luật bản, thường hay gặp toán nâng cao, toán tính tổng phân số mà tử mẫu chúng viết theo quy luật Chính để giải toán dạng ta cần nắm vững số công thức tổng quát chung - Kỹ năng:Rèn cho h/s kỹ tư lô gic, cách lập luận chặt chẽ - Thái độ: giúp học sinh có húng thú, say mê học toán II.CHUẨN BỊ G: soạn bài, sách tham khảo H: ôn tâp III.TIẾN TRÌNH 1.Ổn định 2.Kiểm tra 3.Bài I/ NHẬN XÉT MỞ ĐẦU: Khi giải toán phân số, ta thường gặp VD: + + + + 4.7 7.10 10 13 73.76 Dễ nhận thấy phân số có tử không thay đổi hiệu hai thừa số mẫu, thừa số cuối mẫu trước thừa số đầu mẫu sau Phương pháp chung để giải toán dạng dùng công thức: m = _ b ( b+m) b b+m Khi ta viết số hạng thành hiệu hai phân số , số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau khử liên tiếp Kết lại số bị trừ số trừ cuói cùng, phép tính thực dễ dàng Nếu số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn: 2m b ( b+m ).(b+ 2m ) ta dùng công thức: 2m = _ b ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m ) Tuy nhiên toán ta phát quy luật mà phải qua số phép biến đổi dựa tính chất phân số nhân tử mẫu với số để tìm quy luật mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối phép nhân phép cộng để biến đổi tử hiệu hai thừa số mẫu II/ CÁC VÍ DỤ : VD1: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176 Giải Trước hết ta có nhận xét sau: Tổng 100 số hạng dãy là: a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + .+ 1/ 100.101 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 43 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Các phân số tổng có tử hiệu hai thừa số mẫu nên ta dùng công thức biến đổi: m/ b ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + .+ 1/ 100.101 = – 1/ 101 = 100/ 101 b/ Trước hết ta viết mẫu thành tích theo quy luật: = 1.6 ; 66 = 11 ; 176 = 11 16 số hạng thứ n dãy có dạng : ( 5n – ) ( 5n + ) => số hạng thứ 100 dãy có dạng : ( 100 – ) ( 100 + ) = 496 501 lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11 Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + + 1/ 496 501 = 1/5 ( – 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .+ 1/ 496 - 1/ 501 ) = 1/5 ( – 1/500) = 1/5 500/ 501 = 100/ 501 VD2: Tính tổng B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4.5 + + 1/ 48.49.50 NX: Mỗi số hạng tổng có dạng 2m = _ b ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m ) Mà ta có : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3 1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4 Từ => B = 1/2 ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + + 2/ 48 49 50 ) = 1/2 ( 1/ 1.2 – 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .- 1/ 49.50) = 1/2 ( 1/ 1.2 – 1/ 49.50 ) = 1/ 1224/ 2450 = 306/ 1225 VD3: Tính tổng C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + + 1/ 120 Ta nhận xét thấy mẫu số hạng tổng phân tích thành tích quy luật nên không áp dụng công thức Tuy nhiên nhân tử mẫu số hạng tổng với ( Không làm thay đổi giá trị phân số) dễ dàng viết mẫu theo quy luật Nhân tử mẫu C với 2, C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 + + 2/ 240 = 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 + + 2/ 15.16 = ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + + 1/ 15.16) = ( 1/4- 1/5 + 1/5 - – 1/ 16) = ( 1/4 - 1/16) = 3/16 = 3/ VD4 Tính giá trị biểu thức a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + + 1/97 + 1/99 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 NX: Trước hết ta ghép phân số số bị chia thành cặp để làm xuất mẫu chung giống với mẫu phân số tương ứng số chia sau: P = ( + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + + ( 1/ 49 + 1/ 50) 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 = 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 95 + + 100/ 49.51 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 = 100 ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49 51 ) ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49 51 ) = 100/ = 50 Vậy giá trị biểu thức P = 50 b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 44 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 99/1 + 98/2 + 97/3 + + 1/99 NX: Trong VD lại phải biến đổi số chia để làm xuát biểu thức rút gọn với biểu thức tử Ta có: Q= 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 100-1 + 100-2 + 100- + + 100- 99 99 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 (100/1 + 100/ + 100/3 + + 100/ 99) – ( 1/1 + 2/2 + 3/3 + + 99/99) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 100 + 100 ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99) – 99 = 1/ 100 Vậy giá trị biểu thức Q = 1/ 100 VD 5: Tìm tích 98 số dãy 1 1 1 ; ; ; ; 15 35 24 NX: Ta viết lại só hạng dãy : ; 22 ; 1.3 16 36 25 ; ; ; 15 35 24 32 42 52 62 ; ; ; 2.4 3.5 4.6 5.7 99 Số thứ 98 có dạng : 98.100 Gọi tích 98 số dãy A, ta có : (2.3.4.5 99).(2.3.4.5 99) 2 32 99 A= = 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 (1.2.3.4 98).(3.4.5.6 100) TS thứ A = TS thứ A 99 99 = 100 50 III/ ÁP DỤNG: Bài 1: Tính tổng: 6 6 + + + + 15.18 18.21 21.24 87.90 2 3 32 b, B= + + + + 8.11 11 14 14.17 197.200 1 1 c, C= + + + + 25.27 27.29 29.31 73.75 15 15 15 15 d, D= + + + + 90.94 94.98 98.102 146.150 a, A= */Giải a, A= 6 6 + + + + 15.18 18.21 21.24 87.90 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 45 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 3 + + + + 87.90 15.18 18.21 21.24 1 1 5 1 1 + − + + − = − =2 = = − 87 90 15 18 18 21 15 90 90 = 32 32 32 32 b, B= + + + + 8.11 11 14 14.17 197.200 3 + + + + =3 197.200 8.11 11 14 14.17 1 1 1 1 − + + − =3 − + = − = 197 200 11 11 14 200 25 1 1 c, C= + + + + 25.27 27.29 29.31 73.75 1 2 2 + + + + = 25.27 27.29 29.31 73.75 1 1 1 1 1 − + − + _ + + − = 25 27 27 29 29 31 73 75 1 1 − = = 25 75 75 15 15 15 15 d, D= + + + + 90.94 94.98 98.102 146.150 15 4 4 + + + + = 90.94 94.98 98.102 146.150 15 1 1 1 1 − + − + − + + − = 90 94 94 98 98 102 146 150 15 1 − = = 90 150 60 Bài 2: CMR: Với n ∈ N ta có: 1 1 n +1 + + + + = 66 176 (5n + 1)(5n + 6) 5n + */Giải Biến đổi VT ta có: 1 1 + + + + = 66 176 (5n + 1)(5n + 6) 1 5 5 + + + + 1.6 6.11 11 16 (5n + 1)(5n + 6) 1 1 1 1 + + = 1 − + - + 6 11 11 16 5n + 5n + G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 46 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán = 1 5(n + 1) n + 1 − =VP => đpcm = = 5n + 5n + 5n + Bài 3: Tìm x ∈ N biết: 20 20 20 20 − − − − = 11 13 13.15 15.17 53.55 11 1 2 + + + + b, = 21 28 36 x( x + 1) a, x - */Giải: 20 20 20 20 − − − − = 11 13 13.15 15.17 53.55 11 20 20 20 20 + + + + + x = 11 11 13 13.15 15.17 53.55 2 + 10 + + + + x = 11 53.55 11 13 13.15 15.17 1 1 1 + 10 − + − + − x = 11 53 55 11 13 13 1 1 + 10 − = + x = =1 11 11 55 11 11 1 2 + + + + b, = 21 28 36 x( x + 1) 2 2 + + + + = 42 56 72 x( x + 1) 1 1 1 1 − + − + − + + − = x x + 1 6 7 8 1 − = x + 1 1 1 = − = x+1 = 18 x + 18 a, x - x = 17 Bài 4: CMR: 1 1 + + + + < 3 4 18.19.20 36 36 36 36 + + + + b, B= A < 760 756 4 36 36 36 36 + + + + b, B= B < Mà 87 87 B = Bài 5: CMR: a, M = 22 + 32 + 42 1 + + n2 M x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12n + phân số tối giản (0,5đ) 30n + 1 1 b Ta có < = 2.1 2 1 1 = < 2.3 3 1 1 = (0,5đ) < 100 99.100 99 100 Vậy 1 1 1 1 + - + + + + + < 99 100 100 2 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 50 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 1 99 = 25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b>25 nên 0< a-b < 25, xảy a-b Md ; d=25 xảy a=50; b=25 hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25 b BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450 hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49 G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 51 - Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán câu 4: (Học sinh tự vẽ hình) · · · Ta thấy : AOB + BOC + AOD >1800 · trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB =ỏ 0 · · · · ta có: AOB + BOC + AOD + COD = 360 ⇒ ỏ +3ỏ+5ỏ+6ỏ=360 ⇒ ỏ = 24 · · · · Vậy: AOB = 240 ; BOC =720 ; COD = 120 ; DOA = 1440 -ĐỀ SỐ 27 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ) a Kết điều tra lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh thích ba môn, 12 học sinh không thích môn Tính xem lớp học có học sinh? b Cho số: A = 10 11 12 …….58 59 60 - Số A có chữ số? - Hãy xóa 100 chữ số số A cho số lại là: + Nhỏ + Lớn Câu 2: (2đ) a Cho A = + 52 + … + 596 Tìm chữ số tận A b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (3đ) a Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư cho 10 dư b Chứng minh rằng: 11n + + 122n + Chia hết cho 133 Câu 4: (2đ) Cho n điểm điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n? G: Chu Thị Lan Anh- THCS Văn Hải - 52 - ... sử 16 k -15 k -1 225 Ta chứng minh 16 k +1 -15 (k +1) -1 225 Th c vậy: 16 k +1 -15 (k +1) -1= 16 .16 k -15 k -15 -1 = (16 k -15 k -1) +15 .16 k -15 Theo giả thiết qui nạp 16 k -15 k -1 225 C n 15 .16 k -15 =15 (16 ... với 10 30 Ta c : 210 0 = ( 210 )10 = 10 24 10 10 30 = (10 3 )10 = 10 0 010 Vì 10 2 410 > 10 0 010 nên 210 0 > 10 30 (*) * So sánh 210 0 với 10 31 Ta c : 210 0 = 2 31 269 = 2 31 263 26 = 2 31 (29)7 (22)3 = 2 31 512 7... giải: 19 + 19 31 + 90 19 . (19 30 + 5) 19 31 + 95 Nên 19 A = = = + 31 19 + 19 31 + 19 31 + 31 19 + B = 32 19 + 90 19 . (19 31 + 5) 19 32 + 95 nên 19 B = = = + 32 19 + 19 32 + 19 32 + 90 90 Vì 31 > 32 19