Một số giải pháp nâng cao năng lực giải toán diện tích các hình tam giác cho học sinh lớp 5

Trong dạy học môn toán nhiều bài tập về hình học, đặc biệt là những bàitập có liên quan đến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khóđối với học sinh Tiểu học nhưng lại là m

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Chương trình toán của Tiểu học có vị trí và tầm quan trọng rất lớn Nógóp phần quan trọng trong việc đặt nền móng cho việc hình thành và pháttriển nhân cách học sinh Trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học banđầu về số học, các số tự nhiên, các số thập phân, các đại lượng cơ bản, giảitoán có lời văn ứng dụng thiết thực trong đời sống và một số yếu tố hình họcđơn giản Nó giúp con người tư duy lô gíc, suy luận chặt chẽ và còn là nhân tố

để phát triển trí thông minh, phát triển nhân cách con người

Toán học không đơn thuần là những con số, những phép tính mà Toán học

là một kho tàng tri thức để các thế hệ kế tiếp nhau cùng khám phá và học hỏi Trong dạy học môn toán nhiều bài tập về hình học, đặc biệt là những bàitập có liên quan đến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khóđối với học sinh Tiểu học nhưng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối vớihọc sinh Tiểu học Đây chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các emnhững kiến thức cơ bản về hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên

Qua quá trình dạy học thực tế của bản thân, qua dự giờ và trao đổi cùngđồng nghiệp, tôi thấy rằng việc dạy học và nâng cao các bài toán có nội dung

về diện tích hình tam giác ở lớp 5 gặp phải nhiều khó khăn Những khó khăn

đó đều từ hai chủ thể của quá trình dạy học: học sinh và giáo viên Học sinhrất khó tiếp thu và vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải toán dẫn đến tìnhtrạng chỉ làm theo mẫu mà không hiểu nội dung yêu cầu của bài tập; còn giáoviên thì đa số chưa phân loại được các dạng bài cụ thể để từ đó có cái nhìntổng quát và sâu về các bài toán có nội dung về diện tích hình tam giác Vìvậy vệc dạy học sinh năng khiếu ở lớp 5 gặp nhiều khó khăn Chúng ta khôngthể dạy học sinh theo kiểu áp đặt như: "Cứ gặp dạng thế này là làm thế này ",như vậy vô hình chúng ta biến học sinh thành cái máy dập khuôn, thiếu linhhoạt trong làm bài và thiếu sáng tạo trong thực tiễn cũng giống như xây mộttòa lâu đài trên một nền móng không vững vàng Chính vì vậy muốn dạy họcsinh năng khiếu phải đi từ kiến thức cơ bản vững chắc từ đó phát triển dần đểcác em chiếm lĩnh kiến thức một cách nhẹ nhàng thoải mái và biến nó thành

tri thức của mình Vì những lý do đó tôi đã tìm được “Một số giải pháp nâng cao năng lực giải toán về diện tích các hình tam giác cho học sinh lớp 5".

1 3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các bài tập “giải toán về diện tích các hình tam giác cho học sinh lớp 5”

- Học sinh lớp 5 trường Tiểu học Liên Lộc

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp đàm thoại, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp vớihọc sinh lớp 5

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

2.1 Cơ sở lý luận:

Hình học là một thành phần quan trọng trong chương trình giảng dạymôn toán ở bậc tiểu học Nội dung về một số yếu tố hình học gắn chặt mộtcách hữu cơ với nội dung của số học và số tự nhiên, các số thập phân, các đạilượng cơ bản và các yếu tố đại số, có trong chương trình

Vì vậy, những bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quanđến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học sinhTiểu học nhưng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh Tiểu học.Đây chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức cơ bản

về hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên

2.2 Thực trạng của vấn đề:

a Giáo viên :

Qua dự giờ và tìm hiểu một số bạn bè đồng nghiệp, tôi thấy rằng: Thực

tế trong quá trình giảng dạy một số giáo viên cũng đã chú ý đến mảng kiếnthức này song chưa "bài bản", giải nhiều bài tập nhưng chưa có tính hệ thống.Giáo viên chỉ đơn thuần giải quyết theo yêu cầu của đề bài nêu ra là xong Đểphát triển khả năng tư duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh thì phươngpháp dạy học đó chưa đạt hiệu quả cao Với thực trạng như thế, theo tôi vaitrò của người thầy giáo là hết sức quan trọng Làm thế nào để học sinh tiếpthu bài không nhàm chán, để học sinh vẫn thấy mình được "lớn lên" qua cácbài giảng, bài thiết kế của thầy? Đó là vấn đề đặt ra của mỗi thầy cô giáo

b Học sinh :

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh còn bộc lộ những nhược điểm :

- Các em hiểu bài nhưng dễ quên, lúng túng khi diễn đạt nội dung bài toánnhư: Không biết phân tích suy luận để thấy được yếu tố gì đã biết , yếu tố gìchưa biết, yếu tố gì cần phải tìm

- Làm bài một cách máy móc chưa sáng tạo

Cụ thể như khi HS học xong phần diện tích hình tam giác các em biết

áp dụng làm những bài toán đơn giản trong SGK, tôi đã cho học sinh lớp 5khảo sát qua một số bài tập nhỏ trong thời gian 20 phút như sau:

Bài 2 (4 điểm): Cho

tam giác ABC Trên cạnh đáy BC lấy điểm

* Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:

Sau 20 phút làm bài, kết quả thu được từ học sinh như sau:

- Hoàn thành: 22/27 em = 81,5 %

- Chưa hoàn thành: 05/27 em = 18,5 %

Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:

* Bài 1: cả 27 em có 25 đúng đáp số chiếm tỷ lệ 88,9% Tuy nhiên cả

27 em đều làm theo một cách đó là áp dụng công thức để thay số và tính, khiđược hỏi cách giải khác thì không có và không em nào biết cách dùng tỷ sốhai đáy để tính như:

- Diện tích tam giác ABD là: 12 x 13 : 2 = 78 ( cm2)

- Diện tích tam giác ABD và BDC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều

cao hình thang) Tỷ số hai đáy AB và DC là: 12 : 15 =

54

Vậy tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và BDC là

54

Diện tích tam giác BDC là 78 :

Bài 1: (BT1 SGK toán 5 trang 127)(6 điểm):

Cho hình thang vuông ABCD (xem hình vẽ)

có AB = 12cm, DC = 15cm, AD = 13cm Nối D với

B được hai tam giác ABD và BDC

a) Tính diện tích mỗi tam giác đó?

b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác

ABD và diện tích hình tam giác BDC

A

C D

M B

này thì đòi hỏi các em phải nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong mộttam giác (đáy, chiều cao (tương ứng với đáy) và diện tích).

Ta thấy trong thực tiễn dạy toán, không phải bài toán nào cũng ở dạngtường minh như bài tập 1 chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kếtquả Đặc biệt là trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh năng khiếu, để đápứng được nhu cầu học tập của học sinh, giáo viên phải sưu tầm, thiết kếnhững bài toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài toán được

"ngụy trang" bởi những điều kiện chưa tường minh Bởi vậy sẽ không tránhkhỏi những vướng mắc, khó khăn nếu giáo viên không có phương pháp giúphọc sinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Từ kết quả thực trạng trên, để chất lượng dạy- học đạt hiệu quả cao hơntrong phạm vi bài viết của mình, với vốn kiến thức còn ít ỏi, tôi đã đưa ra một

số vấn đề xây dựng một chuỗi bài tập về diện tích và các yếu tố có liên quanđến diện tích của hình tam giác trên cơ sở của một bài toán cơ bản từ đó nhằmkhai thác và phát triển tối đa thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ đếnkhó, từ đơn giản đến phức tạp Từ đó giúp học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòiphát triển năng lực trí tuệ

2.3 Các giải pháp đã thực hiện :

Qua quá trình dạy cho HS tôi nhận thấy để học sinh giải một số bài tập

có liên quan đến diện tích hình tam giác thì khi hướng dẫn học sinh (HS) giảimột số bài toán được phát triển từ một bài toán cơ bản về diện tích các hìnhtam giác, người giáo viên cần phải:

Để giải bài toán này học sinh áp dụng công thức (đã học) tính diện tích

tam giác:

2

h a

và công thức triển khai để tính chiều cao hoặc đáy của

tam giác đã cho

2.3.2 Dùng tỷ số (tỷ số về số đo các đoạn thẳng, tỷ số về số đo diện

tích) Điều này được thể hiện dưới những hình thức sau:

- Nếu hai tam giác có cùng diện tích thì đáy của chúng tỷ lệ nghịch với chiều cao (tương ứng).

VD: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB bằng 12cm, chiều rộng

BC bằng 7cm Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho EB AB

= Nối E với M, M với D

a So sánh diện tích tam giác EBM và MCD

>

SMCD =3 x 12: 2 = 18 (cm 2) (2)

Từ (1) và (2) ta có: SEBM = SMCD = 18cm2

b/ Từ câu (a) HD HS tìm ra tỉ số các đoạn BM (là chiều cao của ∆ EBM) và MC

(chiều cao ∆ MCD); EB (đáy của ∆ EBM) và DC (đáy của ∆ MCD; CD = AB)

- Nếu hai tam giác có chung chiều cao thì diện tích của chúng tỷ lệ thuận với đáy (tương ứng).

VD1: Cho tam giác ABC có

diện tích là 12cm2 Cạnh AB = 8cm

và AC = 5cm Kéo dài thêm AB

đến M và AC đến N sao cho

BM = CN = 2cm Hỏi diện tích

tam giác AMN là bao nhiêu cm2?

(Không làm thay đổi góc tạo bởi hai cạnh AB và AC)

Giải: So sánh hai tam giác ACM và ACB ta thấy:

Chung chiều cao CH, các đáy AB = 8cm;

AM = AB + BM = 8 + 2 =10 (cm)

Suy ra S ACM là 8 phần thì SACB là 10 phần

Vậy SACM = 12: 8 × 10 = 15 (cm2)

Tương tự, ta có

So sánh hai tam giác AMC và AMN ta thấy:

Chiều cao MK chung, các đáy AC = 5 cm;

chiều cao ∆ EBM

= đáy của ∆ EBM

muốn kẻ đường thẳng qua M cắt cạnh AB tại điểm N sao cho diện tích tamgiác BMN bằng 15 cm2 Hỏi điểm N cách B bao nhiêu mét?

Giải: Đoạn BM là 2 phần thì BC bằng: 2 + 1 = 3 (phần)

Hai tam giác ABM và ABC có chiều cao A

chung (hạ từ A tới BC) nên:

SABM = 90 : 3 × 2 = 60 (m2) H

mà SABM so với SBMN thì gấp 60 : 15 = 4 (lần) N

Hai tam giác ABM và BMN có chiều cao

chung (hạ từ M tới AB) nên: B M C

36 cm2 So sánh diện tích hai tam giác OAK và OCM biết AC và MK cắtnhau tại điểm O (100 bài toán chu vi & diện tích- lớp 4-5)

b Cho tam giác ABC, An giảm cạnh AB đi 1/4 của nó, sau đó lại tăngcạnh AC thêm 1/4 của cạnh này Sau khi tính cẩn thận, An thấy diện tích tamgiác mới lại nhỏ hơn diện tích tam giác ban đầu là 2 cm2 Hãy tính diện tíchcủa tam giác lúc chưa thay đổi cạnh (100 bài toán chu vi & diện tích- lớp 4-5)

2.3.4 Các bài tập phát triển từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác.

Ở hệ thống các bài tập sau đây, tôi đưa ra 2 ví dụ cơ bản từ đó phát triểnthành các mẫu bài tập:

+ Tính và so sánh diện tích các hình tam giác

+ Tính và so sánh độ dài các cạnh đáy

+ Tính và so sánh độ dài các đường cao

+ Các bài tập về chứng minh (hay chứng tỏ).

Một thực tế chúng ta biết rằng: Muốn làm được bài khó chúng ta phải

đi từ những bài cơ bản nắm chắc từng khái niệm, từng dạng bài thì lúc đó mới

có cơ sở để tư duy những bài khác phức tạp hơn một cách linh hoạt sáng tạo

Chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản được đưa ra trong sách giáokhoa như sau:

Ví dụ 1: Cho hình tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của cạnh

BC Hãy so sánh diện tích của 2 hình tam giác ABM và AMC

Giải:

Ta có hình vẽ (H.1)

Kí hiệu S là diện tích

Hai tam giác ABM và AMC

có chung chiều cao hạ từ A và có đáy (H.1)

BM = MC nên: SABM = SAMC Từ VD trên ta phát triển được các bài toán sau:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC; BH

và CK tương ứng là hai đường cao của 2 tam giác ABM và ACM

Chứng tỏ rằng BH = CK

Giải: Ta có hình vẽ (H.2) Theo ví dụ 1 ta có SABM = SAMC (1)

A

Từ bài tập 1 ta có thể phát triển các bài tập sau:

Bài tập 1 1 : Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC và

N là điểm chính giữa của AC Tính diện tích tam giác ABC Biết diện tích tamgiác MNC là 2 cm2

Bài tập 1 2 : Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC Từ

M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N

Tính S MNC, biết S ABC = 24 cm2

Giải: Ta có hình vẽ (H.4)

Vì MN // AB (gt) nên ABMN là hình thang

Suy ra các đường cao hạ từ đỉnh A và B

xuống MN của 2 tam giác AMN và BMN bằng nhau

=> SAMN = SBMN (chung đáy MN và đường cao bằng nhau) (1)

Ta lại có: S MNC = SMNB (chung đường cao hạ từ đỉnh N, BM = MC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: S MNC = S MNA =

K

A

B

H M

C

(H3)

A

A A

B

M

C N

A

(H4)

Từ bài tập 1 2 ta phát triển được các bài tập sau:

Bài tập 1 2-1 : Cho tam giác ABC có AB = 4cm Điểm M và N lần lượt làđiểm chính giữa của BC và AC Tính đường cao MK của tam giác MAB.Biết SMNC = 4cm2

=

×

4

82

4(cm )

Vậy độ dài đường cao MK của ∆ MAB là 4 cm

Bài tập 1 2-2 : Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC Nối AM, trên AM lấy điểm N sao cho AN = NM Tính đường cao NQ

của tam giác NAC Biết đường cao BK của tam giác BAC là 8 cm

4

2

AC BK

K Q

Bài tập 1 2-3 : Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC Trên

AM lấy điểm I sao cho IM =

Kẻ đường cao AH của ∆ANC;

đường cao MK của ∆MIC;

đường cao CLcủa ∆CAI và ∆CMI (H.7)

IA) Lại có, ∆AIC và ∆MIC, chung đáy

IC nên theo (*) thì đường cao MK =

S ABC hay S ABC = 4S MNB Vậy S ABC = 4 × 24 = 96 (cm2)

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Điểm M là điểm chính giữa của BC Trên AC

lấy điểm N sao cho AN =

4

1

AC Nối MN cắt BA kéo dài tại K

a/ Tính S ABC biết S AKN = 50 cm2

b/ So sánh KN và KM

12

A

N K

C M

Từ ví dụ 2 ta phát triển các bài tập sau:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, cạnh BC = 3cm Trên AC lấy M sao cho AM

2 2

cm BC

S BC

Từ B kẻ đường cao BI của ∆BAF

Từ C kẻ đường cao CK của ∆CAF

F I

SABC Suy ra: SABC = 3SCAE = 3 × 21 = 63(cm2)

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm M sao cho AM =

SABC = 3 SABM =>SABM = SABN (H.13)

hay SAEM + SAEB = SBEN + SAEB => SAEM = SBEN

b/ Theo (a) ta có: SAEM = SBEN

N E

M

đường cao CE của tam giác COM, CF là đường cao của tam giác COH.

Bài tập 5: Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm P sao cho AP =

của tam giác BAN và đường cao CE

của tam giác CAN Theo VD1, ta có: SABN = SACN

(Chung đáy AO và hai đường cao tương ứng BD = CE )

Mặt khác: SOAC = 3SOAP (chung đường cao hạ từ O và CA = 3AP).

Nên: SOBA = SOAC = 3 × a = 3a

Từ đó ta có: SABP = SOBA + SOAP = 3a + a = 4a.

Vậy SABC = 3SABP = 3 × 4a = 12a

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm M sao cho AM =

thế nhưng hai tam giác ABN và ACN

lại có chung đáy AN nên suy ra: (H16)

đường cao hạ từ B xuống AN bằng

đường cao hạ từ C xuống AH).

Suy ra SCAH = 2SBHA = 2 × 3SAMH = 6SAMH

Suy ra SCMA = 7SAMH

K

Từ (1) (2) và (3) suy ra: SAMH = SBNK = SCEF (đ.p.c.m)

b/ Ta có: SCAM =SABN = SBCE =

3

1

SABC

Mà theo (a) thì SAMH = SBNK = SCEF nên => SCAH = SABK = SBCF

Ta có: SHKF = SABC - (SCAH + SABK + SBCF)

a/ Theo bài tập 3 ta có: SBON = SAOM ; SONC = SOMC

SBON = SAOM ; SONC = SOMC

=> SAOM + SOMC= SBOM + SONC Hay: SAOC = SBOC (H.17)

b/ Theo kết quả câu (a) thì SAOC = SBOC

Theo bài ra OK = 4 và OH = 3 nên tỷ số giữa hai đường cao OH và OK là

4

3

Mà hai tam giác có diện tích bằng nhau thì đáy và chiều cao là hai đại lượng

tỷ lệ nghịch với nhau nên:

Như vậy, từ một bài toán hình học đơn giản ở trong sách giáo khoa chúng ta

cố gắng khám khá, tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và thêm một số yếu tố thì ta cóthể phát triển thành một chuỗi bài tập đi từ đơn giản đến phức tạp Với

A

B

C

O H

N

M K

phương pháp dạy học này làm cho học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòi để pháttriển năng lực trí tuệ.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục.

Sau khi vận dụng biện pháp trên, tôi thấy chất lượng giải toán về diện tích các hình tam giác đối với lớp 5 của tôi trực tiếp dạy đã có sự chuyển

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận:

- Đây là những bài toán, dạng toán mang tính phát triển và nâng cao dần của dạng toán về diện tích các hình tam giác lớp 5

- Vì thế để dạy đạt hiệu quả phần toán về diện tích các hình tam giác,

Qua đề tài này tôi hy vọng rằng nó sẽ là cơ sở, là động lực giúp chobản thân có thêm hiểu biết mới Đồng thời góp phần giúp cho đồng nghiệpcũng như đối tượng học sinh lớp 5 có thêm tự tin khi gặp các bài tập liên quanđến diện tích hình tam giác

3.2 Kiến nghị:

- Đối với các cấp quản lí giáo dục

Hội đồng khoa học cấp huyện cần tổ chức phổ biến những đề tài, sáng

kiến kinh nghiệm có giá trị thực tiễn cao để cán bộ giáo viên trong ngành học tập,trao đổi và áp dụng kinh nghiệm trên diện rộng

- Đối với giáo viên :

Theo tôi để có kết quả tốt hơn nữa mỗi giáo viên cần phải: