CHƯƠNG 10 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

Chương 10 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 10.1 Hình học khối lượng 10.1.1 Khối tâm hệ - Khối lượng: Khối lượng hệ tổng đại số khối lượng chất điểm thuộc hệ n M = ∑ mk k =1 - Khối tâm: Giả sử hệ có n chất điểm có khối lượng m 1, m2,…mn vị trí chúng xác định bán kính véc tơ định vị r1 , r2 , rn khối tâm hệ điểm hình học C xác định công thức: z n rC = ∑m k =1 r k k Trong đó: rk , rC bán kính véc tơ chất điểm thứ k khối tâm C; mk, M khối lượng chất điểm thứ k khối lượng hệ Chiếu xuống trục tọa độ ta công thức xác định tọa độ khối tâm C: xC ∑m = k M xk ; yC Mk(xk,yk,zk) mk C(xc,yc,zc) rk M ∑m = k yk ; zC M ∑m = k zk rc O y x M Nếu vật rắn trường trọng lực đồng trọng tâm khối tâm hệ trùng 10.1.2 Mô men quán tính vật rắn: 10.1.2.1 Mô men quán tính vật rắn trục z: ký hiệu Jz đại lượng vô hướng tổng tích khối lượng điểm thuộc vật với bình phương khoảng cách từ đến trục n J z = ∑ mk hk2 ; hk khoảng cách từ điểm có khối z k =1 lượng mk tới trục z Với trục toạ độ Đềcác: Jx = zk ∑m ( y n k =1 n k Jy = ∑m (x Jz = ∑m (x k =1 n k =1 k k + z k2 k k + z k2 k +y k ) O ) xk hk mk yk y x ) 10.1.2.2 Bán kính quán tính: Giả sử biết mô men quán tính hệ trục z J z, khối lượng hệ M Bán kính vật rắn trục Oz, ký hiệu ρz đại lượng xác định theo công thức: ρz = Jz hay Mρ z2 = J z M 10.1.2.3 Mô men quán tính số vật đồng chất: 81 a Thanh đồng chất: Trục z qua đầu z A vuông góc trục thanh, AB = l, khối lượng M A Ml Jz = B x l b Vành tròn đồng chất: bán kính R, khối lượng M độ dày nhỏ, trục z qua tâm vuông góc với mặt phẳng đường tròn J z = MR c Đĩa tròn đồng chất, khối trụ đồng chất: khối lượng M, bán kính R, trục z qua tâm MR C vuông góc với mặt phẳng : J z = z z R R C C Vành tròn đồng chất Đĩa tròn đồng chất 10.1.2.4 Mô men quán tính vật rắn trục song song Định lý Huyghen: Mô men quán tính vật rắn trục mômen z' quán tính trục qua khối tâm vật song song với trục cộng với tích số khối lượng vật với bình phương khoảng cách trục J z ' = J ZC + Md z d M C 10.2 Định lý động lượng 10.2.1 Định nghĩa động lượng r - Giả sử chất điểm m có khối lượng m , chuyển động r với vận tốc v Động lượng chất điểm đại lượng véc tơ m.v , tích khối lượng với véc r tơ vận tốc điểm ký hiệu q = m.v M Đơn vị để đo động lượng - v q kgm s Giả sử hệ chất điểm gồm chất điểm có khối lượng m1 , m2 , , mn vận tốc r r r v1 , v2 , , “Động lượng hệ đại lượng véc tơ tổng hình học động lượng chất điểm thuộc hệ” Q = ∑ qk = m1 v1 + m2 v2 + + mn = ∑ mk vk r Nếu biết khối lượng hệ M , vận tốc khối tâm hệ vC động lượng hệ tính theo công thức Q = M vC 10.2.2 Xung lượng lực - 82 Để đặc trưng cho tác dụng lực lên vật phụ ur thuộc vào thời gian, người ta dùng khái niệm xung lượng lực, ký hiệu véc tơ S ur - Xung lượng yếu tố lực F tác dụng vào chất điểm thời gian vô nhỏ ur dt tích số véc tơ lực F với vi phân thời gian dt ur ur d S = Fdt ur - Xung lượng lực F khoảng thời gian thời gian từ t0 đến t1 tích phân ur xác định xung lượng yếu tố với cận từ t0 đến t1 , ký hiệu S M M0 M1 ds F ur ur S = ∫ Fdt t1 t0 ur ur - Nếu biết hình chiếu lực F xuống trục tọa độ X, Y, Z véc tơ S xác định qua hình chiếu nó: t1 SX = ∫ Xdt t0 t1 ; Sy = ∫ Ydt ; Sz = Xung lượng có trị số bằng: S = t0 S +S +S x y t1 ∫ Zdt t0 z ur - Nếu lực F không đổi trị số hướng ur ur ur S = F ( t1 − t0 ) = F t - Đơn vị để đo xung lượng lực Ns 10.2.3 Định lý biến thiên động lượng - Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân: “Vi phân động lượng hệ thời gian vô bé tổng hình học xung lượng yếu tố tất ngoại lực tác dụng lên hệ thời gian đó” uur ur e d Q = ∑ Fk dt hay dQ = ∑ d Ske Chứng minh: Xét phương trình vi phân chuyển động chất điểm thứ k hệ: uur uur uuu r mk Wk = Fke + Fki Cộng hai vế phương trình trên,uurta được: uur uur uuu r ∑ mk Wk = ∑ Fke + ∑ Fki ; ∑ Fki = uu r ur uuu r uu r dQ d vk d ∑ mk Wk = ∑ mk dt = dt (∑ mk vk ) = dt ur uur uur ur dQ Suy = ∑ Fke hay dQ = ∑ d Ske dt - Định lý biến thiên động lượng dạng hữu hạn: “Biến thiên động lượng hệ chất điểm khoảng thời gian tổng hình học xung lượng tất ngoại lực tác dụng lên hệ khoảng thời gian ấy” t1 uu uur r uu r uur Q1 − QO = ∑ Ske = ∑ ( ∫ Fke dt ) to 83 đó, ∑ S ke tổng xung lượng ngoại lực Chiếu xuống hệ tọa độ Oxyz, ta hệ phương trình vi phân bậc vận tốc: t1 Q1x − Qox = ∑ ( ∫ X ke dt ) to t1 Q1 y − Qoy = ∑ ( ∫ Yke dt ) to t1 Q1z − Qoz = ∑ ( ∫ Z ke dt ) to 10.2.4 Các trường hợp bảo toàn động lượng hệ: - Nếu ∑ Fke =0 Q = const “Nếu tổng hình học tất ngoại lực tác dụng lên hệ luôn không véctơ động lượng hệ véc tơ không thay đổi” e - Nếu ∑ X k = Qx = const “ Nếu tổng hình chiếu tất ngoại lực tác dụng lên hệ xuống trục không hình chiếu động lượng hệ xuống trục có giá trị không thay đổi” Ví dụ : Vật cóurtrọng lượng P= kNđược kéo lên theo mặt phẳng nghiêng từ trạng thái nghỉ lực Q có trị số Q= 3kN Tính trị số vận tốc vật sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động Biết hệ số ma sát động f’=0,5, góc nghiêng α = 30o x N Q F P α ur ur uu r Các lực tác dụng lên vật gồm có: trọng lực P , lực kéo Q , phản lực pháp tuyến N , ur phản lực ma sát F N = P.cos α Ta có: F = f ' N = f ' P.cos α Chọn trục Ox hình vẽ Áp dụng định luật biến thiên động lượng dạng hình chiếu trục Ox ta có: mv1x − mv0x = S xi (*) Vật chuyển động từ trạng thái nghỉ nên vo = Ta có: ∑ ∑S xi = Qt − Pt sin α − Ft = ( Q − P sin α − F ) t Thay vào (*) ta có: 84 mv = ( Q − P sin α − F ) t ( Q − P sin α − f P cosα ) t = ( Q − P sin α − f P cosα ) gt →v= ' m P →v= ( 3000 − 5000.0,5 − 0,05.5000.0,866 ) 9,81.10 = 5,60 Thay số ta có: Vậy ' v = 5,60 5000 m s 10.3 Định lý chuyển động khối tâm: 10.3.1 Định lý chuyển động khối tâm “ Khối tâm hệ chuyển động chất điểm có khối lượng khối lượng hệ chịu tác dụng tất ngoại lực tác dụnglên hệ” M WC = ∑ Fk Chứng minh: Từuu công thứcuurđịnh nghĩa khối tâm hệ: r M rC = ∑ mk rK , lấy đạo hàm hai lần theo thời gian ta được: •• r u r M r = ∑ mk rk uuu r uuu r uur Hay MWC = ∑ mk WK = ∑ FK ( theo phương trình động lực học) uuu r uur ⇒ MWC = ∑ FK (điều phải chứng minh) •• 10.3.2 Phương trình vi phân chuyển động khối tâm - Phương trình viết dạng tọa độ Đềcác: •• M xC = ∑ X k •• M y C = ∑ Yk •• M z C = ∑ Zk - Nếu biết quỹ đạo chuyển động tuyệt đối khối tâm, ta chiếu phương trình định lý xuống hệ tọa độ tự nhiên: •• M sC = ∑ Fkτ M vC2 = ∑ Fkn ρ = ∑ Fkb 10.3.3 Các trường hợp bảo toàn chuyển động khối tâm - Trường hợp 1: uuu r uu r Nếu ∑ Fk = WC = hay vC = const “Nếu tổng hình học ngoại lực tác dụng lên hệ khối tâm hệ đứng yên hay chuyển động thẳng (chuyển động theo quán tính)” - Trường hợp 2: 85 Nếu ∑X •• k • = x = hay x = const C C “Nếu tổng hình chiếu ngoại lực tác dụng lên hệ xuống trục không hình chiếu vận tốc khối tâm hệ xuống trục có giá trị không thay đổi” Ví dụ: Bánh xe đồng chất có trọng lượng P lăn không trượt đường thẳng nằm ngang tác dụng lực ngang G = const tâm bánh xe Hệ số ma sát trượt bánh xe mặt đường f Tại thời điểm ban đầu bánh xe đứng im Tìm chuyển động khối tâm C bánh xe Bài giải: y O C P x G N Mms Fmax Xét chuyển động bánh xe lăn không trượt đường nằm ngang Các lực tác dụng: trọng lực P , lực kéo G , phản lực pháp tuyến N , lực ma sát trượt F max có giá trị Fmax = f.N, ngẫu lực ma sát lăn có mô men Mms Áp dụng định lý chuyển động khối tâm: M WC = P + G + N + F max Chọn hệ trục tọa độ cố định Oxy hình vẽ, gốc O vị trí ban đầu khối tâm C Chiếu phương trình xuống trục tọa độ: •• M xC = G − f P •• g xC = (G − f P ) = const P • Tích phân phương trình với điều kiện đầu: t = 0, xc(0) = 0, x c(0) = ta phương trình chuyển động khối tâm C dọc theo trục Ox là: xC = g t2 ( G – f.P ) P 10.4 Định lý biến thiên mô men động lượng 10.4.1 Định nghĩa mô men động lượng a Với chất điểm: - Mô men động lượng chất điểm với tâm O véc tơ, ký hiệu l O = mO ( mv ) = r ∧ mv 86 z M(x,y,z) z v mv q r O O y h π x mv' - Mô men động lượng chất điểm với trục z đại lượng đại số: l z = mz (q) = ± mV ' h mv' hình chiếu mv lên mặt phẳng vuông góc z h khoảng cách từ giao điểm mặt phẳng (P) trục z đến đường mv' b Với hệ: - Mô men động lượng hệ với tâm O véc tơ tổng hình học véc tơ mô men động lượng chất điểm thuộc hệ tâm n n n k =1 k =1 k =1 LO = ∑ lOk = ∑ mO (mk vk ) = ∑ rk ∧ mk vk - Mô men động lượng hệ với trục z lượng đại số tổng đại số mô men động lượng tất chất điểm thuộc hệ trục n n k =1 k =1 Lz = ∑ Lzk = ∑ mz (mk vk ) - Mô men động lượng vật rắn quay quanh trục cố định: Xét vật rắn quay quanh trục cố định Oz với vận tốc góc ω Chia vật thành nhiều phần tử nhỏ, phần tử xem chất điểm Chất điểm Mk có khoảng cách đến trục quay la hk, chuyển động với vận tốc vk = hk.ω mô men động lượng vật rắn với trục Oz là: Lz = n ∑ m (m v ) = ∑mkvkhk = ∑mkhk2ω = Jz.ω k =1 z k k Lz = Jz.ω Jz mô men quán tính vật với trục quay z ω vận tốc góc vật z h mkvk Mk ω O y x 10.4.2 Định lý mô men động lượng “Đạo hàm bậc theo thời gian mô men động lượng hệ tâm hay trục tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ tâm hay trục đó” 87 d LO n = ∑ mO ( Fk ) dt k =1 uur dLx n = ∑ m x ( Fk ) dt k =1 uur dLy n = ∑ m y ( Fk ) dt k =1 uur dLz n = ∑ m z ( Fk ) dt k =1 - Công thức: 10.4.3 Các trường hợp bảo toàn mô men động lượng hệ • Trường hợp 1: n ∑m Nếu k =1 O ( Fk ) = ⇒ d LO = ⇒ LO = const dt Nếu tổng hình học véc tơ mô men tất ngoại lực tác dụng lên hệ tâm O mô men động lượng hệ tâm véc tơ không đổi • Trường hợp 2: uur n Nếu ∑ m (F ) = ⇒ z k k =1 dLz = hay Lz = const dt Nếu tổng đại số mô men tất ngoại lực tác dụng lên hệ trục mô men động lượng hệ trục không đổi Ví dụ 1: Đĩa tròn A đồng chất có trọng lượng P bán kính r quay quanh trục thẳng đứng vuông góc qua tâm đĩa Tại thời điểm ban đầu, tâm đĩa có viên bi M trọng lượng Q đĩa A có vận tốc ωo sau viên bi bắt đầu chuyển động dọc theo đường bán kính đĩa với vận tốc tương ứng vr = u = const Tìm vận tốc góc đĩa thời điểm sau viên bi rời khỏi tâm thời điểm viên bi chạy đến mép đĩa Bỏ qua ma sát ổ quay z r A M ωο z Bài giải: Xét hệ gồm đĩa A viên bi M Các ngoại lực tác dụng: P , Q , phản lực R ổ quay n Do ∑ m (F ) = k =1 z k ⇒ Lz = const ω O A P ve vr M Q R 88 mr Pr ωo = ωo 2g Tại thời điểm bất kỳ, đĩa A có vận tốc góc ω uu r ur Mô men động lượng hệ: L z1 = J z ω + m z (mQ vr ) + m z (mQ ve ) uu r uu r r Do vr = u nằm đường thẳng qua trục Oz nên m z (mQ vr ) = ; Ve = OM.ω = ut.ω Tại thời điểm ban đầu t = 0, Lzo= Jz.ωo = Pr Q Pr Q ω + ve OM = ω + (ut ) ω 2g g 2g g Pr Q Pr Lz = const ⇔ Lzo = Lz1 ⇔ ωo = ω + (ut )2 ω 2g 2g g ⇒  L z1 = Pr ωo Pr + 2Qu 2t r Tại thời điểm t1 = viên bi chạy đến mép đĩa, thay vào công thức ta vận tốc góc u Pωo đĩa: ω = P + 2Q Ví dụ 2: ⇒ ω= Người ta đầu sợi dây không giãn không trọng lượng vào ròng rọc cố định có trọng lượng Q, bán kính r Đầu dây buộc vào vật A trọng lượng P Tìm gia tốc góc ròng rọc vật A chuyển động thẳng đứng xuống Coi ròng rọc vành tròn đồng chất Bài giải: Xét hệ gồm ròng rọc vật A Các lực tác dụng: Q , P , RO Áp dụng định lý mô men động lượng trục Oz qua O vuông góc với ròng rọc uur dLz n = ∑ m z ( Fk ) dt k =1 Trong Lhzê = LAz + LBz = r.(mv) + Jz.ω = r P Q P+Q r ω + r 2ω = rω g g g n uur ∑ m z ( Fk ) = P.r Thay vào định lý ta được: k =1 P Q rω + r 2ω = g g B r O RO Q z d P+Q dLz n r ω ) =  P.r = ∑ mz ( Fk ) ⇔ ( dt g dt k =1 P+Q • Pg r ω =  P.r ⇒ ε = g ( P + Q).r A P 10.5 Định lý động 10.5.1 Định nghĩa động - Động chất điểm đại lượng vô hướng nửa tích số khối lượng chất điểm với bình phương vận tốc Động ký hiệu T mv T= 89 kgm kgm - Đơn vị để đo động Jun (J) hay ; (1 = 1Jun ) s2 s - Động hệ n chất điểm đại lượng vô hướng tổng động tất chất điểm thuộc hệ mi vi2 T =∑ - Động số vật rắn chuyển động: • Vật rắn chuyển động tịnh tiến: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, tất phần tử thuộc vật chuyển động với vận tốc vận tốc khối tâm C, vi = vC Ttt = ∑ ( mi vc2 ) = (∑ mi )vC 2 MvC2 Hay T = M khối lượng vật, vC vận tốc khối tâm • Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định: Cho vật rắn quay quanh trục Oz với vận tốc góc ω Vận tốc chất điểm Mi thuộc vật vi = riω ; ri khoảng cách từ chất điểm đến trục quay z Động vật rắn chuyển động quay là: 1 Tq = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri )ω 2 J zω ⇒ T= ri vi Mi ω Trong Jz = ∑ mi ri mô men quán tính vật rắn trục quay; ω vận tốc góc chuyển động quay O y • Vật chuyển động song phẳng: x Xét vật rắn chuyển động song phẳng, thời điểm vật quay với vận tốc góc ω quanh trục quay tức thời vuông góc với hình phẳng qua tâm vận tốc tức thời P động vật chuyển động song phẳng là: J Pω 2 T= vc C Trong JP mô men quán tính vật trục qua tâm ω vận tốc tức thời P vuông góc với mặt phẳng chuyển động P vật ω vận tốc góc vật Do vật chuyển động tâm P thay đổi, J P thay đổi nên khó tính toán, theo định lý Huy ghen, ta biểu diễn JP qua mô men quán tính JC vật trục qua khối tâm C: JP = JC + M.(PC)2 thay vào công thức ta được: J C ω MvC2 T= + JC mô men quán tính vật khối tâm C Ví dụ 1: 90 Một vật có trọng lượng Q buộc vào đầu sợi dây không giãn, không trọng lượng vắt qua ròng rọc cố định B Đầu dây buộc vào trục lăn E Con lăn E lăn không trượt mặt phẳng nằm ngang cố định Ròng rọc B lăn E có trọng lượng P, bán kính R coi đĩa tròn đồng chất Tính động hệ vật A rơi xuống với vận tốc VA Lúc đầu hệ đứng yên Bài giải: E - Khảo sát hệ gồm vật A, B E B C - Phân tích chuyển động: Vật A chuyển động tịnh tiến, O vật B chuyển động quay quanh trục cố định qua O, vật E chuyển động song phẳng Động hệ: Thệ = TA + TB + TE 1Q mAv A2 = vA ; 2g 1P v R ; ωB = A TB = J oωB2 , J o = mB R = 2g R 2 1 P vA R Nên TB = 22 g R 1 TE = J CωE2 + MvC2 2 v Vì dây không giãn nên vA= vC ωE = A R 1 P vA P P ⇒ TE = R 2+ vA = vA 22g R 2g 4g 1Q 1P 3P vA + vA + vA Thệ = TA + TB + TE = 2g 4g 4g (Q + P ) T= vA 2g TA = A Q Ví dụ 2: Con lăn hình trụ tròn A đồng chất có khối lượng m lăn không trượt mặt phẳng ngang, quấn dây vắt qua ròng rọc B bán kính r mô men quán tính trục quay JO đầu dây buộc vật D có khối lượng m Biết vật D chuyển động với vận tốc vD.Tìm động hệ Bỏ qua khối lượng dây Bài giải: 91 vK K r A C ωΒ O B vc R P ωΑ D vD Xét hệ gồm vật: lăn A chuyển động song phẳng; ròng rọc B chuyển động quay vật D chuyển động tịnh tiến Động hệ là: 2 1 J Oω B2 ) + m2 vD2 2 v vD v v Trong ωB = ; ω A = K = D ; vc = R.ωA = D ; J C = m1 R r 2 2R 2R J Thay vào ta động hệ là: T = ( m1 + m2 + O2 )vD r 2 T = TA+ TB + TD = ( m1vC + J Cω A ) + 10.5.2 Công lực a Công thức tổng quát tìm công lực: Công lực đoạn chuyển dịch chuyển đặc trưng để đánh giá tác dụng lực đoạn dịch chuyển Công lực biểu thị lượng mà lực cung cấp thêm làm hao tổn cho hệ trình chuyển động - Công nguyên tố: z - O1 M(x,y,z) + ϕ s r O Mo τ M1 F(X,Y,Z) y x Công nguyên tố lực F đoạn dịch chuyển vô bé ds đại lượng vô hướng: dA = Fτds; Fτ = Fcosϕ hình chiếu lực F xuống trục tiếp tuyến Mτ quỹ đạo (phương vận tốc); ϕ góc tạo lực F trục Mτ ⇒ dA = Fcosϕds Bán kính véc tơ điểm đặt M r = OM , vi phân thời gian vô bé dt d r = vdt có trị số ds = Vdt ur ur ur r ⇒ dA = Fcosϕds = FcosϕVdt = F Vdt = F d r 92 ur r dA = F d r Trong hệ tọa độ cố định Oxyz gọi X, Y, Z hình chiếu lực F lên trục tọa độ dx, dy, dz hình chiếu d r lên trục công viết dạng giải tích sau: dA = Xdx + Ydy + Zdz - Công hữu hạn lực F : Công lực F đoạn dịch chuyển hữu hạn từ điểm MO đến điểm M1 điểm đặt lực F vạch tích phân xác định công nguyên tố dA đoạn dịch chuyển A (MoM1) = M1 ∫ Fτ ds = M0 ∫ M1 M0 ur r F d r = ∫ M1 M0 ( Xdx + Ydy + Zdz ) Đơn vị: Nm (hay Jun) b Công lực thường gặp: Tùy theo lực tác dụng chuyển động mà cách tính công lực có khác nhau, sau ta xét công số trường hợp cụ thể - Công lựcurkhông đổi đường thẳng F Giả sử lực F không đổi có phương hợp với phương chuyển động góc nhọn α Công α tính theo công thức: s A = ± Fs cos α Trong đó: Lấy dấu ( + ) thành phần lực theo phương chuyển động chiều với chuyển động, dấu ( − ) trường hợp ngược lại Đặc biệt: • Khi phương lực trùng với phương chuyển động: A = ± F s - • Khi lực vuông góc với phương chuyển động A = α = 900 → cos α = Công trọng lực Giả sử chất điểm M có trọng lượng P chuyển dời từ Mo(xo,yo,zo) đến M(x,y,z) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có trục Oz hướng thẳng đứng lên trên, ta có Px = 0, Py = 0, Pz = -P Công trọng lực tính theo công thức A = MO(xo,yo,zo) z P M(x,y,z) M1 ∫ P dx + P dy + P dz = X Y z1 z1 zo zo O Z Mo ∫ − Pdz = − P ∫ dz = − P( z h x y − zo ) , gọi h = zo − z1 ⇒ A = ± P.h Với h hiệu độ cao; Dấu ( + ) chất điểm chuyển động xuống, dấu ( − ) - chất điểm chuyển động lên Tính công lực tác dụng lên vật quay 93 ur Giả sử vật rắn quay quanh trục z , lực F tác dụng vào điểm M cách trục quay đoạn r Phân tích lực F thành thành phần F τ , Fn , Fb Ta có dA = Fτds = Fτ.rdϕ = mz ( F )dϕ n Công lực vật quay góc ϕ ϕ z b r A = ∫ mz ( F )dϕ O1 Fn M ds dϕ ur O Dấu ( + ) mô men lực F lấy trục z x chiều quay vật, dấu ( − ) trường hợp ngược lại • Công ngẫu lực: Nếu vật quay chịu tác dụng ngẫu lực có mô men M , công ngẫu lực là: dA = Mzdϕ = Mcosα dϕ; α góc tạo véc tơ mô men M với trục quay cố định Oz Công ngẫu lực vật quay góc ϕ là: ϕ 0 τ Fτ Fb Nếu lực không đổi ⇒ A = ± mz (F )ϕ ϕ F y z A( M ) = ∫ M z dϕ = ∫ M cos αdϕ Mz α M Trường hợp Mz không thay đổi suốt trình quay vật: A = Mz ϕ = (M.cosα).ϕ M trị số mô men ngẫu; φ góc quay vật (+) ngẫu chiều quay với vật, (-) ngược lại Trường hợp mặt phẳng tác dụng ngẫu vuông góc trục quay z - Công lực ma sát trục quay: Tại ổ quay thường có ma sát tác dụng lên trục quay vật, tạo thành mô men cản lại chuyển động vật, ký hiệu MC Trị số mô men cản MC thường phụ thuộc vào vận tốc góc quay vật ϕ Mô men cản ngược chiều với chiều quay vật, có công mang dấu âm Mc O dA = MCdϕ ϕ A( M c ) = − ∫ M C dϕ Trường hợp mô men cản không thay đổi vật quay: A( M c ) = − M cϕ - Công lực ma sát tác dụng lên vật lăn: Xét bánh xe lăn hình trụ tròn bán kính R, lăn không trượt mặt cố định không nhẵn Phản lực liên kết uu r ur mặt cố định tác dụng lên bánh xe gồm phản lực pháp tuyến N , lực ma sát trượt F ms ngẫu lực ma sát lăn có mô men Mms = k.N; k: hệ số ma sát lăn bánh xe mặt đường Lực ma sát trượt có điểm đặt tâm vận tốc tức thời P, ϕ điểm tiếp xúc bánh xe với mặt cố định Công phân tố lực này: dA = − Fms ds p = − Fms vP dt N Fms P Mms dϕ 94 VP= 0⇒ dA=0 Vậy công lực ma sát trượt tác dụng vào vật lăn không trượt mặt cố định ur không di chuyển lăn vật A( F ms ) = uu r + Phản lực pháp tuyến N có điểm đặt tâm vận tốc tức thời, nên công uu r phản lực N không bánh xe lăn không trượt mặt đường + Công ngẫu lực ma sát lăn: Tại thời điểm cho bánh xe quay quanh trục quay tức thời qua P vuông góc với bánh xe Ngẫu lực ma sát lăn ngược chiều với chiều quay bánh xe nên sinh công âm dA( M ms ) = − k N dϕ Công ngẫu lực ma sát lăn di chuyển hữu hạn bánh xe: ϕ A( M ms ) = − ∫ k N dϕ Trường hợp N= const trị số trình bánh xe lăn: A( M ms ) = − kNϕ Ví dụ 1: Con lăn A bán kính vành vành r R, lăn không trượt đường thẳng cố định tác dụng lực kéo F tác dụng vào đầu dây quấn vào vành lăn Đoạn dây kéo tạo góc α với mặt đường Tìm công phân tố lực F trục C lăn di chuyển đoạn đường vô bé drC F Giải: ur Gọi M điểm đặt lực F , có tọa độ x,y ur drMC α Công yếu tố lực F là: M y dA = Fcosα.dx +Fsinα.dy r r r r C chọn C cực, ta có v M = vC + v MC r r r ⇒ d r M = d r C + d r MC r Trong d r MC có phương vuông góc với MC, có chiều theo chiều di chuyển dϕ, O trị số drMC = rdϕ Chiếu đẳng thức véc tơ xuống trục tọa độ, ta : dx = drC + rdϕcosα dy = rdϕsinα ⇒ dA = Xdx + Ydy = Fcosα.(drC + rdϕcosα) +Fsinα.rdϕsinα drc R dϕ P dϕ x r R = FcosαdrC +Frdϕ = F (cosα + )drC Ví dụ 2: Con lăn A có trọng lượng P1, bán kính vành vành r R, lăn không trượt đường thẳng nằm ngang tác dụng mômen quay M= const Vành lăn quấn dây vắt qua ròng rọc B đồng chất, bán kính r1 Đầu dây buộc vật nặng D có trọng lượng P3, trượt mặt phẳng nghiêng góc α với phương nằm ngang Hệ số ma sát lăn lăn A với mặt ngang k Hệ số ma sát trượt D với mặt nghiêng f Mômen cản trục quay O M c =const 95 Tìm tổng công lực tác dụng lên hệ gồm vật đó, di chuyển mà vật D đoạn đường sD Bài giải: ds A M ϕB r1 P1 C r Mc ϕA R B ωΒ O N1 P2 N D f P P3 Fms α Mms =kN Cơ hệ gồm vật: lăn A chuyển động song phẳng, ròng rọc B chuyển động quay vật nặng D chuyển động tịnh tiến Khi vật D di chuyển đoạn đường sD dọc theo mặt nghiêng, vật B quay góc ϕB Tổng công lực tác dụng lên hệ di chuyển bằng: ∑ A = M ϕ A − kNϕ A − M Cϕ B − P3sD sin α − fNsD Để tìm di chuyển qua di chuyển sD, ta dựa vào liên kết vận tốc: VD=r1ωB , vD= ( R+r)ωA , vC = RωA, tích phân hai vế đẳng thức trên, ta tìm liên hệ di chuyển: SD = r1ϕB , sD = (R+r)ϕA, sC = RϕA suy ϕB = sD , r1 sD , R+r ϕA = sC = RsD R+r Áp dụng định lý chuyển động khối tâm cho vật A D, ta tìm giá trị phản lực pháp tuyến N = P1 , N1=P3 cosα Thay giá trị tìm vào biểu thức (7.37), ta tổng công lực tác dụng vào hệ : sD ∑ A = (M − kP ) R + r − M  M − kP M C sD − P3 (sin α + f cos α ) sD r1  − C − P3 (sin α + f cos α )  sD =  r1  R+r  10.5.3 Định lý biến thiên động hệ - Định lý biến thiên động dạng vi phân: “Vi phân động hệ di chuyển vô bé hệ tổng công phân tố lực tác dụng lên hệ di chuyển đó” dT = ∑ dAk Chứng minh: ur Xét chất điểm Mk hệ, có khối lượng m k chịu tác dụng hợp lực F k tất lực tác dụng lên chất điểm đó.viết phương trình coe động lực học cho chất điểm ta uur u r được: mk W k = F k (k = ÷ n) 96 Chiếu phương trình véc tơ xuống trục tiếp tuyến quỹ đạo chất điểm M k, ta được: mk Wkτ = Fkτ Trong Wkτ = dvk dvk dsk dvk dv = = vk = k dt dsk dt dsk dsk Thay vào đẳng thức ta được: mk dvk2 = Fkτ dsk Xét hệ gồm n chất điểm, ta cộng biểu thức tất chất điểm thuộc hệ: d ∑ ( mk dvk2 ) = ∑ Fkτ dsk ⇔ dT = ∑ dAk - Định lý biến thiên động dạng hữu hạn: “Biến thiên động hệ di chuyể hữu hạn tổng công tất lực tác dụng lên hệ di chuyển đó” T1 − T0 = ∑ Ak Chứng minh: Lấy tích phân hai vế biểu thức định lý dạng vi phân, lấy cận tương ứng với vị trí đầu cuối hệ Gọi To động hệ vị trí ban đầu, T động hệ Ak vị trí cuối chuyển động, ta được: T1 − T0 = Giải toán: Định lý biến thiên động hệ thường áp dụng cho hệ vật rắn có vị trí xác định tham số Nếu biết lực chủ động tác dụng lên hệ điều kiện đầu chuyển động, ta tìm đại lượng vận tốc gia tốc hệ phụ thuộc vào di chuyển Nếu biết lực chủ động tác dụng lên hệ, điều kiện đầu cuối chuyển động, ta tìm di chuyển hệ Nếu lực tác dụng lên hệ biến đổi, phụ thuộc vào di chuyển vận tốc hệ, ta áp dụng định lý biến thiên động hệ dạng vi phân để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ, đặc biệt thuận lợi cho toán dao động hệ vật rắn có bậc tự quanh vị trí cân ∑ Ví dụ 1: Tấm phẳng A có trọng lượng P1 chịu tác dụng lực nằm ngang Q = const, đặt hai lăn B1 = B2 giống hình trụ tròn đồng chất , lăn không trượt măt phẳng ngang cố định Mỗi lăn có trọng lượng P2 bán kính r Hệ số ma sát lăn lăn với mặt đường k Bỏ qua trượt A lăn Ban đầu hệ đứng im Tìm vận tốc gia tốc A phụ thuộc vào đoạn đường Bài giải: 97 sA y vA Q P2 r B1 A r C1 B2 C1 vc P2 P2 Mms1 O Mms2 ϕB x Fms2 ωB Fms1 N1 N2 Xét hệ gồm A hai lăn B1,B2 Vật A chuyển động tịnh tiến, hai lăn B1, B2 chuyển động song phẳng Áp dụng định lý biến thiên động dạng hữu hạn T1 − T0 = ∑ A Tại thời điểm ban đầu, hệ đứng im, T0 =0 Động hệ vị trí mà vật A đoạn đường sA, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, với lưu ý động hai lăn P P T1 = v A2 + 2( vC2 + J CωB2 ) g g Ta tìm liên hệ vận tốc qua vận tốc vA ẩn số toán : ωB = vA , 2r vC = rωB = vA Thay giá trị tìm vào (7.46), với lưu ý vật B khối trụ tròn đồng chất P J C = r , ta g 2 P P  v   P  v  T1 = v A2 +  A ÷ +  r ÷ A ÷ g g    g   2r  ( P1 + 3P2 ) v = A 8g Kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vật A di chuyển đoạn đường s A ur lăn lăn góc ϕ B Trong di chuyển hệ , có lực Q ngẫu lực ma sát lăn sinh công, ta ∑ A = QsA − kN1ϕ B − kN 2ϕB Từ liên hệ vận tốc ωB = ϕB = vA , sau tích phân hai vế đẳng thức đó, ta 2r sA Để tìm tổng phản lực pháp tuyến, ta áp dụng định lý chuyển động khối 2r tâm cho hệuu vật ur ur ur uu r uur uur ur ur M WC = Q + P1 + P2 + N1 + N + F ms1 + F ms 98 Rõ ràng, khối tâm C uu r hệ phải chuyển động theo quỹ đạo thẳng song song với trục Ox, gia tốc w C vuông góc với trục Oy Chiếu đẳng thức véc tơ xuống trục Oy = − P1 − P2 + N1 + N N1 + N = P1 + P2 Suy Vậy tổng công lực lên hệ di chuyển hệ sA 2r k   = Q − ( P1 + P2 )  s A 2r   ∑ A = Qs A − k ( P1 + P2 ) Thay kết vào ta có ( P1 + 3P2 ) v = Q − A 8g  k ( P1 + P2 )  s A 2r  Giải ta biểu thức vận tốc A phụ thuộc vào đoạn đường : v A = g [ 2rQ − k ( P1 + P2 )] s A r ( P1 + 3P2 ) Biểu thức cho di chuyển sA, đồng thời sA lại hàm số thời gian t Ta đạo hàm hai vế vA theo thời gian ( P1 + 3P2 ) v 4g A k   v A = Q − ( P1 + P2 )  s A 2r   Tấm A chuyển động tịnh tiến theo quỹ đạo thẳng, v = w A , s A = v A Vậy gia tốc A wA = 2g [ 2rQ − k ( P1 + P2 )] r (4 P1 + 3P2 ) Ví dụ 2: Vật A có khối lượng m1 đặt mặt phẳng nhẵn, gắn lề O với thẳng đồng chất OB có khối lượng m2 chiều dài l Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng thái tĩnh, OB nằm ngang Bỏ qua ma sát lề O Tìm vận tốc vật A thời điểm OB vị trí thẳng đứng Bài giải: 99 y y1 AO N BO O A O Ao O1 ω l vr vA x x1 m1 g C ve m2g B Xét hệ gồm vật A chuyển động tịnh tiến OB chuyển động song phẳng Áp dụng định lý biến thiên động dạng hữu hạn: T1 – T0 = ∑ A Ban u u r đầu hệ đứng im, T0 = Tại vị trí OB thẳng đứng, vật A có vận tốc v A OB có vận tốc góc ω , động hệ vị trí T1 = 1 m1v A2 + ( m2 vC2 + J Cω ) 2 Vận tốc tuyệt đối khối tâm C OB tọa độ cố định O1x1y1 l tổng hình học vận tốc tương đối vr = ω hệ tọa độ động Oxy, chuyển động l 2 Thay giá trị vào (7.53), với lưu ý mômen quán tính J C = m2l , ta 12 1 l 1 T1 = m1v A2 + m2 ( ω − v A ) + ( m2l )ω 2 2 12 tịnh tiến với vật A, vận tốc theo ve = vA ; suy v C = ω − vA Để tìm vận tốc góc ω , vận tốc góc tuyệt đối hệ cố định O1x1y1 , ta ý ur ur uu r e ngoại lực m1 g , m2 g , N tác dụng lên hệ vuông góc với trục O1x1 , ∑ X = động lượng hệ bảo toàn theo trục O1x1 ,Qx =const Ban đầu, hệ đứng im Q urx = QrOx = rTại vị trí r OB thẳng r r đứng, động lượng hệ Q = m1 v A + m2 vC = m1 v A + m2 (v r + v e ) Suy l Qx = m v A + m2 (− ω + v A ) = Giải ta vận tốc góc ω= ( m1 + m2 ) v A m2l Thay giá trị vận tốc góc vào biểu thức (7.54), tìm động hệ 100 T1 = ( m1 + m2 ) ( 4m1 + m2 ) v 6m2 A ur Trong di chuyển hệ, có trọng lực m2 g sinh công l ∑ A = m g 2 Thay giá trị vào ta tìm vận tốc vật A OB vị trí thẳng đứng v A = m2 gl ( m1 + m2 ) ( 4m1 + m ) Ví dụ 3: Một xe trọng lượng G kéo lên theo mặt phẳng nghiêng góc α nhờ lực kéo Q hướng song song với mặt phẳng Xe đặt bốn bánh có bán kính R, trọng lượng bánh xe p coi đĩa tròn đồng chất Tìm vận tốc gia tốc thùng xe Bỏ qua lực cản lăn coi bánh xe lăn không trượt mặt phẳng Lúc đầu hệ đứng yên Bài giải : Q N C N G C α p p - Khảo sát hệ gồm thùng xe bánh xe - Phân tích chuyển động: thùng xe chuyển động tịnh tiến, bánh xe chuyển động song phẳng i Lúc đầu hệ đứng yên To=0 hệ vật rắn nên ∑ Ak = Áp dụng định lý động : T1 − To = ∑ Ake + ∑ Aki ⇒ T1 = ∑ Ake Trong T = Tth + 4Tbx Tth : động thùng xe ; Tbx : động bánh xe 1G 1 v ; Tbx = J ω + mvC2 2g 2 vC v 1G R Ta có vC = v ; ω = = ; J z = R R 2g 1G 1 p v2 p T= v + 4( R 2+ v ) 2g 22g R 2g 1G p (G + p ) = v + v = v 2g 4g 2g ur ur uu r ur Các ngoại lực tác dụng lên hệ : Q, G, N , p Tth = 101 Ta có ∑ Ak = AG + AQ + Ap + AN Vì N có phương vuông góc với dịch chuyển xe nên AN=0 ; AG = - Gs.sinα ; Ap = - ps.sinα ∑ Ake = Q.s − G.s.sin α − p.s.sin α = [Q − (G + p)sin α ]s Trong s quãng đường dịch chuyển xe theo mặt phẳng nghiêng Thay giá trị vào ta có : e (G + p )v = [Q − (G + p ) sin α ]s 2g ⇒v= (*) 2g [Q − (G + p )sin α ].s G +6p - Tìm gia tốc : Đạo hàm bậc theo thời gian vế (*), với ds = s = v dt Ta : × × (G + p ).2v v = [Q − (G + p )sin α ] s 2g [Q − (G + p ).sin α ] ⇒W = v = g G + 6p Muốn cho xe lên W>0 Hay Q – ( G +4p) sinα > hay Q > (G + 4p) sinα Ví dụ 4: Vật nặng A có trọng lượng P1 buộc vào đầu dây vắt qua ròng rọc B đồng chất trọng lượng P2 dây lại quấn lại vào tang quay C có trọng lượng P3 bán kính r Tang C quay quanh trục cố định O tác dụng mômen quay M=aϕ2,với ϕ góc quay tang, a = const > Khối lượng tang C xem phân bố vành tang Bỏ qua khối lượng dây ma sát trục quay ròng rọc tang Tại thời điểm đầu hệ đứng im Tìm vận tốc vật A phụ thuộc vào độ cao h mà kéo lên Bài giải: 102 r1 B M=aϕ ωΒ O1 P2 C r O dh A P3 ϕ vA dϕ P1 h ωC Xét hệ gồm vật A chuyển động tịnh tiến , ròng rọc B chuyển động quay tang quay C chuyển động quay Cơ hệ chịu tác dụng mômen quay M phụ thuộc vào góc quay C , ta phải áp dụng định lý biến thiên động dạng vi phân dT= ∑ dA Động hệ vị trí trình chuyển động bằng: P 1 T = v A2 + J O1ωB2 + J OωC2 , g 2 Trong ωA P P , J O1 = r12 , JO = r r g g Thay kết vào biểu thức (7.58), ta động hệ phụ thuộc vào vận tốc vật A P 1 P v P v T = v A2 + ( r12 )( A ) + ( r )( A ) 2 g 2 g r1 g r = (2 P1 + P2 + P3 )v A2 4g Vi phân vế biểu thức dT = (2 P1 + P2 + P3 )v A dv A 2g Tại vị trí xét hệ , cho vật A di chuyển đoạn đường vô bé dh tang C quay góc vô bé dϕ tổng công phân tố lực tác dụng lên hệ di chuyển , ∑ dA = aϕ 2dϕ − Pdh Trong phụ thuộc di chuyển h =r ϕ , suy dh=rdϕ ωB = vA , r1 ωB = Biểu thức viết dạng a ∑ dA =  r  h − P1 ÷dh  Thay vào ta phương trình vi phân chuyển động vật A 103 a (2 P1 + P2 + P3 )v A dvA = ( h − P1 )dh, 2g r Tích phân vế phương trình với điều kiện đầu: h=0 vA=0, v h A a (2 P1 + P2 + P3 ) ∫ v A dv A = ∫ ( h − P1 )dh, 2g r 0 a (2 P1 + P2 + P3 )v A2 = h3 − Ph , 4g 3r Giải ta vận tốc vật A phụ thuộc vào độ cao h mà vA = gh(ah − 3r P1 ) r 3r (2 P1 + P2 + P )3 Ví dụ 5(khó) Trong cấu bánh hành tinh nằm mặt phẳng ngang, tay quay OA đồng chất có khối lượng m, chịu tác dụng mô men quay Mq = Mo - αω, Mo, α = const >0 ω vận tốc góc tay quay Bánh động (I) đồng chất, có khối lượng M bán kính r lăn không trượt quanh bánh cố định (II) có bán kính R Tại trục A bánh động có ma sát, tạo mô men cản MC = const Tại thời điểm ban đầu hệ đứng im Tìm vận tốc góc ω tay quay OA phụ thuộc vào thời gian Bài giải : ω1 (I) Mc A vA (II) dϕ O P dϕ1 M'c r Mq ω R Xét hệ gồm tay quay OA chuyển động quay bánh (I) chuyển động song phẳng Mô men quay Mq tác dụng vào hệ biến đổi, phụ thuộc vào vận tốc góc ω, ta phải áp dụng định lý biến thiên động dạng vi phân dT = ∑ dA Động hệ thời điểm : T = J oω + Mv A2 m T = [ ( R + r ) ]ω + M [( R + r )ω ]2 104 = ( R + r )2 (2m + M )ω 12 Vi phân vế đẳng thức ta dT = ( R + r )2 (2m + M )ω d ω Tại vị trí đó, ta cho hệ di chuyển vô bé, tay quay OA quay góc dϕ, bánh (I) quay góc dϕ, công phân tố lực tác dụng lên hệ (kể công nội lực mô men cản MC tác dụng vào bánh (I) mô men cản M’C tác dụng vào tay quay OA, hai mô men cản ngược chiều có trị số nhau) : ∑ dA = (M o − αω )dϕ + M c' dϕ − M c dϕ1 Từ liên hệ vận tốc vA = (R+r)ω = rω1, ta suy liên hệ di chuyển (R+r)dϕ = rdϕ1, với lưu ý M’c= Mc, biểu thức đưa dạng : ∑ dA = (M o − αω )dϕ + (1 − R+r R ) M c dϕ = ( M o − αω − M c )dϕ r r ( R + r )2 (2m + M ) = const , ta phương trình vi phân : R J ω d ω = ( M o − αω − M c )dϕ , chi vế với dt r dω R ⇒J + αω = M o − M c dt r Đặt J = Đây phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, không nhất, có nghiệm tổng quát tổng nghiệm tổng quát phương trình tương ứng nghiệm riêng phương trình không nhất: −α t ω = Ce J + R (M o − M c ) α r Hằng số tích phân C xác định từ điều kiện đầu : t = 0, ωo=0, ta tìm C=− R (M o − M c ) α r Vận tốc góc tay quay OA phụ thuộc vào thời gian : ω= α − t R ( M o − M c )(1 − e J ) α r Sau khoảng thời gian, vận tốc góc tay quay tiến đến giá trị giới hạn α − t R R ωgh = lim ( M o − M c )(1 − e J ) = ( M o − M c ) = const t →∞ α α r r Tay quay tiến dần đến trạng thái quay với vận tốc góc ωgh 105