CHƯƠNG 10 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

Định lý biến thiên động lượng - Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân: “Vi phân động lượng của hệ trong thời gian vô cùng bé bằng tổng hình học các xung lượng yếu tố của tất cả ngo

Chương 10 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC10.1 Hình học khối lượng

10.1.1 Khối tâm của cơ hệ

1

- Khối tâm:

Giả sử hệ có n chất điểm có khối lượng m1, m2,…mn và vị trí của chúng được xác địnhbằng các bán kính véc tơ định vị r1 ,r2 , r n thì khối tâm của hệ là một điểm hìnhhọc C được xác định bằng công thức:

M

r m r

n k

k k C





Trong đó: r k , r C là các bán kính véc tơ của

chất điểm thứ k và của khối tâm C;

mk, M là khối lượng của chất điểm thứ k và

khối lượng của cơ hệ

Chiếu xuống các trục tọa độ ta được công

thức xác định tọa độ của khối tâm C:

10.1.2 Mô men quán tính của vật rắn:

10.1.2.1 Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z: ký hiệu J z là 1 đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của từng điểm thuộc vật với bình phương khoảng cách từ nó đến trục ấy

J

1

2 ; hk là khoảng cách từ điểm có khốilượng mk tới trục z

k k k

J

1

2 2

k k k

J

1

2 2

k k k

J

1

2 2

10.1.2.2 Bán kính quán tính:

Giả sử đã biết mô men quán tính của cơ hệ đối với trục z là Jz, khối lượng của hệ là M

Bán kính của vật rắn đối với trục Oz, ký hiệu ρ z là đại lượng xác định theo công thức:

a Thanh đồng chất: Trục z đi qua đầu

A của thanh và vuông góc trục thanh,

AB = l, khối lượng của thanh là M

c Đĩa tròn đồng chất, khối trụ đồng chất: khối lượng M, bán kính R, trục z đi qua tâm

C và vuông góc với mặt phẳng của tấm :

z

RC

Vành tròn đồng chất Đĩa tròn đồng chất

10.1.2.4 Mô men quán tính của vật rắn đối với các trục song song

Định lý Huyghen:

Mô men quán tính của vật rắn đối với 1 trục nào đó bằng mômen

quán tính đối với trục đi qua khối tâm của vật song song với trục

đó cộng với tích số giữa khối lượng của vật với bình phương

khoảng cách giữa 2 trục

2 ' J Md

J z  ZC 

10.2 Định lý động lượng

10.2.1 Định nghĩa động lượng

- Giả sử chất điểm m có khối lượng m, chuyển động với vận tốc v

Động lượng của chất điểm là đại lượng véc tơ m v., bằng tích của khối lượng với véc

tơ vận tốc của điểm đó ký hiệu là q= m v.

- Nếu biết khối lượng của cả hệ là M , vận tốc của khối tâm của hệ là v Cthì động

lượng của hệ còn được tính theo công thức

z

M C

d

Để đặc trưng cho tác dụng của lực lên vật phụ thuộc vào thời gian, người ta dùng kháiniệm xung lượng của lực, ký hiệu là véc tơ S 

- Xung lượng yếu tố của lực F

tác dụng vào chất điểm trong thời gian vô cùng nhỏ

dt bằng tích số của véc tơ lực F với vi phân thời gian dt

- Nếu biết hình chiếu của lực F

xuống các trục tọa độ là X, Y, Z thì véc tơ S  được xácđịnh qua các hình chiếu của nó:

SX = 

1 0

t

t Xdt ; Sy = 

1 0

t

t Ydt ; Sz = 

1 0

t

t Zdt

Xung lượng có trị số bằng: S = 2 2 2

z y

- Đơn vị chính để đo xung lượng của lực là Ns

10.2.3 Định lý biến thiên động lượng

- Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân: “Vi phân động lượng của hệ trong

thời gian vô cùng bé bằng tổng hình học các xung lượng yếu tố của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ trong thời gian đó”

dt F Q

- Định lý biến thiên động lượng dạng hữu hạn: “Biến thiên động lượng của hệ

chất điểm trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng hình học xung lượng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian ấy”

trong đó, S e là tổng xung lượng của các ngoại lực

Chiếu xuống hệ tọa độ Oxyz, ta được hệ phương trình vi phân bậc nhất đối với vậntốc:

1

o

t e

“ Nếu tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ xuống 1 trục nào

đó bằng không thì hình chiếu của động lượng của hệ xuống trục ấy có giá trị không thay đổi”.

84

10.3 Định lý chuyển động khối tâm:

10.3.1 Định lý chuyển động khối tâm

“ Khối tâm của cơ hệ chuyển động như 1 chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cả hệ khi chịu tác dụng của tất cả các ngoại lực tác dụnglên hệ”.

(điều phải chứng minh)

10.3.2 Phương trình vi phân chuyển động của khối tâm

- Phương trình viết dưới dạng tọa độ Đềcác:

Z M

Y M

X M

C C C

z y x

- Nếu biết được quỹ đạo chuyển động tuyệt đối của khối tâm, ta chiếu phương trình của định lý xuống hệ tọa độ tự nhiên:

k C

F

F v

M

F s

Ví dụ:

Bánh xe đồng chất có trọng lượng P lăn không trượt trên đường thẳng nằm ngang dướitác dụng của lực ngang G = const tại tâm bánh xe Hệ số ma sát trượt giữa bánh xe và

mặt đường là f Tại thời điểm ban đầu bánh xe đứng im Tìm chuyển động của khốitâm C của bánh xe.

Fmax

Mms

O

Xét chuyển động của bánh xe lăn không trượt trên đường nằm ngang

Các lực tác dụng: trọng lực P, lực kéo G , phản lực pháp tuyến N , lực ma sát trượtmax

F có giá trị Fmax = f.N, ngẫu lực ma sát lăn có mô men Mms

Áp dụng định lý chuyển động khối tâm:

max

F N G P W

M C    Chọn hệ trục tọa độ cố định Oxy như hình vẽ, gốc O tại vị trí ban đầu của khối tâm C Chiếu phương trình trên xuống các trục tọa độ:

2 C

10.4 Định lý biến thiên mô men động lượng

10.4.1 Định nghĩa mô men động lượng

a Với chất điểm:

- Mô men động lượng của chất điểm với 1 tâm O nào đó là 1 véc tơ, ký hiệu

v m r v m m

l O  O( )  

M(x,y,z)

v

q O

m

l z z( )   'mv' là hình chiếu của m v lên mặt phẳng vuông góc z

h là khoảng cách từ giao điểm mặt phẳng (P) và trục z đến đường m v'

b Với cơ hệ:

86

- Mô men động lượng của hệ với tâm O là 1 véc tơ bằng tổng hình học các véc tơ mô

men động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với tâm đó.

k k n

k k n

k

k k O n

k Ok

- Mô men động lượng của hệ với trục z là 1 lượng đại số và bằng tổng đại số mô men

động lượng của tất cả các chất điểm thuộc hệ đối với trục ấy.

k k z n

k zk

L

1 1

)(

- Mô men động lượng của vật rắn quay quanh trục cố định:

Xét vật rắn quay quanh trục cố định Oz với vận tốc góc 

Chia vật thành nhiều phần tử nhỏ, mỗi phần tử xem như một chất điểm

Chất điểm Mk có khoảng cách đến trục quay la hk, chuyển động với vận tốc vk =

L

1

)( = mkvkhk = mkhk2 = Jz.

Lz = J z 

Jz là mô men quán tính của vật với trục quay z

ω là vận tốc góc của vật

yz

xO

Mk

h



mkvk

10.4.2 Định lý mô men động lượng

“Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của mô men động lượng của hệ đối với 1 tâm hay 1 trục nào đó bằng tổng mô men của các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với tâm hay trục đó”.





n k

k O

dt

L d

1

) (

x k k

n y

k n z

z k k

dL

m F dt

dL

m F dt

dL

m F dt

) (

1

Nếu tổng hình học các véc tơ mô men của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với tâm O bất kỳ bằng 0 thì mô men động lượng của hệ đối với tâm đó là véc tơ không đổi.

2 2



Tại thời điểm bất kỳ, đĩa A có vận tốc góc 

Mô men động lượng của hệ: Lz1 J +z m m v z( Q ) r m m v z( Q )e

Q ut

Q ut

2

2 Pr

Pr

t Qu

Tại thời điểm t1 =

- Động năng của chất điểm là đại lượng vô hướng bằng nửa tích số giữa khối lượng

của chất điểm với bình phương vận tốc của nó Động năng ký hiệu là T

kgm

2 2

A

T  M là khối lượng của vật, vC là vận tốc khối tâm

 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định:

Cho vật rắn quay quanh trục Oz với vận tốc góc  Vận tốc của chất điểm Mi bất

kỳ thuộc vật là vi = ri ; ri là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay

Động năng của vật rắn chuyển động quay là:

2 2 q

Xét vật rắn chuyển động song phẳng, tại mỗi thời điểm vật

quay với vận tốc góc  quanh trục quay tức thời vuông

góc với hình phẳng và đi qua tâm vận tốc tức thời P động năng của vật chuyểnđộng song phẳng là:

Trong đó JP là mô men quán tính của vật đối với trục đi qua tâm

vận tốc tức thời P và vuông góc với mặt phẳng chuyển động của

vật

ω là vận tốc góc của vật

Do vật chuyển động thì tâm P thay đổi, do đó JP thay đổi nên khó tính toán, theo định

lý Huy ghen, ta biểu diễn JP qua mô men quán tính JC của vật đối với trục đi qua khốitâm C:

JP = JC + M.(PC)2 thay vào công thức trên ta được:

2 2

2 2

hệ khi vật A rơi xuống với vận tốc VA Lúc đầu hệ đứng yên

Bài giải:

- Khảo sát hệ gồm các vật A, B và E

- Phân tích chuyển động: Vật A chuyển động tịnh tiến,

vật B chuyển động quay quanh trục cố định đi qua O, vật

x O

C E

A

Q

1 1

2 2

A B

v P

Bài giải:

C

v D

R P

B O

2 2

1

D

v m



1J

2m R

2 2

8

3(2

1

D

O v r

J m

10.5.2 Công của lực

a Công thức tổng quát tìm công của lực:

Công của lực trên 1 đoạn chuyển dịch chuyển nào đó là 1 đặc trưng cơ bản để đánh giátác dụng của lực trên đoạn dịch chuyển đó

Công của lực biểu thị năng lượng mà lực đó đã cung cấp thêm hoặc đã làm hao tổn cho cơ hệ trong quá trình chuyển động.

- Công nguyên tố:

r

Mo

O1

s

+-

y z

x

O

M(x,y,z)

F(X,Y,Z) M1



Công nguyên tố của lực F trên một đoạn dịch chuyển vô cùng bé ds là một đại lượng

vô hướng: dA = Fds; trong đó F = Fcos là hình chiếu của lực F xuống trục tiếptuyến M của quỹ đạo (phương của vận tốc);  là góc tạo bởi lực F và trục M

Trong hệ tọa độ cố định Oxyz gọi X, Y, Z là hình chiếu của lực F lên các trục tọa độ

dx, dy, dz là hình chiếu của d r lên các trục ấy thì công được viết dạng giải tích như sau:

dA = Xdx + Ydy + Zdz

- Công hữu hạn của lực F :

Công của lực F trên một đoạn dịch chuyển hữu hạn từ điểm MO đến điểm M1 do điểm đặt của lực F vạch ra bằng tích phân xác định của công nguyên tố dA trên đoạn dịch chuyển ấy

Đơn vị: Nm (hay Jun)

b Công của các lực thường gặp:

Tùy theo lực tác dụng và chuyển động mà cách tính công của lực có khác nhau, sauđây ta xét công của một số trường hợp cụ thể

- Công của lực không đổi trên đường thẳng

 Khi phương của lực trùng với phương của chuyển động:

1 1

o z

z

z

z

z z P dz P Pdz

o o

- Tính công của lực tác dụng lên vật quay

Giả sử vật rắn quay quanh trục z, lực F

tác dụng vàođiểm M cách trục quay đoạn r Phân tích lực F thành 3

) (F d m

Nếu lực không đổi  A m z (F) 

Dấu    khi mô men của lực F

lấy đối với trục z

cùng chiều quay của vật, dấu    trong trường hợp

ngược lại

 Công của ngẫu lực:

Nếu vật quay chịu tác dụng của ngẫu lực có mô men M , công của ngẫu lực là:

dA = Mzd = Mcos d; trong đó  là góc tạo bởi véc tơ mô men

M với trục quay cố định Oz Công của ngẫu lực khi vật quay

cos )

Trường hợp Mz không thay đổi trong suốt quá trình quay của vật:

A = Mz  = (M.cos).

M là trị số mô men của ngẫu; φ là góc quay của vật

(+) khi ngẫu cùng chiều quay với vật, (-) khi ngược lại Trường

hợp này mặt phẳng tác dụng của ngẫu vuông góc trục quay z

- Công của lực ma sát tại trục quay:

y x

Tại các ổ quay thường có ma sát tác dụng lên trục quay của vật, tạo thành mô men cản lại chuyển động của vật, ký hiệu MC Trị số mô men cản MC

thường phụ thuộc vào vận tốc góc quay của vật

Mô men cản ngược chiều với chiều quay của vật, có công

mang dấu âm

- Công của các lực ma sát tác dụng lên vật lăn:

Xét bánh xe hoặc con lăn hình trụ tròn bán kính R, lăn không trượt trên một mặt cố định không nhẵn Phản lực liên kết do mặt cố định tác dụng lên bánh xe gồm phản lực pháp tuyến N

, lực ma sát trượt F ms

và ngẫu lực ma sát lăn có mô men Mms = k.N; k:

hệ số ma sát lăn giữa bánh xe và mặt đường

Lực ma sát trượt có điểm đặt tại tâm vận tốc tức thời P, điểm tiếp xúc giữa bánh xe vớimặt cố định Công phân tố của lực này:

VP= 0 dA=0

Vậy công của lực ma sát trượt tác dụng vào vật lăn không

trượt trên mặt cố định luôn bằng không trong mọi di chuyển

lăn của vật

( ms) 0



+ Phản lực pháp tuyến N cũng có điểm đặt tại tâm vận tốc

tức thời, nên công của phản lực N bằng không khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đường

+ Công của ngẫu lực ma sát lăn:

Tại thời điểm đã cho bánh xe quay quanh trục quay tức thời đi qua P và vuông góc vớibánh xe Ngẫu lực ma sát lăn luôn ngược chiều với chiều quay của bánh xe nên sinh công âm

đường

Tìm công phân tố của lực F khi trục C của con lăn

di chuyển đoạn đường vô cùng bé drC

Giải:

Gọi M là điểm đặt của lực F , có các tọa độ x,y

Công yếu tố của lực F là:

94

 Mc O



P Fms

Mms

C r

P M

x O

y

có chiều theo chiều của di chuyển d,

Tìm tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ gồm 3 vật đó, trong di chuyển mà vật

D đi được đoạn đường sD

Bài giải:

C r

P M

 

N

P 1

P 3 f

r , A = s D

R r , sC = Rs D

R r

Áp dụng định lý chuyển động khối tâm cho vật A và D, ta có thể tìm được các giá trị của phản lực pháp tuyến

10.5.3 Định lý biến thiên động năng của cơ hệ

- Định lý biến thiên động năng dạng vi phân: “Vi phân động năng của cơ hệ trong

di chuyển vô cùng bé của hệ bằng tổng công phân tố của các lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển đó”

- Định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn: “Biến thiên động năng của hệ trong

di chuyể hữu hạn bằng tổng công của tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển đó”

Chứng minh:

Lấy tích phân hai vế biểu thức định lý dạng vi phân, lấy cận tương ứng với vị trí đầu

và cuối của cơ hệ Gọi To là động năng của hệ tại vị trí ban đầu, T1 là động năng của hệtại vị trí cuối của chuyển động, ta được: T T1 0   Ak

Giải toán:

Định lý biến thiên động năng của cơ hệ thường được áp dụng cho hệ vật rắn có vị trí được xác định bằng một tham số.

Nếu biết được các lực chủ động tác dụng lên cơ hệ và điều kiện đầu của chuyển động,

ta có thể tìm được các đại lượng vận tốc và gia tốc của hệ phụ thuộc vào di chuyển Nếu biết được các lực chủ động tác dụng lên cơ hệ, điều kiện đầu và cuối của chuyển động, ta có thể tìm được di chuyển của hệ.

96

Nếu lực tác dụng lên hệ biến đổi, phụ thuộc vào di chuyển hoặc vận tốc của hệ, ta có thể áp dụng định lý biến thiên động năng của hệ dạng vi phân để thành lập được phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, đặc biệt thuận lợi cho bài toán dao động của hệ vật rắn có một bậc tự do quanh vị trí cân bằng của nó.

Ví dụ 1:

Tấm phẳng A có trọng lượng P1 chịu tác dụng lực nằm ngang Q = const, được đặt trên hai con lăn B1 = B2 giống nhau hình trụ tròn đồng chất , lăn không trượt trên măt phẳng ngang cố định Mỗi con lăn có trọng lượng bằng P2 và bán kính r Hệ số ma sát lăn giữa các con lăn với mặt đường là k Bỏ qua sự trượt giữa tấm A và 2 con lăn Ban đầu hệ đứng im

Tìm vận tốc và gia tốc của tấm A phụ thuộc vào đoạn đường đi được của nó



Kể từ lúc bắt đầu chuyển động, khi vật A di chuyển được đoạn đường s A thì các con lăn cũng lăn được góc B Trong di chuyển đó của cơ hệ , chỉ có lựcQ

v r

  , sau khi tích phân hai vế của đẳng thức đó, ta được

Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng

Bài giải:

98

Xét cơ hệ gồm vật A chuyển động tịnh tiến và thanh OB chuyển động song phẳng

Áp dụng định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn:

Tìm vận tốc và gia tốc của thùng xe Bỏ qua lực cản lăn và coi như bánh xe lăn không trượt trên mặt phẳng Lúc đầu hệ đứng yên.

Trong đó s là quãng đường dịch chuyển của xe theo mặt phẳng nghiêng.

Thay các giá trị vào ta có :

Muốn cho xe đi lên được thì W>0

Hay Q – ( G +4p) sin > 0 hay Q > (G + 4p) sin

Tìm vận tốc của vật A phụ thuộc vào độ cao h mà nó được kéo lên

Bài giải:

Trong đó sự phụ thuộc giữa các di chuyển là h =r, suy ra dh=rd.

Biểu thức trên được viết dưới dạng

2 1

Trong cơ cấu bánh răng hành tinh nằm trong mặt phẳng ngang, tay quay OA đồng chất

có khối lượng m, chịu tác dụng của mô men quay Mq = Mo - , trong đó Mo,  = const >0 và  là vận tốc góc của tay quay Bánh răng động (I) đồng chất, có khối lượng M và bán kính r lăn không trượt quanh bánh răng cố định (II) có bán kính R Tạitrục A của bánh răng động có ma sát, tạo ra mô men cản MC = const Tại thời điểm banđầu hệ đứng im

Tìm vận tốc góc  của tay quay OA phụ thuộc vào thời gian

d1

A Mc

r (II)

ta phải áp dụng định lý biến thiên động năng dạng vi phân dTdA

Động năng của hệ tại thời điểm bất kỳ : 1 2 3 2