Các định lý tổng quát của động lực học

Các định lý tổng quát của động lực học

-148-Chơng 12 Các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các đại lợng do chuyển động của chất điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó. Vì thế nó cho phép ta giải thuận lợi một số bài toán của động lực học đặc biệt là bài toán về động lực học của cơ hệ mà nếu áp dụng phơng trình vi phân để giải thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn. 12.1. Các đặc trng hình học khối của cơ hệ và vật rắn. Khi khảo sát động lực học của cơ hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng của chúng và sự phân bố khối lợng ấy trong không gian. Các đặc trng liên quan đến phân bố khối lợng của cơ hệ hay vật rắn là khối tâm và mô men quán tính. 12.1.1. Khối tâm của hệ Xét hệ N chất điểm M1, M2, .Mn có khối lợng m1, m2, .m.N. Véc tơ định vị chúng là: rr1, rr2, rrN.( Hình 12.1) .Ta có định nghĩa sau: Khối tâm của hệ là điểm C xác định bằng biểu thức: rrC rrn rr2 1rrCMn M2 M1 zOyrrC = MrmN1kkk=r ; (12-1) xVới M = . =N1kkmHình 12.1 Chiếu biểu thức (12-1) lên các trục -149-toạ độ oxyz (hình 10-1) ta đợc: xc = MxmN1kkk= yC = MymN1kkk= (12-2) zC = MzmN1kkk= Trong đó xC, yC, zC là toạ độ khối tâm C; xk, yk, zk là toạ độ của chất điểm thứ k trong cơ hệ. Trờng hợp đặc biệt trong trờng trọng lực hệ là vật rắn khối tâm sẽ trùng với trọng tâm của vật. 12.1.2. Mô men quán tính của vật 12.1.2.1. Mô men quán tính của vật đối với một tâm Mô men quán tính của vật đối với một tâm ký hiệu là Jo bằng tổng các tích số giữa các khối lợng của mỗi chất điểm với bình phơng khoảng cách giữa chất điểm đó với điểm O (hình 10-1) Jo = (12-3) =N1k2kkrm12.1.2.2. Mô men quán tính của vật đối với một trục Mô men quán tính của vật đối với một trục z ký hiệu là Jz bằng tổng các tích khối lợng mk của mỗi chất điểm trong vật với bình phơng khoảng cách dk từ chất điểm đến trục (hình 12-1). Jz = (12-4) =N1k2kkdmGọi toạ độ các chất điểm Mk trong hệ toạ độ oxyz là xk,yk, zk thì mô men quán tính của hệ đối với các trục toạ độ là ox, oy, oz và đối với gốc toạ độ O viết đợc: -150-Jx = + );zy(m2k2kkJy = + );zx(m2k2kkJz = (12-5) + );xy(m2k2kkJo = ++= ).zyx(mrm2k2k2kk2kkTừ đó suy ra: Jx + Jy + Jz = Jo. (12-6) Trong kỹ thuật ta tính mô men quán tính của vật đối với một trục theo biểu thức: Jz = M.2M là khối lợng của vật, gọi là bán kính quán tính của vật với trục z. 12.1.2.3. Mô men quán tính của một số vật đồng chất - Vật là một thanh mỏng đồng chất Gọi chiều dài của thanh là l, khối lợng của nó là M. Chọn trục Ax dọc theo thanh (hình 12-2). yBxmk dx xk Xét một phần tử của thanh có chiều dài dx ở vị trí cách A một đoạn xR, có khối lợng dm = 1.dx ở đây 1 là khối lợng riêng trên một đơn vị chiều dài của thanh = M/l AHình 12-2Biểu thức mô men quán tính của thanh lấy đối với trục Az vuông góc với thanh tại A là: JAz = 2Ml3l02il02313ldxxdmx === (127) AHình 12.3 B xD C dx x y -151-- Vật là một tấm phẳng hình chữ nhật (hình 12-3) Gọi các cạnh của hình là a, b, khối lợng của tấm phẳng là M. Chia hình thành nhiều giải nhỏ song song với trục o mỗi giải có bề rộng là dx, có mô men quán tính đối với trục Ax là Jk = 2kam31(theo hình 12-3) Trong đó mk là khối lợng của giải đang xét. Mô men quán tính của cả hình đối với trục Ax là : Jx = ;ma31am31Jn1kkn1k22kn1kkx===== Jx = Ma312 (12-8) Tơng tự suy ra: Jy = Mb312 (12- 9) y RC x- Vật là một vành tròn đồng chất Gọi bán kính và khối lợng của vành là R và M. Tính mô men quán tính của vành đối với trục Cz vuông góc với mặt phẳng của vành và đi qua tâm C. (hình 12-4). Hình 12.4 Ta có: xy RO drkrk Jcz = ;Rmrmn1k2kn1k2kk===Jcz = (12-10) .MRmR2n1kk2==Công thức (12-10) cũng dùng để tính mô men quán tính của một ống trục tròn đồng chất đối với trục của nó. Hình 12.5 -152-- Vật là một tấm phẳng tròn đồng chất Gọi bán kính và khối lợng của tấm là R và M. Ta có thể tính mô men quán tính đối với trục Cz ký hiệu là Jcz và mô men quán tính đối với trục Cx hay Cy trùng với đờng kính của nó ký hiệu là Jx, Jy. Chia tấm thành nhiều vành nhỏ cùng tâm C bán kính mỗi vành thứ k là rk. Bề rộng của mỗi vành thứ k là drk. Khối lợng của lớp vành thứ k là : mk = .2.rk.drkTrong đó là khối lợng riêng của tấm trên một đơn vị diện tích = .RM2 Theo công thức (12-10) mô men quán tính của lớp vành thứ k này đối với trục Cz viết đợc. Jkcz = mkrk2 = 2.rk3drkMô men quán tính của cả tấm đối với tục Cz viết đợc: Jcz = ===n1kk3kn1kkczdrr2Jhay: Jcz = .R21drr24Rok3k= Cuối cùng ta có: Jcz = 2MR21 (12-11) Để tính Jcz và Jcy ta có nhận xét mọi điểm của tấm có zx = 0, vì thế theo (12-5) viết đợc: Jcx = ===+n1k2kkn1k2k2kk;ym)zy(mJcy = ===+n1k2kkn1k2k2kk;xm)zx(m -153-Jcz = .)yx(mn1k2k2kk=+Từ các biểu thức trên suy ra trong trờng hợp này: Jcz = Jcx + Jcy. Do đối xứng nên sự phân bố khối lợng của tấm đối với trục cx và cy hoàn toàn nh nhau. Ta có: Jcx = Jcy = Jcz/2= MR2/4. (12-11) Công thức (10-11) cũng có thể tính mô men quán tính cho vật là một trục tròn đồng chất đối với trục của nó. 12.1.2.4. Mô men quán tính đối với các trục song song. -Định lý Huy-Ghen: Mô men quán tính của một vật đối với một trục z1 nào đó bằng mô men quán tính của nó đối với trục z song song với trục z1 đi qua khối tâm của vật cộng với tích khối lợng của vật với bình phơng khoảng cách giữa hai trục. Jz1 = Jcz + Md2 (12-12) Chứng minh: xz'zk dd'k dk BMk yCyk xk Theo định nghĩa Jz1 = (a) 2kk'dmKẻ trục cz song song với z1 và đi qua khối tâm c (hình 12-6) Ta có: 2k'd = dk2 + d2 - 2dkdcosk. Gọi toạ độ của điểm Mk là xk, yk, zk. xk = dkcosk suy ra: d'k2 = dk2 + d2 - 2dxkHình 12.6 Thay kết quả vào biểu thức (a) sẽ đợc: Jz1 = mk(dk2 + d2 - 2xkd) = mkdk2 +mkd2 - 2mkdxk), -154-trong đó: mkdk2 = Jcz; mkd2 = Md2 còn mkdxk = dmkxk = dMxC Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên xC =0. Do đó: mkdxk = 0 Cuối cùng đợc: Jz1 = Jcz + Md2. Định lý đã đợc chứng minh. 12.2. Định lý động lợng và định lý chuyển động của khối tâm 12.2.1. Định lý động lợng 12.2.1.1. Động lợng của chất điểm và của hệ Động lợng của chất điểm là một đại lợng véc tơ ký hiệu là kr bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc của chất điểm. kr = m . (12-14) vrĐộng lợng của hệ là đại lợng véc tơ ký hiệu Kr bằng tổng hình học động lợng các chất điểm trong hệ. Kr = =n1kkrk = m=n1kvvrk. (12-15) Đơn vị đo động lợng là kgm/s Ta cũng có thể biểu diễn động lợng của hệ qua khối lợng và vận tốc khối tâm của hệ. Từ (12-1) suy ra: mkrrk = M rrc. Đạo hàm hai vế theo thời gian nhận đợc: mkvrk = Mvro. Động lợng của hệ bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc khối tâm của hệ. -155-12.2.1.2. Xung lợng của lực (xung lực) Lực tác dụng trong một khoảng thời gian nhỏ bé dt thì đại lợng véc tơ đo bằng tích giữa lực với khoảng thời gian vô cùng bé đó là xung lợng phần tử của lực ký hiệu là dFrsr = .dt. (12-17) FrNếu lực Fr tác dụng trong khoảng thời gian hữu hạn từ to đến t thì đại lợng véc tơ tính bằng tích phân các xung lực phần tử trong khoảng thời gian đó gọi là xung lợng của lực trong khoảng thời gian từ tFro đến t và ký hiệu là sr. sr = (12-18) =ttottodtFsdrrTheo (10-18) nếu lực = const thì: Frsr = . Frở đây = t - to12.2.1.3. Định lỹ động lợng Định lý 12.1: Đạo hàm theo thời gian động lợng của chất điểm bằng hợp lực các lực tác dụng lên chất điểm. )vm(dtdr = (12-19) =n1iiFrChứng minh: Xét chất điểm có khối lợng m chuyển động với vận tốc v dới tác dụng của hệ lực (Fr1, Fr2, . Frn). Phơng trình cơ bản viết cho chất điểm: m= Wr=n1iiFr Thay = Wrdtvdr vào biểu thức trên sẽ đợc: m= Wr==n1iiF)vm(dtdrr Định lý đợc chứng minh. Biểu thức (12-19) thực chất là phơng trình cơ bản viết dới dạng động lợng cho chất điểm. -156-Định lý 12.2: Biến thiên động lợng của chất điểm trong khoảng thời gian từ to đến t1 bằng tổng hình học xung lợng của các lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. mvr1 - mvro = ===n1kkn1k1ttokSdtFrr (12-20) Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra: d(m) = vr=n1k1ttokdtFrTích phân hai vế phơng trình này tơng ứng với các cận tại to và t1 sẽ có: ====n1k1tto1tton1kk1mvmvo;dtFdtF)vm(drrr mvr1 - mvro = =n1kkSrĐịnh lý đã đợc chứng minh. Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ. ==N1kkeFdtKdrr (12-21) Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm. Ký hiệu hợp ngoại lực và hợp nội lực đặt lên chất điểm thứ k là Frke và Frki. Phơng trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm đó là: mk( = )WkrFrke + Frki (a) Viết cho N chất điểm của hệ ta sẽ có N phơng trình (a) nghĩa là k = 1 .N Cộng vế với vế của N phơng trình trên với nhau ta sẽ đợc: ===+=N1kkiN1kkeN1kkkFFWmrrr Theo định luật Niu Tơn các lực tác dụng tơng hỗ bằng nhau về độ lớn, -157-cùng phơng nhng ngợc chiều vì vậy tổng hình học các nội lực ( các lực tác dụng tơng hỗ cuả các chất điểm trong hệ) luôn luôn bằng không. Ta có: Frki = 0 Còn lại: ===N1kkeN1kkkFWmrr Thay ,KdtdvmdtvdmWmN1kkkN1kkkN1kkkvrrr====== Ta có: ==N1kkeFKdtdrv. Định lý đã đợc chứng minh. Định lý 12.4: Biến thiên động lợng của hệ trong khoảng thời gian từ to đến t1 bằng tổng hình học xung lợng các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó. kr1 - kr0 = (12-22) =N1kkeSrChứng minh: Từ phơng trình (12-10) suy ra: dkr = dtFN1kke=rTích phân hai vế biểu thức này tơng ứng với các cận tại thời điểm đầu và cuối sẽ đợc: ==1ttoke1ttoke1kkodtFdtFdkrr; kr1 - kro = srke . Định lý đã đợc chứng minh. Chý ý rằng các biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) và (10-22) là các biểu [...]... Md 2 . Định lý đà đợc chứng minh. 12.2. Định lý động lợng và định lý chuyển động của khối tâm 12.2.1. Định lý động lợng 12.2.1.1. Động lợng của chất điểm và của hệ Động lợng của chất điểm là một đại lợng véc tơ ký hiệu là k r bằng tích giữa khối lợng và véc tơ vận tốc của chất điểm. k r = m . (12-14) v r Động lợng của hệ là đại lợng véc tơ ký hiệu K r bằng tổng hình học động lợng các chất... 12.2.2. Định lý chuyển động của khối tâm - Định lý 12.5:Khối tâm của hệ chuyển động nh một chất điểm mang khối lợng của cả hệ dới tác dụng của lực bằng véc tơ chính của hệ các ngoại lực tác dụng lên hệ. M (12-23) = = n 1i keC FW r Chứng minh: Xét cơ hệ N chất điểm có khối lợng là m 1 , m 2 , m N chuyển động dới tác dụng của hệ ngoại lực F r 1e , F r 2e , F r Ne và hệ các nội lực F r 1i ,... dA 2 1 = 0. Suy ra tổng công của tất cả các nội lực trong vật rắn với bất kỳ chuyển động nào cũng bằng không. = n 1k dA k i = 0 Cần chú ý rằng nếu hệ không phải là vật rắn thì V M1M2 sẽ không vuông góc với M 1 M 2 do đó F 12 .V M1M2 0 và suy ra: dA k i 0. 12.4.3. Định lý động năng Định lý 12-7. Vi phân động năng của chất điểm bằng tổng công nguyên tốc của các lực tác dụng lên chất... m v r 1 - m v r o = = n 1k k S r Định lý đà đợc chứng minh. Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ. = = N 1k ke F d t Kd r r (12-21) Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm. Ký hiệu hợp ngoại lực và hợp nội lực đặt lên chất điểm thứ k là F r ke và F r ki . Phơng trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm đó lµ: m k (... O P r T r 0 M 0 M h Xét chuyển động của vật nặng M. Các lực tác dụng lên vật gồm trọng lực P, lực căng T của dây. áp dụng định lý biến thiên động năng của vật rắn trên đoạn ®−êng tõ M 0 ®Õn M ta cã: ∑ = == N 1i 1M0M 2 0 2 A 2 mv 2 mv Hình 12-20 ở đây v o = 0; công của lc căng T bằng không vì lực này luôn vuông góc với phơng tiếp tuyến. Công của trọng lực P theo biểu thức (10-42) viết... 2 1 v)Q6P( g2 1 + . Ngo¹i lùc tác dụng lên xe goòng gồm : lực kéo F, trọng lợng P và 4Q, lực ma sát F ms của mặt đờng lên bánh xe. Trong các lực trên lực ma sát không sinh công vì bánh xe lăn không tr−ỵt. -182- Ngoại lực tác dụng lên ô tô gồm: trọng lực P r , phản lực pháp tuyến của mặt đờng N r , lực ma sát F r ms , lực cản R r C . Trong các lực trên chỉ có lực cản R r C sinh công do đó: ∑dA = - R C ds o ... Định luật bảo toàn cơ năng 12.4.4.1. Trờng lực và trờng lực có thế Trờng lực là khoảng không gian vật lý mà chất điểm đặt trong đó sẽ chịu tác dụng một lực chỉ phụ thuộc vào vị trí cuả chất điểm. Trờng lực thế là trờng lực mà công của các lực đặt lên chất điểm không phục thuộc vào dạng quĩ đạo của chuyển động mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối quÃng đờng di chuyển của chất điểm. Lực. .. m c ( )d. (12-45) F r Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động song phẳng bằng tổng công nguyên tố của lực đó trong chuyển động tính tiến theo khối tâm và công nguyên tố của lực đó trong chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng cơ sở. v r F r ms ds M ms P r N r d Q r - Công của lực ma sát: Đối với ma sát trợt do tính chất của lực ma sát là cản lại... J z ta đợc: Hình 12.11 J z = J z . z Thờng ngời ta chọn hớng dơng của trục quay để z = khi đó ta có: l z = J z . (12-28) 12.3.2. Định lý mô men động lợng Định lỹ 12-6: đạo hàm bậc nhất theo thời gian mô men động lợng của chất điểm lấy đối với một tâm hay đối với một trục bằng tổng hình học hay tổng đại số mô men của các lực tác dụng lên chất điểm lấy đối với tâm (hay trục đó). () ( = = n 1i ioo Fmvmm dt d r r r r ) ;... Xác định vận tốc của goòng tại thời điểm khi xe goòng đà đi đợc một đoạn s = 4m. Cho biết lúc đầu xe goòng đứng yên tức v o = 0. Xác định gia tốc của xe goòng. Giả thiết các bánh xe chuyển động lăn không trợt và ma sát trong các trục là không đáng kể, góc nghiêng = 30 0 . F r S P r +4 Q r Hình 12-24 Bài giải: Để xác định vận tốc v 1 của xe goòng ta áp dụng định lý biến thiên động . -148-Chơng 12 Các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết. giữa các đại lợng do chuyển động của chất điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực. lên chất điểm hay cơ hệ đó. Các định lý tổng quát của động lực