Chuyển động tổng hợp của điểm

Chuyển độnh tổng hợp của điểm

-85Chơng Chuyển động tổng hợp điểm 7.1 Chuyển động tuyệt đối, chuyển động tơng đối chuyển động kéo theo Chuyển động tổng hợp điểm chuyển động đợc tạo thành điểm tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời Ta xét toán mô hình sau : Khảo sát chuyển động điểm M hệ toạ độ động o1x1y1z1 gắn vật A Vật A lại chuyển động z hệ toạ độ cố định oxyz (xem hình 7.1) z1 A Chun ®éng cđa ®iĨm M so k1 r víi hƯ cố định oxyz gọi chuyển động tuyệt đối Vận tốc gia tốc r chuyển động tuyệt đối ký hiƯu lµ : v a r vµ w a y1 M z1 j1 x1 o1 i1 y1 ro O x1 y x Hình 7.1 Chuyển động điểm M so với hệ động o1x1y1z1 gọi chuyển động r r tơng đối ký hiệu v r w r Chun ®éng cđa hƯ ®éng (vËt A) so với hệ cố định oxyz gọi chuyển động kéo theo Vận tốc gia tốc điểm thuộc vật A ( hệ động ) bị điểm M chiếm chỗ ( trùng điểm ) chuyển động kéo theo lµ vËn tèc vµ gia tèc kÐo r r theo điểm M ký hiệu : v e w e Nh chuyển động tuyệt đối điểm M chuyển động tổng hợp hai chuyển động tơng đối kéo theo r ThÝ dơ : Con thun chun ®éng víi vËn tèc u so với nớc Dòng nớc r chảy với vận tốc v so với bờ sông chuyển động thuyền so với bờ sông chuyển động tut ®èi Chun ®éng cđa thun so víi mặt nớc r r chuyển động tơng vận tốc v r = u Chuyển động dòng nớc so với -86r r bờ chuyển động kéo theo, vËn tèc cđa chun ®éng kÐo theo v e = v Theo định nghĩa ta thấy, để xét chuyển động tơng đối ta xem hệ động nh cố định Khi phơng trình chuyển động viết dới dạng véc tơ nh r r r r r sau : (7-1) r1 = O1M = x i1 + y1 j1 + z1k r r r ë i1 , j1 , k véc tơ đơn vị hệ động Khi xét chuyển r r r động tơng đối nh đà nói véc tơ i1 , j1 , k đợc xem nh không đổi Còn toạ độ x1 , y1 , z1 hàm thời gian x1 = x1(t) ; y1 = y1(t) ; z1 = z1(t) Mn xÐt chun ®éng kÐo theo cđa ®iĨm ta cần cố định hệ động phơng trình chuyển động M so với hệ cố định oxyz phơng trình chuyển động kéo theo Ta cã : r r r r r r r r = OM = r0 + r1 = r0 + x1 i1 + y1 j1 + z1k (7-2) Trong ph−¬ng trình (7.2) ta cố định điểm hệ động nên toạ độ r r r x1 , y1 , z1 không đổi, i1 , j1 , k véc tơ biến đổi theo thời gian r r r r r r r r r0 = r0 ( t ) ; i = i ( t ) ; j = j ( t ) ; k = k ( t ) 7.2 Định lý hợp vận tốc Xét điểm M chuyển động tơng z ®èi hƯ ®éng o1x1y1z1 víi vËn tèc r v r ; HƯ ®éng chun ®éng hƯ cè c2 M c1 z1 r1 ve định oxyz kéo theo điểm M chun r ®éng víi vËn tèc kÐo theo v e (xem hình r va o1 ro 7-2) Để xác ®Þnh vËn tèc tut ®èi ta y1 vr x1 y O thiết lập phơng trình chuyển động tuyệt đối ®iÓm M Ta cã : r r r r r r r r = r0 + r1 ( t ) = r0 + x i1 + y1 j1 + z1k x Hình 7.2 (7-3) -87Phơng trình giống phơng trình (7-2) nhng cần lu ý tham số phơng trình hàm thời gian Đạo hàm bậc theo thời gian phơng trình (7-3) ta đợc : r r r r r d r ⎛ d r0 di dj dk ⎞ ⎛ dx r dy1 r dz1 r ⎞ r va = i1 + j1 k1 ⎟ =⎜ + x1 + y1 + z ⎟ + ⎜ dt ⎜ dt dt dt dt ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠ ⎠ ⎝ Trong kết tìm đợc, nhóm số hạng thứ r r r r ⎛ d r0 di dj dk ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ dt + x dt + y1 dt + z1 dt ⎟ ⎠ ⎝ chÝnh lµ đạo hàm bậc theo thời gian phơng trình (7-2) (phơng r trình chuyển động kéo theo ) vËn tèc kÐo theo v e Nhãm c¸c sè hạng lại : dx r dy1 r dz1 r ⎞ i1 + j1 k1 ⎟ ⎜ dt dt dt đạo hàm bậc theo thời gian phơng trình (7.1) (phơng trình r chuyển động tơng đối ) đợc thay vận tốc tơng đối v r Thay kết vừa tìm đợc vào vận tốc tuyệt đối ta ®ù¬c : r r r va = ve + vr Định lý 7.1 : Trong chuyển động tổng hợp điểm vận tốc tuyệt đối tổng hình học vận tốc kéo theo vận tốc tơng đối : r r r va = ve + vr (7-4) 7.3 Định lý hợp gia tốc Để thiết lập biểu thức gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình chuyển động tuyệt đối điểm (phơng trình 7.3) Ta có : r r r r r r d r dv a ⎛ d r0 d2 i d2 j d k ⎞ ⎛ d x r d y1 r d z r ⎞ r wa = = =⎜ + x + y1 + z1 ⎟ + ⎜ i1 + j1 k ⎟ ⎟ dt dt ⎜ dt dt dt dt ⎟ ⎜ dt dt dt ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ -88- r r r ⎛ dx d i1 dy1 d j1 dz1 dk ⎞ ⎟ + 2⎜ ⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟ Trong kết tìm đợc nhóm số h¹ng thø nhÊt : r r r r 2 ⎛ d r0 d i d j d k⎞ ⎜ + x + y1 + z ⎟ ⎜ dt dt dt dt đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình (7.2) ( phơng trình r chuyển ®éng kÐo theo ) cã thÓ thay b»ng gia tèc kéo theo w e Nhóm số hạng thứ hai : ⎛ d x r d y1 r d z r ⎞ ⎜ i1 + j1 k ⎟ ⎜ dt dt dt đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình (7.1) ( phơng trình r chuyển động tơng đối ) thay gia tốc tơng đối w r Nhóm số hạng lại : r r r dx d i1 dy1 d j1 dz1 dk ⎞ ⎟ 2⎜ ⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟ r đợc gọi gia tốc quay hay gia tèc Koriolit ký hiƯu lµ w k Thay kết tìm đợc vào biểu thức gia tốc tuyệt đối ta đợc : r r r r wa = we + wr + wk Ta ®i đến định lý sau gọi định lý hợp gia tốc Đinh lý 7.2 : Trong chuyển động tổng hợp điểm gia tốc tuyệt đối tổng hình học gia tốc kéo theo, gia tốc tơng đối vµ gia tèc Koriolit r r r r wa = we + wr + wk (7.5) 7.4 Gia tèc Koriolit r Gia tốc Koriolit w k đợc xác định theo biÓu thøc : r r r ⎛ dx d i1 dy1 d j1 dz1 dk ⎞ r ⎟ w k = 2⎜ ⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟ ⎝ ⎠ -89r r r Khi hệ động có chuyển động quay véc tơ đơn vị i1 , j1 , k quay theo đạo hàm theo thời gian khác không Trong trờng hợp hệ động không tham gia chuyển động quay đạo hàm không gia tốc Koriolit gia tốc đợc gọi gia tèc quay Gia tèc Koriolit biĨu diƠn ¶nh h−ëng chun ®éng quay cđa hƯ ®éng ®Õn gia tèc cđa ®iĨm NÕu vËn tèc gãc cđa hƯ ®éng (vËn tèc góc kéo theo ) e hệ ®éng quay quanh trơc o1ε víi vËn tèc gãc ωe đạo hàm bậc theo thời gian r r r véc tơ đơn vị i1 , j1 , k vận tốc đầu mút chúng chuyển động quay quanh trục o1 (xem hình 7.3) z Ta cã : r d i1 r r = ωe × i1 dt r r dk r = ωe × k dt r d j1 r r = ωe × j1 dt ε y A ωe vA k1 j1 O i1 x Thay kết biểu thức vào biểu r thức w k ta đợc : Hình 7.3 r r r dx d i1 dy d j1 dz dk ⎞ r ⎟ w k = 2⎜ + + ⎜ dt dt dt dt dt dt ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( r dy r r dz r r ⎛ dx r = 2⎜ ω C x i + ω C x j + ω C x k ⎜ dt dt dt ⎝ ⎟ )⎞ ⎟ ⎠ r ⎛ dx r dy r dz r ⎞ r r = 2ω e x ⎜ i1 + j1 + k ⎟ = 2ω e × v r ⎟ ⎜ dt dt dt ⎠ ⎝ Nh− vËy gia tèc Koriolit b»ng hai lÇn tích hữu hớng vận tốc góc kéo theo véc tơ vận tốc tơng đối -90r r r w k = 2ω e × v r ( 7.6) Từ (7.6) ta xác định độ lớn gia tèc Koriolit theo biÓu thøc : w k = 2ω e v r sin (ω e v r ) Ta thÊy gia tèc Koriolit b»ng kh«ng trờng hợp sau : - Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa e = ; - Khi động điểm đứng yên hệ r động, nghĩa lµ v r = ; ωe - Khi chuyển động tơng đối theo phơng dọc theo trục quay chuyển động r r kéo theo nghĩa góc hợp e v r wk r vr Hình 7.4 không 1800 Theo (7.6) gia tốc Koriolit có phơng r vuông góc với mặt phẳng chứa hai véc tơ e r v r cã chiỊu cho nh×n tõ mót cđa r xuống mặt phẳng thấy e quay vr Hình 7.4 e e M v'r wK ngợc chiều kim đồng hồ góc nhỏ r 1800 đến trùng với v r (xem hình 7.4) Hình 7.5 Trong thực hành ta xác định r ph−¬ng chiỊu cđa w k nh− sau : r ChiÕu véc tơ vận tốc tơng đối v r lên mặt phẳng vuông góc với trục quay r chuyển động kéo theo Sau quay hình chiếu v r ®i mét gãc 900 theo chiỊu quay cđa ωe mặt phẳng (xem hình 7.5) ta xác định đợc phơng chiều gia tốc Koriolit Sau giới thiệu số ví dụ vận dụng định lý hợp vận tốc hợp gia tốc chuyển ®éng tỉng hỵp cđa ®iĨm -91- ThÝ dơ 7.1: Tay quay OA cđa c¬ cÊu tay quay cu lit quay quanh trục O vuông góc với mặt phẳng cấu Đầu A tay quay nối khớp lỊ víi tr−ỵt B Con tr−ỵt B cã thĨ trợt máng BC cu lit Máng BC chuyển động tịnh tiến lên xuống nhờ rÃnh hớng dẫn D E Xác định vận tốc, gia tốc m¸ng BC cịng nh− vËn tèc gia tèc cđa tr−ỵt so víi cu lit BC B Cho biÕt tay quay cã chun ®éng quay ®Ịu víi O C A vận tốc góc n = 120 vòng/phút Độ dài OA = = 30cm (xem h×nh 7.6) E H×nh 7.6 Bài giải: Nếu chọn hệ động gắn với cu lit (máng BC) hệ cố định gắn với trục quay O chuyển động trợt A máng chuyển động tơng đối Chuyển động máng tịnh tiến lên xuống chuyển động kéo theo chuyển ®éng cđa A quay quanh O lµ chun ®éng tut đối Trớc hết ta xác định đợc vận tốc tuyệt đối gia tốc tuyệt đối điểm A VËn tèc cña tay quay OA ω= π.n π.120 = = 4π(rad / s) 30 30 D VÞ trí cấu đợc xác định C3 B3 gãc quay cña tay quay OA : A3 ϕ = t = 4t (rad) O B Đầu A tay quay thực chuyển động tròn tâm O bán kính OA = VËn tèc cđa ®iĨm A : Va = ω.1 = 4π.30 B1 r r v wa r e we ϕ r wr A A1 E = 120π ≈ 3,77 m/s H×nh 7.7 r v r vr C1 x -92r v a có phơng vuông góc với OA h−íng theo chiỊu quay ω (xem h×nh 7.7) r v a vận tốc tuyệt đối điểm A : va = vA Vì tay quay quay nên gia tốc điểm A có thành phần pháp tun r r wA = wn A vỊ ®é lín wA = ω2.1 = 16π2.1 = 16π2.30 ≈ 4733 cm/s2 ; = 47,33 m/s2 r Gia tèc w A cã chiều hớng từ A vào O Gia tốc tuyệt đối điểm A r wA Để tìm vận tốc máng (vận tốc kéo theo) vận tốc trợt A máng (vận tốc tơng đối) ta áp dụng định lý hợp vận tốc Ta có : r r r va = ve + vr r r r v a = v A đà biết độ lớn phơng chiều v e vận tốc máng r chuyển động tịnh tiến lên xuống có phơng thẳng đứng Còn v r vận tốc trợt dọc theo máng BC nên có phơng nằm ngang Từ định lý hợp vận r tốc ta nhận đợc hình bình hành mà đờng chéo v a hai cạnh lµ r r r r v e vµ v r Dễ dàng tìm đợc véc tơ vận tốc kéo theo v e v r nh hình (7.7) Ta cã : v e = v A sin ϕ = 3,77.sin 4π.t ( m / s) v r = v A cos ϕ = 3,77 cos 4π.t ( m / s) r r Phơng chiều vận tốc v e v r nh hình vẽ Để xác định gia tốc kéo theo tơng đối (gia tốc máng gia tốc trợt máng) ta áp dụng dịnh lý hợp gia tốc -93r r r r wa = we + wr + wk r Trong toán hệ động chuyển động tịnh tiến nên w k = ta cßn biĨu thøc : r r r wa = we + wr r gia tốc tuyệt đối đà đợc xác định Gia tốc kéo theo w e có phơng r thẳng đứng gia tốc tơng đối w r có phơng năm ngang Cũng dễ dàng nhận r r thấy véc tơ gia tốc kéo theo w e gia tốc tơng đối w r hai cạnh hình r bình hành nhận gia tốc w a làm đờng chéo (xem hình 7.7) Ta có : w e = w A cos ϕ = 47,33 cos 4π.t w r = w A sin ϕ = 47,33.sin 4π.t r r Ph−¬ng chiỊu cđa gia tèc w e w r nh hình vẽ 7.7 Kết cho thấy vận tốc, gia tốc máng BC ( ve, wed ) vận tốc, gia tốc trợt máng ( vr , wr ) hàm thời gian Ta xác định chúng vị trí đặc biệt sau : Khi ϕ1 = 4πt = ta cã ve = We = 47,33 m/s Khi ; ; vr = 3,77 m/s wr = ϕ2 = 4πt = π / ta cã ve = 3,7 m / s we= m / s ; vr = ; wr = 3,77 m / s ThÝ dô 7.2 : Động điểm M chuyển động đỉnh O cđa nãn däc theo ®−êng sinh OC víi vËn tèc không đổi vr = 24 cm / s Nón đồng thời quay bắt đầu thời điểm xuất phát điểm M theo quy luật = 0,125t2 Xác định vận tốc tuyệt đối gia tốc tuyệt ®èi cđa ®éng ®iĨm M t¹i thêi ®iĨm t = giây (xem hình 7.8) Cho biết góc đỉnh nón 600 -94Bài giải Trong toán chuyển động điểm M dọc B theo đờng sinh OC chuyển động tơng đối Nh z vận tốc tơng ®èi cđa ®iĨm ®· biÕt O r ve α Vr = 24 cm / s = 0,24 m / s có phơng chiều từ O k r va M đến C r vr ωe Chun ®éng quay cđa nãn quanh trơc AB víi C εe quy lt ϕ = 0,125t chuyển động kéo theo A Để xác định đợc vận tốc kéo theo điểm ta Hình 7.8 phải xác định vị trí thời điểm t1 trªn nãn Ta cã OM = vr.t = 24.4 = 96 cm Khoảng cách từ động điểm vị trí xét tới trục quay AB : MK = OM.sin300 = 96.0,5 = 48 cm z B VËn tốc kéo theo thời điểm t1 : d ωe = = 0,25t dt y Gia tèc gãc chuyển động kéo theo : d = 0,25(rad / s ) dt x α víi t = t1 = gi©y ωet1 = 0,25.4 = rad / s ; εe = O k r ωe r εe A wn e M vr wτe wk C Hình 7.9 Các véc tơ e e biểu diễn hình vẽ (7.9) r r Các véc tơ vận tốc kéo theo v e vận tốc tơng đối v r thời điểm t1 = 4s đợc biểu diễn hình 7.8 Về độ lớn vận tốc kéo theo xác định đợc : ve = MK ωe = 48,1 cm / s ≈ 0,48 m / s -95r r r áp dụng định lý hợp vËn tèc ta cã : v a = v e + v r VỊ ®é lín vËn tèc tut ®èi M thời điểm t1 : Va = VM = v e + v = 48 + 24 = 53,64(cm / s) = 0,5364(m / s) r Để xác định gia tốc tuyệt đối M, từ định lý hợp gia tốc ta cã : r r r r r wa = wM = we + wr + wk r rn rr ChuyÓn động kéo theo chuyển động tròn nên w e = w e + w e rn Trong ®ã : w e cã ph−¬ng chiỊu h−íng tõ M vỊ K (xem hình 7.9), có độ lớn : n w e = MK.ωe = 48.1 = 48(cm / s ) rr r w e cã ph−¬ng chiỊu trùng với phơng chiều v e có độ lớn : r w e = MK.ε e = 48.0,25 = 12(cm / s ) r Gia tèc t−¬ng đối w r trờng hợp không gia tèc r Koriolit w k cã ph−¬ng chiỊu nh− hình vẽ Có độ lớn : wk = 2e vr sin300 = 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s2) ChiÕu biĨu thøc trªn lªn hai trơc Mxy nh− hình ta có : wx = wer + wk = 12 + 24 = 36 cm / s2 = 0,36 m/ s2 wy = wen = 48 cm / s2 = 0,48 m / s2 Gia tèc tut ®èi cđa ®iĨm w M = w + w = 36 + 482 = 60c(cm / s ) x y Phơng chiều wM xác định góc phơng xác định nh− sau : cos(w M x ) = wx wM = 0,6 ; cos(w M y ) = wy wM = 0,8 Thí dụ 7.3 : Cơ cấu điều chỉnh ly tâm biểu diễn nh hình vẽ 7.10 Tại -96thời điểm xét cầu quay quanh điểm treo O cïng víi OM víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc ω1 = rad / s vµ ε1 = 0,2 rad / s2 C¬ cÊu quay quanh trơc thẳng đứng với vận tốc góc gia tốc góc ω2 =4 rad / s vµ ε2 = o,8 rad / s2 Xác định vận tốc tuyệt đối gia tốc tuyệt đối cầu M thời điểm Cho biết kích thớc cấu vị trí xét : l = 40 cm ; e = cm ; = 300 Bài giải Trong toán này, chuyển động cấu quay quanh trục thẳng đứng chuyển động kéo theo Vận tèc gãc kÐo theo ωe = ω2 = rad / s gia tốc góc chuyển động kéo theo lµ εe = ε2 = 0,8 rad / s ω2 ε2 l l α ze e o ω1 ε1 C R ve M vM = vA vr Chuyển động cầu M quay quanh O chuyển động tơng đối.Vận tốc góc chuyển động tơng đối Hình 7.10 r = = rad / s gia tốc góc chuyển động tơng ®èi lµ εr = ε1 = 0,2 rad / s2 Quỹ đạo chuyển động tơng đối M đờng tròn bán kính tâm Quỹ đạo chuyển động kéo theo M đờng tròn nằm mặt phẳng vuông góc với trục quay AB có b¸n kÝnh : CM = R = e+1sin300 = 5+40.0,5 = 25 cm VËn tèc tut ®èi cđa ®iĨm M đợc xác định nh sau : r r r r va = vM = ve + vr ; ve = R.ωe = 25.4 = 100 cm / s ve cã phơng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động kéo theo , h−í theo chiỊu quay cđa c¬ cÊu ; Vr tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động tơng đối có nghĩa vuông -97góc với OM hớng theo chiỊu quay cđa ωr , cã trÞ sè Vr = l.ωr = 40.2 = 80 cm/s r r Nh− hai véc tơ v e v r vuông góc với độ lớn vận tốc tuyệt đối xác định đợc : v M = v e + v = 100 + 80 = 128(cm / s) r Ph−¬ng chiỊu cđa VM xác định nh hình vẽ 7.10 Vì chuyển động tơng đối chuyển động kéo theo chuyển động tròn nên biểu thức gia tốc tuyệt đối ®iÓm M ta cã thÓ viÕt : r r r r r r w M = w r e + w n e + w k + w rr + w n (a) r Sau xác định độ lớn phơng chiều thành phần gia tốc ë vÕ ph¶i Wet = R εe = 25 0,8 = 20 cm / s2 Wet cïng ph−¬ng chiỊu víi vËn tèc kÐo theo rn w e = R ω22 = 25.16 = 400cm/s2 H−íng tõ M vµo C wrr = εr = 40 0,2 = cm / s2 wrn = ω2r = 40 = 160 cm / s2 r w rr h−íng theo chiỊu cđa vr r w n h−íng tõ M vµo O r wk = 2ωe vr sin(ωetvr) = 80 0,866 = 554 cm / s2 r r ë ®©y gãc < (ωe , v r ) = 60 nên sin(e,vr) = 0,866 r Phơng chiều w k xác định theo phơng pháp thực O hành tìm thấy nh hình vẽ (7.11) r Để xác định gia tốc tuyệt đối w M ta chiếu phơng trình (a) lên trục xyz chọn nh hình vÏ εr ωr ωe εe C O Z α wn r wtc Kết chiếu lên trục thu đợc :wx = - wk - wen = - wτr y wn e R M x rr r Víi c¸ch chän hệ trục ta thấy gia tốc w k w e rn r r nằm trục x gia tèc w e , w rr , w n năm mặt r phẳng yMz wK Hình 7.11 -98554 - 20 = -574 cm / s2 wy = wer cos300 - wrn sin300 - wen ; = 0,866 - 160 0,5 - 400 = -473 cm / s2 ; Cuèi cïng ta cã : wM = w2 + w2 + w2 = x y z (− 574 )2 + (− 473)2 + (142 )2 = = 869 cm / s2 = 8,69 m / s2 Để xác định phơng chiều M ta phải xác định góc phơng chúng c¸c trơc : cos(w M x ) = cos(w M z ) = wx wM wz wM − 574 = 869 = 142 869 ; cos(w M y ) = wy wM = − 473 869 ... Nếu chọn hệ động gắn với cu lit (máng BC) hệ cố định gắn với trục quay O chuyển động trợt A máng chuyển động tơng đối Chuyển động máng tịnh tiến lên xuống chuyển động kéo theo chuyển động A quay... thÊy gia tốc Koriolit không trờng hợp sau : - Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa e = ; - Khi động điểm đứng yên hệ r động, nghĩa v r = ; e - Khi chuyển động tơng ®èi theo ph−¬ng däc theo... đối gia tốc tuyệt đối động điểm M thời điểm t = giây (xem hình 7.8) Cho biết góc đỉnh nón 600 -94Bài giải Trong toán chuyển động điểm M dọc B theo đờng sinh OC chuyển động tơng ®èi Nh− vËy z