CHƯƠNG 7 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM

Chương CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM 7.1 Các định nghĩa Trong thực tế ta gặp nhiều dạng chuyển động phức tạp điểm: Điểm chuyển động vật, mà vật lại chuyển động vật khác Ta gọi chuyển động chuyển động tổng hợp (phức hợp) điểm Ví dụ 1: Người lại tàu, toa tàu chuyển động so với đường ray Ví dụ 2: Một thuyền chuyển động so với mặt nước, mặt nước lại chuyển động so với bờ sông Ví dụ 3: Động điểm M chuyển động OA, OA quay quanh tâm O cố định Khảo sát chuyển động điểm M so với hệ toạ độ Oxyz, hệ toạ độ Oxyz lại chuyển động so với hệ toạ độ cố định khác O 1x1y1z1 (hình 7-2) Ta có định nghĩa sau: Hình - z1 7.1.1 Định nghĩa 1: Chuyển z động tuyệt đối y Là chuyển động điểm M so tốc gia tốc M so với hệ toạ độ vận tốc tuyệt đối gia tốc tuyệt đối M O với hệ toạ độ cố định O1x1y1z1 Vận O1 y1 x x1 Ký hiệu : Va , Wa Quỹ đạo M hệ toạ độ quỹ đạo tuyệt đối B v Vt M V v A ω Vr O 7.1.2 Định nghĩa 2: Chuyển động tương đối H×nh 7.1a H×nh 7.1b H×nh 7.1c Chuyển động tương đối chuyển động điểm M so với hệ động Oxyz Vận tốc gia tốc M so với hệ toạ độ vận tốc tương đối gia tốc tương đối Ký hiệu : Vr , Wr Quỹ đạo M hệ toạ độ quỹ đạo tương đối 7.1.3 Định nghĩa 3: Chuyển động theo (Chuyển động kéo theo) Chuyển động theo chuyển động hệ động Oxyz với phần không gian gắn với so với hệ cố định O1x1y1z1 Vận tốc gia tốc gọi vận tốc theo gia tốc theo Ký hiệu Ve , We • Phân tích chuyển động: Ví dụ 1: - chuyển động tuyệt đối chuyển động người so với đường ray - Chuyển động tương đối chuyển động người so với sàn tàu - Chuyển động theo chuyển động tàu so với đường ray Ví dụ 2: - Chuyển động tuyệt đối chuyển động thuyền so với bờ sông - Chuyển động tương đối chuyển động thuyền so với mặt nước - Chuyển động theo chuyển động nước so với bờ sông Ví dụ 3: - Chuyển động tuyệt đối chuyển động M so với mặt phẳng cố định chứa OA - Chuyển động tương đối chuyển động M dọc theo OA - Chuyển động theo chuyển động OA quay quanh tâm O Thông thường ta hay gặp loại toán: - Bài toán tổng hợp: Biết chuyển động tương đối kéo theo điểm, tìm chuyển động tuyệt đối - Bài toán phân tích chuyển động: Biết chuyển động tuyệt đối điểm, tìm chuyển động thành phần 7.2 Định lý hợp vận tốc 7.2.1 Định lý: Tại thời điểm, vận tốc tuyệt đối động điểm tổng hình học vận tốc tương đối vận tốc theo V a = V r + Ve Thật vậy, giả sử khoảng thời gian (a) ∆t, điểm M chuyển động quỹ đạo tương M1 Mr véc tơ MM r (hình 7-3), thời gian điểm M chuyển động quỹ đạo theo với véc tơ MM e Do M thực đồng thời hai chuyển động nên thực Me chuyển động tuyệt đối theo véc tơ MM Ta có: MM e + M e M = MM M (b) Hình 7-3 Chia hai vế cho ∆t lấy giới hạn ∆t →0, có: lim ∆t →0 MM e M M MM = lim + lim e ∆t ∆t ∆t ∆t →0 ∆t →0 Theo định nghĩa: lim ∆t →0 Còn thành phần lim ∆t →0 MM  = va ; ∆t lim ∆t →0 MM e  = ve ; ∆t M eM1 MM r  = lim = vr ; ∆t ∆t ∆t →0 Kết quả: Va = Vr + Ve vr (hình 7-4) va α ve Hình 7-4 7.2.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Thanh AB chuyển động theo phương đứng nhờ rãnh D với vận tốc không đổi V Đầu A gắn với ống lồng vào OC làm cho OC quay quanh tâm O Hãy xác định vận tốc A so với OC vận tốc, gia tốc góc OC Bài giải: Chọn OC hệ động xét điểm A chuyển động phức hợp va Vr vận tốc A so với OC vr Ve vận tốc theo ve Va vận tốc tuyệt đối ω C A Áp dụng định lý hợp vận tốc : Va = Vr + Ve , ta có : ϕ O l Vr = Va sin ϕ = V sin ϕ v Ve = Va cos ϕ = V cos ϕ • ω =ϕ = Ve V cos ϕ V = = cos ϕ OA l / cos ϕ l H×nh 75 ε= • dω 2V V2 =− cos ϕ sin ϕ ϕ = − sin 2ϕ cos ϕ dt l l Ví dụ 2: Trong cấu culit hình vẽ, tay quay OC quay quanh trục nằm ngang O cố định, trượt A trượt dọc theo OC đồng thời gắn với đầu AB Thanh trượt rãnh thẳng đứng K Biết khoảng cách OK = a Tìm vận tốc chuyển động trượt A tay quay OC phụ thuộc vào góc quay ϕ vận tốc ω tay quay Bài giải: Xét chuyển động phức hợp trượt A với hệ động tay quay OC Chuyển động tương đối chuyển động a A dọc theo OC ve ϕ Chuyển động theo chuyển động quay OC đất, c vr A phương vận tốc A vuông góc với OC Chuyển ω động tuyệt đối chuyển động thẳng A theo phương thẳng O ϕ K đứng, phương B vận tốc tuyệt đối A Gọi ω vận tốc góc tay quay Giả sử cố định điểm A vào tay quay vận tốc vận tốc theo: ve = OA.ω = a.ω cosϕ với phương chiều hình vẽ Áp dụng định lý hợp vận tốc: r r r va = vr + ve r Trong biết ve phương hai vận tốc lại Dựng đường hai véc r r r tơ va vr cách vẽ hình chữ nhật đường chéo va hai cạnh biểu thị hai r r vận tốc vr ve Vận tốc tương đối trượt A dọc theo OC là: vr = vetgϕ = aω sin ϕ cos 2ϕ 7.3 Định lý hợp gia tốc 7.3.1 Định lý: Tại thời điểm, gia tốc tuyệt đối động điểm tổng hình học ba thành phần: gia tốc tương đối, gia tốc theo gia tốc Kôriôlít W a = W r + We + W K 7.3.2 Cách xác định gia tốc Kôriôlít - Công thức tổng quát: WK = 2.ω e ∧ Vr - Nếu hệ động ( chuyển động kéo theo) chuyển động tịnh tiến: W K = ⇒ W a = W r + We - Nếu hệ động( chuyển động kéo theo) chuyển động quay quanh trục cố định với véc tơ vận tốc góc ω e • Trường hợp ω e ⊥ Vr (Hình 7- 6a): quanh véc tơ ω e theo chiều quay góc 90o Vr ωe WK = 2.ωe.Vr Phương, chiều: Quay Vr Vr2 ωe ωe WK vr 90o H×nh 7-6 a Vr1 Vr1 α ωe WK 90o H×nh 76b phương, chiều WK • Trường hợp Vr ω e hợp với góc α < 90 o ( Hình 7-6b): Ta phân tích Vr thành Vr Vr cho Vr ⊥ ω e , Vr // ω e WK = 2.ωe.Vr sinα Phương, chiều: Quay Vr quanh véc tơ ω e theo chiều quay góc 90o phương, chiều WK 7.3.3 V í d ụ: Ví dụ 1: Xe A cần trục chuyển động với vận tốc không đổi V r= m/s Cần trục quay quanh trục Oz với vận tốc góc không đổi n = 30 vg / ph π Hãy xác định gia tốc tuyệt đối xe A OA = m Bài giải: Hệ động cần trục chuyển động quay Áp dụng định lý hợp gia tốc: W a = W r + We + W K Trong đó: n ¦ We = ¦ Wen ; ¦ We = OA.ω e ¦ Weτ = ω = const ¦ Wr = Vr số ¦ WK = 2ω e ∧ Vr = 2ω e Vr z vr O ωe WK ω2 We vr H× nh 10.6 ⇒ ¦ Wa = ¦ WA = ¦ Wen + ¦ WK ¦ Wa = (OA.ω e2 ) + (2ω e Vr ) = 4,12 m/s2 Ví dụ 2: at (a=const Máy bay lên thẳng A bay theo phương thẳng đứng theo quy luật z = > 0), cánh quạt có chiều dài OM = R quay theo quy luật j = kt2/2 (k=const > 0) Tìm vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối đầu M cánh quạt Bài giải: Phân tích chuyển động: Xét chuyển động phức hợp điểm We M, hệ động chọn thân máy bay Chuyển động tương đối O ϕ(t) R W rτ ve n Wr M vr chuyển động tròn tâm O bán kính R A điểm M thân máy bay Chuyển động theo chuyển động tịnh tiến thân máy bay với đất z(t) Xác định vận tốc: Áp dụng định lý hợp vận tốc: r r r va = vr + ve Chuyển động tương đối tròn, vận tốc tương đối có trị số bằng: vr = s&= Rϕ&= Rkt Có phương tiếp xúc với quỹ đạo chiều hình vẽ Chuyển động theo tịnh tiến Giả sử điểm M dừng lại thân máy bay (cánh quạt không quay nữa), vận tốc M vận tốc theo: ve = z&= at r r Có phương thẳng đứng chiều hình vẽ Vì hai véc tơ vr , ve vuông góc với nhau, nên vận tốc tuyệt đối có trị số bằng: va = vr2 + ve2 = t R k + a Xác định gia tốc: Áp dụng định lý hợp gia tốc, chuyển động theo chuyển động tịnh tiến: r r r wa = wr + we Chuyển động tương đối tròn, gia tốc tương đối có hai thành phần: wτr = & s&= Rk ; w nr = vr2 = Rk 2t R r Véc tơ wτr tiếp xúc với đường tròn có chiều theo chiều chuyển động cánh r quạt quay nhanh dần, w nr hướng vào trục quay Chuyển động theo chuyển động tịnh tiến thẳng, gia tốc theo có trị số we = & z&= a , có phương thẳng đứng theo chiều chuyển động máy bay máy bay chuyển động nhanh dần r r r Ba véc tơ wτr , w nr w e vuông góc với đôi nên gia tốc tuyệt đối có trị số bằng: w a = (wτr ) + (w nr ) + (w e ) = R k (1 + k 2t ) + a Ví dụ 3: Tay quay OA = r quay quanh trục cố định O với vận tốc góc ωo gia tốc góc εo hình vẽ Đầu A cớ gắn lề với trượt, trượt trượt dọc theo O1B = l, quay quanh trục cố định O1 Tại vị trí tay quay OA vuông góc với đoạn OO1 góc OAO1 = a, tìm vận tốc gia tốc điểm B O1B z B εο O ωο v A r vr α α ve va WC B O ωο y ω1 A n Wa vr B τ W Bn WB 90° τ We n ω1 W e W aτ ε1 O1 O1 x ω1 Bài giải: Xét chuyển động phức hợp trượt A, chọn hệ động O1B Chuyển động tương đối chuyển động thẳng điểm A dọc theo O1B Chuyển động theo chuyển động O1B mặt đất Tại vị trí cho, vận tốc theo có phương vuông góc với O1B Chuyển động tuyệt đối chuyển động tròn tâm O bán kính r điểm A mặt đất Áp dụng định lý hợp vận tốc: r r r v =v +v a r e Vận tốc tuyệt đối điểm A có phương vuông góc với OA Chiều theo chiều ω0 r có trị số va = rωo Phân tích véc tơ va thành hai thành phần nằm phương r r vận tốc vr ve ta trị số hai vận tốc vr = va sin α = rωosinα ; ve = va cosα = rωo cosα r Biết vận tốc ve ta tìm vận góc ω1 O1B thời điểm cho: ω1 = ve rω cosα = o = ω0 cos 2α r O1A cosα Vận tốc đầu B có phương chiều hình vẽ, với trị số bằng: vB = O1 B.ω1 = lωo cos 2α Áp dụng định lý hợp gia tốc: r r r r Wa = Wr + We + Wc Theo giả thiết ta tìm gia tốc tuyệt đối điểm A: Wan = rωo2 ; Waτ = rε o Với phương chiều hình vẽ Chuyển động tương đối chuyển động thẳng điểm A dọc theo O1B, r W gia tốc tương đối có thành phần r nằm dọc theo O1B với chiều giả thiết hình vẽ r r r r Để tìm gia tốc Côriôlis Wc = 2ω × vr , trước tiên phải tìm véc tơ vận tốc góc ω1 r Véc tơ ω1 nằm trục quay O1 vuông góc với mặt phẳng tạo hai OA r O1B có chiều hình vẽ Nhấc véc tơ ω1 đặt vào A, chọn trục Ax chứa r r r véc tơ ω1 Chọn mặt phẳng tọa độ Axy chứa véc tơ ω1 vr , trục Ay phải r nằm dọc theo O1B Từ chọn trục Az chứa véc tơ Weτ 10 r r r Vì hai véc tơ ω vr nằm mặt phẳng tọa độ Axy, gia tốc Wc phải nằm trục Az với chiều hướng theo chiều dương trục Az, đứng theo r r véc tơ We thấy véc tơ ω quay ngược chiều kim đồng hồ 900 để trùng với véc r tơ vr Trị số gia tốc Côriôlis là: Wc = 2ω1vr sin 900 = 2rω02 cos 2α sin α = rω02 cosα sin 2α Gia tốc tuyệt đối điểm A viết sau: r r r r r r Wan + Waτ = Wr + Wen + Weτ + Wc Trong phương trình gia tốc có hai thành phần chưa biết trị số Wr Weτ Chiếu phương trình véc tơ xuống hai trục tọa độ, ta hai phương trình đại số để tìm hai ẩn số Để tìm gia tốc góc ε1 BO1, ta chiếu phương trình véc tơ xuống trục Az Wan sin α − Waτ cosα = − Weτ + We Giải ta được: Weτ = Waτ cosα − Wan sin α + We = rε 0cosα − rω sin α + rω 2cosα sin 2α Gia tốc BO1 bằng: ε1 = Weτ ω2 = ε cos 2α + sin 4α AO1 Từ tìm gia tốc điểm B: 11