CHƯƠNG 7 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM

Trong thực tế ta còn gặp nhiều dạng chuyển động phức tạp của điểm: Điểm chuyển động trên 1 vật, mà vật đó lại chuyển động đối với 1 vật khác.. Ví dụ 2: - Chuyển động tuyệt đối là chuyển

Chương 7 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM

7.1 Các định nghĩa.

Trong thực tế ta còn gặp nhiều dạng chuyển động phức tạp của điểm: Điểm

chuyển động trên 1 vật, mà vật đó lại chuyển động đối với 1 vật khác Ta gọi

chuyển động đó là chuyển động tổng hợp (phức hợp) của điểm

Ví dụ 1: Người đi lại trên tàu, trong khi toa tàu đang chuyển động so với

đường ray

Ví dụ 2: Một chiếc thuyền đang chuyển động so với mặt nước, trong khi mặt

nước lại chuyển động so với bờ sông

Ví dụ 3: Động điểm M chuyển động trên thanh OA, trong khi thanh OA quay

quanh tâm O cố định

Khảo sát chuyển động của điểm M so với hệ toạ độ Oxyz, trong khi hệ toạ độ

Oxyz lại chuyển động so với hệ toạ độ cố định khác O1x1y1z1 (hình 7-2) Ta có

các định nghĩa sau:

Hình 7 - 2

7.1.1 Định nghĩa 1: Chuyển

động tuyệt đối

Là chuyển động của điểm M so

với hệ toạ độ cố định O1x1y1z1 Vận

tốc và gia tốc của M so với hệ toạ độ

này là vận tốc tuyệt đối và gia tốc

tuyệt đối

Ký hiệu : V , a W a

Quỹ đạo của M trong hệ toạ độ này là quỹ đạo tuyệt đối

Ve

A

v B

Vt

1

x1

O1

z1

y1

O

x

y z

M

7.1.2 Định nghĩa 2: Chuyển động tương đối

Chuyển động tương đối là chuyển động của điểm M so với hệ động Oxyz Vận tốc và gia tốc của M so với hệ toạ độ này là vận tốc tương đối và gia tốc tương đối

Ký hiệu : V , r W r

Quỹ đạo của M trong hệ toạ độ này là quỹ đạo tương đối

7.1.3 Định nghĩa 3: Chuyển động theo (Chuyển động kéo theo)

Chuyển động theo là chuyển động của hệ động Oxyz cùng với phần không gian gắn với nó so với hệ cố định O1x1y1z1

Vận tốc và gia tốc gọi là vận tốc theo và gia tốc theo

Ký hiệu V , e W e

 Phân tích chuyển động:

Ví dụ 1:

- chuyển động tuyệt đối là chuyển động của người so với đường ray

- Chuyển động tương đối là chuyển động của người so với sàn tàu

- Chuyển động theo là chuyển động của tàu so với đường ray

Ví dụ 2:

- Chuyển động tuyệt đối là chuyển động của thuyền so với bờ sông

- Chuyển động tương đối là chuyển động của thuyền so với mặt nước

- Chuyển động theo là chuyển động của nước so với bờ sông

Ví dụ 3:

- Chuyển động tuyệt đối là chuyển động của M so với mặt phẳng cố định chứa OA

- Chuyển động tương đối là chuyển động của M dọc theo thanh OA

- Chuyển động theo là chuyển động của OA quay quanh tâm O

Ve

Vr

 O

Thông thường ta hay gặp 2 loại bài toán:

- Bài toán tổng hợp: Biết chuyển động tương đối và kéo theo của điểm, tìm

chuyển động tuyệt đối

- Bài toán phân tích chuyển động: Biết chuyển động tuyệt đối của điểm, tìm

2 chuyển động thành phần

7.2 Định lý hợp vận tốc

7.2.1 Định lý:

Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học vận

tốc tương đối và vận tốc theo

V a V r V e

Thật vậy, giả sử trong khoảng thời gian

t, điểm M chuyển động trên quỹ đạo tương

đối với véc tơ MM r (hình 7-3), cũng trong

thời gian đó điểm M chuyển động trên quỹ

đạo theo với véc tơ MM e Do M thực hiện

đồng thời hai chuyển động nên sẽ thực hiện

chuyển động tuyệt đối theo véc tơ MM1 Ta

có: MM eM e M1 MM1

Hình 7-3

Chia hai vế cho t và lấy giới hạn khi t 0, sẽ có:

t

M M t

MM t

t

e t



1 0

0

1

lim

Theo định nghĩa: lim0 1 a;

t

v t

MM 







e t

v t

MM 









0

1

r t

e t

v t

MM t

M











3



v r v a

v e

Hình 7-4

M

Mr

(a)

M1

Me

(b)

Kết quả: V a V r V e (hình 7-4)

7.2.2 Ví dụ:

Ví dụ 1:

Thanh AB chuyển động theo phương đứng nhờ rãnh D với vận tốc không đổi

là V Đầu A gắn với ống lồng vào thanh OC làm cho OC quay quanh tâm O Hãy xác định vận tốc của A so với OC và vận tốc, gia tốc góc của thanh OC Bài giải:

Chọn OC là hệ động và xét điểm A

chuyển động phức hợp

r

V là vận tốc của A so với thanh OC

e

V là vận tốc theo

a

V là vận tốc tuyệt đối

Áp dụng định lý hợp vận tốc :

e r

V   , ta có :



 sin sin

V



 cos cos

V









cos /

cos

l

V l

V OA

V e























2

cos 2 sin sin

cos

2

l

V l

V dt

d













Ví dụ 2:

Trong cơ cấu culit như hình vẽ, tay quay OC quay quanh trục nằm ngang O cố định, con trượt A có thể trượt dọc theo OC đồng thời nó gắn với đầu thanh AB Thanh đó có thể trượt trong rãnh thẳng đứng K Biết khoảng cách OK = a Tìm

v

C

A



H×nh 7-5

va

ve

vr

l

vận tốc chuyển động của con trượt A đối với tay quay OC phụ thuộc vào góc quay và vận tốc  của tay quay

Bài giải:

Xét chuyển động phức hợp của con trượt A với hệ động là tay quay OC Chuyển động tương đối là chuyển động

của thanh A dọc theo thanh OC

Chuyển động theo là chuyển

động quay của OC đối với đất,

phương của vận tốc của A

vuông góc với OC Chuyển

động tuyệt đối là chuyển động

thẳng của A theo phương thẳng

đứng, đó cũng là phương của

vận tốc tuyệt đối của A

Gọi  là vận tốc góc của tay quay Giả sử cố định điểm A vào tay quay thì vận tốc của nó chính là vận tốc theo:

ve = OA. = c aos.



với phương chiều như hình vẽ Áp dụng định lý hợp vận tốc:

a r e

v v v Trong đó đã biết ve và phương của hai vận tốc còn lại Dựng đường được hai véc tơ va và vr bằng cách vẽ hình chữ nhật đường chéo là vavà hai cạnh biểu thị hai vận tốc vrvà ve Vận tốc tương đối của con trượt A dọc theo OC là:

2

2 sin os

r e

a

c





7.3 Định lý hợp gia tốc

7.3.1 Định lý:

5

A

c

B





a

vr

Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học của ba

thành phần: gia tốc tương đối, gia tốc theo và gia tốc Kôriôlít

W a W r W e W K

7.3.2 Cách xác định gia tốc Kôriôlít

- Công thức tổng quát:

W K  2 e  V r

- Nếu hệ động ( chuyển động kéo theo) chuyển động tịnh tiến:

W K  0  W a W r W e

- Nếu hệ động( chuyển động kéo theo) chuyển động quay quanh trục cố định

với véc tơ vận tốc góc e

 Trường hợp e V r

(Hình 7- 6a):

WK = 2.e.Vr

Phương, chiều: Quay V r

quanh véc tơ e theo chiều

quay của nó một góc 90o được

phương, chiều của W K

 Trường hợp V r và e hợp với nhau một góc   90o( Hình 7-6b):

Ta phân tích V r thành 1

r

r

V sao cho V r1  e , V r2 // e

WK = 2.e.Vr sinα

Phương, chiều: Quay 1

r

V quanh véc tơ e theo chiều quay của nó một góc

90o được phương, chiều của W K

7.3.3 V í d ụ:

Ví dụ 1:

90o

vr

Vr1

Vr

e



90o

e

e

e

Vr1

Vr2

Xe con A của cần trục chuyển động với vận tốc không đổi Vr= 2 m/s Cần trục quay quanh trục Oz với vận tốc góc không đổi n 30 vg/ph



Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của xe A khi OA = 2 m

Bài giải:

Hệ động là cần trục chuyển động quay

Áp dụng định lý hợp gia tốc:

K e

r

Trong đó:

n

e

W

W

¦ OAe 0

W

¦ e  do  const

0

W

¦ r vì V r là hằng số.¦ WK  2 e  V r  2 e.V r

v r

O z

 2

H×nh 10.6

 e

W K

v r

W e

K n

e A

W



2 2

2

W

Ví dụ 2:

Máy bay lên thẳng A bay theo phương thẳng đứng theo quy luật 2

2

at

z 

(a=const > 0), cánh quạt có chiều dài OM = R quay theo quy luật j = kt2/2

(k=const > 0) Tìm vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối của đầu M của cánh quạt

Bài giải:

Phân tích chuyển động:

Xét chuyển động phức hợp của điểm

M, hệ động được chọn là thân máy

bay Chuyển động tương đối là

chuyển động tròn tâm O bán kính R

7

 t 

z (t)

W r

v r

v e

W e

O

M

A

W rn

của điểm M đối với thân máy bay Chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến của thân máy bay với đất

Xác định vận tốc:

Áp dụng định lý hợp vận tốc:

a r e

v v v

Chuyển động tương đối là tròn, vận tốc tương đối có trị số bằng:

r

v  s R   Rkt

Có phương tiếp xúc với quỹ đạo và chiều như hình vẽ

Chuyển động theo là tịnh tiến Giả sử điểm M dừng lại đối với thân máy bay (cánh quạt không quay nữa), vận tốc của M chính là vận tốc theo:

e

v  z at

Có phương thẳng đứng và chiều như hình vẽ Vì hai véc tơ v v r, e vuông góc với nhau, nên vận tốc tuyệt đối có trị số bằng:

a r e

Xác định gia tốc:

Áp dụng định lý hợp gia tốc, khi chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến:

wa  wr  we

Chuyển động tương đối là tròn, gia tốc tương đối có hai thành phần:

2

2 2

v

R



Véc tơ w  r

tiếp xúc với đường tròn và có chiều theo chiều chuyển động vì cánh quạt quay nhanh dần, còn wn

r



hướng vào trục quay

Chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến thẳng, gia tốc theo có trị số bằng

we   z a, có phương thẳng đứng và theo chiều chuyển động của máy bay vì máy bay chuyển động nhanh dần

Ba véc tơ w  r

, wn r



và wevuông góc với nhau từng đôi một nên gia tốc tuyệt đối

có trị số bằng:

a r r e R k k t a

Ví dụ 3:

Tay quay OA = r quay quanh trục cố định O với vận tốc góc o và gia tốc góc o

như hình vẽ Đầu A của thanh cớ gắn bản lề với con trượt, con trượt có thể trượt dọc theo thanh O1B = l, quay quanh trục cố định tại O1 Tại vị trí tay quay OA vuông góc với đoạn OO1 và góc OAO1 = a, tìm vận tốc và gia tốc của điểm B của thanh O1B

O

O 1

A

B

O

O 1

A B

y

x

z





 

 

 



 

 

 



v r

v a

v e

v r

W B n



W a

W e n

W a n

W e

v B

Bài giải:

Xét chuyển động phức hợp của con trượt A, chọn hệ động là thanh O1B Chuyển động tương đối là chuyển động thẳng của điểm A dọc theo O1B Chuyển động theo là chuyển động của thanh O1B đối với mặt đất Tại vị trí đã cho, vận tốc theo có phương vuông góc với O1B Chuyển động tuyệt đối là chuyển động tròn tâm O bán kính r của điểm A đối với mặt đất

Áp dụng định lý hợp vận tốc:

r

va v ve

Vận tốc tuyệt đối của điểm A có phương vuông góc với OA Chiều theo chiều

0 và có trị số va = ro Phân tích véc tơ vathành hai thành phần nằm trên

phương của các vận tốc vr và ve ta được trị số của hai vận tốc đó

v v  r in ; ve v c a os  r c o os 

Biết vận tốc ve ta tìm được vận góc 1 của O1B tại thời điểm đã cho:

9

2 o

1

os

os A

os

e

c r

O

c



Vận tốc của đầu B có phương chiều như hình vẽ, với trị số bằng:

2

Áp dụng định lý hợp gia tốc:

Wa  W  W  Wc

Theo giả thiết ta tìm được gia tốc tuyệt đối của điểm A:

2

Wn

a r o; Wa ro

Với phương chiều như hình vẽ

Chuyển động tương đối là chuyển động thẳng của điểm A dọc theo thanh O1B,

do đó gia tốc tương đối chỉ có một thành phần Wr nằm dọc theo O1B với chiều giả thiết như hình vẽ

Để tìm gia tốc Côriôlis Wc  2    vr

, trước tiên phải tìm véc tơ vận tốc góc 1 Véc tơ 1 nằm trên trục quay O1 vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai thanh OA

và O1B và có chiều như hình vẽ Nhấc véc tơ 1 đặt vào A, chọn trục Ax chứa véc tơ 1 Chọn mặt phẳng tọa độ Axy chứa các véc tơ 1 và vr, trục Ay phải nằm dọc theo thanh O1B Từ đó chọn trục Az chứa véc tơ W e

Vì hai véc tơ  và vr nằm trong mặt phẳng tọa độ Axy, do đó gia tốc Wc phải nằm trên trục Az với chiều hướng theo chiều dương của trục Az, thì đứng theo véc tơ W

e



sẽ thấy véc tơ  quay ngược chiều kim đồng hồ 900 để trùng với véc

tơ vr Trị số của gia tốc Côriôlis là:

c

Gia tốc tuyệt đối của điểm A có thể viết như sau:

a a r e e c

Trong phương trình gia tốc trên có hai thành phần chưa biết trị số là Wr và We Chiếu phương trình véc tơ trên xuống hai trục tọa độ, ta sẽ được hai phương trình đại số để tìm hai ẩn số đó

Để tìm gia tốc góc 1 của thanh BO1, ta chiếu phương trình véc tơ xuống trục Az

a   ac   e  e

Giải ra ta được:

0

n

Gia tốc của thanh BO1 bằng:

2

1

W

4

e c AO





Từ đó tìm được gia tốc của điểm B:

11