Trạng thái ứng suất tại một điểm đợc xác định khi biết đợc ứngsuất trên 3 mặt phẳng vuông góc nhau, đó là: - 3 thành phần ứng suất pháp: σx, σy, σz, σ > 0 khi có chiều cùng vớilực kéo..
Trang 1Lý thuyết đàn hồi Câu 1 Trạng thái ứng suất tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.
I Trạng thái ứng suất tại một điểm:
Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các thành phầnứng suất tác dụng lên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó
Trạng thái ứng suất tại một điểm đợc xác định khi biết đợc ứngsuất trên 3 mặt phẳng vuông góc nhau, đó là:
- 3 thành phần ứng suất pháp: σx, σy, σz, σ > 0 khi có chiều cùng vớilực kéo
- 6 thành phần ứng suất tiếp: τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz τ > 0 khi pháptuyến của mặt mà nó tác dụng theo phơng trục toạ độ thì chiều ứngsuất tiếp theo chiều dơng của trục tọa độ tơng ứng
Theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp:
zy yz
yx xy
ττ
ττ
ττ
Nh vậy trạng thái ứng suất tại một điểm đợc xác định bằng 6 thànhphần ứng suất độc lập trên 3 mặt phẳng vuông góc nhau, là 3 thànhphần ứng suất pháp và 3 thành phần ứng suất tiếp, chúng là hàm củatoạ độ điểm cần tính ứng suất:
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
zx zx
yz yz
xy xy
z z
y y
x x
ττ
ττ
ττ
σσ
σσ
σσ
Trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ đợc xác định bằng mộttenxơ bậc 2 đối xứng Biểu diễn tenxơ ứng suất nh sau:
z zy zx
yz y yx
xz xy x
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx ij
T
σττ
τστ
ττσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσ
σσ
33 32 31
23 22 21
13 12 11
(1)
Tenxơ ứng suất có thể biểu diễn thành tổng của 2 tenxơ: tenxơ
Trang 2Tσ =Tσ0 +Dσ
(2)
Tenxơ cầu
0 0 0
00
00
00
0
σσ
Tenxơ độ lệch D có tác dụng gây ra biến đổi hình dáng.σ
II Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.
Những kết quả: Việc nghiên cứu trạng thái ứng suất là tìm ứng suấttrên mặt cắt có phơng bất kỳ, bao gồm: tìm giá trị ứng suất chính,ứng suất tiếp lớn nhất và phơng tác động của nó
- ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt bất kỳ (hình 1):
++
++
++
=
++
++
+
=
)(
)(
)(
.2.2.2
1 1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2
n l nl n
m mn m
l lm nn
mm ll
m n n
m m
l n
m l
zx yz
xy z
y x
zx yz
xy z
y x
ττ
τσ
σσ
τ
ττ
τσ
σσ
σ
ην
ν
(3)
Trong đó: ν - pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng
l, m, n - các côsin chỉ phơng của pháp tuyến ν với hệ x,y,z
l1, m1, n1 – Các côsin chỉ phơng của trục η với hệ x,y,z
Các thành phần ứng suất trên mặt phẳng có pháp tuyến n theo
ph-ơng các trục tọa độ Ox1x2x3: σni = σijnj - đây chính là điều kiện bềmặt
Trang 3+ +
=
+ +
=
3 33 2 23 1
13
3
3 32 2 22 1
12
2
3 31 2 21 1
11
1
n n
n
n n
n
n n
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
+ Xác định ứng suất pháp trên mặt bất kỳ n:
3 3 2 2 1
2
n n
nn σ σ
+ Xác định ứng suất toàn phần:
2 3
σij các thành phần của tenxơ ứng suất
δij hệ số Cronhekera, δij = 1 khi i=j; δij = 0 khi i ≠ j
+ Viết dới dạng khai triển:
yz y yx
xz xy x
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
Hình 1 ứng suất trên mặt cắt bất kỳ
Trang 4+ ứng suất chính là giá trị ứng suất cực trị Phơng trình (5) có 3nghiệm thực là các giá trị ứng suất chính σ(1), σ(2), σ(3) Quy ớc σ(1)> σ(2)>
σ(3)
- Phơng của trục chính: chính là phơng chính của tenxơ bậc 2
đối xứng, là nghiệm của phơng trình: (σij -σδij).nj = 0
(6)Hay viết dới dạng triển khai:
= +
− +
= +
+
−
0 ) (
0 )
(
0 )
(
3 33
2 32 1
31
3 23 2 22
1
21
3 13 2 12 1 11
n n
n
n n
n
n n
n
σ σ σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
3 (
) 3 ( ) 2 ( )
2 (
) 2 ( ) 1 ( )
1 (
212121
σσ
τ
σσ
τ
σστ
x
i i
Xi -các thành phần lực khối
ui -các thành phần chuyển vị
t -thời gian
Trang 52 2 2 2 2 2
t
w Z
z y x
t
v Y
z y
x
t
u X
z y
x
z zy zx
yz y
yx
xz xy
x
∂
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
ρ σ
τ τ
ρ τ
σ τ
ρ τ
τ σ
(9’)
Nếu vế phải của (9) bằng 0 ta có phơng trình cân bằng Navie
Câu 2 Trạng thái biến dạng tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm.
I Trạng thái biến dạng tại một điểm.
Biến dạng là sự thay đổi hình dáng và thể tích của vật thể dới tácdụng của lực ngoài
Trạng thái biến dạng tại một điểm đợc xác định bởi một tenxơ bậc
2 đối xứng (tenxơ biến dạng Tε)
z zy zx
yz y
yx
xz xy
x ij
T
ε γ γ
γ ε
γ
γ γ
ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε
ε ε
ε
2
1 2
1 2
1 2
1
33 32 31
23 22 21
13 12 11
00
00
00
0
εε
ε
Trang 60 0
0
2
1 2
1 2
1 2
1
ε ε γ γ
γ ε
ε γ
γ γ
ε ε
yz y
yx
xz xy
εij các thành phần của tenxơ biến dạng
δij hệ số kronhekera, δij = 1 khi i=j; δij = 0 khi i ≠ j
Viết dới dạng khai triển:
ε3 - I1( ε )ε2 + I2( ε )ε - I3( ε ) = 0 (4)
I1( ε ) - lợng bất biến bậc 1, I1( ε ) = εii = ε(1) + ε(2) + ε(3)
I2( ε ) - lợng bất biến bậc 2, I2( ε ) =
444
2 2 2
zx yz xy x z z y y
I3( ε ) - lợng bất biến bậc 3, I3( ε ) = εij =
z zy zx
yz y
yx
xz xy
x
ε γ γ
γ ε
γ
γ γ
ε
2
1 2
1 2
1 2
i
ε(5)
u là các thành phần chuyển vị, và
j
i j
u u
i
u x
u
∂
∂+
∂
∂
=ε(6)
Hay viết trong toạ độ x,y,z:
Trang 7; ;
; ;
; ;
zx yz xy
z
u x
w z
w
y
w z
v y
v
x
v y
u x
u
z y x
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
(6’)
- Phơng trình tơng thích biến dạng (điều kiện liên tục): Biểu thị
sự phụ thuộc vi phân giữa các thành phần của tenxơ biến dạng:
)31,,(
;
;
;2
2
2 2
2 2 2
∂
∂+
∂
∂
k j i
k j i x x
x x
x x
j i x x x
x
k
ij j
ik i
jk i
k j ii
j i
ij i
jj j
ii
εε
εε
εε
ε
(7)
Dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z:
;
;
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x z z
x
z y y
z
y x x
y
zx x
z
yz z
y
xy y
∂
∂
γ ε
ε
γ ε
ε
γ ε
y z y x
y x
z y z x
x y
z x z y
yx zy
zx z
xz yz
xy y
yz xz
xy x
2 2 2
2 2
2
(7’)
do, nếu cho trớc biến dạng góc thì biến dạng dài không đợc cho tự do
Để các thành phần chuyển vị là hàm liên tục của toạ độ thì vậtthể phải đơn liên
Ngoài ra thờng biểu diễn quá trình biến dạng bằng tốc độ biếndạng và đợc thể hiện dới dạng tenxơ:
z zy zx
yz y
yx
xz xy
x
ij T
εγ
γ
γε
γ
γγ
εξ
12
12
Trang 8ξ
T là tenxơ cầu tốc độ biến dạng; T =ξ0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
ε ε
0
2
1 2
1 2
1 2
1
ε ε γ γ
γ ε
ε γ
γ γ
ε ε
yz y
yx
xz xy
2
2 2
2 2
∂
∂+
x x
x
x
j i x x x
x
k
ij j
ik i
jk i
k j
ii
j i
ij i
jj j
ii
εε
εε
εε
Câu 3 Trỡnh bày phương phỏp tổng quỏt giải bài toỏn đàn hồi theo chuyển vị
1 Bài toỏn lớ thuyết đàn hồi
Bài toỏn lớ thuyết đàn hồi là bài toỏn xỏc định trường ứng suất, trường biến dạng, trườngchuyển vị phỏt sinh trong vật thể chịu tỏc dụng vật lý
Trong trường hợp tổng quỏt, bài toỏn lớ thuyết đàn hồi cú 15 ẩn số độc lập bao gồm:+ 6 thành phần ứng suất σij:
(x y z) (x y z) (x y z)
z y x z y x z
y
x
zx yz
xy
z y
x
, , ; , , ;
,
,
; , , ; , , ;
,
,
τ τ
τ
σ σ
σ
+6 thành phần biến dạng εij:
Trang 9( ) ( ) ( )
(x y z) (x y z) (x y z)
z y x z y x z
y
x
zx yz
xy
z y
x
, , ; , , ;
,
,
; , , ; , , ;
,
,
γ γ
γ
ε ε
∂
σ
∂
i j
ij X
Dạng khai triển trong toạ độ x,y,z:
0 0 0
= +
∂
σ
∂ +
∂
τ
∂ +
∂
τ
∂
= +
∂
τ
∂ +
∂
σ
∂ +
∂
τ
∂
= +
∂
τ
∂ +
∂
τ
∂ +
∂
σ
∂
Z z y x
Y z y x
X z y
x
z zy zx
yz y
yx
xz xy
ni = σ n
Dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z:
n m l
Z
n m
l Y
n m
l X
z zy
zx
yz y
yx
xz xy
x
.
.
.
.
.
.
σ + τ + τ
=
τ + σ + τ
=
τ + τ + σ
=
ν ν
ν
(2’)
trong đó: l, m, n – Các cô sin chỉ phương của pháp tuyến ν;
ν ν
i
u x
u
2 1
(3)
Trang 10Dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z:
; ;
; ;
; ;
zx yz xy
z
u x
w z
w
y
w z
v y
v
x
v y
u x
u
z y x
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
ik k
ij i k j ii
j i
ij i
jj j
ii
x x
x x x x
x x x
x
2
2 2
2 2
x
z y y
z
y x x
y
zx x
z
yz z
y
xy y
∂
∂
γ ε
ε
γ ε
ε
γ ε
ε
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
y z y x
y x
z y z x
x y
z x z y
yx zy
zx z
xz yz
xy y
yz xz
xy x
2 2 2
2 2 2
- Phương trình vật lí (định luật Hook tổng quát):
+ Dạng thuận (dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z):
G E
zx y
x z
z
yz x
z y y
xy z
y x
x
τ
= γ σ + σ ν
− σ
= ε
τ
= γ σ + σ ν
− σ
= ε
τ
= γ σ + σ ν
− σ
= ε
zx yz xy
; 1
; 1
; 1
(5)
+ Dạng ngược (dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z):
Trang 11zx z
y
yz y
y
xy x
x
γ µ
= τ µε + θ λ
= σ
γ µ
= τ µε + θ λ
= σ
γ µ
= τ µε + θ λ
= σ
; 2
; 2
; 2
zx yz
xy
(6)
3 Giải bài toán lí thuyết đàn hồi theo chuyển vị
- Thừa nhận 3 thành phần chuyển vị u, v, w là các ẩn số cơ bản
Để giải được cần phải thiết lập 3 phương trình vi phân chứa 3 ẩn số u, v, w.
- Phương trình vi phân chứa ẩn số chuyển vị
Thay các thành phần biến dạng εij từ phương trình (3) vào phương trình (6) xác định
được các thành phần ứng suất σij, sau đó thay σij vào phương trình (1), rút gọn được hệ
phương trình (phương trình Lamê):
∇ µ +
∂
θ µ + λ
= +
∇ µ +
∂
θ µ + λ
= +
∇ µ +
∂
θ µ + λ
0 0 0
2 2 2
Z w z
Y v y
X u x
(7)
trong đó:
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
z
w y
w x
w w z
v y
v x
v v z
u y
u x
u
u
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
v x
u z z z
w y
v x
u y y
y z
w y
v x
∂
∂ +
∂
∂ µ + ν
∂ µ + θ λ
∂
∂ +
∂
∂ µ + ν
∂ µ + θ λ
∂
∂ +
∂
∂ µ + ν
∂ µ + θ λ
=
ν ν ν
n z
w m z
v l z
u w
n Z
n y
w m y
v l y
u v
m Y
n x
w m x
v l x
u u
l X
.
.
.
(8)
trong đó:
Trang 12;
;
n z
w m y
w l x
w w
n z
v m y
v l x
v v
n z
u m y
u l x
u u
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= ν
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= ν
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= ν
∂
4 Trình tự giải bài toán lí thuyết đàn hồi theo chuyển vị
+ Tích phân phương trình (7)
+ Các ẩn số thoả mãn điều kiện biên (8)
+ Thay các ẩn số u, v, w tìm được vào các phương trình (3) xác định được các thànhphần biến dạng εij
+ Thay các giá trị εij tìm được vào các phương trình (6) xác định được các thành phầnứng suất σij
+ Phương pháp ngược: cho trước dạng nghiệm (hàm chuyển vị ) thoả mãn phương trình
vi phân và điều kiện bề mặt
+ Phương pháp nửa ngược: giả thiết một số hàm chuyển vị, giải hệ phương trình viphân, sau đó tích phân trực tiếp
C©u 4 Trình bày phương pháp tổng quát giải bài toán đàn hồi theo ứng suất.
1 Bài toán lí thuyết đàn hồi
Bài toán lí thuyết đàn hồi là bài toán xác định trường ứng suất, trường biến dạng, trườngchuyển vị phát sinh trong vật thể chịu tác dụng vật lý
Trong trường hợp tổng quát, bài toán lí thuyết đàn hồi có 15 ẩn số độc lập bao gồm:+ 6 thành phần ứng suất σij:
Trang 13( ) ( ) ( )
(x y z) (x y z) (x y z)
z y x z y x z
y
x
zx yz
xy
z y
x
, , ; , , ;
,
,
; , , ; , , ;
,
,
τ τ
τ
σ σ
y
x
zx yz
xy
z y
x
, , ; , , ;
,
,
; , , ; , , ;
,
,
γ γ
γ
ε ε
∂
σ
∂
i j
ij X
Dạng khai triển trong toạ độ x,y,z:
0 0 0
= +
∂
σ
∂ +
∂
τ
∂ +
∂
τ
∂
= +
∂
τ
∂ +
∂
σ
∂ +
∂
τ
∂
= +
∂
τ
∂ +
∂
τ
∂ +
∂
σ
∂
Z z y x
Y z y x
X z y
x
z zy zx
yz y
yx
xz xy
ni = σ n
Dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z:
n m l
Z
n m
l Y
n m
l X
z zy
zx
yz y
yx
xz xy
x
.
.
.
.
.
.
σ + τ + τ
=
τ + σ + τ
=
τ + τ + σ
=
ν ν
ν
(2’)
trong đó: l, m, n – Các cô sin chỉ phương của pháp tuyến ν;
ν ν
ν Y Z
X , , Hình chiếu các lực bề mặt lên các trục
- Phương trình hình học:
Trang 14u x
; ;
; ;
zx yz xy
z
u x
w z
w
y
w z
v y
v
x
v y
u x
u
z y x
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
∂
∂ +
∂
∂
= γ
∂
∂
= ε
ik k
ij i k j ii
j i
ij i
jj j
ii
x x
x x x x
x x x
x
2
2 2
2 2
x
z y y
z
y x x
y
zx x
z
yz z
y
xy y
∂
ε
∂
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
y z y x
y x
z y z x
x y
z x z y
yx zy
zx z
xz yz
xy y
yz xz
xy x
2 2 2
2 2 2
- Phương trình vật lí (định luật Hook tổng quát):
+ Dạng thuận (dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z):
Trang 15G E
zx y
x z
z
yz x
z y y
xy z
y x
x
τ
= γ σ + σ ν
− σ
= ε
τ
= γ σ + σ ν
− σ
= ε
τ
= γ σ + σ ν
− σ
= ε
zx yz xy
; 1
; 1
; 1
(5)
+ Dạng ngược (dạng khai triển trong hệ toạ độ x,y,z):
zx z
y
yz y
y
xy x
x
γ à
= τ àε + θ λ
= σ
γ à
= τ àε + θ λ
= σ
γ à
= τ àε + θ λ
= σ
; 2
; 2
; 2
zx yz
xy
(6)
Tuỳ thuộc vào việc lựa chọn những trị số nào làm ẩn số cơ bản ta
sẽ có những phơng pháp khác nhau để giải bài toán đàn hồi (ví dụ:Giải theo chuyển vị; Giải theo ứng suất; và Giải theo dạng hỗn hợp)
3 Giải bài toỏn lớ thuyết đàn hồi theo ứng suất
- Trớc hết ta khảo sát hàm biến dạng thể tích θ và lợng bất biến bậcnhất của tenxơ ứng suất S1:
Thay cỏc thành phần biến dạng εij từ phương trỡnh (3) vào phương trỡnh (6) xỏc định
được cỏc thành phần ứng suất σij, sau đú thay σij vào phương trỡnh (1), rỳt gọn được hệ
phương trỡnh (phương trỡnh Lamờ):
∇+
∂
∂+
=+
∇+
∂
∂+
=+
∇+
∂
∂+
0)
(
0)
(
0)
(
2 2 2
Z w z
Y v y
X u x
à
θàλ
à
θàλ
à
θàλ
Vi phân phơng trình thứ nhất của hệ (7) - Hệ Lamê theo x
Vi phân phơng trình thứ hai của hệ (7) - Hệ Lamê theo y
Vi phân phơng trình thứ ba của hệ (7) - Hệ Lamê theo z
Cộng các kết quả lại và thực hiện phép biến đổi ta nhận đợc:
Trang 16y
x
zx yz
xy
z y
x
, , ; , , ; ,
,
; , , ; , , ; ,
,
τ τ
τ
σ σ
σ
- Thiết lập hệ phương trình vi phân
Sử dụng 3 phương trình cân bằng (1) và 6 phương trình liên tục (4) Thực hiện phép biến đổi tanhận được 6 phương trình (là hệ phương trình Bentra- Mizet) sau đây:
0 )
(1
; 0 )
(1
0 )
(1
; 0 )
(1
0 )
(1
; 0 )
(1
1
2 2
2 1
2 2
1
2 2
2 1
2 2
1
2 2
2 1
2 2
=
∂
∂
∂ +
∇ +
=
∂
∂ +
∇ +
=
∂
∂ +
∇ +
=
∂
∂ +
∇
+
x z
S z
S
z y
S y
S
y x
S x
S
zx z
yz y
xy x
τ ν σ
ν
τ ν σ
ν
τ ν σ
ν
(10)
4 Trình tự giải bài toán lí thuyết đàn hồi theo ứng suất
+ Tích phân 9 phương trình của hệ (1) và (10) Trong đó có 3 phương trình thừa cầnthiết nhận ràng buộc của tính liên tục
+ Các ẩn số σij thoả mãn điều kiện biên (2)
+ Thay các giá trị σij tìm được vào các phương trình (5) xác định các thành phần biếndạng εij
+ Thay các giá trị εij tìm được vào các phương trình (6) xác định được các thành phầnchuyển vị ui
Trang 17+ Phương pháp ngược: cho trước dạng nghiệm (hàm chuyển vị ) thoả mãn phương trình
vi phân và điều kiện bề mặt
+ Phương pháp nửa ngược: giả thiết một số hàm chuyển vị, giải hệ phương trình viphân, sau đó tích phân trực tiếp
Câu 5 Trình bày phương pháp giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi theo ứng suất.
1 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi.
Bài toán phẳng của lí thuyết đàn hồi gồm bài toán biến dạng phẳng và bài toán trạngthái ứng suất phẳng
a Bài toán biến dạng phẳng
- Bài toán biến dạng phẳng có 8 ẩn số độc lập:
+ 2 thành phần chuyển vị: u=u(x,y); v=v(x,y)
∂
∂ +
∂
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂
Y y x
X y x
y yx
xy x
σ τ
τ σ
(1)
Nghiệm của hệ phương trình này phải thoả mãn điều kiện bề mặt:
(+) Điều kiện bề mặt
m l
Y
m l
X
y yx
xy x
.
.
σ τ
τ σ
Trang 18
xy
x
v y u y v x u
y x
∂
∂ +
ε
(3)
(+) Phương trình tương thích biến dạng:
y x x
y
xy y
∂
2
2 2
2
(4)+ Phương trình vật lí (định luật Hooke tổng quát):
xy
x y
y
y x
x
E E E
τ
ν γ
σ ν
ν σ
ν ε
σ ν
ν σ
ν ε
) 1 ( 2
1 1
1 1
xy
2 2
−
=
1
1 (6)Thay (6) vào (5) ta có
xy
x y y
y x x
E E E
τ
ν γ
σ ν σ ε
σ ν σ ε
1
1 xy
1 1
1 1
) 1 ( 2 1 1
b Bài toán trạng thái ứng suất phẳng.
- Bài toán trạng thái ứng suất phẳng có 8 ẩn số độc lập:
+ 2 thành phần chuyển vị: u=u(x,y); v=v(x,y)
Trang 190
= +
∂
∂ +
∂
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂
Y y x
X y x
y yx
xy x
σ τ
τ σ
(8)
Nghiệm của hệ phương trình này phải thoả mãn điều kiện bề mặt:
(+) Điều kiện bề mặt
m l
Y
m l
X
y yx
xy x
.
.
σ τ
τ σ
y x
∂
∂ +
ε
(10)
(+) Phương trình tương thích biến dạng:
y x x
y
xy y
xy
x y y
y x x
E E E
τ
ν γ
νσ σ ε
νσ σ ε
) 1 ( 2 1 1
So sánh 2 bài toán biến dạng phẳng và ứng suất phẳng ta thấy đều có 8 ẩn số như nhau, có
8 phương trình vi phân các phương trình tĩnh học và hình học hoàn toàn giống nhau, cácphương trình định luật Hooke tổng quát về mặt hình thức giống nhau chỉ phân biệt ở hằng
số đàn hồi:
E1, ν1- cho bài toán biến dạng phẳng
E, ν- cho bài toán ứng suất phẳng
Trang 20Cách giải hai bài toán thống nhất làm 1 có tên là ‘’ Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi’’
c Giải bài toán phẳng theo ứng suất- hàm ứng suất
- Chọn ẩn số cơ bản là σx ; σy ; τxy Muốn giải ta phải sử dụng hai phương trìnhcân bằng và một phương trình liên tục Phương trình liên tục viết ở dạng biến đổi:
⇒
=
∇ 2S1 0 bài toán phẳng ∇ 2 ( σx + σy) = 0: Phương trình Morie- Levi
Ta phải tích phân 3 phương trình:
0 ) (
0 0
∇
= +
∂
∂ +
∂
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂
y x
y yx
xy x
Y y x
X y x
σ σ
σ τ
τ σ
(13)
- Để thuận lợi khi tích phân hệ (13) ta tìm một hàm ϕ = ϕ( y x, )- ta gọi là hàm ứng suấtЭРЙ Hàm ϕ( y x, ) chọn sao cho khi thay ϕ( y x, ) vào hai phương trình đầu của hệ (13) thìtrở thành đồng nhất thức Để thoả mãn điều kiện này hàm ϕ( y x, ) phải thoả mãn tươngquan sau:
Yy Xx y x x y
xy y x
ϕ σ
ϕ σ
2 2 2 2 2
(14)
Thay ϕ vào phương trình thứ 3 của hệ (13) ta có:
0 )
∂
∂
∇
y x
x
ϕ ϕ
ϕ (15’)
Ta tích phân (15’) để tìm ra ϕ( y x, ) Hàm ϕ( y x, ) phải thoả mãn điều kiện bề mặt (2) mụcđích là để tìm nghiệm duy nhất
m x l Yx Xy y x Y
m Yx Xy y x
l y X
2
2 2
2 2
2
) (
) (
∂
∂
− + +
ϕ ϕ
