Đề cương ôn thi môn lý thuyết đàn hồi

Lý thuyết đàn hồi Câu Trạng thái ứng suất điểm? Những kết chủ yếu việc nghiên cứu trạng thái ứng suất điểm I Trạng thái ứng suất điểm: Trạng thái ứng suất điểm tập hợp tất thành phần ứng suất tác dụng lên tất mặt vô bé qua điểm Trạng thái ứng suất điểm đợc xác định biết đợc ứng suất mặt phẳng vuông góc nhau, là: - thành phần ứng suất pháp: x, y, z, > có chiều với lực kéo - thành phần ứng suất tiếp: xy, yx, yz, zy, zx, xz > pháp tuyến mặt mà tác dụng theo phơng trục toạ độ chiều ứng suất chiều dơng trục tọa độ tơng ứng Theo định luật đối ứng ứng suất tiếp: xy = yx yz = zy = xz zx Nh trạng thái ứng suất điểm đợc xác định thành phần ứng suất độc lập mặt phẳng vuông góc nhau, thành phần ứng suất pháp thành phần ứng suất tiếp, chúng hàm toạ độ điểm cần tính ứng suất: x y z xy yz zx = x ( x, y , z ) = y ( x, y , z ) = z ( x, y , z ) = xy ( x, y, z ) = yz ( x, y, z ) = zx ( x, y, z ) Trạng thái ứng suất điểm đợc xác định tenxơ bậc đối xứng Biểu diễn tenxơ ứng suất nh sau: T = ij 11 12 13 xx xy xz x xy xz = 21 22 23 = yx yy yz = yx y yz 31 32 33 zx zy zz zx zy z (1) Tenxơ ứng suất biểu diễn thành tổng tenxơ: tenxơ cầu tenxơ độ lệch: T = T + D (2) Tenxơ cầu T 0 = 0 = 0 có tác dụng gây biến dạng thể tích 0 x +y +z ứng suất trung bình Tenxơ độ lệch D có tác dụng gây biến đổi hình dáng II Những kết chủ yếu việc nghiên cứu trạng thái ứng suất điểm Những kết quả: Việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tìm ứng suất mặt cắt có phơng bất kỳ, bao gồm: tìm giá trị ứng suất chính, ứng suất tiếp lớn phơng tác động - ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt (hình 1): = xl + y m + z n + xyl.m + yz m.n + zx n.m (3) = xll1 + y mm1 + z nn1 + xy (lm1 + l1m) + yz (mn1 + m1n) + zx (nl1 + l1n) Trong đó: - pháp tuyến mặt phẳng nghiêng l, m, n - côsin phơng pháp tuyến với hệ x,y,z l1, m1, n1 Các côsin phơng trục với hệ x,y,z Các thành phần ứng suất mặt phẳng có pháp tuyến n theo phơng trục tọa độ Ox1x2x3: ni = ijnj - điều kiện bề mặt zz1 n3 nn n2 yy1 n1 n xx1 Hình ứng suất mặt cắt n1= 11 n1 + 21 n2 + 31 n3 n 2= 12 n1 + 22 n2 + 32 n3 = n + n + n 23 33 n 13 + Xác định ứng suất pháp mặt n: nn= n1 n1 + n n + n n3 + Xác định ứng suất tiếp từ công thức: nn2 + n2 = n2 + Xác định ứng suất toàn phần: n2 = n21 + n22 + n23 - ứng suất : giá trị tenxơ ứng suất + Phng trỡnh c trng: x xy xz ij -ij = yx y yz = zx zy z (4) Trong đó: ij thành phần tenxơ ứng suất ij hệ số Cronhekera, ij = i=j; ij = i j + Viết dới dạng khai triển: - I1()2 + I2() - I3() = I1() - lợng bất biến bậc 1, I1() = ii = + + I2() - lợng bất biến bậc 2, I2() = I3() - lợng bất biến bậc 3, I3() ( ii jj ij ij ) x xy xz = ij = yx y yz zx zy z (5) + ứng suất giá trị ứng suất cực trị Phơng trình (5) có nghiệm thực giá trị ứng suất (1), (2), (3) Quy ớc (1)> (2)> (3) - Phơng trục chính: phơng tenxơ bậc đối xứng, nghiệm phơng trình: (ij -ij).nj = (6) Hay viết dới dạng triển khai: ( 11 )n1 + 12 n2 + 13 n3 = 21 n1 + ( 22 )n2 + 23 n3 = n + n + ( ) n = 32 33 31 (6) nj côsin phơng trục chính, phải thoã mãn điều kiện trực giao: n12 + n22 + n32 = (7) Giải hệ (6;7) tìm đợc nj - Giá trị ứng suất tiếp lớn nhất: xác định từ công thức: (1) = ( (1) ( 2) ) ( 2) = ( ( 2) (3) ) ( (3) (1) ) = ( ) (8) Phơng mặt có ứng suất tiếp lớn nghiêng với phơng góc 450 Các thành phần ứng suất phải thoã mãn phơng trình vi phân chuyển động môi trờng liên tục: ij 2ui + Xi = x j t (9) Trong đó: ij -các thành phần tenxơ ứng suất Xi -các thành phần lực khối ui -các thành phần chuyển vị t -thời gian Viết dới dạng triển khai hệ toạ độ x,y,z: x xy xz 2u + + +X = x y z t yx y yz 2v + + +Y = x y z t zx zy z 2w + + +Z = x y z t (9) Nếu vế phải (9) ta có phơng trình cân Navie Câu Trạng thái biến dạng điểm? Những kết chủ yếu việc nghiên cứu trạng thái biến dạng điểm I Trạng thái biến dạng điểm Biến dạng thay đổi hình dáng thể tích vật thể dới tác dụng lực Trạng thái biến dạng điểm đợc xác định tenxơ bậc đối xứng (tenxơ biến dạng T) x T = ij 11 12 13 = 21 22 23 = yx 31 32 33 zx xy y zy xz yz (1) z Tenxơ biến dạng đợc biểu diễn thành tổng tenxơ: T = T + D (2) 0 Tenxơ cầu biến dạng T = 0 đặc trng cho thay đổi thể 0 tích = x + y + z biến dạng trung bình x D = yx zx xy y zy xz yz Tenxơ độ lệch biến dạng, đặc trng cho z thay đổi hình dáng - Các thành phần tenxơ biến dạng : đợc xác định từ phơng trình đặc trng: ij ij = (3) ij thành phần tenxơ biến dạng ij hệ số kronhekera, ij = i=j; ij = i j Viết dới dạng khai triển: - I1()2 + I2() - I3() = (4) I1() - lợng bất biến bậc 1, I1() = ii = (1) + (2) + (3) I2() - lợng bất biến bậc 2, I2() xy yz2 zx2 = x y + y z + z x 4 x I3() - lợng bất biến bậc 3, I3() = ij = yx zx xy y zy xz yz z Phơng trình (4) cho ta nghiệm thực giá trị biến dạng chính: (1) > (2) > (3) - Mối liên hệ thành phần biến dạng chuyển vị: Công thức Green: ij = (ui , j + u j ,i + uk ,i uk , j ) (5) u thành phần chuyển vị, ui , j = ui x j ui u j + ) Trong trờng hợp biến dạng bé, ta có công thức Côsi: ij = ( x j xi (6) Hay viết toạ độ x,y,z: u u v ; xy = + ; x y x v v w y = ; yz = + ; y z y w w u z = ; zx = + ; z x z x = (6) - Phơng trình tơng thích biến dạng (điều kiện liên tục): Biểu thị phụ thuộc vi phân thành phần tenxơ biến dạng: ii jj ij =2 ;i j + x x x x i j j i jk ik ij ii = + + ;i j k; x x x x x x j k i i j k (i, j , k = ữ 3) (7) Dng khai trin h to x,y,z: 2 x y xy + = xy y x y z ; z yz + = yz y z x zx + = zx x z 2 ; ; x xy xz yz = + yz x z y x y xz = xy yz xz + y z x y (7) zy yx z = zx + xy z y x z Nếu cho trớc biến dạng dài biến dạng góc không đợc cho tự do, cho trớc biến dạng góc biến dạng dài không đợc cho tự Để thành phần chuyển vị hàm liên tục toạ độ vật thể phải đơn liên Ngoài thờng biểu diễn trình biến dạng tốc độ biến dạng đợc thể dới dạng tenxơ: x T = ij = yx zx xy y zy xz yz z Biểu diễn T = T + D Hoặc T = T + D Trong đó: (8) T0 tenxơ cầu tốc độ biến dạng; T0 0 = T = 0 0 = ( x + y + z ) x D Tenxơ độ lệch tốc độ biến dạng D = D = yx zx xy y zy xz yz z Các thành phần tốc độ biến dạng phải thoã mãn điều kiện tơng thích biến dạng: 2ii jj ij =2 ;i j + x x x x i j i j jk ik ij ii = + + ;i j k; x x x x x x j k i i j k (i, j , k = ữ 3) Câu Trỡnh by phng phỏp tng quỏt gii bi toỏn n hi theo chuyn v Bi toỏn lớ thuyt n hi Bi toỏn lớ thuyt n hi l bi toỏn xỏc nh trng ng sut, trng bin dng, trng chuyn v phỏt sinh vt th chu tỏc dng vt lý Trong trng hp tng quỏt, bi toỏn lớ thuyt n hi cú 15 n s c lp bao gm: + thnh phn ng sut ij: x ( x, y , z ) ; y ( x, y , z ) ; z ( x, y , z ) ; xy ( x, y, z ); yz ( x, y, z ); zx ( x, y, z ) +6 thnh phn bin dng ij: x ( x, y , z ) ; y ( x, y , z ) ; z ( x, y , z ) ; xy ( x, y, z ); yz ( x, y, z ); zx ( x, y, z ) + thnh phn chuyn v ui: u ( x, y , z ) ; v( x , y , z ) ; w ( x, y , z ) gii bi toỏn lớ thuyt n hi cn 15 phng trỡnh vi phõn c lp: Cỏc phng trỡnh c bn: - Phng trỡnh tnh hc (phng trỡnh Naviờ): + Phng trỡnh cõn bng: Dng tng quỏt: ij x j + Xi = (1) Dng khai trin to x,y,z: x xy xz + + +X =0 x y z yx y yz + + +Y = x y z zx zy z + + +Z =0 x y z (1) Nghim ca h phng trỡnh ny phi tho iu kin b mt: + iu kin b mt ni = ij n j (2) Dng khai trin h to x,y,z: X = x l + xy m + xz n Y = yx l + y m + yz n (2) Z = zx l + zy m + z n ú: l, m, n Cỏc cụ sin ch phng ca phỏp tuyn ; X , Y , Z Hỡnh chiu cỏc lc b mt lờn cỏc trc - Phng trỡnh hỡnh hc: + Cụng thc Cụsi: ij = ui u j + x j xi (3) Dng khai trin h to x,y,z: u u v ; xy = + ; x y x v v w y = ; yz = + ; y z y w w u z = ; zx = + ; z x z x = (3) + Phng trỡnh tng thớch bin dng: 2ii x 2j jj + xi2 =2 2ij xi x j ii ij ik jk = + x j xk xi xk x j xi (4) Dng khai trin h to x,y,z: 2 x y xy + = xy y x y z 2 z yz + = yz y (4) z x zx + = zx x z 2 x xy xz yz = + yz x z y x y xz = xy yz xz + y z x y zy yx z = zx + xy z y x z - Phng trỡnh vt lớ (nh lut Hook tng quỏt): + Dng thun (dng khai trin h to x,y,z): xy x y + z ; xy = E G yz y = y ( z + x ) ; yz = E G z = z x + y ; zx = zx E G x = [ ( [ [ )] ] ( )] + Dng ngc (dng khai trin h to x,y,z): 10 (5) + trạng thái đàn hồi tất điều kiện (5) thoã mãn bất đẳng thức + trạng thái dẻo, hai điều kiện có dấu đẳng thức, T > mà + + = 0, nên ba giá trị max đồng thời T Điều kiện dẻo Trexka - Xanhvônăng không xác chỗ đợc ảnh hởng ứng suất trung gian đến trạng thái dẻo Sử dụng điều kiện dẫn đến khó khăn toán học toán chiều ý nghĩa hình học điều kiện dẻo (5): Trong hệ tọa độ vuông góc O123 (không gian ứng suất) hệ ph ơng trình (5) lăng trụ mặt (lăng trụ Kulông) với trục qua gốc toạ độ nghiêng với phơng dơng trục toạ độ (hình 1.6) 3 Hình 1.6: Không gian ứng suất Thật vậy: Nếu: - = T, phơng trình mặt phẳng song song với Nếu: - = T, phơng trình mặt phẳng song song với Nếu: - = T, phơng trình mặt phẳng song song với Do tất mặt bên song song với song song với đờng thẳng = = c Điều kiện dẻo Mizét: Trạng thái dẻo bắt đầu lợng bất biến bậc độ lệch ứng suất đạt đến giá trị (hoặc cờng độ ứng suất tiếp đạt đến giá trị giới hạn đó) Nó đợc thể biểu thức toán học: T = + I ( D ) = ( ) + ( ) + ( ) = CT ( ) + ( ) + ( ) = 6CT2 = T - Khi trạng thái đơn: ta có = - chảy dẻo = 22 Thay vào công thức trên, đợc: CT2 = T2 CT = T biểu thức điều kiện dẻo Mizét: ( ) + ( ) + ( ) = T2 (6) - Khi trợt tuý: Thay = max, = 0, = - max vào (6) ta có: max = T = 0,577 T Ta thấy biến đổi hình dáng: W = ( ) + ( ) + ( ) (7) 12G 2 [ ] T khác vế trái đẳng thức (6) thừa số không đổi Trạng thái chảy dẻo đạt đợc biến đổi hình dáng đàn hồi đạt đến giá trị Vì điều kiện dẻo Mizét gọi điều kiện dẻo l ợng T T T ý nghĩa hình học: Trong hệ tọa độ O123 phơng trình (6) Hình 1.7 Quan hệ biểu thức điều kiện hình trụ có trục nghiêng với dẻo Mizét mặt phẳng trục tọa độ Trong mặt (1,2) phẳng (1,kiện elíp (hình d Điều tái bền: 2) 1.7).- Không gian ứng suất: Đợc đặc trng hệ toạ độ O123 + Mặt phẳng có phơng trình: 1+2+3=0 mặt phẳng qua gốc toạ độ nghiêng với trục toạ độ gọi mặt phẳng độ lệch (mặt phẳng )(hình 1.1) Đờng cong chảy Mizét Đờng cong chảy Trexka Hình 1.1 Mặt phẳng 23 T - Trong không gian ứng suất: Điều kiện chảy f(1,2,3)=CT mặt phẳng chia không gian thành miền đàn hồi miền dẻo Mặt gọi mặt chảy hay mặt chất tải + Những điểm nằm mặt chảy trạng thái đàn hồi + Những điểm nằm mặt chảy thuộc vùng dẻo + Những điểm nằm ý nghĩa học - Giao tuyến mặt chảy mặt phẳng độ lệch gọi đờng cong chảy - Nếu nh vật liệu dẻo lý tởng, trình tăng tải, đờng cong không thay đổi - Nếu vật liệu tái bền giới hạn tăng tải theo phơng biến dạng dẻo (T ij) Trong trình tăng tải đờng cong chảy nới rộng, điều kiện tái bền phụ thuộc vào ứng suất, phụ thuộc vào biến dạng dẻo, phụ thuộc vào hệ số tái bền K f1* ( ij , ij , K ) = Phơng trình tái bền đợc viết dới dạng: (1) - Nếu thừa nhận bề mặt chảy f1* tăng biến dạng dẻo có nghĩa mặt chảy phát triển đơn giản mặt kích thớc, bảo toàn hình dáng ban đầu điều kiện tái bền đợc gọi tái bền đẳng hớng f1* { I ( D ) , I 3( D ) } = F (q) Có thể biểu diễn dới dạng toán học: (2) Trong F (q) hàm tăng tham số q Nếu tính đến lợng bất biến bậc độ lệch ứng suất điều kiện tái bền viết: T = I ( D ) = f (q ) (3) Trong không gian ứng suất điều kiện tái bền (3) mặt trụ có trục đờng thuỷ tĩnh Chọn tham số q khác cho ta điều kiện tái bền khác nhau: giả thiết đờng cong điều kiện tái bền lợng - Giả thiết đờng cong nhất: Nếu chọn độ đo tái bền cờng độ biến dạng trợt ta có biểu thức tái bền: T=g() (4) Trong g() hàm dơng- Hàm đặc trng cho vật liệu, gọi môđun dẻo Trong hệ toạ độ (T, ), đờng cong (4) cho tất trạng thái ứng suất nh đợc gọi đờng cong (hình vẽ) Dạng hàm g() không phụ thuộc vào trạng thái ứng suất, nên xác định đ ợc từ thí nghiệm kéo (nén) tr24 ợt tuý T T=g() Điều kiện (4) hoàn toàn xác định Ta thấy, với vật liệu thực dT : Khi tăng cờng độ biến dạng trợt d cờng độ ứng suất tiếp tăng Do đó: Khi đặt tải dT>0 Giảm tải dT0 Với biến dạng dẻo phát triển AP tăng, dẫn đến mặt chảy mở rộng Cờng độ ứng suất tiếp T tăng, (T) >0 Khi đặt tải: dAP = (T) dT>0 Do vậy: - Khi đặt tải dT>0 - Khi cất tải dT0, điều tơng ứng đặt tải Khi dT=0 gia số biến dạng dẻo không Khi dT