Đề cương ôn thi môn Lý thuyết tính toán

Thiết kế máy Turing thừa nhận các xâu nhị phân W có số lượng kí tự 0 bằng số lượng kí tự 1.Giải Máy Turing M thừa nhận xâu nhị phân w sẽ hoạt động như sau : q0 là trạng thái ban đầu, đầ

1 Cho máy Turing M = (, Q, , , q0, B, F), trong đó  = {0, 1}, Q = {q0, q1, q2, q3, q4},

 = { 0, 1, B}, F = {q4} và  được cho bởi bảng sau

a) Giải thích hoạt động của M

b) Mô tả quá trình thực hiện của M trên các xâu (i) 00; (ii) 01; (iii) 10; (iv) 11 Xét xem các xâunào được M thừa nhận?

c) Xác định độ phức tạp tính toán của M?

a) Máy Turing M sẽ hoạt động như sau:

(q0, 0) = (q0, 0, R): Gặp 0, thay 0 bởi 0, chuyển q0 và dịch phải

(q0, 1) : Dừng và không thừa nhận

(q0, B) = (q1, 1, L): Gặp B, thay B bởi 1, chuyển q8 và dịch trái

(q1, 0) = (q1, 0, L): Gặp 0, thay 0 bởi 0, chuyển q1 và dịch trái

(q1, 1) = (q1, 1, L): Gặp 1, thay 1 bởi 1, chuyển q1 và dịch trái

(q1, B) = (q2, B, R): Gặp B, thay B bởi B, chuyển q2 và dịch phải

(q2, 0) = (q3, B, R): Gặp 0, thay 0 bởi B, chuyển q3 và dịch phải

(q2, 1) = (q4, B, R): Gặp 1, thay 1 bởi B, chuyển q4 và dịch phải

(q2, B) : Dừng và không thừa nhận

(q3, 0) = (q3, 0, R): Gặp 0, thay 0 bởi 0, chuyển q3 và dịch phải

(q3, 1) = (q3, 1, R): Gặp 1, thay 1 bởi 1, chuyển q3 và dịch phải

(q3, B) = (q3, 1, R): Gặp B, thay B bởi 0, chuyển q4 và dịch phải

(q4, 0) : Dừng và thừa nhận

(q4, 1) : Dừng và thừa nhận

(q4, B) = (q1, 0, L): Gặp B, thay B bởi 0, chuyển q1 và dịch trái

b) Mô tả quá trình thực hiện của M trên các xâu

(i) 00: q000  0q00  00q0B  0q101  q1001  q1B001  Bq2001  BBq301  BB0q31B BB01q3B  BB010q4B  BB01q100  BB0q1100  BBq10100  Bq1B0100  BBq20100

BBBq3100  BBB1q300  BBB10q30  BBB100q3B  BBB1000q4B  BBB100q100 BBB10q1000  BBB1q10000  BBBq110000  BBq1B10000  BBBBq210000 BBBBBq40000: Dừng và thừa nhận

(ii) 01: q001  0q01: Dừng và không thừa nhận

(iii) 10: q010: dừng và không thừa nhận

(iv) 11: q011: Dừng và không thừa nhận

c) Xác định độ phức tạp tính toán của M:

Ký hiệu n là độ dài xâu input w

Nếu w chứa ký tự 1 thì T(n)  n và L(n) = n

Nếu w chỉ chứa ký tự 0 thì T(n) = O(n2) và L(n) = O(n2)

Kết luận: T(n) = O(n2) và L(n) = O(n2)

2 Cho máy Turing M = (, Q, , , q0, B, F), trong đó  = {x, y, z}, Q = {q}, Q = {q0, q1, q2},  = {x, y,z}, Q = {q, B}, F = {q2} và  được cho bởi bảng sau

q0 (q0, x, R) (q0, y, R) (q1, x, R) (q0, B, R)q1 (q0, x, R) (q0, y, L) (q2, z}, Q = {q, R)

*q2a) Giải thích hoạt động của M

b) Mô tả quá trình thực hiện của M trên các xâu

3 Cho máy Turing M = (, Q, , , q0, B, F), trong đó  = {1, 2, 3}, Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5,q6},  = {1, 2, 3, B}, F = {q6} và  được cho bởi bảng sau

a) Giải thích hoạt động của M

b) Mô tả quá trình thực hiện của M trên các xâu (i) 123; (ii) 112 Xét xem các xâu nào được Mthừa nhận?

c) Đánh giá độ phức tạp tính toán của M

4 Cho máy Turing ngẫu nhiên RM chỉ có 1 băng input và băng ngẫu nhiên Mỗi ký hiệu trênbăng có dạng (XY), trong đó X là ký hiệu trên băng input, Y là ký hiệu trên băng ngẫu nhiên.Mỗi hướng di chuyển có dạng (DE), trong đó D là hướng di chuyển của đầu đọc-ghi trên bănginput, E là hướng di chuyển của đầu đọc-ghi trên băng ngẫu nhiên Biết rằng, đầu đọc-ghi có thể

di chuyển sang phải (R), sang trái (L) hoặc đứng yên (S) Bảng hàm chuyển :

Như vậy, RM có trạng thái đầu q0, trạng thái thừa nhận q4

a) Giải thích hoạt động của M

b) Mô tả quá trình thực hiện của M trên các xâu:

(i) Xâu trên băng input w = 11111, xâu trên băng ngẫu nhiên rw = 00101

(ii) Xâu trên băng input w = 11001, xâu trên băng ngẫu nhiên rw = 10101

c) Tính xác suất để RM thừa nhận các xâu:

(i) w = 1111111; (ii) w = 1001100

Giải

a) Máy Turing ngẫu nhiên RM sẽ hoạt động như sau:

(q0, 00) = (q1, 00, R,S): Gặp 00, thay 00 bởi 00, chuyển q1 và dịch phải trên băng Input vàđứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q0, 01) = (q3, 01, S, R): Gặp 01, thay 01 bởi 01, chuyển q3 và đứng yên băng Input và dịchphải trên băng ngẫu nhiên

(q0, 10) = (q2, 10, R,S): Gặp 10, thay 10 bởi 10, chuyển q2 và dịch phải trên băng Input vàđứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q0, 11) = (q3, 11, S, R): Gặp 11, thay 11 bởi 11, chuyển q3 và đứng yên băng Input và dịchphải trên băng ngẫu nhiên

(q1, 00) = (q1, 00, R, S): Gặp 00, thay 00 bởi 00, chuyển q1 và dịch phải trên băng Input vàđứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q1, B0) = (q4, B0, S, S): Gặp B0, thay B0 bởi B0, chuyển q4 và đứng yên trên băng Input

và đứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q2, 10) = (q2, 10, R, S): Gặp 10, thay 10 bởi 10, chuyển q1 và dịch phải trên băng Input vàđứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q2, B0) = (q4, B0, S, S): Gặp B0, thay B0 bởi B0, chuyển q4 và đứng yên trên băng Input

và đứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q3, 00) = (q1, 00, R, R): Gặp 00, thay 00 bởi 00, chuyển q1 và dịch phải trên băng Input và

dịch phải trên băng ngẫu nhiên

(q3, 11) = (q3, 11, R, R): Gặp 11, thay 11 bởi 11, chuyển q3 và dịch phải trên băng Input vàdịch phải trên băng ngẫu nhiên

(q3, B0) = (q4, B0, S, S): Gặp B0, thay B0 bởi B0, chuyển q4 và đứng yên trên băng Input

và đứng yên trên băng ngẫu nhiên

(q3, B1) = (q4, B1, S, S): Gặp B1, thay B1 bởi B1, chuyển q4 và đứng yên trên băng Input

và đứng yên trên băng ngẫu nhiên

(ii) Xét w = 11001 và rw = 10101: q011001|q010101  q311001|1q30101 1q21001|1q20101 11q2001|1q20101: Dừng và RM không thừa nhận w.

c) Xác suất để w được thừa nhận bởi RM :

(i) w = 1111111 thì tổng xác suất thừa nhận w là

7

2 2

1 2

1 

 = 2-1 + 2-(7+1) = 129256 (ii) w = 1001100 có tổng xác suất thừa nhận w bằng 2-(7+1) = 2561

5 Thiết kế máy Turing thừa nhận ngôn ngữ {0n1n0nn  0}.

Giải

Máy Turing M thừa nhận xâu w = 0n1n0n, n  1, sẽ hoạt động như sau :

q0 là trạng thái ban đầu, đầu đọc ghi ở ô đầu tiên của input

Bước 1: Nếu gặp 0, thay thế 0 bởi B và dịch phải, chuyển bước 2; Nếu gặp 1 thì dừng và không

thừa nhận w; Nếu gặp B thì dừng và thừa nhận w; Nếu gặp x thì giữ nguyên và dịch phải

Bước 2: Nếu gặp 0 thì thay 0 bởi 0, dịch phải; Nếu gặp 1 thì thay thế 1 bởi x, dịch phải và

chuyển bước 3; Nếu gặp B thì dừng và không thừa nhận w; Nếu gặp x thì giữ nguyên và dịchphải

Bước 3: Nếu gặp 0 hoăc 1 thì giữ nguyên 0 hoặc 1 và dịch phải; Nếu gặp B thì giữ nguyên, dịch

trái và chuyển bước 4

Bước 4: Nếu gặp 0 thì thay 0 bởi B, dịch trái và chuyển bước 5; Nếu gặp 1, x, B thì dừng và

không thừa nhận w

Bước 5: Nếu gặp B thì giữ nguyên, dịch phải và chuyển bước 1

Bảng hàm chuyển như sau:

 máy Turing M = (, Q, , , q0, B, F), trong đó  = {0, 1}, Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5},  = {0,

1, B, x}, F = {q5} và  được cho bởi bảng trên

6 Thiết kế máy Turing thừa nhận các xâu nhị phân W có số lượng kí tự 0 bằng số lượng kí tự 1.

Giải

Máy Turing M thừa nhận xâu nhị phân w sẽ hoạt động như sau :

q0 là trạng thái ban đầu, đầu đọc ghi ở ô đầu tiên của input

Bước 1: Nếu gặp 0 thì thay thế 0 bởi B, dịch phải và chuyển bước 2; Nếu gặp 1 thì thay thế 1 bởi

B, dịch phải và chuyển bước 3; Nếu gặp B thì thay thế B bởi B, dừng và thừa nhận w; nếu gặp xthì giữ nguyên và dịch phải;

Bước 2: Nếu gặp 0 hoặc x thì giữ nguyên và dịch phải; Nếu gặp 1 thì thay thế 1 bởi x, dịch trái

và chuyển bước 4; Nếu gặp B thì dừng và không thừa nhận;

Bước 3: Nếu gặp 1 hoặc x thì giữ nguyên và dịch phải; Nếu gặp 0 thì thay thế 0 bởi x, dịch trái

và chuyển bước 4; Nếu gặp B thì dừng và không thừa nhận;

Bước 4: Nếu gặp 0, 1, x thì giữ nguyên và dịch trái; Nếu gặp B thì giữ nguyên, dịch phải và

chuyển bước 1;

7 Thiết kế máy Turing kiểm tra một xâu x với các kí tự thuộc tập hợp {a, b, c} có phải là xâu đốixứng hay không? Nếu x đối xứng thì giá trị trên băng là 1, ngược lại, giá trị trên băng là 0.

Giải

Máy Turing M kiểm tra tính đối xứng của xâu x sẽ hoạt động như sau :

q0 là trạng thái ban đầu, đầu đọc ghi ở ô đầu tiên của input

Bước 1 : Thay thế kí tự đầu tiên của x là B, dịch phải Nếu kí tự đầu tiên là 0 thì chuyển bước 2 ;

Nếu kí tự đầu tiên là 1 thì chuyển bước 3; ngược lại chuyển bước 4

Bước 2 : Tìm ký tự cuối cùng của x Nếu không tìm được thì thay thế B bởi 1, dịch trái và dừng.

Nếu tìm được và = 0 thì chuyển bước 5 ;  0 thì chuyển bước 6

Bước 3 : Tìm ký tự cuối cùng của x Nếu không tìm được thì thay thế B bởi 1, dịch trái và dừng

Nếu tìm được và = 1 thì chuyển bước 5;  1 thì chuyển bước 6

Bước 4: Tìm ký tự cuối cùng của x Nếu không tìm được thì thay thế B bởi 1, dịch trái và dừng

Nếu tìm được và = 2 thì chuyển bước 5;  1 thì chuyển bước 6

Bước 5: Tìm ký tự đầu tiên của x Nếu tìm được thì chuyển bước 1 Nếu không tìm được thì

thay thế B bởi 1, dịch trái và dừng

Bước 6: Thay thế kí tự vừa tìm bởi 0, dịch trái và chuyển bước 7 ;

Bước 7: Thay thế các kí tự của x bởi B và dịch trái; Nếu gặp B thì dừng.

Bảng hàm chuyển:

0 1 2 B

q0 (q1, B, R) (q2, B, R) (q3, B, R) (q9, 1, R)q1 (q1, 0, R) (q1, 1, R) (q1, 2, R) (q4, B, L)q2 (q2, 0, R) (q2, 1, R) (q2, 2, R) (q5, B, L)q3 (q3, 0, R) (q3, 1, R) (q3, 2, R) (q6, B, L)q4 (q7, B, L) (q8, 0, L) (q8, 0, L) (q9, 1, R)q5 (q8, 0, L) (q7, B, L) (q8, 0, L) (q9, 1, R)q6 (q8, 0, L) (q8, 0, L) (q7, B, L) (q9, 1, R)q7 (q7, 0, L) (q7, 1, L) (q7, 2, L) (q0, B, R)q8 (q8, B, L) (q8, B, L) (q8, B, L) (q9, B, R)

*q9

 M = (, Q, , , q1, B, F), trong đó  = {0, 1, 2}, Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9},  ={0, 1, 2, B}, F = {q9} và  được cho bởi bảng trên

8 Thiết kế máy Turing kiểm tra một xâu nhị phân x khác rỗng có chứa một số chẵn kí tự 1 haykhông? Nếu x chứa một số chẵn kí tự 1 thì giá trị trên băng là 1, ngược lại, giá trị trên băng là 0.

Giải

a) Máy Turing M kiểm tra xâu nhị phân x   sẽ hoạt động như sau:

q0 là trạng thái ban đầu, đầu đọc ghi ở ô đầu tiên của input

Bước 1: Nếu gặp 0 thì thay thế 0 bởi B, dịch phải; Nếu gặp 1 thì thay 1 bởi B và chuyển bước 2.

Nếu gặp B thì thay thế B bởi 1 và chuyển bước 3

Bước 2: Nếu gặp 0 thì thay thế 0 bởi B, dịch phải; Nếu gặp 1 thì thay 1 bởi B và chuyển bước 1.

Nếu gặp B thì thay thế B bởi 0 và chuyển bước 3

Bước 3 Dừng và kết quả là giá trị còn lại trên băng.

Bảng hàm chuyển :

Trạng thái

Ký hiệu băng của input

q0 (q0, B, R) (q1, B, R) (q2, 1, L)q1 (q1, B, R) (q0, B, R) (q2, 0, L)

*q2Như vậy, xây dựng được máy Turing M = (, Q, , , q0, B, F), trong đó  = {0, 1}, Q ={q0, q1, q2},  = {0, 1, B}, F = {q2} và  được cho bởi bảng trên

9 a) Thiết kế máy Turing M tính hàm cộng trên tập các số tự nhiên > 0 như sau:

f(x) = f(a1, a2) = a1 + a2 , trong đó input x = 1a1x11a2x2By, còn output là giá trị của f(x) = 1a1a2 yB

Máy Turing M thực hiện hàm cộng sẽ hoạt động như sau :

Bước 1: Số 1 bên trái nhất sẽ được thay thế bởi B và dịch phải.

Bước 2: Tìm x2 thay thế x2 bởi 1, dịch phải gặp B thay thế B bởi x2, dịch phải gặp y thay thế ybởi B, dịch phải găp B thay thế B bởi y dịch trái và chuyển sang bước 3

Bước 3: Tìm 1 bên trái nhất trước x1 Nếu tìm được chuyển bước 1 Nếu không tìm được thìchuyển bước 4

Bước 4: Thay thế x1 bởi B; thay thế x2 bởi y, thay thế y bởi B và dừng.

Bảng hàm chuyển:

 q0 (q1, B, R) (q3, B, R)q1 (q1, 1, R) (q1, x1, R) (q1, 1, R) (q1, x2, R) (q2, y, L)

10 Thiết kế máy Turing tính hàm trừ trên tập các số tự nhiên > 0 như sau: TRU(x) = TRU(m, n)

= m – n nếu m > n và TRU(m, n) = 0 nếu m  n Trong đó: Input : x = 1mx11nx2y

Output : Nếu m  n  TRU(x) = 0y Nếu m > n  TRU(x) = 1m-ny

Giải

Input : w = 1mx11nx2y

Output : Nếu m  n  TRU(w) = 0y Nếu m > n  TRU(w) = 1m-ny

Máy Turing M thực hiện hàm TRU(m, n) sẽ hoạt động như sau :

Bước 1: Số 1 bên trái nhất sẽ được thay thế bởi B và dịch phải.

Bước 2: Nếu tìm được số 1 đầu tiên trước x2 thì nó sẽ được thay thế bởi B, dịch trái vàchuyển sang bước 3 Nếu không tìm được thì gặp y, thay y bởi 1 và dịch phải Gặp B thì thay Bbởi y, dịch trái và chuyển bước 4

Bước 3: Tìm 1 bên trái nhất trước x1 Nếu tìm được chuyển bước 1 Nếu không tìm được thì

chuyển bước 5

Bước 4: Chuyển tất cả 1 trước x1 sang bên trái y và chuyển sang bước 6.

Bước 5: Thay thế x1 và tất cả 1 bên phải x2 bởi B; thay thế y bởi 0, ghi y vào ô B tiếp theo

và dừng

Bước 6: Thay thế x1, x2 bởi B và dừng.

Bảng hàm chuyển :

1 x1 x2 y B

 q0 (q1, B, R) (q8, B, R)q1 (q1, 1, R) (q1, x1, R) (q2, x2, L)q2 (q3, B, L) (q4, x1, L)

q4 (q4, 1, L) (q4, x1, L) (q4, x2, L) (q4, y, L) (q5, B, R)q5 (q6, B, R) (q5, B, R) (q7, B, R)

q6 (q6, 1, R) (q6, x1, R) (q6, x2, R) (q6, 1, R) (q4, y, L)

*q9Như vậy, máy Turing M = (, Q, , , q1, B, F), trong đó  = {0, 1}, Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6,q7, q8, q9},  = {0, 1, B, x1, x2, y}, F = {q9} và  được cho bởi bảng trên

11 a) Thiết kế máy Turing M tính giá trị hàm nhân f(x) trên tập các số nguyên dương như sau:f(x) = f(a1, a2) = a1 * a2 , trong đó input x = 1a1x11a2x2By, còn output là giá trị của f(x) = 1a1 *a2 y

Hàm chuyển :

b) Tính giá trị f(2, 3) : x = 11x1111x2By  …  111111y.

Vậy f(2, 3) = 6

c) Đánh giá độ phức tạp tính toán của M :

Đặt n = max(a1, a2) Có T(n)  2(2n+5)(2n + 3)2  T(n) = O(n3)

L(n)  2n + 5 + n2  L(n) = O(n2)

12 Để mã hóa các xâu nhị phân, cho khóa mã cod(0) = 01 và cod(1) = 10 Khi đó mỗi xâu nhị

phân u = u1u2…un có MA(u) = Cod(u1)Cod(u2)…Cod(un)

a) Hãy thiết kế máy Turing M tính giá trị của hàm MA(x), trong đó input x = u1u2…unBy, output

là giá trị của hàm MA(x) = Cod(u1)Cod(u2)…Cod(un)y, còn u1, u2, …, un là các số nhị phân

b) Tính giá trị của MA(0110)

c) Đánh giá độ phức tạp tính toán của M

Giải

a) Máy Turing M tính giá trị của hàm MA(x), trong đó input x = u1u2…unuBy, output là giá trịcủa hàm MA(x) = Cod(u1)Cod(u2)…Cod(un)y, còn u1, u2, …, un là các số nhị phân hoạt động nhưsau:

q0 là trạng thái ban đầu, đầu đọc ghi ở ô đầu tiên của input

Bảng hàm chuyển :

*q10Như vậy, xây dựng được máy Turing M = (, Q, , , q0, B, F), trong đó  = {0, 1}, Q = {q0, q1,q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9},  = {0, 1, x, y, B}, F = { q10} và  được cho bởi bảng trên.

b) MA(0110) = 01101001

c) Ký hiệu n là độ dài của xâu u Có :

T(n)  2(2n)2 Suy ra T(n) = O(n2)

L(n)  2(n +5) Suy ra L(n) = O(n)