CONG THUC LUONG GIAC

Một đường tròn có bán kính 25cm.. Hỏi trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét?. BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC T

§1.CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

Dạng 1 ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO

0

1 1rad=

180rad

π

π

 

 

Bài 1.Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ

) ; ) ; ) ; ) ; )0,1; )3

Bài 2 Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian ( viết dưới dạng chứa π)

a) 150; b) 2400; c) 3000; d) 2250 e)-60015/

Bài 3.Đổi các số đo sau sang radian ( dưới dạng số gần đúng, 10≈0,0175 rad)

a)250, b)-1400, c)1050, d)1900, e)-2430

Dạng 2.TÍNH ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN CÓ SỐ ĐO ĐÃ CHO

Độ dài l của cung tròn có số đo α rad, bán kính R: l=R.α

Bài 1 Một đường tròn có bán kính 25cm Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số

đo

0

c/49 3

4 b/ ;

;

7

3

/

Bài 2 Trên đường có bán kính 30cm Tìm tọa độ của các cung trên đường tròn đó có số đo

0

c/33 b/2,5 ;

;

7

2

/

Bài 3.Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là 1,65cm và 2,25 cm Hỏi

trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét ?

Dạng 3 BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC Bài 1 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác mỗi cung có số đo

/ ; b/- ; c/-210 ; d/425

Bài 2 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác mỗi cung có số đo

0

/ ; b/- ; c/105 ; d/-3

§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Dạng 1.TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

Định nghĩa

OK

sin α = cos α = OH

α

α

=

α

cos

sin

tan

α

α

= α

sin

cos cot

Bài 1.Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị lượng giác sin, cosin, tan của các số đo sau:

1200,

Bài 2.Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị lượng giác sin, cosin, tan của các số đo sau:

11

3

π

-Dạng 2 TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT GÓC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐÓ

1)Công thức lượng giác cơ bản

•cos2α + sin2α = 1

2

, cos

1 tan

α

=

α

+

sin

1 cot

α

=

α

+

2

k , 1 cot

.

2)Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

6

π

4

π

3

π

2

π

1

2

2

2

3

1

3

2

2

2 1

0

Tanα 0 3

1

1

0

3) DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

-Bài 1.Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

1

)sin ,0

a α = < <α π

; )cos 1,

4 2

b α = − π < <α π 3

) tan 3,

2

c α = π α< < π

; )cot 1 3, 2

6 2

d α = − π < <α π

Bài 2.Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

π

<

α

<

π

=

α

2

, 3

2

sin

)

a ;

2

3 ,

4

1 cos

)

2 0

, 3

7

tan

)

; α = − π < α < 2 π

2

3 , 9

14 cot

) d

Bài 3.Biết α = π < α < π

2

, 4

3 sin Tính giá trị các biểu thức :

α

− α

α +

α

= α

+ α

α

− α

=

cot tan

cot cos

B ) b

; tan cos

cot 3 tan

2

A

)

a

2 2

-Dạng 3 XÉT DẤU BIỂU THỨC

Bài 1 Xác định dấu các số sau

a) sin 1770 ; b) cos( 2600) ; c) tan 6350 ; c) tan (12730)

Bài 2.Cho π < α < π

2 Xác định dấu của giá trị lượng giác









 α − π α

+ π











 π − α











 α + π

2

;

;

3

; 2

cos

)

2 b)sin

Dạng 4 CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1.Chứng minh các công thức sau

α α

= α

− α α

α

−

= α + α

α + α α

− α

=

α

+

α

2

2

sin tan sin

tan ) c

; cos sin 1 cos sin

cos sin

) b

; sin cos

tan

1

tan

1

)

a

Bài 2.Chứng minh các công thức sau

6

) , ) tan

1

) sin cos , )sin tan 4sin tan 3cos 3

tan cot

+

Bài 3.Chứng minh các công thức sau

α

= α

−

α + + α

+

α

−

α + α

=

− α

α + α

− α

−

α

α

sin

2 cos

1

cos 1 cos

1

cos

1

)

b

cos sin

1 tan

cos sin

cos

sin

sin

)

2

Bài 4.Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) A=2cos4x-sin4x +sin2xcos2x +3sin2x

b) B= (cotx+tanx)2 – (cotx-tanx)2

c) D= sin2xtan2x +2sin2x-tan2x +cos2x

Bài 5 Rút gọn các biểu thức

( + α ) α + ( + α ) α

= 1 cot sin3 1 tan cos3

A

)

α

− α +

α

= 2 2 2

cot

1 cos

2 sin

B ) b

α

− α

α

− α

= 22 22

cot cos

tan sin

C

)

c ( )

α α

− α

− α + α

=

cos sin cot

1 cos

sin D

) d

2

Dạng 5 CUNG LIÊN KẾT

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a/ Cung đối nhau : α và –α

cos(-α)= cosα sin(-α)= - sinα

tan(-α)= - tanα cot(-α)= - cotα

b)Cung bù nhau: αvà π α−

sin(π α− )= sinα cos(π α− ) = -cosα

tan(π α− ) = - tanα cot(π α− ) = -cotα

c/ Cung hơn kém : αvà π + α

sin(π + α)= - sinα cos(π + α) = -cosα

tan(π + α) = tanα cot(π + α) = cotα

d/ Cung phụ nhau:α và π − α

2

α

=











 π − α cos

2

sin  = α









 π − α sin

2 cos

α

=











 π − α cot

2

tan  = α









 π − α tan

2 cot

Bài 1 Không dùng máy tính hãy tính :

a) sin 3150 , cos 9300 , tan 4050 , cos7500 , sin 11400

b) cos 6300 –sin 14700 –cot 11250

c) cos 44550 –cos 9450 +tan 10350 – cot (- 15000)

Bài 2.Rút gọn các biểu thức











α− π

−











α− π +











 π−α

−











 π−α

=











π+α

−











π+α

−











π−α +











π−α

=

2

7 sin 2

7 cos 2

3 sin 2

3

cos

B

)

b

2

sin 2

cos 2

sin 2

cos

A

)

a

Bài 3.Tính giá trị các biểu thức ( không sử dụng máy tính )

a)A =cos400 +cos500 +cos600 –sin 400 – sin 500 –sin 600

b)B = cos2200 +cos2300 +cos2400+cos2500 + cos2600+cos2700

-§3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Dạng 1.TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT GÓC

Bài 1 Tính các giá trị lượng giác của số đo : 150 ; 750 , 1050

Bài 2.Tính các giá trị lượng giác của số đo :

12 π

π ;

12 7

-Dạng 2 CÔNG THỨC CỘNG

Công thức cộng

( )

( )

( )

( )

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b

a b

a b

a b

−

− +

+

Bài 1 Tính giá trị các biểu thức

a/ A = cos320cos280 –sin 320sin 280 b/ B = cos 740cos 290 + sin 740sin 290 c/ C= sin 230cos70 + sin70cos230 d/ D= sin590cos140-sin140cos590

e/ E= cos2200cos1700-sin2200sin1700

g/

18

7 sin 9

5 sin 18

7 cos 9

5

cos

h/

4

13 cos 7

4 sin 7

4 cos 4

13 sin

Bài 2 Cho

3

1









 α − π

−











 α + π

3

2 cos

6 sin

Bài 3.Cho

2

3 ,

; 2

, 5

4

5

3 -sin

Tính cos(α+β), cos(α-β), sin(α+β), sin(α-β)

Bài 4 Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luôn luôn nhận giá trị không đổi, không phụ

thuộc vào α











 α − π +











 α + π +

α

3

2 cos

3

2 cos

cos

)

a











 α − π α

−











 α − π +

α

3 sin

sin 3

sin

sin

)

-Dạng 3 CÔNG THỨC NHÂN

Công thức nhân đôi

−

α

=

α

•

α α

=

α

•

α

−

=

− α

= α

− α

=

α

•

2

2 2

2 2

tan 1

tan 2 2

tan

cos sin 2

2

sin

sin 2 1 1 cos

2 sin

cos

2

cos

Công thức hạ bậc

2

2 cos 1

sin

2

2 cos 1

cos

2

2

α

−

=

α

•

α +

=

α

•

Bài 1.Tính các giá trị lượng giác của cung 2α trong các trường hợp sau

2 0

, 4

1

cos

)

, α = π < α < π

2

, 5

3 sin )

2

3 ,

2

1 tan )

Bài 2 Chứng minh rằng

a/ sin3α= 3sinα-4sin3α; b/ cos3α=4cos3α- 3cosα

x 2 sin

2 x

cot

x

tan

/

4

1 4

3 x cos x sin /

Bài 3.Chứng minh rằng :

2

−

-Dạng 4 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích

( ) ( )

1 cos cos cos cos

2 1 sin cos sin sin

2 1 sin sin cos cos

2

a b a b a b

a b a b a b

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

u v u v

u v

u v u v

u v

u v u v

u v

u v u v

u v

Bài 1 Biến đổi thành tổng

a)cos2x.cosx; b)cos3x.sin2x

c)sin4x.cosx; d)sin3x.sin5x

Bài 2.Biến đổi các biểu thức sau thành tích các nhân tử

a/ A= cosx+cos3x; b/ B= co4x-cos3x

c/ C= sin2x+sinx; d/ D=sin5x-sin3x

Bài 3.Rút gọn

)sin sin

a π +α− π −α

   

b π +α− π −α

Bài 4 Chứng minh rằng

1 )sin sin sin sin 3 , )sin 5 2sin cos 4 cos 2 sin

Bài 5.Tính giá trị các biểu thức sau

a) A= sin 100 sin 300 sin 500 sin 700 b) B= cos 250 –cos 350 +cos 450 – cos850 c) C= cos 300 +cos 500 + cos 700 + cos 900 +cos 1100 + cos 1300

Bài 6 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta cĩ

2

C sin 2

B sin 2

A sin 4 1 C cos B cos

A

cos

)

b

2

C cos 2

B cos 2

A cos 4 C sin B

sin

A

sin

)

a

+

= +

+

= +

+

A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1

4

x= < <x

x= π < <x π

c. Cho tan 2 & 3

2

x= π < <x π d Cho

1

x= − − < <π x

1 sin

x

x

x + = cox

+

1 cos sin sin

+

+

c.

(1 tan )(1 tan ) 2 tan

3

sin cos

1 tan tan tan

cos

x

+

e. 1 cos 1 cos 4cot

1 cos 1 cos sin

f.

2

2

sin cos sin cos tan 1

+

a. A= +(1 sin ) tanx 2 x(1 sin )− x

b.

sin (1 cot ) cos (1 tan )

c.

(tan cot ) (tan cot )

C = x+ x − x− x

d.

(1 sin ) cot 1 cot

e. 1 cos (1 (1 cos )2 2)

E

sin sin cos sin cos sin cos cos

a.

2(sin cos ) 3(sin cos )

b.

sin cos 2sin cos sin

c.

sin tan 2sin tan cos

d.

1 cos 1 cos

e.

tan cos cot sin

E

f. tan 2 cot2 1

cot

1 tan

F

x x

−

=

−

a. Cho sinx=2/3 Tính cot tan

cot tan

A

−

=

+

b. Cho tanx=3 Tính sin cos & 4sin3 cos3

c. Cho cotx= - 3 Tính sin22 2sin cos 2cos22

2sin 3sin cos 4cos

D

=

a.

cos10 cos 20 cos160 cos180

b.

sin 15 sin 25 sin 65 sin 75

c. C =sin 102 0 +sin 202 0 + sin 180+ 2 0

0

sin( 234 ) cos 216

tan 36 sin144 cos 216

−

a. sin( ) cos( ) cot(2 ) tan(3 )

A= π + −x π − +x π − +x π −x

b. cot( 2 ) cos( 3 ) cos( 2 ) 2sin( )

2

B= x− π x− π + x+ π − x−π

cos(270 ) 2sin( 450 ) cos( 900 ) 2sin(720 ) cot(540 )

A B+ = C

b. tan(2A B C+ + ) tan= A

2

C

B

B CÔNG THỨC CỘNG:

câu1.

a. Cho sinx=5/13 và (π/2<x<π), cosy=3/5 và (0<y<π/2) Tính sin(x+y), cos(x+y), tan(x+y) và cot(x+y)

b. Cho sinx= 1

5 và siny =

10

1 Tính x+y

25 tan 20 tan 1

25 tan 20 tan

−

+

=

0 0

0

0 tan40 3tan20 tan40 20

=

C

11 sin 19 sin 11 cos 19 cos

20 sin 10 cos 10 sin 20 cos

−

+

=

C

4 sin(

2 x+π

b. Sin(a+b).sin(a-b) =sin2a-sin2b =cos2b-cos2a

3 sin(

)

3 sin(

4 x+π x−π = 2 x−

4 sin(

) 4 sin( +π − −π =

a. A cos(cos(x y) cos() cos( x y))

=

b. B tantan(a tan)b tantan(a tan)b

c. C sin(x ysin ).sin(sinx y)

=

+

sin( ) cos( )

sin( ) cos( )

D

=

a. A= cosx+ cos(x+2

3

π )+ cos(x+4

3

π )

b. B= sinx + sin(x+2

3

π ) + sin(x+4

3

π )

c. C= cos2x + cos2(x+2

3

π ) + cos2(x+4

3

π )

d. D= sin2x + sin2(x+2

3

π ) + sin2(x+4

3

π )

a. cosB.cosC – sinB.sinC + cosA = 0

b. tanA + tanB + + tanC = tanA.tanB.tanC ( với ABC có 3 góc nhọn )

c. tan

2

A

tan 2

B

+tan

2

B

tan 2

C

+tan

2

A

tan 2

C

= 1

d. cot

2

A

+ cot

2

B

+ cot

2

C

= cot

2

A

cot 2

B

cot 2

C

e. cotA.cotB + cotB.cotC + cotA.cotC = 1

C CÔNG THỨC NHÂN:

a.

8

cos 4

cos 8 sinπ π π

=

A

b.

8 tan 8 tan

π

π

−

=

B

c. C =sin100sin500sin700

d. D=sin60sin420sin660sin780

e. E =16cos200cos400cos600cos800

câu2. Tính các giá trị biểu thức:

a. cho tan

2

x

= - 2 Tính 3sin 4cos

cot 3tan

A

+

=

+

b. cho sinx = -4/5, và 3 2

2 x

π < < π

Tính cos(x/2) và sin(x/2)

c. cho tanx = 1/15 Tính sin 2

1 tan 2

x B

x

= +

d. cho sinx + cosx = 7

2 và 0 < x <

6

π Tính tan(x/2)

e. cho tan(x/2) = -1/2 Tính 2sin 2 cos 2

tan 2 cos 2

C

−

=

+

a. cotx – tanx = 2cot2x b. sin4x + cos4x =

3 1 cos 4

4+ 4 x

c. 4sinx.sin(600 – x).sin(600 + x) = sin3x

d. 4cosx.cos(600 – x).cos(600 + x) = cos3x

e. tanx.tan(600 – x).tan(600 + x) = tan3x

f. 3 – 4cos2x + cos4x =

3x.sinx – sin3x.cosx

= sin 4 4

x

h. 2(sinx + cosx +1)2 (sinx + cosx – 1 )2 = 1 – cos4x

a. A = sin8x + 2cos2(4x +

4

π )

b. B = cos3 cos3 sin3 sin 3

c. C = cos4x – sin4(x + π)

d.

2

1 sin 2sin ( )

4 2 4cos

2

x x

D

x

π

=

e. sin 22 2 4cos4 2

4 sin 2 4sin

E

+

=

f. F = sin(

2

π - x).sin(π - x) cos2x

D CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

câu1. Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích các biểu thức sau:

a. sin(π/5).sin(π/8)

b. 2sina.sin2a.sin3a

c. Sin100 + Sin110 + Sin160 + Sin150

d. Sinx+sin2x+sin3x+sin4x

e. Cosx+cos2x+cos3x+cos4x

f. 1-cosx+sinx

g. 2cos2a - 3

h. 1+2sina-cos2a

i. 9sina+6cosa-3sin2a+cos2a-8

j. Sin23a-cos24a-sin25a+cos26a

k. 1+2cosx

câu2. Tính các giá trị biểu thức:

a. A = cos850+ cos350 – cos250

9

7 cos 9

5 cos 9 cosπ + π + π

5

8 cos 5

6 cos 5

4 cos 5

2 cos π + π + π + π

d. D = sin100 sin300 sin500 sin700

e. E = sin200 sin400 sin800

0 4sin70 sin10

1 −

g. G = cos2x – sin(300+x) sin(300-x)

h. H = cos100 cos300 cos500 cos700

x x

x x

4 cos 6 cos

4 cos 6 cos +

−

x x

x

x x

x

3 tan 5

cos 3 cos cos

5 sin 3 sin

+ +

+ +

8

3 8

5 sin cos6 + 6 = +

c.

a. sinA + sinB + sinC =

2

cos 2

cos 2 cos

b. cosA + cos B + cosC = 1 +

2

sin 2

sin 2 sin

c. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

d. sin2A + sin2B + sin2C = 2(1+ cosA.cosB.cosC)

e. cos2A + cos2B + cos2C = -1 – 4cosA.cosB.cosC

f. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC

E NHẬN DẠNG TAM GIÁC:

sin B sin C

a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2

cos B cos C

+

+

a / sin A 2sin B.cos C; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cos A

a / cos A.cos B.cos C ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cos C

2 2

sin B C sin B C

C tan B sin B

a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /

2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C

cos B

a

0

60 1 sin sin

2

B C

 − =





=

0

120

3 1 sin cos

4

B C

 + =



=



sin4a theo t biết t = sina + cosa

a. sina = 4/5 và (π/2) <

sin10 cos10

A= − và 1 cos cos2 cos6

a. 3 – 4coss2x + cos4x = 8sin4x

b. tan ( 1 1) tan

2 cos

x

x

x+ =

sin cos cos 2 cos 4 cos 6

d. cot 22 1 cos8 cot 4 sin 8

2cot 2

x

x

x x

f. tan 4 1 sin 2 cos 2

cos 4 sin 2 cos 2

x

−

+

câu5. Chứng minh 1 cot cot

a

a

a = − và áp dụng tính

sin sin 2 sin 2n

T

4 và 0 < a < 450 Tính tan cot

tan cot

A

− +

2

1 sin 4 1 2cos 2 3

tan tan 3tan 3

a, b, c

a A= sina.sin( b – c ) + sinb.sin( c – a ) + sinc.sin( a – b )

b B = cos(a + b).sin( a – b ) + cos( b+ c).sin( b – c ) + cos(c + a).sin( c –

a )