Khóa luận tốt nghiệp giới thiệu sơ lược về phương trình laplace và phương trình poisson

Đây là bước đầu để ta tìm hiểu về phương trình đạo hàm riêngcũng như ứng dụng để giải một số bài toán phương trình đạo hàm riêng.Chính vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài "Giới thiệu sơ lượ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC

VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON

Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN THÀNH CHUNGSinh viên thực hiện đề tài: THÁI QUANG LỢI

Lớp ĐHSP Toán K55

Quảng Bình, năm 2017

Mục lục

Lời mở đầu 2

Chương 1 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết định tính của phương trình Laplace và phương trình Poisson 5

1.1 Hàm điều hòa Biểu diễn Green 5

1.2 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 10

1.3 Các bài toán biên cơ bản 13

1.4 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 14

1.5 Bài toán Dirichlet trong hình cầu Công thức Poisson 16

1.6 Các định lý về sự hội tụ 19

Chương 2 Phương pháp tách biến đối với phương trình Laplace và phương trình Poisson 21

2.1 Giải bài toán biên trong hình chữ nhật 21

2.2 Giải bài toán biên trong hình tròn 27

2.3 Một số bài tập vận dụng 31

Lời kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Lời mở đầu

Phương trình đạo hàm riêng là lĩnh vực mặc dù chưa được học trongchương trình học nhưng đây là học phần rất quan trọng Giúp sinh viên làmquen dần với phương pháp toán học hiện đại Lĩnh vực này có liên quan đếnnhiều bộ môn khác như: Phương pháp toán lý, điện động học, nhiệt độnghọc, Việc nghiên cứu lĩnh vực nay là cơ sở để nghiên cứu các lĩnh vựckhác

Đề tài "Giới thiệu sơ lược về phương trình laplace và phương trình son" vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi, thực sự có

pois-ý nghĩa khoa học mà các nhà toán học cũng như vật lpois-ý học thường xuyênnghiên cứu Đây là bước đầu để ta tìm hiểu về phương trình đạo hàm riêngcũng như ứng dụng để giải một số bài toán phương trình đạo hàm riêng.Chính vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài "Giới thiệu sơ lược về phương trìnhlaplace và phương trình poisson"

Luận văn trình bày những kiến thức cô động nhất của phương trìnhLaplace và phương trình Poisson Luận văn tập trung làm rõ một số vấn

đề sau: Định nghĩa, định lý, tính chất của hàm điều hòa, các bài toán biên

cơ bản, các định lý về sự hội tụ, bài toán Dirichlet trong hình cầu, công thứcPoisson, phương pháp tách biến để giải bài toán biên trong miền hình chữnhật và trong miền tròn

Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương :

• Chương 1 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết định tính của phương

trình Laplace và phương trình Poisson.

• Chương 2 Phương pháp tách biến đối với phương trình Laplace vàphương trình Poisson

Do thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làmbài luận văn không tránh khỏi những hạn chế Chúng tôi mong nhận được

sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

-maxΩu: là giá trị lớn nhất của hàm u trên tập Ω

-minΩu: là giá trị nhỏ nhất của hàm u trên tập Ω

-sinh x= e

x+e−x

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết định tính của phương trình Laplace và phương

trình Poisson

1.1 Hàm điều hòa Biểu diễn Green

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω là một miền trong Rn, còn u là hàm thuộc lớp

Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace được gọi là phươngtrình Poison Nghiệm của phương trình Poison trong miềnΩ là hàm u(x)∈

C2(Ω) sao cho:∆u= f(x)với bất kì x ∈Ω

Giả sửΩ ⊆ Rn với biên ∂Ω ∈ B1 và u(x), v(x)∈ C2(Ω)∩C1(Ω) ta có

nên chúng ta khắc phục bằng cách áp dụng công thức đó trên Ω1 = Ω\Bρ

với Bρ =Bρ(ξ)và ρ đủ nhỏ, rồi cho qua giới hạn khi ρ → 0 Khi đó:

=

≤ |Γ(ρ)| nωnρn−1max

R

∂ Ω

K(x, y) [ψ(y)− ψ(x0)]

ds

Từ đó nếu lấy khoảng cách |x − x0| đủ nhỏ thì |u(x)− u(x0)| < 2ε Do

đó u liên tục tai x0 Vậy u ∈ C(B)

1.6 Các định lý về sự hội tụ

Định lý 1.6.1 Giả sử u ∈ C(Ω) Khi đó hàm u điều hòa trong Ω khi và chỉ

com-pact trongΩ, ∃h ∈ B,∆h= 0 sao cho h=utrên ∂ B Khi đó ω = u− h thỏamãn

Từ đây ω =0 trong B tức là u=htrong B Do B là hình cầu bất kì thuộc

Ω nên u là hàm điều hòa trong Ω

Giả sử u là hàm điều hòa trong Ω Từ Định lý 1.2.1 ta có được côngthức

Định lý 1.6.2 Giới hạn của một dãy các hàm điều hòa hội tụ là một hàm

đối với hình cầu bất kì B= BR(y)⊂⊂Ω

Lấy giới hạn đẳng thức trên ta nhân được kết quả

Ta có nhận xét sau: Nếu {uN} là một dãy các hàm điều hòa trong miền

bị chặnΩ với các giá trị biên {ψN} liên tục, ψN hội tụ đều trên ∂Ω tới hàm

ψ , thì dãy {uN} hội tụ đều tới một hàm điều hòa u ∈Ω và nhận giá trị biên

ψ(x) trên ∂Ω

Định lý 1.6.3 (Định lý Harnack về sự hội tụ) Giả sử {uN} là dãy đơn điệu

Định lý 1.6.4 (ước lượng tiên nghiệm của các đạo hàm) Giả sử u là hàm

Định lý 1.6.5 Một dãy bị chặn bất kỳ các hàm điều hòa trong Ω chứa một

Chương 2

Phương pháp tách biến đối với phương trình Laplace và phương trình Poisson

2.1 Giải bài toán biên trong hình chữ nhật

Bài toán 1: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Laplace

trong miền chữ nhật(0; L)×(0; M)

u00xx+u00yy =0,(x, y)∈(0; L)×(0; M), (2.1.1)với điều kiện biên

Do vế trái là một hàm của x vế phải là một hàm của y nên cả hai phải làhàm hằng, đặt giá trị đó là λ ta nhận được:

X(L) = 0 nên ta có X ≡ 0 Điều này không thể xảy ra

Với λ =0 thì ta được nghiệm X =C1+C2x Và ta cũng có X ≡ 0 Điềunày không thể xảy ra

Với λ < 0 thì ta nhận được X = C1cos(√−λ x) +C2sin(√−λ x) Vì

X(0) =0 và X(L) = 0 nên ta được nghiệm khác 0 ứng với các giá trị

Ta có u cũng là nghiệm của bài toán thỏa mãn điều kiện biên.

Bây giờ ta tìm Ck để u thỏa mãn điều kiện không thuần nhất

với điều kiện biên

u(x, 0) = 0; u(x, M) = f2(x); 0 ≤ x ≤ L;

u(0, y) = 0; u(L, y) =0; 0 ≤ y ≤ M (2.1.8)Tương tự như Bài toán 1 ta tìm được nghiệm tách biến có dạng

2M

u(x, 0) =0; u(x, M) = 0; 0 ≤ x ≤ L;

u(0, y) = 0; u(L, y) = f4(x); 0 ≤ y ≤ M (2.1.12)

Ta tìm được nghiệm tách biến có dạng

2M

Bài toán biên tổng quát: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương

trình Laplace trong miền chữ nhật(0; L)×(0; M)

u00xx+u00yy =0,(x, y)∈(0; L)×(0; M), (2.1.13)với điều kiện biên

u(x, 0) = f1(x); u(x, M) = f2(x); 0 ≤ x ≤ L;

u(0, y) = f3(x); u(L, y) = f4(x); 0 ≤ y ≤ M (2.1.14)

Ta tìm được nghiệm tách biến là tổng của các nghiệm của bốn bài toántrên

Bài toán Poisson: Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình

Poisson trong miền chữ nhật(0; L)×(0; M)

u00xx+u00yy = f(x, y),(x, y)∈(0; L)×(0; M), (2.1.15)với điều kiện biên

v(x, 0) = f1(x) +g(x, 0); v(x, M) = f2(x) +g(x, M); 0 ≤ x ≤ L;

v(0, y) = f3(x) +g(0, y); v(L, y) = f4(x) +g(L, y); 0 ≤ y ≤ M

(2.1.17)

Đây là bài bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Poisson trongmiền chữ nhật (0; L)×(0; M) Tiếp tục giải như trên sau đó thay ngược laihàm v(x, y)bằng hàm u(x, y).

b , u|x=a = 0,u|y=0 = B|sinπ x

trong đó hệ số Dk = 1

sinhkπb

a

2a

2.2 Giải bài toán biên trong hình tròn

Giải bài toán trên biên Dirichlet với phương trình Laplace trong miềntròn x2+y2 < R2

u00xx+u00yy = 0, x2+y2 < R2 (2.2.18)Với điều kiện biên

u|x2 + y 2 = R 2 = f(x, y) (2.2.19)

Để giải bài toán này ta chuyển sang tọa độ cực (x = ρ cos(ϕ); y =

ρ sin(ϕ)) Ta được bài toán trong miền chữ nhật

u00ρ+ 1

ρ ρu0ρ+ 1

ρ2u00ϕ ϕ =0, 0 < ρ < R; 0 < ϕ < 2π (2.2.20)với điều kiện biên

Thay trở lại biến (x, y)ta được nghiệm của bài toán.

Đối với bài toán Poisson thì ta giải bằng cách đặt ẩn phụ để biến bài toántrở thành bài toán Laplace rồi giải

Ví dụ 2.2.1: Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn ∆u= A trong hình vành khăn R1 <

R1

k

(akcos kϕ+bksin kϕ)

Ví dụ 2.2.2: Tìm nghiệm của bài toán Newmann đối với phương trình

Laplace trong hình tròn ρ < R, với điều kiện biên sau: ∂ u

ρR

(akcos kϕ+bksin kϕ) =Acos ϕ

Áp dụng khai triển Fourier ta có:

u|x=1 = x, ux|x=1 = 1

Bài 2: Tìm hàm điều hòa trong hình vành khăn 1 < ρ < 2 sao cho

u|ρ=1 = f1(ϕ), u|ρ=2 = f2(ϕ).với

Lời kết luận

Trong bài khóa luận này tôi đã trình bày một số vấn đề về lý thuyếtđịnh tính của phương trình Laplace và phương trình Poisson cũng như sửdụng phương pháp tách để giải bài toán biên Dirichlet đối với phương trìnhLaplace và phương trình poisson Một số kết quả được chứng minh chi tiết,

cụ thể

Trong chương 1 nêu lên định nghĩa về hàm điều hòa, công thức Green,các bài toán biên cơ bản, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm,các định lý về sự hội tụ của hàm điều hòa Chương 2 tôi dùng chỉ ra phươngpháp tách biến để giải bài toán biên trong hai miền đó là miền chữ nhật vàmiền tròn

Mặt khác khi tìm hiểu về phương trình Laplace và phương trinh Poisson,phương pháp tách biến ta còn nhận thấy nó không chỉ mang tính chất toánhọc mà nó còn có ý nghĩa vật lý sâu sắc, nó thực sự là một công cụ phục vụđắc lực cho việc nghiên cứu vật lý

Qua thời gian thực hiện đề tài nghiêm túc và khẩn trương, mặc dù đãrất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tôi xinchân thành cám ơn quý thầy cô và các bạn đọc về mọi ý kiến đóng gióp đểbài khóa luận được hoàn thiện hơn

Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên TS NguyễnThành Chung đã giúp đỡ em hoàn thành bài khóa luận này

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Văn Bằng(2016), Bài giảng phương trình đạo hàm riêng, NXBĐHSP Hà Nội 2

[2] Nguyễn Thừa Hợp(2006), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng,NXB ĐHQG Hà Nội

[3] Nguyễn Mạnh Hùng(2008), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng,NXB ĐHSP Hà Nội

[4] Lê Quang Trung(1994), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXBĐHSP Hà Nội

[5] Trần Đức Vân(2001), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXBĐHQG Hà Nội

... kết luận< /b>

Trong khóa luận tơi trình bày số vấn đề lý thuyếtđịnh tính phương trình Laplace phương trình Poisson sửdụng phương pháp tách để giải toán biên Dirichlet phương trìnhLaplace... 2

Phương pháp tách biến phương trình Laplace phương trình Poisson< /b>

2.1 Giải tốn biên hình chữ nhật

Bài tốn 1: Giải tốn biên Dirichlet với phương trình Laplace< /b>... hàm điều hòa Chương dùng phươngpháp tách biến để giải tốn biên hai miền miền chữ nhật vàmiền trịn

Mặt khác tìm hiểu phương trình Laplace phương trinh Poisson ,phương pháp tách biến ta cịn