Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê

17 2.2.1 Kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình 17 2.2.2 Kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn... Lý thuyết kiểm định giả thuyết th

Một số phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.1.1: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo luật phõn phối chuẩn với hai tham số à và σ 2 nếu X cú hàm mật độ xỏc suất f(x) được xác định bởi: f(x) = 1 σ√ 2πe

- Hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn có dạng:

- Cỏc đặc trưng của biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn X ∼N(à, σ 2 ).

- Trường hợp đặc biệt nếu biến ngẫu nhiờn X cú kỡ vọngà = 0và phương sai σ = 1 thì X được gọi là có phân phối chuẩn tắc.

- Hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn tắc F(x) x

- Đồ thị của hàm phân phối chuẩn tắc:

Phân phối nhị thức

Định nghĩa 1.1.2: Ta tiến hành n phép thử một cách độc lập nhau Giả sử trong mỗi phép thử chỉ xảy ra hai trường hợp Hoặc biến cố A xảy ra với xác suất p hoặc biến cố A không xảy ra với xác suất q = 1−p Khi đó xác suất để trong n phép thử độc lập, biến cố A xuất hiện k lần được tính bằng công thức :

P(n, k, p) = C n k p k (1−p) n−k Phép thử này được gọi là phép thử Bernoulli.

Tiến hành một dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công ở mỗi phép thử là p, (0 ≤ p ≤ 1) Giả sử X là số lần thành công trong n phép thử đó thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S = 1,2, , n và

Khi đó X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n , p hay nói gọn X có phân phôi B(n, p).

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X theo quy luật nhị thức:

- Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức:

Phân phối Khi bình phương χ 2

Định nghĩa 1.1.3: Biến ngẫu nhiên liên tục χ 2 gọi là có phân phối Khi bình phương với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định bằng biểu thức sau: f(x) 

0 t x−1 e −t dt là hàm Gamma Nếu n là một số nguyên thì Γ(n+ 1) = n!

- Đồ thị hàm f(χ 2 ) của phân phối Khi bình phương:

Phân phối Student

Định nghĩa 1.1.4: Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi là phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định bằng biểu thức sau : f(t) Γ(n

Trong đó Γ(x) là hàm Gamma, n > 0, −∞ < t < +∞

- Đồ thị của phân phối Student. Đồ thị hàm phân phối Khi bình phương

Mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.1: Để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X của một tổng thể, ta quan sát ( cân, đo, đong, đếm ) một cách độc lập n lần về X Gọi

X i (i = 1, n) là giá trị quan sát ở lần thứ i thì (X i ) i=1,n là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với X Mẫu X 1 , X 2 , , X n được gọi là mẫu ngẫu nhiên sinh ra từ X, n gọi là cỡ mẫu hay số lần quan sát.

Gọi x i là một kết quả cụ thể của X i khi đó (x 1 , x 2 , , x n ) là mẫu cụ thể mà mẫu ngẫu nhiênX 1 , X 2 , , X n nhận được và được gọi là mẫu thực nghiệm.

Các đại lượng thống kê

Trung bình mẫu

Giả sử (X 1 , X 2 , , X n ) là mẫu ngẫu nhiờn sinh ra từ X cú EX = à,

DX = σ 2 , trung bình mẫu kí hiệu là X được xác định bởi:

- Trung bỡnh mẫu X cú cỏc đặc trưng E(X) = à, D(X) = σ 2 n

- Trên mẫu cụ thể (x 1 , x 2 , , x n ) trung bình mẫu nhận giá trị x = 1 n n

Phương sai mẫu

Phương sai mẫu là trung bình của tổng bình phương độ lệch giữa giá trị quan sát so với giá trị trung bình, kí hiệu: S x 0 2

Phương sai mẫu được xác định bởi:

(X i −X) 2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh kí hiệu là S x 2 , được xác định bởi:

(X i −X) 2 Căn bậc hai phương sai mẫu gọi là độ lệch chuẩn mẫu, kí hiệu S x 0

Căn bậc hai phương sai mẫu hiệu chỉnh gọi là độ lêch chuẩn mẫu hiệu chỉnh, kí hiệu S x

- Bằng các phép biến đổi, ta có được S x 2 = n

Một số định lý giới hạn theo phân phối

Cho X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với trung bỡnh à và phương sai σ 2 , X 1 +X 2 + +X n cú phõn phối chuẩn với trung bỡnh nà và phương sai nσ 2 khi n đủ lớn Khi đú,

Giả sử ta tiến hành các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử, sự kiện A xuất hiện với xác suất p Gọi m là số lần xuất hiện A trong n thí nghiệm.

√n có phân phối tiệm cận chuẩn N(0,1) khi n→ ∞.

1.5 Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu

Nếu X là biến ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩnN(à, σ 2 )và (X 1 , X 2 , , X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập thì (n−1)S 2 σ 2 ∼ χ 2 n−1 Định lý 1.5.2 (Xem 6)

Nếu (X 1 , X 2 , , X n ) là mẫu ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩn N(à, σ 2 ) thỡ

√n có phân phối Student với (n - 1) bậc tự do.

BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ

Việc thống kê và xử lý các số liệu thực nghiệm là một vấn đề rất quan trọng Nó không những giúp việc nghiên cứu có độ chính xác, độ tin cậy cao mà nó còn giúp người nghiên cứu có cơ sở khẳng định giả thuyết mình đưa ra là đúng hay sai Như vậy, kiểm định giả thuyết thống kê là một công cụ minh chứng cho tính đúng sai của các giả thuyết đưa ra Trong chương này ta xét các bài toán kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình trong trường hợp đã biết phương sai và chưa biết phương sai,kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn và kiểm định giả thuyết thống kê về xác suất p của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật 0 - 1.

Những khái niệm về kiểm định giả thuyết thống kê

Giả thuyết thống kê

Giả thuyết thống kê là giả thuyết về dạng phân phối xác suất F(x, θ) của biến ngẫu nhiên X về các tham số đặc trưng θ hoặc về tính độc lập của biến ngẫu nhiên X.

Giả thuyết thống kê đưa ra được kí hiệu là H 0 và được gọi là giả thuyết không.

Khi đưa ra một giả thuyết thống kê, người ta còn nghiên cứu các vấn đề mâu thuẩn với nó, gọi là giả thuyết đối và kí hiệu là H 1

Giả thuyết H0 và đối thuyết H1 tạo nên cặp giả thuyết thống kê.

Vì các giả thuyết thống kê đưa ra có thể đúng hoặc sai nên ta cần kiểm định, tức là tìm ra kết luận về tính thừa nhận được hay không thừa nhận được của giả thuyết đó Việc kiểm định này dựa vào thông tin mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) nên được gọi là thống kê kiểm định.

Tiêu chuẩn kiểm định - Miền tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê

Xét bài toán kiểm định giả thuyết có giả thuyết H0 và đối thuyết H1 Gọi

U là không gian các giá trị của mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) Ta chia

U thành hai phần W α và W α sao cho W α ∩ W α = ∅ và W α ∪ W α = U. Giả sử rằng H 0 đúng từ mẫu ngẫu nhiên X = (X 1 , X 2 , , X n ) chọn hàm

Z = h(X 1 , X 2 , , X n ;θ 0 ) sao cho với số α > 0 bé tùy ý thỏa mãn điều kiện P(Z ∈ W α ) =α Sau đó ta chọn quyết định theo quy tắc:

+; Nếu Z ∈ W α thì ta bác bỏ giả thuyết H 0 và chấp nhận đối thuyết

+; Nếu Z ∈ W α thì ta chấp nhận giả thuyết H 0

Trong đó Wα được gọi là miền tiêu chuẩn (hay miền bác bỏ) giả thuyết

- Miền giá trị còn lại của Z được gọi là miền chấp nhận giả thuyết H0, kí hiệu là W α

- Đại lượng ngẫu nhiên Z = h(X1, X2, , Xn;θ0) gọi là tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết H 0

- Giá trị α được gọi là mức ý nghĩa của bài toán kiểm định.

- Điểm giới hạn phân chia miền bác bỏ và miền không bác bỏ gọi là giá trị tới hạn.

Các loại sai lầm trong việc kiểm định giả thuyết thống kê

Nội dung của bài toán kiểm định là dựa vào mẫu quan sát để chọn một trong hai quyết định: Chấp nhận giả thuyếtH0 hay phải bác bỏ giả thuyết

H 0 Khi đưa ra quyết định chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết H 0 ta có thể mắc phải các loại sai lầm sau:

Là loại sai lầm mắc phải khi ta bác bỏ giả thuyết H 0 , trong khi thực tế giả thuyết H 0 đúng.

Xác suất mắc phải sai lầm này là α và được kí hiệu P(W α /H 0 ) = α.

Là loại sai lầm mắc phải khi ta chấp nhận giả thuyết H 0 , trong khi thực tế giả thuyết H0 sai.

Xác suất mắc phải sai lầm này là β (với β = 1 − α) và được kí hiệu

Quan hệ giữa việc kiểm định giả thuyết và các loại sai lầm có thể mô tả ở bảng sau:

Người làm thống kê muốn hạn chế cả hai loại sai lầm này, nghĩa là mong muốn chọn được miền tiêu chuẩn W α sao cho có thể loại trừ khả năng phạm cả hai sai lầm càng nhiều càng tốt Song không thể cực tiểu đồng thời cả hai loại sai lầm khi cỡ mẫu cố định, bởi vì hai xác suất trên liên hệ với nhau bởi hệ thức: P(W α /H 0 ) +P(W α /H 1 ) = 1.

Thông thường với giá trị α cho trước khá bé ta xác định miền tiêu chuẩn

W α sao cho xác suất P(W α /H 1 ) = β đạt cực tiểu hay P(W α /H 0 ) = α đạt cực đại.

kiểm định một phía và kiểm định khác phía

? Kiểm định một phía: Khi đối thuyết H1 có tính chất một phía thì việc kiểm định được gọi là kiểm định 1 phía.

Với tham số θ ta có bài toán kiểm định:

? Kiểm định hai phía: Khi đối thuyết H 1 có tính chất 2 phía thì việc kiểm định được gọi là kiểm định 2 phía.

Với tham số θ ta có bài toán kiểm định:

Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê

Kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình 17

I Trường hợp phương sai đã biết.

Giả sử biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à, σ 2 ) với phương sai mẫu σ 2 đã biết Từ mẫu ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) ta xây dựng bài toỏn kiểm định cho giỏ trị trung bỡnh à trong cỏc trường hợp sau:

1 Trường hợp giả thuyết H 0 : à= à 0 , đối thuyết H 1 :à 6= à 0

Xột thống kờ kiểm định Z = X −à σ

Giả sử H 0 đỳng tức là à = à 0 ta cú P(W α /H 0 ) = α.

Vì X có phân phối chuẩn nên theo định lý 1.4.1 ta có:

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U( α 2 ) sao cho:

Ta có miền tiêu chuẩn của bài toán kiểm định trên là:

Giá trịU( α 2 )được xác định bằng việc tra bảng phân phối chuẩn N(0,1).

Tớnh giỏ trị thống kờ Z = X −à 0 σ

√n của bài toán kiểm định rồi tiến hành so sánh:

+, Nếu |Z|> U( α 2 ) thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : |Z| > U( α 2 )} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H 0

+, Nếu |Z| ≤U( α 2 ) thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : |Z| ≤ U( α 2 )} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Một máy khoan trong dây chuyền sản xuất dùng để khoan lổ trên các bản thép Khi máy khoan hoạt động đúng theo chức năng thiết kế đường kính các lỗ khoan sẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là 2 inches và độ lệch chuẩn là 0,06 inches Trong quá trình kiểm tra định kỳ xem máy khoan có hoạt động đúng hay không, người ta đo ngẫu nhiên các lỗ đã khoan Giả sử độ lệch chuẩn không thay đổi. Mẫu ngẫu nhiên gồm 9 lổ khoan cho ta trung bình là 1,95 inches Với mức ý nghĩa α = 0,05, hãy kiểm tra xem có đúng là đường kính trung bình các lổ khoan là 2 inches ?

Xột bài toỏn kiểm định giả thuyết H 0 : à = à 0 = 2, đối thuyết H 1 : à 6= à 0 = 2.

Theo bài ra ta có: n = 9; trung bình mẫu X = 1,95; phương sai mẫu σ = 0,06.

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn ta tìm được:

Ta có : |Z|= 2,5 > U( α 2 ) = 1,96 thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Vậy ta bác bỏ giả thuyết H 0 ở mức ý nghĩa α = 0,05 tức là máy hoạt động không đúng chức năng thiết kế.

2 Trường hợp giả thuyết H 0 : à= à 0 , đối thuyết H 1 :à > à 0

Giả sử H0 đỳng tức là à = à0 ta cú P(Wα/H0) = α.

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U(α) sao cho:

Giá trịU(α)được xác định bằng việc tra bảng phân phối chuẩn N(0,1).

Tớnh giỏ trị thống kờ Z = X −à0 σ

+, Nếu Z > U(α) thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z > U(α)}thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết

+, Nếu Z ≤U(α) thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≤ U(α)} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Một công nhân của một công ty cho biết lương trung bình của một công nhân ở một xí nghiệp họ làm là 3,8 triệu/tháng Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của xí nghiệp này thấy lương trung bình là 3,9 triệu/ tháng Với độ lệch chuẩn là 0,4 và mức ý nghĩa α = 0,05 Hãy xét xem công nhân này nói có đúng không ?

Gọi à là lương trung bỡnh thực sự hàng thỏng của cụng nhõn.

Miền tiêu chuẩn kiểm định

Xột bài toỏn kiểm định giả thuyết H 0 : à = à 0 = 3,8 đối thuyết H 1 : à > à 0 =3,8.

Theo bài ra ta có: n = 36; trung bình mẫu X = 3,9; phương sai mẫu σ = 0,4.

Tra bảng phân phối chuẩn ta tìm được : U(α) = U(0,05) = 1,65.

Ta có: Z = 2,25 > U(α) = 1,65 thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Vậy ta bác bỏ giả thuyết H 0 và chấp nhận đối thiết H 1 Tức là lời nói của công nhân trong công ty này là không chính xác.

3 Trường hợp giả thuyết H 0 : à= à 0 , đối thuyết H 1 : à < à 0

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U(α) sao cho:

Giá trị U(α) được xác định bằng cách tra bảng phân phối chuẩn

Tớnh giỏ trị thống kờ Z = X −à 0 σ

+, Nếu Z < −U(α) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z < −U(α)} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H 0

+, Nếu Z ≥ −U(α) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≥ −U(α)} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Trong một nhà máy bánh kẹo, một máy tự động sản xuất ra các thanh socola với trọng lượng quy định là 250g Biết rằng trọng lượng cỏc thanh socola được sản xuất ra cú phõn phối chuẩn N(à,5 2 ) Trong

Miền tiêu chuẩn kiểm định một ngày bộ phận kiểm tra kỉ thuật chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm

16 thanh socola và tính trọng lượng trung bình của chúng được 244g.

Có thể khẳng định máy tự động sản xuất ra các thanh socola có trọng lượng nhỏ hơn quy định hay không ? Với múc ý nghĩa α = 0,05 hãy kiểm định giả thuyết thống kê tương ứng.

Ta xột bài toỏn kiểm định giả thuyết H 0 : à= à 0 = 250, đối thuyết H 1 : à < à 0 = 250.

Theo bài ra ta cú: à 0 = 250g, n = 16; trung bỡnh mẫu X = 244g; phương sai mẫu σ 2 = 25.

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn ta có:

Ta có: Z = -4,8 < −U(α) = -1,65 thỏa mãn miền tiêu chuẩn :

Vậy ta bác bỏ giả thuyết H0 ở mức ý nghĩa α = 0,05.

Nghĩa là máy tự động sản xuất socola có trọng lượng nhỏ hơn quy định.

II Trường hợp phương sai chưa biết.

Giả sử biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à, σ 2 ), với giỏ trị trung bỡnh à đó biết và phương sai σ 2 chưa biết Từ mẫu ngẫu nhiờn

1 Trường hợp giả thuyết H0 : à= à0, đối thuyết H1 :à 6= à0.

Vỡ X cú phõn phối chuẩn nờn theo định lý 1.5.2 ta cú Z = X −à 0

√n sẽ có phân phối Student với (n - 1) bậc tư do.

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U( α

2 ,n−1) được xác định bằng cách tra bảng phân phối chuẩn.

Tớnh giỏ trị thống kờ Z = X −à 0

2 ,n−1) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

2 ,n−1)} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H0.

2 ,n−1)} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H0.

Nhà quản lý các cửa hàng bán lẻ nhận thấy rằng số lượng hàng bán ra trung bình trong tháng 12 cao hơn 20% so với tháng 11 Theo dõi sổ sách của sáu cửa hàng (được chọn một cách ngẩu nhiên) nhà quản lý thấy phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra tại 6 cửa hàng trong tháng 12 như sau:

Giả sử phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra tại tất cả các của hàng trong hệ thống bán lẻ tuân theo phân phối chuẩn. Hãy kiểm định giả thuyết biết rằng phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra trong tháng 12 là 20% so với tháng 11 với mức ý nghĩa α = 10%.

Ta xột bài toỏn kiểm định giả thuyết H0: à= à0 = 20, đối thuyết H 1 : à 6= à 0 = 20.

Theo bài ra ta có: Trung bình mẫu X = 1 n n

Phương sai mẫu hiệu chỉnh : S x 2 = 1 n−1 n

Tra bảng phân phối student ta có :U ( α

Ta có: Z = 1,597 < U 5;0,05 = 2,015 thỏa mãn miền tiêu chuẩn :

Vậy ta chấp nhận giả thuyết H 0 : à = à 0 = 20, tức là phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra trong tháng 12 là 20% so với tháng 11.

2 Trường hợp giả thuyết H 0 : à = à 0 , đối thuyết H 1 : à > à 0

Vỡ X cú phõn phối chuẩn nờn theo định lý 1.5.2 ta cú Z = X −à 0

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U( α,n−1 ) sao cho:

Giá trị U( α,n−1 ) được xác định bằng cách tra bảng phân phối chuẩn

Tớnh giỏ trị thống kờ Z = X −à0

+, Nếu Z > U( α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z > U( α,n−1 )} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H0.

+, Nếu Z ≤U( α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≤ U( α,n−1 )} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của một con bò là 14 kg/ngày Cải tiến chế độ chăn nuôi đã cho lượng sữa nhiều hơn Để có thông tin người ta đã điều tra ngẫu nhiên 40 con bò và tính được lượng sữa trung bình của một con bò là 18 kg/ngày Với độ lệch chuẩn S = 2,5kg và mức ý nghĩa α = 0,1 hãy thử xem lượng sữa trung bình của con bò có tăng thực hay không ?

Ta xột bài toỏn kiểm định giả thuyết H 0 : à= à 0 = 14, đối thuyết H 1 : à > à 0 = 14.

Theo bài ra ta có: n = 40; mức ý nghĩa α = 0,1; độ lệch chuẩn S 2,5; trung bình mẫu X = 18.

Tra bảng phân phối student ta tìm được : U( α,n−1 ) = U( 0,1;39 ) = 1,3.

Từ đây ta có: Z = 10,12 > U( 0,1;39 ) = 1,3 thỏa mãn miền tiêu chuẩn :

Vậy ta bác bỏ giả thiết H 0 và chấp nhận đối thiết H 1

Tức là lượng sữa trung bình của bò đã tăng lên thực sự.

3 Trường hợp giả thuyết H 0 : à= à 0 , đối thuyết H 1 :à < à 0

Vỡ X cú phõn phối chuẩn nờn theo định lý 1.5.2 ta cú Z = X −à0

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U( α,n−1 ) sao cho:

Giá trị U( α,n−1 ) tìm được bằng cách tra bảng phân phối chuẩn N(0,1).

Tớnh giỏ trị thống kờ Z = X −à

√n của bài toán kiểm định rồi so sánh:

+, Nếu Z < −U( α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z < −U( α,n−1 )} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H0

+, Nếu Z ≥ −U( α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≥ −U( α,n−1 )} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H0.

Ví dụ: (Xem 3) Đối với người Việt Nam lượng huyết sắc tố trung bình là 138,3 g/l. Khám cho 81 công nhân ở một nhà máy có tiếp xúc với hóa chất thấy sắc tố trung bình là 120g/l, S = 15g/l Từ kết quả trên có thể kết luận lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy này thấp hơn mức chung hay không ?

Ta xột bài toỏn kiểm định giả thuyết H 0 : à= à 0 = 138,3 đối thuyết H 1 : à < à 0 = 138,3 Theo bài ra ta có: n = 81; mức ý nghĩa α = 0,05; trung bình mẫu

Tra bảng phân phối student ta có: U( α,n−1 ) = 1,644.

Từ đó ta có: Z = -10,98 < −U( α,n−1 ) = -1,644. thỏa mãn miền tiêu chuẩn W α = {X 1 , X 2 , , X n :Z < −U( α,n−1 )}.

Vậy ta bác bỏ giả thiết H0 và chấp nhận đối thiết H1 Tức là lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy này thấp hơn mức chung.

Kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Giả sử biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à, σ 2 ) với phương sai σ 2 chưa biết Giả sử σ 2 = σ 2 0 , người ta đưa ra giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 Để kiểm định giả thuyết trên từ tổng thể mẫu ngẫu nhiên kích thước n (X 1 , X 1 , , X n ) và chọn tiêu chuẩn kiểm định là thống kê

Nếu giả thuyết H 0 đúng thì theo mệnh đề 1.5.1 thống kê Z = (n−1)S 2 σ 0 2 sẽ có phân phối " Khi bình phương" với (n−1) bậc tự do Do đó với mức ý nghĩa α cho trước ta xây dựng bài toán kiểm định giả thuyết theo các trường hợp sau :

1 Trường hợp giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 , đối thuyết H 1 : σ 2 6= σ 0 2

Xét thống kê Z = (n−1)S 2 σ 2 Giả sử H0 đúng tức là σ 2 = σ 0 2 ta có P(Wα/H0) = α.

Vì X có phân phối chuẩn nên theo mệnh đề 1.5.1 ta có Z = (n−1)S 2 σ 0 2 sẽ có phân phối Khi bình phương với (n - 1) bậc tư do.

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị χ 2 (1− α

Miền tiêu chuẩn của bài toán kiểm định trên là:

2 ,n−1) xác định được bằng cách tra bảng phân phối khi bình phương với (n−1) bậc tự do.

Tính giá trị thống kê Z = (n−1)S 2 σ 2 0 của bài toán kiểm định rồi tiến hành so sánh:

2 ,n−1)} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H 0

Người ta thử độ chịu lực của 20 ổ khóa loại MK thì thấy độ lệch tiêu chuẩn mẫu S = 3.2 pao ( một pao xấp xỉ 450 gam) Nhà máy khẳng định rằng độ lệch chuẩn thực là 3 pao Với mức ý nghĩa α = 0,10 từ số liệu mẫu trên có thể chấp nhận khẳng định của nhà máy không ? Giả thuyết độ chịu lực X của khóa tuân theo luật chuẩn.

Ta xét bài toán kiểm định giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 = 9, đối thuyết H1 : σ 2 6= σ 0 2 = 9.

Theo bài ra ta có: cỡ mẫu n = 20; độ lệch chuẩn S = 3,2 pao; phương sai σ0 = 3 pao.

Với mức ý nghĩa α= 0,10 tra bảng phân phối χ 2 ta tìm được : χ 2 ( 1− α

2 ,n−1) = 30,144 thỏa mãn miền tiêu chuẩn W α = {X 1 , X 2 , , X n : χ 2 (1− α

Vậy ta chấp nhận giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 2 0 = 9 Nghĩa là khẳng định của nhà máy là đúng.

2 Trường hợp giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 ; đối thuyết H 1 : σ 2 > σ 2 0

Xét thống kê Z = (n−1)S 2 σ 2 Giả sử H 0 đúng tức là σ 2 = σ 0 2 ta có P(W α /H 0 ) = α.

Vì X có phân phối chuẩn nên theo mệnh đề 1.5.1 ta có Z = (n−1)S 2 σ 0 2 sẽ có phân phối Khi bình phương với (n−1) bậc tư do.

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị χ 2 (α,n−1) sao cho:

Giá trị χ 2 ( α,n−1 ) xác định được bằng cách tra bảng phân phối Khi bình phương với (n−1) bậc tự do.

Tính giá trị thống kê Z = (n−1)S 2 σ 2 0 của bài toán kiểm định rồi tiến hành so sánh:

+, Nếu Z > χ 2 ( α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z > χ 2 ( α,n−1 )} thì ta quyết định bác bỏ giả

+, Nếu Z ≤ χ 2 ( α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≤ χ 2 ( α,n−1 )} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Một máy sản xuất các tấm chất dẻo được thường xuyên theo dõi về độ dày của sản phẩm Biết Độ dày X của các tấm chất dẻo tuân theo quy luật chuẩn N(à, àσ 2 ) Nếu độ lệch chuẩn vượt quỏ 0,3mm thỡ chất lượng sản phẩm không được đảm bảo về kỉ thuật Người ta chọn mẫu ngẫu nhiên 10 tấm chất chất dẻo rồi đo độ dày của môi tấm và được kết quả như sau: 22,0 22,6 23,2 22,7 22,5 22,8 22,5 22,8 22,9 23,0.

Từ yêu cầu của thực tế với mức ý nghĩa α = 0,05 hãy lập các cặp giả thuyết và đối thuyết thích hợp đánh giá tình trạng làm việc của máy sản xuất chất dẻo trên ( Đơn vị đo mm ).

Với độ lệch chuẩn ở mức cho phép không vượt quá 0,3mm tương ứng với phương sai σ không vượt quá 0,09 mm 2

Ta xét bài toán kiểm định giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 = 0,09 đối thuyết H1 : σ 2 > σ 0 2 = 0,09.

Với mẫu đã cho ta có:

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối Khi bình phương ta tìm được: χ 2 ( α,n−1 )= χ 2 ( 9;0,05 ) = 16,919.

Ta có: Z = 10,89 < χ 2 ( 9;0,05 ) = 16,919 thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Vậy ta chấp nhận giả thuyết H 0 tức là máy sản xuất các tấm chất dẻo vẫn hoạt động bình thường.

3 Trường hợp giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 ; đối thuyết H 1 : σ 2 < σ 0 2

Xét thống kê Z = (n−1)S 2 σ 2 Giả sử H0 đúng tức là σ 2 = σ 0 2 ta có P(Wα/H0) = α.

Vì X có phân phối chuẩn nên theo mệnh đề 1.5.1 ta có Z = (n−1)S 2 σ 0 2 sẽ có phân phối Khi bình phương với (n - 1) bậc tư do.

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị χ 2 ( 1−α,n−1 ) sao cho:

Giá trị χ 2 ( 1−α,n−1 ) xác định được bằng cách tra bảng phân phối khi bình phương với (n−1) bậc tự do.

Tính giá trị thống kê Z = (n−1)S 2 σ 0 2 của bài toán kiểm định so sánh: +, Nếu Z < χ 2 ( 1−α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Wα = {X 1 , X2, , Xn : Z < χ 2 ( 1−α,n−1 )} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết H 0

+, Nếu Z ≥ χ 2 ( 1−α,n−1 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≤ χ 2 ( 1−α,n−1 )} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H0.

Ví dụ: (Xem 7) Để kiểm định phương sai của đặc tính chất lượng X của một sản phẩm,

30 sản phẩm được thu thập , giá trị phương sai mẫu tính được là 1,44 Hãy kiểm định xem phương sai đặc tính chất lượng sản phẩm nhỏ hơn 1,5 hay không? (Xét với mức ý nghĩa α = 0,05).

Giải: Xét bài toán kiểm định giả thuyết H 0 : σ 2 = σ 0 2 =1,5; đối thuyết H1 : σ 2 < σ 0 2 = 1,5.

Theo bài ra ta có: Cỡ mẫu n = 30; độ lệch chuẩn S = 1,44; phương sai σ 0 2 = 1,5.

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối khi bình phương ta có: χ 2 ( 1−α,n−1 )= χ 2 29,0,95 = 17,7083.

Từ đây ta có: Z = 27,84 > χ 2 29,0,95 = 17,7083 thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Vậy ta chấp nhận giả thuyết H0 tức là phương sai đặc tính chất lượng không nhỏ hơn 1,5.

Kiểm định giả thuyết về xác suất p của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật 0 - 1

phân phối theo quy luật 0 - 1.

Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên sinh ra từ X tuân theo phân phối 0 - 1 với tham số p Khi đó n

X i tuân theo quy luật nhị thức B(n, p) và tần suất f = 1 n n

X i có phân phối tiệm cận chuẩn Ta xây dựng bài toán kiểm định với giả thuyết H0 : p = p0 với n khá lớn và p không quá bé.

1 Trường hợp giả thuyết H 0 : p= p 0 , đối thuyết H 1 :p 6= p 0 Xét thống kê Z = f −p pp(1−p)

Giả sử giả thuyết H 0 đúng tức là p= p 0 và P(W α /H 0 ) = α.

Theo định lý 1.4.2 thống kê Z = f −p 0 pp 0 (1−p 0 )

√n có phân phối chuẩn tắc N(0,1).

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U( α 2 ) sao cho P(|Z| > U( α 2 )) =α.

Ta có miền tiêu chuẩn của bài toán kiểm định trên là :

Giá trị U( α 2 ) xác định bằng cách tra bảng phân phối chuẩn N(0,1).

Tính giá trị thống kê Z = f −p0 pp 0 (1−p 0 )

+, Nếu |Z| > U( α 2 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : |Z| > U( α 2 )} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết

+, Nếu |Z| ≤ U( α 2 ) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Wα = {X 1 , X2, , Xn : |Z| ≤ U( α 2 )} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Xét nghiêm 1000 mẫu máu của những người dân ở vùng Tây Nguyên ta thấy có 232 mẫu máu có kí sinh trùng sốt rét Hãy kiểm định giả thuyết

H 0 : p = p 0 = 0,2, đối thuyết H 1 : p 6= p 0 = 0,2 với mức ý nghĩa α = 0,05?

Xét bài toán kiểm định H 0 : p= p 0 = 0,2, đối thuyết H 1 :p 6= p 0 = 0,2.

Theo bài ra ta có: f = nA n = 232

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn ta tìm được

Từ đây ta có : |Z| = 2,53 > U( α 2 ) = 1,96 thỏa mãn miền tiêu chuẩn

Vậy ta bác bỏ giả thuyết H 0 : p = p 0 = 0,2 và chấp nhận đối thuyết

2 Trường hợp giả thuyết H 0 : p = p 0 , đối thuyết H 1 : p > p 0

Theo định lý 1.4.2 thống kê Z = f −p 0 pp 0 (1−p 0 )

Với xác suất α cho trước ta tìm giá trị U(α) sao cho P(Z > U(α)) =α.

Giá trị U(α) xác định bằng cách tra bảng phân phối chuẩn N(0,1).

√n của bài toán kiểm định rồi so sánh:

+, Nếu Z > U(α) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z > U(α)} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết

+, Nếu Z ≤ U(α) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≤ U(α)} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Một báo cáo của địa phương khẳng định tỉ lệ thanh niên biết tin học tại đó là 50% Qua điều tra 625 thanh niên thì thấy 325 thanh niên biết tin học Hãy kiểm định xem tỉ lệ thanh niên biết tin học của địa phương đó cao hơn so với báo cáo không ? ( xét với mức ý nghĩa α = 0,05).

Gọi p là tỉ lệ thanh niên biết tin học của địa phương đó.

Ta xét bài toán kiểm định giả thuyết H 0 : p = p 0 = 0,5; đối thuyết H 1 : p > p 0 = 0,5.

Theo bài ra ta có n = 625, nA = 325.

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn ta có U(α) = 1,65.

Từ đây ta có : Z = 1 < U(α) = 1,65 thỏa mãn miền tiêu chuẩn :

Vậy ta chấp nhận giả thiết H 0 nghĩa là báo cáo của địa phương là đúng.

3 Trường hợp giả thuyết H0 : p = p0, đối thuyết H1 : p < p0

Theo định lý 1.4.2 thống kê Z = f −p0 pp 0 (1−p 0 )

Với xác suấtα cho trước ta tìm giá trị U(α)sao cho P(Z < −U(α)) =α.

Giá trị −U(α) xác định bằng cách tra bảng phân phối chuẩn N(0,1).

+, Nếu Z < −U(α) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

W α = {X 1 , X 2 , , X n :Z < −U(α)} thì ta quyết định bác bỏ giả thuyết

+, Nếu Z ≥ −U(α) tức là thỏa mãn miền tiêu chuẩn:

Wα = {X 1 , X2, , Xn : Z ≥ −U(α)} thì ta quyết định chấp nhận giả thuyết H 0

Một kho hạt giống có tỉ lệ nảy mầm xác định p 0 = 0,90 Ngẫu nhiên có một thiết bị bị hỏng làm thay đổi điều kiện bên trong của kho Hỏi tỉ lệ nảy mầm của hạt giống có còn giữ nguyên hay không? Để có tỉ lệ thông tin nảy mầm mới của kho ta làm thí nghiệm 200 hạt thấy có 140 hạt nảy mầm.(Xét với mức ý nghĩa α = 0,05)

Ta xét bài toán kiểm định giả thuyết H 0 : p = p 0 = 0,9 đối thuyết H 1 : p < p 0 = 0,9.

Theo bài ra ta có: n = 200; nA= 140; f = n A n = 140

Với mức ý nghĩa α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn ta có Uα = 1,645.

Thỏa mãn miền tiêu chuẩn W α = {X 1 , X 2 , , X n : Z ≥ −U(α)}.

Vậy ta bác bỏ giả thuyết H 0 và chấp nhận đối thuyết H 1 : p < 0,9, tức là tỉ lệ nảy mầm của kho đã bị giảm đi.

Khóa luận đã trình bày một số phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, định lý giới hạn theo phân phối, các đại lượng thống kê Trình bày những khái niệm về kiểm định giả thuyết thống kê, bài toán kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình trong trường hợp đã biết phương sai và chưa biết phương sai Bài kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê về xác suất p của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật 0 - 1.

Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô Trần Hồng Nga người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Trường Đại học Quảng Bình đã tận tình và tâm huyết truyền đạt vốn tri thức quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tại trường Cảm ơn Gia đình và bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, cổ vũ, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập củng như trong thời gian tôi làm khóa luận này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện đề tài song do sự hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm của bản thân nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.

Ngoài ra, kiểm định giả thuyết thống kê còn nghiên cứu về tính độc lập,kiểm định sự phù hợp của hàm phân phối tiêu chuẩn khi bình phương Trong tương lai nếu có điều kiện tôi mong được tiếp tục nghiên cứu các vấn đề này Tôi xin chân thành cảm ơn !

Tiêu đề	Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê
Chuyên ngành	Xác suất thống kê
Thể loại	Luận văn tốt nghiệp

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	694,27 KB