GIAO AN DAY BOI DUONG HOC SINH GIỎI TOAN 7 CHON lọc

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ngày dạy:19/9/2016 Buổi Tiết 1+2+3: TÍNH TỔNG DÃY THEO QUY LUẬT I MỤC TIÊU BÀI HỌC: - Kiến thức: Ơn tập, phát triển tập hợp Q, phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.Các phép tốn lũy thừa Từ vận dụng giải tốn tính tổng dãy theo quy luật - Kĩ năng: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, so sánh số hữu tỉ giải tốn tính tổng dãy theo quy luật - Thái độ: Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt sáng tạo II CHUẨN BỊ: GV: Hệ thống câu hỏi, tập phù hợp với mục tiêu vừa sức HS HS: Ơn tập theo HS GV III.CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Tổ chức: KTBC: Cho HS nêu lại lý thuyết học số hữu tỉ ,về lũy thừa Bài mới: I Lý thuyết -GV cho hs nêu tính chất cơng,trừ,nhân chia số hữu tỉ - nhắc lại phép tốn lũy thừa: = a.a.a.a….a; am+n am-n ( a#0, m n) n = n (a.b) = an.bn (a:b)n = an : bn ( b#0) - Dãy số cách dãy số số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với số d khơng đổi (d: cơng sai dãy số cách ) - Các số hạng dãy số cách kí hiệu là: u1, u2,u3,… , un;… Trong : u1là số hạng thứ u2là số hạng thứ hai un số hạng thứ n -Các cơng thức: + Tính số số hạng tổng n + + Tính số hạng thứ n dãy: Un = U1 + (n-1).d GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN + Tính tổng dãy: S II Bài tập Bài Cho dãy số cách :1,4,7,10,13, ,202 a Tính số số hạng dãy b Tính số hạng thứ 50 dãy c Tính tổng số hạng dãy d Số 100 có thuộc dãy khơng? Nếu có số hạng thứ bao nhiêu? e Số 150 có thuộc dãy khơng? HD: Cho dãy số:1;4;7;10;13; ;202 a Dãy có số số hạng là: n= (202-1):3 +1= 68 ( số) b Số hạng thứ 50 dãy là: U50= + (n-1).3 =148 c Tổng số hạng dãy là: S= d Vìdãy gồm số chia cho dư 1, mà số 100 chia cho dư nhỏ 202 nên thuộc dãy số hạng thứ e Vì dãy gồm số chia cho dư 1, mà 150 lại chia hết cho 3neen số 150 khơng thuộc dãy • Dạng1: Dạng tốn tính tổng dãy số cách đều: Bài Tính B = + + + + 98 + 99 HD: * cách : B = + (2 + + + + 98 + 99) = 1+(2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 1+49.101 = 1+4949 = 4950 * cách 2: ; B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 ⇒ B = 50.99 = 4950 Bài 3: Tính C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ Áp dụng ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) 999 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Cách 2: Ta thấy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - = 2.500 - Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống ta xác định số số hạng dãy số C 500 số hạng Áp dụng cách ta có: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 ⇒ C = 1000.250 = 250.000 Bài Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng tổng D sau: Ta thấy: 10 = 2.4 + 12 = 2.5 + 14 = 2.6 + 998= 2.498+ Tương tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = 998 − 10 + hay số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ta có: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 ⇒ D = 504.495 = 249480 (998 + 10)495 Thực chất D = Bài Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 = (1011 + 9899).98 + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 ⇒ E = 4954,05 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN (Ghi chú: Vì số số hạng dãy (9899 − 1011) + = 98 ) 101 Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:  a + (a + 4006)   2004 = (a + 2003).2004 Khi ta có: S = a + (a + 2) + + (a + 4006) =   (a + 2003).2004 = 8030028 ⇔ a = 2004 Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHƠNG CÁCH ĐỀU Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lời giải Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A = n(n + 1)[(n - 2) - (n - n(n + 1)(n + 2) * Tổng qt hố ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh cơng thức sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lời giải Áp dụng tính kế thừa ta có: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) ⇒ B= (n − 1) n( n + 1)( n + 2) Bài Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lời giải Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2n + 2) n n(n + 1)( n + 2) 3(2n + 2)n n(n + 1)(n + 5) ⇒ C= + = 3 Bài Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) Mặt khác theo tập ta có: n( n + 1)(n + 2) n(n + 1) n( n + 1)( n + 2) ⇒ 12 + 2 + + … + n = = + + + … + n = 3 n( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = A= Bài Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lời giải Tương tự tốn trên, xuất phát từ tốn 2, ta đưa tổng B tổng E: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - Ta có: n(n + 1) ⇒ n(n + 1) (n − 1) n( n + 1)( n + 2) Mà ta biết B = (n − 1) n(n + 1)(n + 2) n( n + 1)  n(n + 1)  ⇒ E = + 23 + 33 + … + n = + =   (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + Bài (Trang 23 SGK Tốn tập 1) Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lời giải 2 2 Ta có: S = + + + … + 20 = (2.1) + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S ta tính P ngược lại Tổng qt hóa ta có: P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n + 1)(2n + 1) (theo kết trên) Khi S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 tính tương tự trên, ta có: GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN S = (2.1) + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = = 4n(n + 1)(2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) =  n( n + 1)  Còn: P = + + + … + n =  Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 sau: S =    3 3 (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc S = 8P, Vậy ta có: S = 2  n( n + 1)  8.n ( n + 1) = = 2n ( n + 1) 2 + + +…+ (2n) = ×    3 3 Áp dụng kết trên, ta có tập sau: Bài a) Tính A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 Lời giải 2 a) Theo kết trên, ta có: + + 32 +…+ (2n)2 = = 2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1) = Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)2] = = n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 2n (2n + 1) = 3 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)3] Áp dụng kết tập ta có: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 4.Củng cố : gv nhắc lại số dạng tốn chữa gồm dạng 5.Dặn dò: u cầu hs nhà xem lại tồn tập làm lớp làm tập nhà BTVN 63 Bài Tính S1 = + + + + … + Lời giải Cách 1: Ta thấy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) ⇒ 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - Cách 2: Ta có: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) 63 64 ⇒ 64 = + 2(S1 - ) = + 2S1 - S1 = - Bài Tính giá trị biểu thức S = +3 + + 33 + … + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: Áp dụng cách làm 1: Ta có: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) Hay: 2S = 2001 32001 − ⇒ -1 S= Cách 2: Tương tự cách trên: Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 2001 ⇒ 2S = 32001 - ⇒ S = − Ngày dạy:30/9/2016 Buổi Tiết 4+5+6: GIẢI TỐN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I MỤC TIÊU BÀI HỌC: Kiến thức: - Giúp học sinh nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối số hữu tỉ,và số dạng tốn nâng cao gí trị tuyệt đối Kĩ năng: - Học sinh rèn luyện, củng cố quy tắc giá trị tuyệt đối số hữu tỉ - Phát triển tư qua dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Thái độ: Cẩn thận, xác, khoa học II CHUẨN BỊ GV: SGK, giáo án HS : Chuẩn bò trước nhà , học kó cũ , xem trước III C¸c ho¹t ®éng d¹y häc Ổn định tổ chức: Kiểm tra cũ: Bài mới: I Lý thuyết Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a (a số thực) * Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối TQ: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Nếu x-a ≥ 0=> = x-a Nếu x-a ≤ 0=> = a-x 2.Tính chất Giá trị tuyệt đối số khơng âm TQ: a ≥ với a ∈ R Cụ thể: =0 a=0 ≠ a ≠ * Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối a = b TQ: a = b ⇔  a = −b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối TQ: − a ≤ a ≤ a − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ * Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn TQ: Nếu a < b < ⇒ a > b * Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ TQ: Nếu < a < b ⇒ a < b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối TQ: a.b = a b * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối TQ: a a = b b * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN TQ: a = a * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số ln lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu TQ: a + b ≥ a + b a + b = a + b ⇔ a.b ≥ Bổ sung: * Với m > x m⇔  x < − m II Các dạng tốn: A Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: A(x)= k (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước) * Cách giải: - Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số khơng âm ) - Nếu k = ta có A( x) = ⇒ A( x) =  A( x) = k  A( x) = − k - Nếu k > ta có: A( x) = k ⇒  Bài 1.1: Tìm x, biết: a) x − = b) − − 2x = 4 c) x + − − 3,75 = − − 2,15 15 Bài 1.2: Tìm x, biết: 11 15 21 x =2 b) + : x − = c) − 2,5 : x + = d) + : − = 4 Dạng 2: A(x)= B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) a) 6,5 − : x + * Cách giải: a = b  A( x) = B( x ) Vận dụng tính chất: a = b ⇔  ta có: A( x) = B( x) ⇒  a = −b  A( x) = − B( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) x − = x + b) x − − 3x + = c) + 3x = x − d) x + − x + = Bài 2.2: Tìm x, biết: a) x + = 4x − 2 b) 7 x − − x + = c) x + = x − d) x + − x + = 5 3 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Dạng 3: A(x)= B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số khơng âm Do ta giải sau: A( x) = B ( x ) (1) Điều kiện: B(x) ≥ (*)  A( x) = B( x ) (1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒  Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*)  A( x) = − B( x) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Ta giải sau: A( x) = B( x) (1) • Nếu A(x) ≥ (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) • Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) Bài 3.1: Tìm x, biết: a) x = − 2x b) x − = 3x + c) x = x − 12 d) − x = x + Bài 3.2: Tìm x, biết: a) x + = 4x − 2 b) 7 x − − x + = c) x + = x − d) x + − x + = 5 3 Dạng 4: A(x)= B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số khơng âm Do ta giải sau: A( x) = B ( x ) (1) Điều kiện: B(x) ≥ (*)  A( x) = B( x ) (1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒  Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*)  A( x) = − B( x) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Ta giải sau: A( x) = B( x) (1) • Nếu A(x) ≥ (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) • Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) Bài 4.1: Tìm x, biết: a) x = − 2x b) x − = 3x + c) x = x − 12 d) − x = x + Dạng 5: A + B = Vận dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức 10 Cã GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN = 3.81n ≡ (mod 10) 4n+1 ⇒ 34n+1 = 10k + (k ∈ N) Ta cã: 32 n +1 n +1 +5 =310 q +2 +210 k +3 +33 = 32.310q + 23.210k + ≡ 1+0+1 (mod 2) ≡ (mod 2) mµ (2, 11) = VËy 32 n +1 n +1 +33 +522 víi ∀ n ∈ N VÝ dơ 3: CMR: 2 n +1 +7 11 víi n ∈ N Gi¶i : Ta cã: 24 ≡ (mod) ⇒ 24n+1 ≡ (mod 10) ⇒ 24n+1 = 10q + (q ∈ N) ⇒ 22 = 210 q +2 Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: 210 ≡ (mod 11) n +1 ⇒ 210q ≡ (mod 11) 22 n +1 +7 =210 q +2 +7 ≡ 4+7 (mod 11) ≡ (mod 11) VËy 22 n+ +7 11 víi n ∈ N (§PCM) Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: CMR 22 n +2 +319 víi n ∈ N Bµi 2: CMR víi ∀ n ≥ ta cã 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1  38 Bµi 3: Cho sè p > 3, p ∈ (P) CMR 3p - 2p -  42p Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyªn tè p ®Ịu cã d¹ng 2n - n (n ∈ N) chia hÕt cho p Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: Lµm t¬ng tù nh VD3 Bµi 2: Ta thÊy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1  MỈt kh¸c 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) V× 25 ≡ (mod 19) ⇒ 5n-1 ≡ 6n-1 (mod 19) ⇒ 25n-1.10 + 6n-1 ≡ 6n-1.19 (mod 19) ≡ (mod 19) Bµi 3: §Ỉt A = 3p - 2p - (p lỴ) DƠ dµng CM A  vµ A  ⇒ A  51 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN NÕu p = ⇒ A = 37 - 27 -  49 ⇒ A  7p NÕu p ≠ ⇒ (p, 7) = Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: A = (3p - 3) - (2p - 2)  p §Ỉt p = 3q + r (q ∈ N; r = 1, 2) ⇒ A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k ∈ N) víi r = 1, q ph¶i ch½n (v× p lỴ) ⇒ A = 7k - - - = 7k - 14 VËy A  mµ A  p, (p, 7) = ⇒ A  7p Mµ (7, 6) = 1; A  ⇒ A  42p Bµi 4: NÕu P = ⇒ 22 - =  NÕu n > Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: 2p-1 ≡ (mod p) ⇒ 2m(p-1) ≡ (mod p) (m ∈ N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp A  p ⇒ m = kq - Nh vËy nÕu p > ⇒ p cã d¹ng 2n - n ®ã N = (kp - 1)(p - 1), k ∈ N ®Ịu chia hÕt cho p Ph¬ng ph¸p 8: sư dơng nguyªn lý §irichlet NÕu ®em n + thá nhèt vµo n lång th× cã Ýt nhÊt lång chøa tõ trë lªn VÝ dơ 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n Gi¶i: LÊy n + sè nguyªn ®· cho chia cho n th× ®ỵc n + sè d nhËn c¸c sè sau: 0; 1; 2;…; n - ⇒ cã Ýt nhÊt sè d cã cïng sè d chia cho n 0≤ r j; q, k ∈ N ⇒ aj - aj = 1993(q - k) 111  … 1100  …  =1993( q −k ) i - j 1994 sè1 i sè0 j 111  … 11.10 =1993( q −k ) i - j 1994 sè1 mµ (10j, 1993) = 111  … 11  1993 (§PCM) 1994 sè1 Bµi 3: XÐt d·y sè gåm 17 sè nguyªn bÊt kú lµ 53 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN a1, a2, …, a17 Chia c¸c sè cho ta ®ỵc 17 sè d ¾t ph¶i cã sè d thc tËp hỵp{0; 1; 2; 3; 4} NÕu 17 sè trªn cã sè chia cho cã cïng sè d th× tỉng cđa chóng sÏ chia hÕt cho NÕu 17 sè trªn kh«ng cã sè nµo cã cïng sè d chia cho ⇒ tån t¹i sè cã sè d kh¸c ⇒ tỉng c¸c sè d lµ: + + + + = 10  10 VËy tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, … … 1993      a1994 = 1993 1994 sè1993 ®em chia cho 1994 ⇒ cã 1994 sè d thc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt sè h¹ng cã cïng sè d Gi¶ sư: = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993) ⇒ aj - aj  1994 ≤ i < j ≤ 1994 … 1993      10 ⇒ 1993 ni 1993 j - i sè1993 Ph¬ng ph¸p 9: ph¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ĩ CM A(n)  p (hc A(n)  p ) + Gi¶ sư: A(n)  p (hc A(n)  p ) + CM trªn gi¶ sư lµ sai + KÕt ln: A(n)  p (hc A(n)  p ) VÝ dơ 1: CMR n2 + 3n +  121 víi ∀ n ∈ N Gi¶i: Gi¶ sư tån t¹i n ∈ N cho n2 + 3n +  121 ⇒ 4n2 + 12n + 20  121 (v× (n, 121) = 1) ⇒ (2n + 3)2 + 11  121 (1) ⇒ (2n + 3)2  11 V× 11 lµ sè nguyªn tè ⇒ 2n +  11 ⇒ (2n + 3)2  121 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 11  121 v« lý VËy n2 + 3n +  121 VÝ dơ 2: CMR n2 -  n víi ∀ n ∈ N* 54 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Gi¶i: XÐt tËp hỵp sè tù nhiªn N* Gi¶ sư ∃ n ≥ 1, n ∈ N* cho n2 -  n Gäi d lµ íc sè chung nhá nhÊt kh¸c cđa n ⇒ d ∈ (p) theo ®Þnh lý Format ta cã 2d-1 ≡ (mod d) ⇒ m < d ta chøng minh m\n Gi¶ sư n = mq + r (0 ≤ r < m) Theo gi¶ sư n2 -  n ⇒ nmq+r -  n ⇒ 2r(nmq - 1) + (2r - 1)  n ⇒ 2r -  d v× r < m mµ m ∈ N, m nhá nhÊt kh¸c cã tÝnh chÊt (1) ⇒ r = ⇒ m\n mµ m < d còng cã tÝnh chÊt (1) nªn ®iỊu gi¶ sư lµ sai VËy n2 -  n víi ∀ n ∈ N* Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: Cã tån t¹i n ∈ N cho n2 + n +  49 kh«ng? Bµi 2: CMR: n2 + n +  víi ∀ n ∈ N* Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18  289 víi ∀ n ∈ N Híng dÉn - §¸p sè Bµi 1: Gi¶ sư tån t¹i n ∈ N ®Ĩ n2 + n +  49 ⇒ 4n2 + 4n +  49 ⇒ (2n + 1)2 +  49 (1) ⇒ (2n + 1)2  V× lµ sè nguyªn tè ⇒ 2n +  ⇒ (2n + 1)2  49 (2) Tõ (1); (2) ⇒  49 v« lý Bµi 2: Gi¶ sư tån t¹i n2 + n +  víi ∀ n ⇒ (n + 2)(n - 1) +  (1) n + 3 ⇒ (n + 2)(n - 1)  (2) n − 13 v× lµ sè nguyªn tè ⇒  Tõ (1) vµ (2) ⇒  v« lý Bµi 3: Gi¶ sư ∃ n ∈ N ®Ĩ 4n2 - 4n + 18  289 ⇒ (2n - 1)2 + 17  172 ⇒ (2n - 1)  17 17 lµ sè nguyªn tè ⇒ (2n - 1)  17 ⇒ (2n - 1)2  289 ⇒ 17  289 v« lý 55 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, xét trường hợp số dư chia n cho k Ví dụ: Chứng minh rằng: a) Tích hai số ngun liên tiếp chia hết cho b) Tích ba số ngun liên tiếp chia hết cho Gi¶i: a) Viết tích hai số ngun liên tiếp dạng A(n) = n(n + 1) Có hai trường hợp xảy : * n  => n(n + 1) 2 * n khơng chia hết cho (n lẻ) => (n + 1)  => n(n +1)  b) XÐt mäi trêng hỵp: n chia hÕt cho 3; n=3q+1; n = 3q+2 + NÕu n chia hÕt cho 3, hiĨn nhiªn A(n) chia hÕt cho + NÕu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hÕt cho + NÕu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hÕt cho Trong mäi trêng hỵp A(n) lu«n chøa mét thõa sè chia hÕt cho VËy A(n) chia hÕt cho (®pcm) Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, phân tích k thừa số: k = pq + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n)  p A(n)  q + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) C(n) chứng minh:B(n)  p C(n)  q Ví dụ 1: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) 6 b) Chứng minh: tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Gi¶i: a) Ta có = 2.3; (2,3) = Theo chứng minh có A(n) chia hết cho Do A(n) chia hết cho b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) = Vì 4 n(n +1) 2 nên A(n)  Ví dụ : Chứng minh n5 - n chia hết cho 10, với số ngun dương n (Trích đề thi HSG lớp cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Gi¶i: A(n) = n - n = n(n - 1) = n(n - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1)  n = 5k + => (n - 1)  n = 5k + => (n + 1)  n = 5k + => n2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + + 1) 5 n = 5k + => n2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + + 1) 5 56 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Vậy : A(n) chia hết cho nên phải chia hết cho 10 Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, biến đổi A(n) thành tổng (hiệu) nhiều hạng tử, hạng tử chia hết cho k (Đã học tính chất chia hết tổng lớp 6) (Liên hệ: A(n) khơng chia hết cho k ) Ví dụ 1: Chứng minh n3 - 13n (n > 1) chia hết cho (Trích đề thi HSG cấp II tồn quốc năm 1970) Gi¶i: n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho ; 12n 6 Do A(n)  Ví dụ 2: Chứng minh n2 + 4n + khơng chia hết cho , với số n lẻ Gi¶i: Với n = 2k +1 ta có: A(n) = n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = 4k2 + 4k + + 8k + + = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + A(n) tổng ba hạng tử, hai hạng tử đầu chia hết cho , có hạng tử khơng chia hết cho Vậy A(n) khơng chia hết cho Cách 4: Phân tích A(n) thành nhân tử Nếu có nhân tử chia hết cho k A(n) chia hết cho k Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) khơng chia hết cho k A(n) khơng chia hết cho k A(n) = k B(n) Trêng hỵp nµy thêng sư dơng c¸c kÕt qu¶: * (an - bn ) chia hÕt cho (a - b) víi (a ≠ b) * (an - bn ) chia hÕt cho (a - b) víi (a ≠ ± b; n ch½n) (an - bn ) chia hÕt cho (a - b) víi (a ≠ - b; n lỴ) Ví dụ 1: Chứng minh : + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 15 Gi¶i: Ta có: + 22 +23 + + 260 = (2 + 22 + + 24) + (25+ + 28) + + (257 + + 260) = 2(1 + + + 8) + 25(1 + + + 8) + + 257(1 + + + 8) = 15.(2 + 25 + + 257)  15 Ví dụ 2: Chøng minh r»ng: 27 + 37 + 57 chia hÕt cho Gi¶i: V× lµ sè lỴ nªn (27 + 37) chia hÕt cho (2 + 3) hay 27 + 37 chia hÕt cho => 27 + 37 + 57 chia hÕt cho (®pcm) 57 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN mµ 57 chia hÕt cho Cách 5: Dùng ngun tắc Dirichlet: Ngun tắc Dirichlet phát biểu dạng hình ảnh sau: Nếu nhốt k thỏ vào m chuồng mà k> m phải nhốt hai thỏ vào chung chuồng Ví dụ: Chứng minh m + số ngun có hai số có hiệu chia hết cho m Gi¶i: Chia số ngun cho m ta số dư m số 0; ; 2; 3; ; m - Theo ngun tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m phải có hai số có số dư Do hiệu hai số chia hết cho m Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp tốn học: Để chứng minh A(n)  k ta làm theo trình tự sau: Thử với n = 2(Tức số n nhỏ chọn ra) Nếu sai => Dừng.Nếu A(1) k.Tiếp tục: Giả sử A(k) k Chứng tỏ A(k + 1) k Nếu => Kết luận : A(n) k Ví dụ: Chứng minh : 16n - 15n - chia hết cho 225 Gi¶i: Đặt A(n) = 16n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - = 225 => A(1) Giả sử A(k) : A(k) = 16k - 15k -1  225 Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức c/m: 16k + - 15(k + 1) - 225 Thật vậy, 16k+1 - 15(k + 1) - = 16 16k - 15k - 15 - = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - = 15.16k + 16k - 15k -15 - = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = (16k - 15k - 1) + 15(16 - 1) (16k-1 + +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ + 1) 225 Khi gặp tốn chứng minh INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET với INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?n" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?n" \* MERGEFORMATINET số tự nhiên, ta thường dùng phương pháp quy nạp Cụ thể lược đồ cách giải là: INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(1) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(1) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET • 58 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Giả sử INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET , ta chứng minh INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET Nhưng để ý INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?a \\vdots c" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?a \\vdots c" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex? b \\vdots c \\Leftrightarrow a-b \\vdots c" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?b \\vdots c \\Leftrightarrow a-b \\vdots c" \* MERGEFORMATINET • Vì xem biến dạng phương pháp quy nạp, để chứng minh INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET ta qua hai bước: INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(1) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(1) \\vdots A" \* MERGEFORMATINET • INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1)-F(n) \\vdots A, \\forall n \\geq 1" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1)-F(n) \\vdots A, \\forall n \\geq 1" \* MERGEFORMATINET • Áp dụng phương pháp này, ta giải loạt tốn chia hết cồng kềnh Ví dụ 1: Chứng minh INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?\\forall n \\in \\mathbb{N}, n\\geq 1" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?\\forall n \\in \\mathbb{N}, n\\geq 1" \* MERGEFORMATINET có INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n)=16^n-15n-1" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n)=16^n-15n-1" \* MERGEFORMATINET chia hết cho 125 Gi¶i: Có INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(1)=0 \\vdots 125" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex? F(1)=0 \\vdots 125" \* MERGEFORMATINET Xét INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1)-F(n)=15.16^n15=15(16^n-1)" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1)-F(n)=15.16^n-15=15(16^n-1)" \* 59 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?16^n-1=(15+1)^n-1 \\vdots 15" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?16^n1=(15+1)^n-1 \\vdots 15" \* MERGEFORMATINET nên INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1)-F(n) \\vdots 125" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?F(n+1)F(n) \\vdots 125" \* MERGEFORMATINET (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?\\forall n \\in \\mathbb{N}, n\\geq 1" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?\\forall n \\in \\mathbb{N}, n\\geq 1" \* MERGEFORMATINET có INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(n)=3^{2n+3}+40n-27" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(n)=3^{2n+3}+40n-27" \* MERGEFORMATINET chia hết cho 64 Gi¶i: Có INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(1)=256 \\vdots 64" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex? G(1)=256 \\vdots 64" \* MERGEFORMATINET Xét INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(n+1)G(n)=3^{2(n+1)+3}+40(n+1)-3^{2n+3}-40n=8.3^{2n+3}+40=8(3^{2n+3}+5)" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(n+1)G(n)=3^{2(n+1)+3}+40(n+1)-3^{2n+3}-40n=8.3^{2n+3}+40=8(3^{2n+3}+5)" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(n+1)-G(n) \\vdots 64 \\Leftrightarrow H(n)=3^{2n+3}+5 \\vdots 8" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?G(n+1)-G(n) \\vdots 64 \\Leftrightarrow H(n)=3^{2n+3}+5 \\vdots 8" \* MERGEFORMATINET Lại áp dụng phương pháp với INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?H(n)" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?H(n)" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?H(1)=248 \\vdots 8" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex? H(1)=248 \\vdots 8" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?H(n+1)H(n)=3^{2(n+1)+3}-3^{2n+3}=3^{2n+3}(3^2-1) \\vdots 8" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.codecogs.com/eq.latex?H(n+1)-H(n)=3^{2(n+1)+3}60 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 3^{2n+3}=3^{2n+3}(3^2-1) \\vdots 8" \* MERGEFORMATINET Cách 7: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A(n)  k ta chứng minh A(n) khơng chia hết cho k sai A => B  B => A Ví dụ: Chứng minh a2 + b2 a b chia hết cho Gi¶i: Giả sử a b khơng chia hết cho => a = 3k ± ; b = 3h ± a2 + b2 = (3k ± 1)2 + (3h ± 1)2 = 9k2 ± 6k + + 9h2 ± 6h + = 3(3k2 + 3h2 ± 2k ± 2h) + khơng chia hết cho mâu thuẫn với gt Tương tự cho trường hợp có hai số chia hết cho Do a b phải chia hết cho 4.Củng cố: Dặn dò: xem làm lại tốn học Ngày dạy: 27 /11/2016 BUỔI Tiết 22+23+24 BẤT ĐẲNG THỨC I.MỤC TIÊU BÀI HỌC: • Kiến thức: Học sinh nắm số định nghĩa tính chất bất đẳng thức • Kỹ năng: rèn kỹ làm dạng tập bất đẳng thức • Thái độ: có thái độ tích cực học II.CHUẨN BỊ: 61 III GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN GV: soạn giáo án, bảng phụ HS: học chuần bị kiến thức có liên qn đến nội dung học CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: Ổn định tổ chức: Kiểm tra cũ: ( giờ) Bài mới: I LÝ THUYẾT * Định nghĩa tính chất: a ĐN: a> b a-b số dương b Tính chất: Cần ý đến tính chất sau bất đẳng thức: - Cộng số vào vế bất đẳng thức: a >b => a+c > b+ c - Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: a >b , c > => ac > bc - Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức: a> b,c < => ac < bc +.Một số tính chất áp dung từ tỉ lệ thức: Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ CM: a c với b> 0; d >0 b d a c < ⇔ ad < bc b d Giải: a c  <  ad cb < ⇒ ad < bc + Có b d ⇒ bd db  b > 0; d >  + Có: ad < bc  ad bc a c < ⇒ < ⇒ b > 0; d >  bd db b d Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a+c c < ⇒ < < (Bài 5/33 SGK Đ7) b d b b+d d Giải: a c  <  + b d  ⇒ ad < bc (1) thêm vào vế (1) với ab ta có: b > 0; d >  ⇒ ad + ab < bc + ab a( b + d ) < b( c + a) ⇒ a a+c < ( 2) b b+d + Thêm vào hai vế (1) dc ta có: 62 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN ( 1) ⇒ ad + dc < bc + dc ⇒ d ( a + c) < c ( b + d ) ⇒ a+c c < ( 3) b+d d + Từ (2) (3) ta có: Từ a c a a+c c < ⇒ < < (đpcm) b d b b+d d Tính chất 3: a; b; c số dương nên a Nếu th ì b Nếu B BÀI TẬP Bài Giả sử x = , y = (a, b, m ∈ Z, m > 0) x < y Hãy chứng tỏ chọn z = ta có x < z < y Giải: Theo đề x = , y = (a, b, m ∈ Z, m > 0) Vì x < y nên a < b Ta có x = , y = , z = Vì a < b nên a + a < a + b hay 2a < a + b, x < z (1) Lại a < b nên a + b < b + b hay a + b < 2b, z < y (2) Từ (1) (2) suy x < z < y Kết luận cho thấy: trục số hai điểm hữu tỉ khác có điểm hữu tỉ có vơ sơ điểm hữu tỉ Bài : So sánh số sau: a, 224 316 ; b, 4100 vµ 2200 ; Giải: a, = (2 ) = 88; 316 = (32)8 = 98 Vì 88 < 98 suy 224 < 316 b, Ta cã: 4100 = (22)100 = 22.100 = 2200 ⇒4100 = 2200 Bài 3: Tìm số tự nhiên n, biết: a, 2.16 ≥ 2n >4; b, 9.27 ≤ 3n ≤ 243 Giải: a, Ta có 2.16 = 25 ; 4= 22 => 25 ≥ 2n > 22 => ≥ n >2 Vậy: n ∈ {3; 4; 5} b, Ttự phần a, ta có: 35 ≤ 3n ≤ 35 => ≤ n ≤ Vậy: n=5 24 BT 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 63 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN A = x − 2001 + x − = x − 2001 + − x ⇒A ≥ x − 2001 + − x A ≥ − 2000 A ≥ 2000 Vậy giá trị nhỏ A 2000 ⇔ (x-2001) (1-x) dấu ⇔ ≤ x ≤ 2001 Dạng : biểu thức có dạng tổng hiệu: Bài Tìm giá trị x cho : a.Biểu thức A = 2x – có giá trị dương b.Biểu thức B = -2 x có giá trị âm Giải a.2x – >0  x> ½ vứi x > ½ A >0 b.8 -2x < 8< 2x  < x  x> với x > B < Dạng : biểu thức đưa dạng tích Bài 2:Tìm giá trị x để biểu thức A = (x-1)(x+3) có giá trị âm Giải A- Vậy -3< x< A 0 b với 00  x3 Có thể xét bảng sau: X X + + x-3 + X(x-3) + 0 + Dạng : biểu thức có dạng thương Bài 3: Tìm giá trị x để biểu thức A = ( x+3) / (x-1) có giá trị âm 64 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Giải Để A <  biểu thức tử mẫu phải trái dấu Ta xét bảng sau: X X+ x-1 (X- 1)(x+3) + Từ bảng ta có: A <  -3