n n - Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn - Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm - Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch
Trang 1Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
n n n
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Trang 2Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
5 11
5 5 , 0 625 , 0
12
3 11
3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3
5 5 , 2
75 , 0 1 5 ,
−
+ +
− +
− +
− +
1
3
1 3
1 3
1 3
1 12 : 3
10 10
3 1
4
3 46 25
1 230 6
5 10 27
5 2 4
1 13
4 3 2 1
) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9
1 7
1 3
1 2
1 ) 100 99
3 2 1 (
− + +
− +
Trang 3Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
50
31 93
14 1 3
1 5 12 6
1 6
5 4
19
2 3
1 6 15 7
3 4 31
11 1
1
3
1 3
1 2
4
3 125 505
, 4 3
4 4 : 624 , 81
2
2 2
1 2
1
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1
2004 2002
4 2 4 6
( 2012 ) ( 2012 )
+ +
HD: Ta có (a + 2012b)2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 b 2 = a 2 + 2.2012.ab + 2012 2 ac
= a( a + 2.2012.b + 20122 c)
(b + 2012c)2 = b 2 + 2.2012.bc + 2012 2 c 2 = ac+ 2.2012.bc + 2012 2 c 2
= c( a + 2.2012.b + 20122 c)
Trang 4Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
( 2012 ) ( 2012 )
+ +
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c b
a = th×
d c
d c b a
b a
3 5
3 5 3 5
3 5
−
+
=
− +
d c b a
b a
3 5
3 5 3 5
3 5
−
+
=
− +
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
a = Chøng minh r»ng:
22 22
d c
b a cd
b a d c
b a
HD : Xuất phát từ
d
c b
a = biến đổi theo các
d c b a b
d c b a a
d c b
2 + + + = + + + = + + + = + + +
TÝnh
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
+
+ + +
+ + +
+ + +
d c b a b
d c b a a
d c b
Trang 5Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an ⇒
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a
M
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
Nếu a + b + c + d ≠0 ⇒ a = b = c = d ⇒
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
+
+ + +
+ + +
+ + +
z c
b a
y c
b a
= +
Th×
z y x
c z
y x
b z
y x
= +
b) Cho:
d
c c
b b
a = =
Chøng minh:
d
a d c b
c b
+
HD : a) Từ
c b a
z c
b a
y c
b a
= +
x t y x
t z x t
z y t z
y x P
+
+ + +
+ + +
+ + +
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z
Trang 6Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
a d b a
d c a d
c b d c
b a M
+
+ + +
+ + +
+ + +
Trang 7Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :
z z
x
y y
z
x
+ +
=
− +
= + +
= +
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
216
3 64
3 8
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A ≥ 0 với mọi A ; , 0
, 0
A A A
A A
≥
= − <
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
A+ B ≥ +A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB ≥0; A B− ≥ A− B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n ≥ 0 với mọi A ; - A2n ≤0 với mọi A
Am = An ⇔m = n; An = Bn ⇒ A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = ± B ( nếu n chẵn)
Trang 8Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị
đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a) x− 2011 = −x 2012 b) x− 2010 + −x 2011 2012 =
Trang 9Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Nếu x ≤ 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 ⇒x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x ≥ 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ⇒ x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :x− + − + − + − = 1 x 3 x 5 x 7 8
HD : ta có x− 2006y ≥ 0với mọi x,y và x− 2012 ≥ 0 với mọi x
Suy ra : x− 2006y + −x 2012 ≥ 0 với mọi x,y mà x− 2006y + −x 2012 ≤ 0
Trang 10Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
+ Nếu m – n ≥ 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà
VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
x x
Trang 11Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2 Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
Trang 12Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Do p nguyên tố nên 2013 −q2 M 25 2 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q
Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: 2n− 1 chia hÕt cho 7
HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7
Với n ≥ 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N∈ *)
Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A M 7
Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khôngchia hết cho 7
Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 khôngchia hết cho 7 Vậy n = 3k với *
Trang 13Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
A =
3
2 1
+ +
HD : 2012 5
1006 1
x x
+ + ⇒2009 1006M x+1 ⇒x là số CP
Với x >1 và x là số CP thì 1006 x+ > 1 2012 2009 > suy ra 2009 không chia hết cho 1006 x+ 1
Với x = 1 thay vào không thỏa mãn
Với x = 0 thì 2009 :1006 x+ = 1 2009
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 với mọi a,b
* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b
*A 2n ≥ 0 với mọi A, - A 2n ≤ 0 với mọi A
* A ≥ ∀ 0, A , − A ≤ ∀ 0, A
* A + B ≥ +A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B ≥ 0
* A − B ≤ −A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B ≥ 0
2 Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2 ≥ 0 với mọi a,b
Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2 ≥ 0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
− khi x =
2
b a
Trang 14Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
2013 2011
a a
+ +
* Dạng vận dụng A 2n ≥ 0 với mọi A, - A 2n ≤ 0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
8 7
8 7
A+ B ≥ +A B , ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A.B ≥ 0
A− B ≤ −A B, ∀A B, dấu “ = ” xẩy ra khi A,B ≥ 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)2 + y x− + 3
Trang 15Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
b) B = 2012− −2011x 2010HD: a) ta có 2
(x− 2) ≥ 0 với mọi x và y x− ≥ 0 với mọi x,y ⇒ A ≥ 3 với mọi x,y
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi
2
2 0
Suy ra B = (x− 2010 + 2012 −x) + −x 2011 ≥2 Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2)
xẩy ra dấu “=” hay ( 2010)(2012 ) 0 2011
2011 0
x x
Trang 16Đinh văn Quõn – Giỏo viờn trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
HD : + Nếu m + n chia hết cho p ⇒ p mM ( − 1) do p là số nguyờn tố và m, n ∈ N*
Bài 4: a) Số A= 10 1998 − 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 7
a) Chứng minh rằng: 3n+ 2 − 2n+ 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c ∈ Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a+ 2b 17 ⇔ 10a+b 17 (a, b ∈ Z )
b) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c (a, b, c nguyên)
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta cú 17a – 34 b M 17 và 3a + 2b M 17 ⇒ 17a− 34b+ 3a+ 2 17bM ⇔ 2(10a− 16 ) 17b M
⇔ 10a− 16 17bM vỡ (2, 7) = 1 ⇔ 10a+ 17b− 16 17bM ⇔ 10a b+ M 17
b) Ta cú f(0) = c do f(0) M 3 ⇒cM 3
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hếtcho 3 ⇒ 2 3bM ⇒bM 3 vỡ ( 2, 3) = 1
b) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n − 1 là hợp số
HD : b) ta cú (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hờt cho 3 và 2n + 1 là
số nguyên tố (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số
Trang 17Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
c c b
b b a
a M
+
+ +
+ +
Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng : a b+ ≥ 2 ab (1) , a b c+ + ≥ 3 3 abc (2) với a, b, c ≥ 0
HD : a b+ ≥ 2 ab ⇔ + (a b) 2 ≥ 4ab⇔a2 + 2ab b+ ≥ 2 4ab⇔a2 − 2ab b+ ≥ ⇔ − 2 0 (a b) 2 ≥ 0(*)
Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng
Trang 18Đinh văn Quân – Giáo viên trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Dấu “ =” xẩy ra khi a = b
2
+ +
+ + +
+ +
z x
z y
y z
y x x
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: ab+bc+ca≤ 0
⇒ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 ≤ 0
Bài 3 Cho ®a thøc f(x) =ax2 +bx+c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2)
cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn
Trang 19Đinh văn Quõn – Giỏo viờn trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
- Tớnh chất đại lượng tỉ lệ thuận :
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :
y = k.x ⇔ 1 2 3
n n
- Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn
- Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm
- Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
- Áp dụng tớnh chất về đại lượng tỉ lệ và tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để giải
Bài 1 : Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờnbốn cạnh là 59 giõy
Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A
trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau
Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng
Trang 20Đinh văn Quõn – Giỏo viờn trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B
Bài 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận
tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Bài 5 : Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau Thời gian hoàn
thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ
là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờucụng nhõn ?
Bài 6 : Ba ụ tụ cựng khởi hành đi từ A về phớa B Vận tốc ụ tụ thứ nhất kộm ụ tụ thứ
hai là 3 Km/h Biết thơi gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quóng đường ABlần lượt là : 40 phỳt, 5
8 giờ , 5
9 giờ Tớnh vận tốc mỗi ụ tụ ?
PHẦN HèNH HỌC
I Một số phương phỏp chứng minh hỡnh hoc
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú
- Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn
- Dựa vào tớnh chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
- Dựa vào định lớ Py-ta- go để tớnh độ dài đoạn thẳng
2.Chứng minh hai gúc bằng nhau:
P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai gúc đú
- Chứng minh hai gúc đú là hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai gúc đú là cặp gúc so le trong ,đồng vị
- Dựa vào tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc
3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
P 2 : - Dựa vào số đo của gúc bẹt ( Hai tia đối nhau)
- Hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tớnh chất 3 đường trung tuyến, phõn giỏc, trung trực, đường cao
4 Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc
P 2 : - Tớnh chất của tam giỏc vuụng, định lớ Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuụng gúc
- Tớnh chất 3 đường trung trực, ba đường cao
5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )
P 2 : - Dựa vào tớnh chất của cỏc đường trong tam giỏc
6 So sỏnh hai đoạn thẳng, hai gúc :
Trang 21Đinh văn Quõn – Giỏo viờn trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai gúc vào một tam giỏc từ đú vận định lớ về quan
hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc , BĐT tam giỏc
- Dựa vào định lớ về quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu, đường xiờn
Cú : ãBAE= 90 0 +BAC DACã = ã
* Gọi I là giao điểm của AB và CD
Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC ⊥BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú
∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn , Từ B kẻ BK ⊥CD tại D thỡ ba điểm E, K, B thẳng hàng
Ta cú bài toỏn 1.2
Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK ⊥CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng
HD : Từ bài 1 chứng minh được DC ⊥BE mà BK ⊥CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng
Phõn tớch tỡm hướng giải
HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC
Để CM MA ⊥BC ⇒ ta cần CM ∆AHC vuụng tại H
Trang 22Đinh văn Quõn – Giỏo viờn trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
⇒ EAD ADNã + ã = 180 0( cặp gúc trong cựng phớa) mà ãEAD BAC+ã = 180 0 ⇒ ãBAC=ãADN
Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và ãBAC=ãADN ( chứng minh trờn ) ⇒∆ABC = ∆DNA (c.g.c) ⇒ Nả1 =ãACB
Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , ãBAC=ãADN và Nả1 =ãACB
⇒ ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇒ ∆AHC vuụng tại H hay MA ⊥BC
* Khai thỏc bài toỏn 1.3
+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA⊥BC , ngược lại
nếu AH ⊥BC tại H thỡ tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta cú bài toỏn 1.4
Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE
HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau:
Kẻ DQ ⊥ AM tại Q, ER⊥AM tại R
Ta cú : + DAQ HBHã =ã ( Cựng phụ ãBAH )
Trang 23Đinh văn Quõn – Giỏo viờn trường THCS Nghĩa Hồng – Nghĩa Đàn – Nghệ an
AD = AB (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)
⇒ DQ = AH (1)
+ãACH =ãEAR ( cựng phụ ãCAH )
AC = AE (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)
⇒ER = AH ( 1) Từ (1) và (2) ⇒ ER = DQ
Lại cú Mả 1 =Mả 2 ( hai gúc đối đỉnh )
⇒ ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) ⇒MD = ME hay M là trung
điểm của DE
+ Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MA⊥DE , ngược lại
nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H trung điểm của
BC
Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE
HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4
Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’
Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
⇒ A’B = AC ( = AE) và HAC HA Bã = ã '
⇒ AC // A’B ⇒ ãBAC ABA+ ã ' 180 = 0 ( cặp gúc trong cựng phớa)
Mà DAE BACã +ã = 180 0 ⇒DAEã =ãABA'
Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)
DAE=ABA ⇒∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)
⇒ ãADE B= ã AA' mà ãADE B+ãAA ' 90 = 0 ⇒ãADE MDA+ã = 90 0
Suy ra HA vuụng gúc với DE
Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D
và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC