Bai 2 mo dau ve day so p1 BG

Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 MỞ ĐẦU VỀ DÃY SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] I ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ + Dãy số vô hạn Một hàm số u xác định tập số tự nhiên N gọi dãy số vô hạn (hay gọi dãy số) Kí hiệu u(n) viết gọn (un) + Dãy số hữu hạn Một hàm số u xác định tập M = {1; 2;3 m} gọi dãy số hữu hạn Kí hiệu u(n) viết gọn (un) II CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Khi un = f (n) f hàm số xác định Ví dụ [ĐVH]: Với un = n2 − 1; n ≥ ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15 Ví dụ [ĐVH]: Viết số hạng dãy số sau: 3n + 1 + (−2) n a) un = b) un = n +1 n +1 d) un = 2n + 2n − e) un = n +1 n2 + c) un = n +1 − n  1 f) un =  +   n n Dãy số cho hệ thức truy hồi Khi đó, dãy số xác định số hạng đầu vài số hạng đầu u = a u = a; u2 = b  Có hai dạng cho số hạng hệ thức truy hồi thường gặp  un = f (un−1 ) un = f (un−1; un−2 ) u = Ví dụ [ĐVH]:  ⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + = 7; u3 = 3u2 + = 22 un = 3un −1 + Ví dụ [ĐVH]: Viết số hạng dãy số Dự đoán công thức un chứng minh công thức phương pháp quy nạp? u1 = u1 = u1 = −1 a)  b)  c)  un +1 = un + 2n + 1; n ≥ un +1 = un + 3; n ≥ un +1 = + un ; n ≥ Hướng dẫn giải: u1 = a)  ⇒ u1 = 1; u2 = u1 + = 4; u3 = u2 + = 9; u4 = u3 + = 16; u5 = u4 + = 25 un +1 = un + 2n + Từ ta nhận thấy un = n ; n ≥ 1, (*) Ta chứng minh (*) quy nạp +) Với n = ta có u1 = 1, (*) +) Giả sử (*) với n = k, tức uk = k ; k ≥ +) Ta cần chứng minh (*) với n = k + 1, tức uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ Thật vậy, uk +1 = uk + 2k + = k + 2k + = (k + 1)2 ⇒ (*) Vậy un = n ; n ≥ u1 = −1 b)  ⇒ u1 = −1; u2 = u1 + = 2; u3 = u2 + = 5; u4 = u3 + = 8; u5 = u4 + = 11 un +1 = un + Từ ta nhận thấy un = 3n − 4, (*) Ta chứng minh (*) quy nạp +) Với n = ta có u1 = −1, (*) với n = +) Giả sử (*) với n = k, tức uk = 3k − Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Ta cần chứng minh (*) với n = k + 1, tức uk +1 = 3(k + 1) − Thật vậy, uk +1 = uk + = 3k − + = 3k − = 3(k − 1) + ⇒ (*) Vậy un = 3n − u1 = c)  ⇒ u1 = = 9; u2 = + u12 = 10; u3 = + u22 = 11; u4 = + u32 = 12; u5 = + u42 = 13 un +1 = + un Ta nhận thấy un = n + 8, (*) Ta chứng minh (*) quy nạp +) Với n = ta có u1 = 3, (*) với n = +) Giả sử (*) với n = k, tức uk = k + +) Ta cần chứng minh (*) với n = k + 1, tức uk +1 = (k + 1) + = k + Thật vậy, uk +1 = + uk2 = + k + = k + ⇒ (*) Vậy un = n + u1 =  Ví dụ [ĐVH]: Cho dãy số (un ) xác định công thức  un +1 = − un + un + 1; n ≥ a) Tính u2, u3, u4 b) Chứng minh un +3 = un ∀n ∈ ℕ* Hướng dẫn giải: u1 = 5  a) Ta có  ⇒ u2 = − u12 + u1 + = 2; u3 = − u22 + u2 + = 0; u4 = − u32 + u3 + = 2 2 2 un +1 = − un + un + b) Ta chứng minh un +3 = un , (*) ∀n ∈ ℕ* quy nạp + Với n = ta có u4 = u1, theo phần a + Giả sử (*) với n = k, tức uk +3 = uk + Ta chứng minh (*) với n = k + 1, tức cần chứng minh uk + = uk +1 5 Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có uk + = − uk2+3 + uk +3 + = − uk2 + uk + = uk +1 ⇒ (*) 2 2 * Vậy un +3 = un ∀n ∈ ℕ Ví dụ [ĐVH]: Viết số hạng dãy số sau dự đoán số hạng tổng quát dãy số u1 = u1 = u1 =  a)  b) c) u   n un +1 = un + 2n + 1; n ≥ un +1 = un + 1; n ≥ un +1 = u + ; n ≥ n  Đ/s: a) un = n b) un = n c) un = n2 III DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM Dãy số (un) gọi tăng un < un+1; ∀n ∈ ℕ* Dãy số (un) gọi giảm un > un +1; ∀n ∈ ℕ* Một dãy số tăng, giảm gọi chung dãy số đơn điệu Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1 − un +) Nếu H > dãy số cho dãy tăng +) Nếu H < dãy số cho dãy giảm un +1 un +) Nếu T > ⇔ un+1 > un ⇒ dãy số cho dãy tăng +) Nếu T < ⇔ un+1 < un ⇒ dãy số cho dãy giảm Phương pháp 2: Nếu un > ta lập tỉ số T = Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ [ĐVH]: Xét tính đơn điệu dãy số sau: n a) un = 2n + b) un = n c) un = n n +1 Facebook: LyHung95 d) un = n +1 − n n Hướng dẫn giải: a) Theo cách cho dãy số ta un = 2n + 3; un +1 = 2(n + 1) + = 2n + ⇒ un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) > Suy un +1 > un ⇒ dãy số cho dãy tăng b) Ta có un = Giả sử V ậy 2n ; un +1 = n + un+1 n + 2n n + 1 n + ⇒ = = = un n 2n+1 2n +1 n n un +1 n + 1 n +1 = >1⇔ > ⇔ n + > 4n ⇔ 3n < ⇒ vô lý n un n un +1 < ⇔ un +1 < un ⇒ dãy số cho dãy số giảm un c) Ta có un = = n n n +1 n +1 n +1 n (n + 1)(n2 + 1) − n(n + 2n + 2) ; = = ⇒ − = − = u u u n +1 n +1 n (n + 1)2 + n + 2n + (n2 + 1)(n + 2n + 2) n2 + n + 2n + n + n3 + n + n + − n − n − 2n −n2 − n + = < ∀n ≥ ⇒ (un ) dãy số giảm (n + 1)(n + 2n + 2) (n + 1)(n + 2n + 2) n +1 − n n +1 n+2 = − ⇒ un +1 = −1 n n n +1  n +   n +1  n+2 n + n n + − (n + 1) n + 1) Khi ta có un +1 − un =  − 1 −  − 1 = − = n +1 n n(n + 1)  n +1   n  Giả sử un +1 − un > ⇔ n n + − (n + 1) n + 1) > ⇔ n n + > (n + 1) n + 1) ⇔ n ( n + 2) > (n + 1)3 d) un = ⇔ n3 + 2n2 > n3 + 3n2 + 3n + ⇔ n2 + 3n + < ⇒ vô lý Vậy un +1 − un < ⇒ (un ) dãy số giảm IV DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số (un) gọi bị chặn tốn số M cho un ≤ M ; ∀n ∈ ℕ* Dãy số (un) gọi bị chặn tốn số m cho un ≥ m; ∀n ∈ ℕ* Dãy số (un) gọi bị chặn tốn số M m cho m ≤ un ≤ M ; ∀n ∈ ℕ* Chú ý: +) Trong điều kiện bị chặn không thiết phải xuất dấu ‘=’ +) Nếu dãy số tăng bị chặn u1; dãy số giảm bị chặn u1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Xét tính đơn điệu dãy số sau: n −1 2n + 1 a) un = − b) un = c) un = n +1 5n + n 2n − 3n − 2n + e) un = f) un = n + − n g) un = n +1 n +1 3n + ( −1) n Bài 2: [ĐVH] Cho dãy số (un), với un = 4n + (−1)n +1 a) Tính số hạng dãy, nêu nhận xét tính đơn điệu dãy số 3n + b) Tính u2n u2n + Chứng minh < un ≤ 4n − na + Bài 3: [ĐVH] Với giá trị a dãy số (un), với un = n +1 a) dãy số tăng b) dãy số giảm Bài 4: [ĐVH] Xét tính bị chặn dãy số sau: d) un = 2n + h) un = n +1 −1 n Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG n2 + 7n + b) un = 2n − 5n + Bài 5: [ĐVH] Xét tính bị chặn dãy số sau: n −1 a) un = b) un = 2n − n2 + a) un = c) un = c) un = 2n − Facebook: LyHung95 2n n2 + d) un = n(n + 1) d) un = n + 2n + n2 + n + n+3 giảm bị chặn n +1 1 1 Bài 7: [ĐVH] Chứng minh dãy số un = tăng bị chặn + + + + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) Bài 6: [ĐVH] Chứng minh dãy số un = Bài 8: [ĐVH] Chứng minh dãy số un = n2 + dãy số bị chặn 2n − Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! ... +1 n +1 n +1 n (n + 1)(n2 + 1) − n(n + 2n + 2) ; = = ⇒ − = − = u u u n +1 n +1 n (n + 1 )2 + n + 2n + (n2 + 1)(n + 2n + 2) n2 + n + 2n + n + n3 + n + n + − n − n − 2n −n2 − n + = < ∀n ≥ ⇒ (un )... minh un +3 = un ∀n ∈ ℕ* Hướng dẫn giải: u1 = 5  a) Ta có  ⇒ u2 = − u 12 + u1 + = 2; u3 = − u 22 + u2 + = 0; u4 = − u 32 + u3 + = 2 2 2 un +1 = − un + un + b) Ta chứng minh un +3 = un , (*) ∀n... + = 3k − = 3(k − 1) + ⇒ (*) Vậy un = 3n − u1 = c)  ⇒ u1 = = 9; u2 = + u 12 = 10; u3 = + u 22 = 11; u4 = + u 32 = 12; u5 = + u 42 = 13 un +1 = + un Ta nhận thấy un = n + 8, (*) Ta chứng minh (*)