12 PP dat an phu giai he pt p1 BG

Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]  x − − y − = 27 − x Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x − ) + = y Hướng dẫn giải: x ≥ ĐK  từ phương trình (2) ta có ( x − ) = y − ⇒ y − = ( x − ) thay vào phương trình y ≥1 (1) ta x − = 27 − x + x − x + ⇔ x − + x3 − x + x − 31 = (*) Xét hàm số f ( x ) = x − + x − x + x − 31, với x ≥ ⇒ f ' ( x) = + x − x + > ∀x > 2 x−2 Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) mặt khác f ( 3) = ⇒ x = nghiệm (*) thay vào Phương trình (2) ta y = nghiệm hệ phương trình x = 3; y =  x + y + x + y = 18 Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình   xy ( x + 1)( y + 1) = 72 Phân tích Đây hệ đối xứng loại I Hướng Biểu diễn phương trình theo tổng x + y tích xy Hướng Biểu diễn phương trình theo x + x y + y Rõ ràng hướng tốt Hướng dẫn giải:  x + x = a , a ≥ − 2  a + b = 18  a = 6, b = 12 ( x + x) + ( y + y ) = 18 Đặt  ta  Hệ ⇔  ⇔ ( x + x)( y + y ) = 72 ab = 72  a = 12, b =  y + y = b, b ≥ −  a =  x = 2, x = −3  x + x = TH  ⇒ ⇔ b = 12  y + y = 12  y = 3, y = −4  x = 3, x = −4 TH Đổi vai trò a b ta   y = 2, y = −3 Vậy tập nghiệm hệ S = {(2;3); (2; −4); (−3;3); (−3; −4); (3; 2); (−4; 2); (3; −3); (−4; −3)} Nhận xét Bài toán hình thành theo cách sau a + b = 18 Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản  (I) ab = 72 1) Thay a = x + x, b = y + y vào hệ (I) ta hệ  x + y + x + y = 18 (1)  ví dụ  xy ( x + 1)( y + 1) = 72 2) Thay a = x + xy, b = y − xy vào hệ (I) ta hệ  x + y = 18 (2)  2  xy ( x − y ) = 72 3) Thay a = x + x, b = x + y vào hệ (I) ta hệ Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x + x + y = 18 (3)   x( x + 2)(2 x + y ) = 72 1 4) Thay a = x + , b = y + vào hệ (I) ta hệ x y ( x + y ) xy + x + y = 18 xy (4)  2 ( x + 1)( y + 1) = 72 xy 5) Thay a = x + xy, b = y − xy vào hệ (I) ta hệ  x + y + xy = 18 (5)  …  xy ( x + y )( y − x) = 72 - Như vậy, với hệ xuất (I), cách thay biến ta thu nhiều hệ pt a + b = làm tương tự ta lại thu - Thay hệ xuất phát (I) hệ xuất phát (II)  2 a − b = 21 hệ khác Chẳng hạn 6) Thay a = x + y , b = xy vào hệ (II) ta hệ 7) Thay 8) Thay 9) Thay 10) Thay  x + y + xy = (6)  4 2  x + y + x y = 21 1 a = x + , b = y + vào hệ (II) ta hệ x y 1  x + y + x + y =  (7)   x − y + − = 21  x2 y2 x a = x + , b = vào hệ (II) ta hệ y y  xy + x + = y (8)  2 ( xy + 1) + x = 21y a = x + y, b = vào hệ (II) ta hệ y ( x + y ) y + = y (9)  2 ( x + y − 2) y − 21 y = a = x + x, b = y + x vào hệ (II) ta hệ  x + y + x = (10)  2  x − y + x( x − y ) = 21 Như vậy, biết cách tạo toán nghĩ cách giải toán khác Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ PT sau  x( x + y + 1) − =  a)  ( x + y ) − x + =  x + y + x y + xy + xy = −  b)   x + y + xy (1 + x) = −   x + y − xy = c)   x + + y + =  x + y + 2( x + y ) = d)   y ( y − x) − x = 10 Hướng dẫn giải: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   x + y + − x =  a) ĐK x ≠ Hệ ⇔  Đặt x + y = a, = b ta hệ x ( x + y ) −   + =     x  a = 2, b = x = y = a + − 3b = a = 3b −   ⇔ ⇔ ⇒   1 2   a b x = 2, y = − = , = a − b + = b − − b + = (3 1)     2  2 ( x + y ) + xy ( x + y + 1) = − b) Hệ ⇔  Đặt x + y = a, xy = b ta ( x + y ) + xy = −  5   a − a − ab = a = 0, b = − a + b(a + 1) = −   ⇔ ⇔  a = − , b = − a + b = − b = − − a    2  x2 + y = a = x =    TH1  5⇒ ⇔ b = −  xy = −  y = − 25   16 1    x =  x − x = − a = −  x + y = −  TH2  ⇒ ⇔ ⇔ b = −  xy = − y = −  y = −    2 2x  3  25   Vậy tập nghiệm hệ pt S = 1; −  ;  ; −  2  16    c) ĐK: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥  x + y − xy =  x + y − xy = Hệ ⇔  ⇔  x + y + + ( x + 1)( y + 1) = 16  x + y + x + y + xy + = 14 Đặt x + y = a, xy = b a ≥ −2, b ≥ 0, a ≥ 4b ta hệ phương trình a = + b b =  x = a − b = a = + b ⇔ ⇒ (thỏa mãn đk) ⇔ ⇔    2 a =  y = 3b + 26b − 105 = a + a + b + = 14 2 b + b + = 11 − b ( x + 1) + ( y + 1) = d) Hệ ⇔  2 ( y − x) − ( x + 1) = a + b = Đặt a = x + 1, b = y + ⇒ b − a = y − x ta hệ  2 (b − a ) − a = ⇒ a + b = (b − a ) − a ⇔ a = −2ab ⇔ a = a = −2b +) Với a = ⇒ b = ±3 ⇒ x = −1, y = x = −1, y = −4 +) Với a = −2b ⇒ 5b = ⇔ b = ± ⇒ x = −1 − ⇒a=∓ 5 6 , y = −1 + x = −1 + , y = −1 − 5 5 Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Kết luận Hệ có nghiệm nhé! Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình  x ( x + )( x + y ) = a)   x + x + y =  x ( x + y )( x + 1) = 12 b)   x + y + x − = ( x + x ) ( 3x + y ) = 18 c)   x + x + y − =  x + y − x + y = d)  2 3 x − y − x − y = Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình    ( x + y ) 1 +  =   xy  a)   x + y 1 +  = 49 )  x2 y  (    2  y + xy = x b)  2 1 + x y = x 3 1 + x y = 19 x c)  2  y + xy = −6 x  x + y − 3x + y = −1 d)   x + y + x − y = Hướng dẫn: Đặt u = x + y ; v = 3x + y (u ≥ 0, v ≥ 0) u − v = −1  x + y = u ⇒ ⇒ x − y = 2v − 5u Ta có hệ:  2 3 x + y = v u + 2v − 5u = v BÀI TẬP TỰ LUYỆN:   x+ + x + y −3 = y  Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 x + y + =  y  x + y + x + y = Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 1  x + y + x + y =  Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x2 + y + + =  x2 y2  x + xy + x + y = Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x + y + xy ( x + y ) =  x + + y ( y + x ) = y Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x + ( y + x − ) = y ( x + y )(1 + xy ) = 18 xy Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y  x y + 27 = 18 y Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 4 x y + x = y ( ) Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  xy + x + = y Bài 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2  x y + xy + = 13 y  x + y + x + y = Bài 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2  x + y = 25  x − y = x − y Bài 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x + y = x + y + 1  x + y + x + y =  Bài 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình  x + y =2  y x  x + y + x y = 3xy  Bài 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình  1  x + y − xy =  Bài 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 15: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 16: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 17: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 18: [ĐVH] Giải hệ phương trình  x − xy − y =  x  x − y + y =   x + xy − y =  x  x + y + y =  2  x − x y + x y =   x y − x + xy = 1  2 x + x − y =   y − y x − y = −2   x + y + x y = + xy  2  x + x y + xy = xy + y +  x − xy + x + y =  2  x − x y + x + y = Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! ... (5)  …  xy ( x + y )( y − x) = 72 - Như vậy, với hệ xuất (I), cách thay biến ta thu nhiều hệ pt a + b = làm tương tự ta lại thu - Thay hệ xuất phát (I) hệ xuất phát (II)  2 a − b = 21 hệ... y + x( x − y ) = 21 Như vậy, biết cách tạo toán nghĩ cách giải toán khác Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ PT sau  x( x + y + 1) − =  a)  ( x + y ) − x + =  x + y + x y + xy + xy = −  b)   x +... = 10 Hướng dẫn giải: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   x + y + −