Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN x + y + xy + x = y Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x + x)( x + y − 3) = −3 y ( x; y ∈ ℝ ) Hướng dẫn giải: Ta xét hai khả năng: x = +) Nếu y = ⇒ x + x = ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0) x = −2 x2 + x + x+ y =5 x2 + 2x u + v = u = 3; v = −1 y u = +) Nếu y ≠ , HPT ⇔ , đặt ⇒ ⇔ y u = −1; v = x + x ( x + y − 3) = −3 v = x + y − uv = −3 y x + 2x =3 u = x = y =1 - V ới ⇔ ⇒ y v = −1 x = −6; y = x + y − = −1 x2 + 2x = −1 u = −1 - V ới ⇒ y ⇒ hệ vô nghiệm v = x + y − = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) (–6; 8) (3 x + y )( x + y ) xy = 14 Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x, y ∈ R ) 2 ( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36 Hướng dẫn giải: [3( x + y ) + xy ] xy = 14 Ta có, HPT ⇔ ( x + y )[( x + y ) + 12 xy ] = 36 2 a = x + y (3a + 4b )b = 14 3a b + 4b = 14 Đặt → ⇔ 2 b = xy ≥ a (a + 12b ) = 36 a + 12ab = 36 a (3k + 4k ) = 14 3k + 4k Nhận thấy a = không thỏa mãn, đặt b = ka ta ⇒ = ⇒ k = ⇔ a = 6b 2 + 12 k 18 a (1 + 12k ) = 36 3+ 2 3− 2 ;y = x + y = x + y = x = 2 Từ ta tìm a = 3; b = ⇒ ⇔ ⇒ xy = xy = 3−2 3+ 2 ;y = x = 2 Vậy hệ cho có hai nghiệm x + y + x + y = Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + y + x + y = −2 Hướng dẫn giải: x + y = a b2 Đặt ⇒ x + y = a2 − 2 x + y = b Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 2 x + y = x = a + a − b = −2 a + 5a − = a = x + y = Ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ 2 b = − a b = x + y = 4 x + y = y = −7 a + b = 2 x − y − xy = xy (1 − x) Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x + y ) + = xy Hướng dẫn giải: 2 x − y − xy + x y = xy (2 x − y )(1 + xy ) = xy 2 HPT ⇔ ⇔ + xy = 12 ( x + y ) + = 12 ( x + y ) xy xy xy 2 x − y = (1 + xy) y = x 2 2 + xy ≠ ⇒ ⇒ 12(2 x − y ) = 4( x + y ) ⇔ 11x − 12 xy + y = ⇔ y = 11x ( x + y ) = 12 xy + xy 2 Thay vào ta nghiệm hệ x = y = x2 − y( x + y) + = Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x + 1)( x + y − 2) + y = Hướng dẫn giải: +) Xét y = không thỏa mãn hệ x2 + y − ( x + y) = a − b = +) Với y ≠ hệ có dạng ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (0; 1) (−1; 2) a b − = − ( 2) x + ( 1) ( x + y − 2) = −1 y x + y − xy = Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x + + y + = Hướng dẫn giải: Ta có (1) ⇔ ( x + y ) = xy + Bình phương (2) ta x + y + ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + ( xy ) + xy + = 11 (*) t = t ≤ 11 Đặt t = xy ⇒ t + t + = 11 − t ⇔ ⇔ −35 t = 3t + 26t − 105 = 35 +) Với t = − ⇒ ( x + y ) = −32 < ⇒ vô nghiệm x = y = x + y = ±2 +) Với t = ⇒ ( x + y ) = 12 ⇔ x + y = ±2 ⇒ → xy = x = y = − Vậy hệ có hai nghiệm ( 3; ) , ( − 3; − ) 2 x y + x + y − 15 = Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = Hệ pt ⇔ 2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10 u = x − u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 Đặt ta có hpt ⇔ v = y − uv + 4(u + v) = uv + 4(u + v) = u + v = −10 u + v = u = u = −1 (vô nghiệm) ⇔ uv = 45 uv = −3 v = −1 v = u = +) Với ta tìm nghiệm ( x; y ) = (2;1) ( x; y ) = (−2;1) v = −1 ⇔ u = −1 +) Với ta tìm nghiệm ( x; y ) = (0;5) v = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5) x + y + x − y = Ví dụ 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình y x − y = Hướng dẫn giải: u = x − y v − u2 Đặt Điều kiện u ≥ Khi ta có y = v = x + y u + v = (1) Hệ cho trở thành (v − u )u = (2) Từ (1) ⇒ v = – u Thay vào (2) ta ( − u − u ) u = ⇔ u + u − 8u + = −3 + 17 −3 − 17 ; u= 2 −3 − 17 không thoả mãn Đối chiếu điều kiện u ≥ ta có u = x=5 u = x − y = +) Với u = ta có ⇔ ⇔ v = x + y = y = ⇔ ( u − ) ( u + 3u − ) = ⇔ u = 2; u = −3 + 17 13 − 17 x = − 17 u= x − 2y = −3 + 17 2 +) Với u = ta có ⇔ ⇔ + 17 v = 19 − 17 x + y = 19 − 17 y = 2 + 17 1 Vậy tập nghiệm hệ phương trình 5; , − 17; 2 Cách 2: u = x − y u + u + 4v = Đặt ⇒ x = u + 2v ⇒ v = y uv = → u + u + = 8u ⇔ (u − 2)(u + 3u − 2) = ⇔ u = 2; u = −3 + 17 −3 − 17 ; u= 2 Đến việc tìm nghiệm cách giải Cách 3: v − u2 u = x − y Đặt ⇒ u − v = −4 y ⇒ y = v = x + y u + v = (1) Khi ta có hệ (v − u )u = (2) Giải hệ tương tự cách Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x − x ( y − 1) + y = y Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x + xy − y = x − y Hướng dẫn giải: x − xy + y = y − x Hệ cho tương đương với 2 x + xy − y = x − y 2 TH1: y = ⇒ x = TH2: y ≠ 0, đặt t = x ⇔ x = ty thay vào hệ: y y (2t − t + 1) = y (3 − t ) (1) 2 y (t + t − 3) = y (t − 2) (2) t = ±1 2t − t + − t = ⇔ 3t − 7t − 3t + = ⇔ Từ (1) (2) ta t = t +t −3 t −2 Từ suy hệ có nghiệm (0;0);(1;1);(−1;1); ; 43 43 x y + x + y − 15 = Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: 2 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = Hệ pt ⇔ 2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10 u = x − u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 u = Đặt ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ v = −1 v = y − uv + 4(u + v) = uv + 4(u + v) = Giải ta nghiệm hệ (2; 1), (–2; 1), (0; 5) ( u = −1 v = ) x − − y + 2 x − = −8 Ví dụ 11: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) y + y x − + x = 13 Hướng dẫn giải: t − y (1 + 2t ) = −8 t − y − 2ty = −8 Đặt t = x − 1, t ≥ Hệ phương trình trở thành ⇔ 2 ( t − y ) + 3ty = 12 y + yt + t = 12 (1) ( 2) t − y = Từ (1) (2) suy ( t − y ) + ( t − y ) = ⇔ t − y = − +) Với t = y thay vào (1) ta t = y = 5 t = ⇒ x − = ⇔ x = , nghiệm hệ ;2 2 −3 + 61 +) Với y = t + thay vào (1) ta 4t + 6t − 13 = ⇔ t = + 61 −3 + 61 y= + y = −3 + 61 4 t= ⇒ ⇔ 43 − 61 x − = −3 + 61 x = 16 43 − 61 + 61 ; Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) = ;2 , 16 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x − y + = Ví dụ 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình y + ( x − 2) x + = − Facebook: LyHung95 ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2 Đặt u = x + 2; v = u − v = y + với u; v ≥ (*) Hệ trở thành: v + ( u − ) u = (1) (2) 7 Thế (1) vào (2) ta phương trình u − + 2u − 8u = ⇔ u + 2u − 7u − 8u + 12 = 2 u = ⇔ ( u − 1)( u − ) ( u + 5u + ) = ⇔ u = +) Với u = thay vào (1) ta v = − , không thỏa mãn +) Với u = thay vào (1) ta v = , thỏa mãn điều kiện 7 Vậy, hệ phương trình có nghiệm 2; − 4 ( x + y )3 + xy = ( x + y )( + xy ) Ví dụ 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình 1 = x+ y x − y Hướng dẫn giải: x + y > Điều kiện: x − y > Ta có: ( x + y ) + xy = ( x + y )( + xy ) ⇔ ( x + y ) − 16 ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy = 3 ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16 − xy ( x + y ) − = ⇔ ( x + y ) − ( x + y )( x + y + ) − xy = 2 ⇔ ( x + y ) − x + y + ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) − = ⇔ y = − x >0 Thay vào phương trình ta x = −3 y = 1 = ⇔ x2 + x − = ⇔ ⇔ x − (4 − x) x = y = xy 2 x + y + x + y = 16 Ví dụ 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình x3 + x x + y − = (1) ⇔ ( x Hướng dẫn giải: ) ( x + y ) + xy = 16 ( x + y ) ) ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) = 16 ( x + y ) ) ( x + y − ) + ( x + y )( x + y − ) = +y ⇔ ( x2 + y ⇔ ( x2 + y 2 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x + y = (ok ) ⇔ 2 x + y + ( x + y ) = ( Loai ) x + y > x = Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 3) = ⇔ x + x + = (VN ) Với x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (1;3) ⇔ ( x + y − ) x + y + ( x + y ) = 2 x − y + − x + y = Ví dụ 15: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x; y ∈ ℝ ) 3 − x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: u = x − y x = 2 x − y = u ⇒ ⇒ Đặt y = 5 − x + y = v v = − x + y Thế vào ta có hệ theo u, v Các em giải nốt nhé! x+ y − x− y = Ví dụ 16: [ĐVH] Giải hệ phương trình sau 2 2 x + y + − x − y = Hướng dẫn giải: u − v = (u > v) u + v = uv + u = x + y Đặt: ta có hệ u + v + ⇔ u + v2 + v = x − y − uv = − uv = 2 u + v = uv + (1) ⇔ (u + v) − 2uv + − uv = (2) Thế (1) vào (2) ta có uv + uv + − uv = ⇔ uv + uv + = (3 + uv ) ⇔ uv = uv = Kết hợp (1) ta có: ⇔ u = 4, v = (vì u > v) Từ dễ có x = 2; y = 2.(Thỏa mãn đk) u + v = Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 2) y x − y = 48 Ví dụ 17: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + y + x − y = 24 y x + y − + x = y Ví dụ 18: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y ( x + y − 3) + x = 16 y Hướng dẫn: Xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 2 xy + x + = y Ví dụ 19: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 4 x y + xy + = y Hướng dẫn: Xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 16 x y − 17 y = −1 Ví dụ 20: [ĐVH] Giải hệ phương trình 4 xy + x − y = −1 Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 2 x + y + x y + xy + xy = Ví dụ 21: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + y + xy + xy = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: Đặt u = x + y ; v = xy x − x y + y − = Ví dụ 22: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 2 x y − y + x − y − y + = Hướng dẫn: Đặt u = x − y; v = y x2 y2 + = 2 Ví dụ 23: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( y + 1) ( x + 1) 3 xy = x + y + x − y + 28 y + 31 = 32 x + y + y Ví dụ 24*: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x + y + xy − x − y + 14 = BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Giải hệ PT Bài 3: Giải hệ PT x + y + xy = x+ y =4 x+ y − x− y = x2 + y + x2 − y2 = x + y − x − y = Bài 5: Giải hệ PT 2 2 x + y + x − y = ( x − y + )( x + y ) + x − y = −6 Bài 6: Giải hệ PT x + + y − = 2 = 13 8 ( x + y ) + xy + x + y) ( Bài 7*: Giải hệ PT 2 x + = x+ y x + + y − = Bài 9: Giải hệ PT x + + y + = x + y + + x + y = Bài 11: Giải hệ PT 3 x + y = x − y = x − y Bài 2: Giải hệ PT x + y = x + y + x+ y − x− y = Bài 4: Giải hệ PT x − y + x + y = x + y + Bài 8: Giải hệ PT x + y + x y + =4 y x x2 y + =4 y x 2 y − x = 1(1) Bài 10: Giải hệ PT 3 2 x − y = y − x ( ) x + y − = Bài 12: Giải hệ PT x − + y = x + xy + y x2 + y + = x + y (1) Bài 13*: Giải hệ PT x xy + x + = xy − x − ( ) x + y + x y = + xy Bài 14: Giải hệ PT ( x − y )(1 + xy ) = − xy 1 1 x ( x + 1) + 1 + = y y Bài 16: Giải hệ PT 3 2 x y + xy + x y + = y x + y − x − y = 12 Bài 15: Giải hệ PT x ( x − 1) y ( y − 1) = 36 x + y + x y = 3xy Bài 17: Giải hệ PT 1 x + y − xy = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + y + Bài 18: Giải hệ PT x + y + x y + =4 y x y x xy + xy + x + y = Bài 19: Giải hệ PT 2 x y + xy + y + x = xy x2 y2 + =4 y x ( Facebook: LyHung95 ) 2 2 3 x + y ( x + y ) = y − y + Bài 20*: Giải hệ PT Bài 22*: Giải hpt sau: x + y + y = 22 x + y − x − y = Bài 23: Giải hệ pt sau: Bài 24: Giải hệ PT 2 2 x + y + − x − y = x + + y + = Bài 25: Giải hệ PT Bài 26: Giải hệ PT ( x + 1) y + + ( y + 1) x + = 2 x3 − y = ( x − y )( xy + 3) Bài 27: Giải hệ PT Bài 28: Giải hệ PT 2 x − xy + y = ( x + y + xy ) x + y = 12 Bài 30: Giải hệ PT Bài 29: Giải hệ PT 2 2 ( x + y − xy ) x + y = x − + x3 = + y Bài 31: Giải hệ phương trình ( x − 1) = y 1 x + y = Bài 32*: Giải hệ phương trình + + 1 + = 18 y x y x 2 y + ( x − 1) = x ( x + 1) Bài 33*: Giải hệ phương trình 40 x + x = y 14 x − x4 + y = y4 + x Bài 34*: Giải hệ phương trình 2 =3 x −y ( 2x x + xy + y = 18 = y ( y − x) ( x + y ) x + y + xy = x + y − xy = x − xy + y = ( x − y ) x + xy + y = ( x − y ) x − y − + x − y = x − y + x − y = x + xy + y + = y 2 x + x y + x = x + ) Nếu làm hết số này, thi Đại học, 100% em tủm tỉm cười! Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ... hệ PT Bài 22*: Giải hpt sau: x + y + y = 22 x + y − x − y = Bài 23: Giải hệ pt sau: Bài 24: Giải hệ PT 2 2 x + y + − x − y = x + + y + = Bài 25: Giải hệ PT Bài 26: Giải hệ PT. .. = xy 2 HPT ⇔ ⇔ + xy = 12 ( x + y ) + = 12 ( x + y ) xy xy xy 2 x − y = (1 + xy) y = x 2 2 + xy ≠ ⇒ ⇒ 12( 2 x − y ) = 4( x + y ) ⇔ 11x − 12 xy + y =... x3 − y = ( x − y )( xy + 3) Bài 27: Giải hệ PT Bài 28: Giải hệ PT 2 x − xy + y = ( x + y + xy ) x + y = 12 Bài 30: Giải hệ PT Bài 29: Giải hệ PT 2 2 ( x + y − xy ) x + y = x − +