Đang tải... (xem toàn văn)
phương trình ,hệ phương trình ,là một phần rất quan trọng cấp trung học phổ thông chính vì vậy có rất nhiều phương pháp hay về nó trong đo phương pháp quan trọng không thể thiếu đó là phương pháp đặt ẩn phụ ,ở đay chúng tôi tổng hợp đầy đủ các phương pháp đặt ẩn phụ chúc các bạn thành công
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] x + y + xy + x = y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( x + x)( x + y − 3) = −3 y ( x; y ∈ ℝ ) Hướng dẫn giải: Ta xét hai khả năng: x = +) Nếu y = ⇒ x + x = ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0) x = −2 x2 + x + x+ y =5 x2 + 2x y = u u + v = u = 3; v = −1 +) Nếu y ≠ , HPT ⇔ , đặt ⇔ ⇒ y u = −1; v = x + x ( x + y − 3) = −3 v = x + y − uv = −3 y x2 + 2x =3 u = x = y =1 - V ới ⇔ ⇒ y v = −1 x = −6; y = x + y − = −1 x2 + 2x = −1 u = −1 - V ới ⇒ y ⇒ hệ vô nghiệm v = x + y − = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) (–6; 8) (3 x + y )( x + y ) xy = 14 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ R ) 2 ( x + y )( x + y + 14 xy ) = 36 Hướng dẫn giải: [3( x + y ) + xy ] xy = 14 Ta có, HPT ⇔ ( x + y )[( x + y ) + 12 xy ] = 36 2 2 a = x + y (3a + 4b )b = 14 3a b + 4b = 14 Đặt → ⇔ 2 b = xy ≥ a (a + 12b ) = 36 a + 12ab = 36 a (3k + 4k ) = 14 3k + 4k Nhận thấy a = không thỏa mãn, đặt b = ka ta ⇒ = ⇒ k = ⇔ a = 6b 2 + 12k 18 a (1 + 12k ) = 36 3+ 2 3− 2 ;y = x + y = x + y = x = 2 Từ ta tìm a = 3; b = ⇒ ⇔ ⇒ xy = 3−2 3+ 2 xy = ;y = x = 2 Vậy hệ cho có hai nghiệm x + y + x + y = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x + y + x + y = −2 Hướng dẫn giải: x + y = a b2 Đặt ⇒ x + y = a2 − 2 x + y = b Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 2 x + y = x = a + a − b = −2 a + 5a − = a = x + y = ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ Ta có hệ phương trình 2 b = − a b = x + y = 4 x + y = y = −7 a + b = 2 x − y − xy = xy (1 − x) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ( x + y ) + = xy Hướng dẫn giải: − + xy ) = xy (2 x y )(1 2 x − y − xy + x y = xy 2 HPT ⇔ ⇔ + xy ( x + y ) ( x + y ) + = 12 = 12 xy xy xy 2 x − y = (1 + xy) y = x 2 2 + xy ≠ ⇒ ⇒ 12(2 x − y ) = 4( x + y ) ⇔ 11x − 12 xy + y = ⇔ y = 11x ( x + y ) = 12 xy + xy Thay vào ta nghiệm hệ x = y = x2 − y( x + y) + = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ( x + 1)( x + y − 2) + y = Hướng dẫn giải: +) Xét y = không thỏa mãn hệ x2 + y − ( x + y) = a − b = +) Với y ≠ hệ có dạng ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (0; 1) (−1; 2) ( x + 1) ( x + y − 2) = −1 a (b − 2) = −1 y x + y − xy = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 2 x + + y + = Hướng dẫn giải: Ta có (1) ⇔ ( x + y ) = xy + Bình phương (2) ta x + y + ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + ( xy ) + xy + = 11 (*) t = t ≤ 11 Đặt t = xy ⇒ t + t + = 11 − t ⇔ ⇔ −35 t = t + 26 t − 105 = 35 +) Với t = − ⇒ ( x + y ) = −32 < ⇒ vô nghiệm x = y = x + y = ±2 +) Với t = ⇒ ( x + y ) = 12 ⇔ x + y = ±2 ⇒ → xy = x = y = − Vậy hệ có hai nghiệm ( 3; ) , ( − 3; − ) x y + x + y − 15 = Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 2 x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = Hệ pt ⇔ 2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10 u = x − u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 Đặt ta có hpt ⇔ v = y − uv + 4(u + v) = uv + 4(u + v) = u + v = −10 u + v = u = u = −1 ⇔ (vô nghiệm) ⇔ uv = 45 uv = −3 v = −1 v = u = +) Với ta tìm nghiệm ( x; y ) = (2;1) ( x; y ) = (−2;1) v = −1 u = −1 +) Với ta tìm nghiệm ( x; y ) = (0;5) v = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5) x + y + x − y = Ví dụ 8: Giải hệ phương trình y x − y = Hướng dẫn giải: v − u2 u = x − y Đặt Điều kiện u ≥ Khi ta có y = v = x + y u + v = (1) Hệ cho trở thành (v − u )u = (2) Từ (1) ⇒ v = – u Thay vào (2) ta ( − u − u ) u = ⇔ u + u − 8u + = −3 + 17 −3 − 17 ; u= 2 −3 − 17 không thoả mãn Đối chiếu điều kiện u ≥ ta có u = x=5 u = x − y = +) Với u = ta có ⇔ ⇔ v = x + y = y = −3 + 17 13 − 17 x = − 17 u= x − 2y = −3 + 17 2 +) Với u = ta có ⇔ ⇔ + 17 v = 19 − 17 x + y = 19 − 17 y = 2 + 17 1 Vậy tập nghiệm hệ phương trình 5; , − 17; 2 Cách 2: u = x − y u + u + 4v = Đặt ⇒ x = u + 2v ⇒ uv = v = y ⇔ ( u − ) ( u + 3u − ) = ⇔ u = 2; u = → u + u + = 8u ⇔ (u − 2)(u + 3u − 2) = ⇔ u = 2; u = −3 + 17 −3 − 17 ; u= 2 Đến việc tìm nghiệm cách giải Cách 3: v − u2 u = x − y Đặt ⇒ u − v = −4 y ⇒ y = v = x + y u + v = (1) Khi ta có hệ (v − u )u = (2) Giải hệ tương tự cách Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 x − x ( y − 1) + y = y Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 2 x + xy − y = x − y Hướng dẫn giải: x − xy + y = y − x Hệ cho tương đương với 2 x + xy − y = x − y 2 TH1: y = ⇒ x = y (2t − t + 1) = y (3 − t ) (1) 2 y (t + t − 3) = y (t − 2) (2) t = ±1 2t − t + − t = ⇔ 3t − 7t − 3t + = ⇔ Từ (1) (2) ta t = t +t −3 t −2 x TH2: y ≠ 0, đặt t = ⇔ x = ty thay vào hệ: y Từ suy hệ có nghiệm (0;0);(1;1);(−1;1); ; 43 43 x y + x + y − 15 = Ví dụ 10: Giải hệ phương trình 2 x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: 2 ( x − 1)( y − 2) + 4( x − 1) + 4( y − 2) = Hệ pt ⇔ 2 ( x − 1) + ( y − 2) = 10 u = x − u + v = 10 (u + v) − 2uv = 10 u = Đặt ta có hệ phương trình ⇔ ⇔ v = −1 v = y − uv + 4(u + v) = uv + 4(u + v) = Giải ta nghiệm hệ (2; 1), (–2; 1), (0; 5) ( u = −1 v = ) x − − y + 2 x − = −8 Ví dụ 11: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) y + y x − + x = 13 Hướng dẫn giải: t − y (1 + 2t ) = −8 t − y − 2ty = −8 Đặt t = x − 1, t ≥ Hệ phương trình trở thành ⇔ 2 y + yt + t = 12 ( t − y ) + 3ty = 12 t − y = Từ (1) (2) suy ( t − y ) + ( t − y ) = ⇔ t − y = − +) Với t = y thay vào (1) ta t = y = 5 t = ⇒ x − = ⇔ x = , nghiệm hệ ;2 2 −3 + 61 +) Với y = t + thay vào (1) ta 4t + 6t − 13 = ⇔ t = + 61 −3 + 61 y= y= + −3 + 61 4 t= ⇒ ⇔ −3 + 61 x = 43 − 61 x − = 16 43 − 61 + 61 ; Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) = ;2 , 16 (1) ( 2) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x − y + = Ví dụ 12: Giải hệ phương trình y + ( x − 2) x + = − Facebook: LyHung95 ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2 u − v = Đặt u = x + 2; v = y + với u; v ≥ (*) Hệ trở thành: v + ( u − ) u = (1) (2) 7 Thế (1) vào (2) ta phương trình u − + 2u − 8u = ⇔ u + 2u − 7u − 8u + 12 = 2 u = ⇔ ( u − 1)( u − ) ( u + 5u + ) = ⇔ u = +) Với u = thay vào (1) ta v = − , không thỏa mãn +) Với u = thay vào (1) ta v = , thỏa mãn điều kiện 7 Vậy, hệ phương trình có nghiệm 2; − 4 ( x + y )3 + xy = ( x + y )( + xy ) Ví dụ 13: Giải hệ phương trình 1 = x+ y x − y Hướng dẫn giải: x + y > Điều kiện: x − y > Ta có: ( x + y ) + xy = ( x + y )( + xy ) ⇔ ( x + y ) − 16 ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy = 3 ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − 16 − xy ( x + y ) − = ⇔ ( x + y ) − ( x + y )( x + y + ) − xy = 2 ⇔ ( x + y ) − x + y + ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) − = ⇔ y = − x >0 Thay vào phương trình ta x = −3 y = 1 = ⇔ x2 + x − = ⇔ ⇔ x − (4 − x) x = y = xy 2 x + y + x + y = 16 Ví dụ 14: Giải hệ phương trình x3 + x x + y − = (1) ⇔ ( x Hướng dẫn giải: ) ( x + y ) + xy = 16 ( x + y ) ) ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) = 16 ( x + y ) ) ( x + y − ) + ( x + y )( x + y − ) = +y ⇔ ( x2 + y ⇔ ( x2 + y 2 2 ⇔ ( x + y − ) x + y + ( x + y ) = x + y = (ok ) ⇔ 2 x + y + ( x + y ) = ( Loai ) x + y > Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 3) = ⇔ x + x + = (VN ) Với x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (1;3) 2 x − y + − x + y = Ví dụ 15: Giải hệ phương trình ( x; y ∈ ℝ ) 3 − x + y − x − y − = Hướng dẫn giải: u = x − y x = 2 x − y = u Đặt ⇒ ⇒ y = v = − x + y 5 − x + y = v Thế vào ta có hệ theo u, v Các em giải nốt nhé! x2 y2 + = 2 Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( y + 1) ( x + 1) 3 xy = x + y + y x − y = 48 Ví dụ 17: Giải hệ phương trình x + y + x − y = 24 y x + y − + x = y Ví dụ 18: Giải hệ phương trình 2 y ( x + y − 3) + x = 16 y Hướng dẫn: Xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 2 xy + x + = y Ví dụ 19: Giải hệ phương trình 2 4 x y + xy + = y Hướng dẫn: Xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y 16 x y − 17 y = −1 Ví dụ 20: Giải hệ phương trình 4 xy + x − y = −1 Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện chia cho phương trình tương ứng cho y y x + y + x y + xy + xy = Ví dụ 21: Giải hệ phương trình x + y + xy + xy = Hướng dẫn: Đặt u = x + y ; v = xy x − x y + y − = Ví dụ 22: Giải hệ phương trình 2 2 x y − y + x − y − y + = Hướng dẫn: Đặt u = x − y; v = y x − y + 28 y + 31 = 32 x + y + y Ví dụ 23*: Giải hệ phương trình 2 x + y + xy − x − y + 14 = BÀI TẬP TỰ LUYỆN: x + y + xy = Bài 1: Giải hệ PT x + y = x − y = x − y Bài 2: Giải hệ PT x + y = x + y + Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + y − x − y = Bài 3: Giải hệ PT x + y + x − y = x + y − x − y = Bài 5: Giải hệ PT 2 2 x + y + x − y = ( x − y + )( x + y ) + x − y = −6 Bài 6: Giải hệ PT x + + y − = 2 = 13 8 ( x + y ) + xy + x + y) ( Bài 7*: Giải hệ PT 2 x + = x+ y x + + y − = Bài 9: Giải hệ PT x + + y + = x + y + + x + y = Bài 11: Giải hệ PT 3 x + y = Facebook: LyHung95 x+ y − x− y = Bài 4: Giải hệ PT x − y + x + y = x + y + Bài 8: Giải hệ PT x + y + x y + =4 y x x2 y + =4 y x 2 y − x = 1(1) Bài 10: Giải hệ PT 3 2 x − y = y − x ( ) x + y − = Bài 12: Giải hệ PT x − + y = x + xy + y x2 + y + = x + y (1) Bài 13*: Giải hệ PT x xy + x + = xy − x − ( ) 2 2 x + y + x y = + xy Bài 14: Giải hệ PT ( x − y )(1 + xy ) = − xy 1 1 x ( x + 1) + 1 + = y y Bài 16: Giải hệ PT 3 2 x y + xy + x y + = y x + y + Bài 18: Giải hệ PT x + y + ( x y + =4 y x x2 y2 + =4 y x ) x + y − x − y = 12 Bài 15: Giải hệ PT x ( x − 1) y ( y − 1) = 36 x + y + x y = 3xy Bài 17: Giải hệ PT 1 x + y − xy = y x xy + xy + x + y = Bài 19: Giải hệ PT 2 x y + xy + y + x = xy 2 2 3 x + y ( x + y ) = y − y + Bài 20*: Giải hệ PT Bài 22*: Giải hpt sau: 2 x + y + y = 22 x + y − x − y = Bài 23: Giải hệ pt sau: 2 2 x + y + − x − y = x + + y + = Bài 25: Giải hệ PT ( x + 1) y + + ( y + 1) x + = 3 2 x − y = ( x − y )( xy + 3) Bài 27: Giải hệ PT 2 x − xy + y = 2x x + xy + y = 18 = y ( y − x) ( x + y ) x + y + xy = Bài 24: Giải hệ PT x + y − xy = x − xy + y = ( x − y ) Bài 26: Giải hệ PT 2 x + xy + y = ( x − y ) x − y − + x − y = Bài 28: Giải hệ PT x − y + x − y = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia ! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x + y + xy ) x + y = 12 Bài 29: Giải hệ PT ( x + y − xy ) x + y = x − + x3 = + y (1) Bài 31: Giải hệ PT ( x − 1) = y ( ) 1 x + y = Bài 32*: Giải hệ PT + + 1 + 3 y x y x y + ( x − 1) = x ( x + 1) Bài 33*: Giải hệ PT 40 x + x = y 14 x − Facebook: LyHung95 x + xy + y + = y Bài 30: Giải hệ PT 2 x + x y + x = x + = 18 x + y = y + x (1) Bài 34*: Giải hệ PT x2 − y = 3( 2) ( ) Nếu làm hết số này, thi Đại học, 100% em tủm tỉm cười! Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia !