phương trình ,hệ phương trình ,là một phần rất quan trọng cấp trung học phổ thông chính vì vậy có rất nhiều phương pháp hay về nó trong đo phương pháp quan trọng không thể thiếu đó là phương pháp đặt ẩn phụ ,ở đay chúng tôi tổng hợp đầy đủ các phương pháp đặt ẩn phụ chúc các bạn thành công
Trang 1Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2
2 5
+ + − = −
x x x y y ( x y ; ∈ ℝ )
Hướng dẫn giải:
Ta xét hai khả năng:
2
=
= −
x
x ⇒hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0)
+) Nếu y≠0,
2
2
2
5
2
+
x y y
HPT
x y y
, đặt
2
2
3
⇔
u y
v x y
- Với
2
2
+ − = −
y
x y
- Với
2
2
3
3 3
=
+ − =
u
y v
x y
hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
2 2
∈
x y x y xy
x y R
x y x y xy
Hướng dẫn giải:
Ta có,
2 2
x y xy xy HPT
Đặt
Nhận thấy a = 0 không thỏa mãn, đặt b = ka ta được
2
6
1 12 (1 12 ) 36
k
+
Từ đó ta tìm được
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 4 2 4
+ + + = −
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
4
+ =
x y b
12 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Ta có hệ phương trình
4
= −
x y
a b
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2
2
1
x y xy xy x
x y
xy
Hướng dẫn giải:
2 2
1 1
x y xy x y xy
xy xy
2
2 2
(1 )
11
1
− =
=
xy
x y
xy
xy Thay vào ta được nghiệm của hệ là x = y = 1
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
2 2
( ) 1 0
− + + =
+ + − + =
Hướng dẫn giải:
+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ
+) Với y ≠ 0 thì hệ có dạng
2
2
( ) 0
0 ( 2) 1 ( 1)
(
1
2) 1
+ =
− = −
−
+
x
x y
a b
a b x
x y
y
y
hệ có nghiệm (0; 1) và (−1; 2)
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình
3
+ + + =
Hướng dẫn giải:
Ta có ( )2
(1)⇔ x+y =3xy+3
Bình phương (2) ta được x2+y2+2 (x2+1).(y2+ =1) 14⇔ xy+2 (xy)2+xy+ =4 11 (*)
3 11
3 26 105 0
3
=
≤
=
t t
t
t t
+) Với 35 ( )2
32 0 3
=
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là ( 3; 3 , ) ( − 3; − 3 )
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
x y x y
x y x y
Hướng dẫn giải:
Trang 3Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Hệ pt
( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5
⇔
Đặt
2
1 2
= −
ta có hpt
45
u v
uv
+ = −
=
(vô nghiệm) hoặc
⇔
1 3
u v
= −
=
+) Với 3
1
u
v
=
= −
ta tìm được 2 nghiệm ( ; )x y =(2;1) và ( ; )x y = −( 2;1)
+) Với 1
3
u
v
= −
=
ta tìm được nghiệm ( ; )x y =(0;5)
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 2 2 8
2 1
− =
Hướng dẫn giải:
2
= +
v x y Điều kiện u≥0 Khi đó ta có
2
4
−
Hệ đã cho trở thành 28 (1)
+ =
u v
v u u
Từ (1) ⇒ v = 8 – u Thay vào (2) ta được (8− −u u2)u= ⇔4 u3+u2−8u+ =4 0
Đối chiếu điều kiện u≥0 ta có 3 17
2
− −
=
+) Với u = 2 ta có
5
1
2
=
x
2
− +
=
2
x
y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 5;1
2
,
4
Cách 2:
Đặt
2
2
2
1
=
=
uv
v y
Đến đây việc tìm nghiệm như cách giải trên
Cách 3:
Đặt
2 2
2
4
4 2
= +
v x y
Khi đó ta có hệ 28 (1)
+ =
u v
v u u
Giải hệ này tương tự như cách 1
Trang 4Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
x x y y y
x xy y x y
Hướng dẫn giải:
Hệ đã cho tương đương với
x xy y y x
TH1: y=0⇒x=0
TH2: y≠0, đặt t x x ty
y
2 2
2 2
y t t y t
Từ (1) và (2) ta được
2
2
1
2 3
3
t
t t
= ±
Từ đó suy ra hệ có 4 nghiệm là (0;0);(1;1);( 1;1); 7 ; 3
43 43
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
x y x y
x y x y
Hướng dẫn giải:
Hệ pt
Đặt
2
1
2
u x
v y
= −
ta có hệ phương trình
3 1
u v
=
= −
1 3
u v
= −
=
Giải ra ta được các nghiệm của hệ là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)
2
∈
ℝ
x y
y y x x
Hướng dẫn giải:
Đặt t= 2x−1,t≥0 Hệ phương trình trở thành ( ) ( )
t y ty
− − = −
⇔
Từ (1) và (2) suy ra ( )2 ( )
0
2
t y
t y
− =
− = −
+) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2
5
2
t= ⇒ x− = ⇔ =x , nghiệm của hệ là 5; 2
2
2
y= +t thay vào (1) ta được 4 2 6 13 0 3 61
4
16 4
y y
t
x x
−
− +
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( ) 5 43 3 61 3 61
x y
Trang 5Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình
( )
3 2 2
7
4
x y
( x y , ∈ ℝ )
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x≥ −2;y≥ −2
Đặt u= x+2;v= y+2 với ;u v≥0(*) Hệ trở thành:
2
7 (1) 2
1
4
u v
− =
Thế (1) vào (2) ta được phương trình
2
2
u
u
=
=
+) Với u = 1 thay vào (1) ta được 5
2
v= − , không thỏa mãn
+) Với u = 2 thay vào (1) ta được 1
2
v= , thỏa mãn điều kiện
Vậy, hệ phương trình có nghiệm 2; 7
4
−
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình
2
x y xy x y xy
x y
x y
=
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
2
0 0
x y
+ >
− >
x+y + xy= x+y +xy ( )3 ( ) ( )
x y x y xy x y
⇔ + + − − + − = ⇔(x+y)−4 (x+y)(x+ + −y 4) 2xy=0
0
>
⇔(x+y)− = ⇔ = −4 0 y 4 x
Thay vào phương trình ta được
2
− −
6 0
x x
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình
3
8 16
3 0
+ + − =
xy
x y
Hướng dẫn giải:
( ) 1 ⇔ ( 2 2) ( ) ( )
x +y x+y + xy= x+y
x y x y x y x y
x y x y x y
( )
4 ( )
x y ok
x y x y Loai do x y
+ =
⇔
Trang 6Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: 3 2
2
1
3 0 ( )
x
=
+ + =
Với x=1⇒ y=3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3)
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình 2 2 3 5 7 ( ; )
x y
∈
− + − − − =
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
5 5
y
=
− + =
Thế vào ta có hệ theo u, v Các em giải nốt nhé!
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( ) ( )
1 2
= + +
xy x y
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình
48 24
y x y
x y x y
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình
+ − + =
+ − + =
Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
Ví dụ 19: Giải hệ phương trình
xy x y
x y xy y
Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình
x y y
xy x y
Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
Ví dụ 21: Giải hệ phương trình
5
x y x y xy xy
x y xy xy
Hướng dẫn: Đặt u= +x y v2; =xy
Ví dụ 22: Giải hệ phương trình
1 0
x x y y
x y y x y y
Hướng dẫn: Đặt u=x2−y v; = y2
Ví dụ 23*: Giải hệ phương trình
x y xy x y
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải hệ PT
4
x y xy
x y
Bài 2: Giải hệ PT
3
2
+ = + +
Trang 7Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Bài 3: Giải hệ PT
2 4
x y x y
x y x y
Bài 4: Giải hệ PT
2 4
x y x y
x y x y
Bài 5: Giải hệ PT
1 1
x y x y
x y x y
Bài 6: Giải hệ PT (2 2 2)( ) 6 3 6
x y x y x y
Bài 7*: Giải hệ PT
2
5
1
x y
x
x y
+
Bài 8: Giải hệ PT 2 2
4 4
x y
x y
y x
x y
x y
y x
+ + + =
Bài 9: Giải hệ PT 1 1 4
+ + + =
( ) ( )
y x
x y y x
x y x y
x y
3 3
− + =
( )
1
x xy y x y
x y
x xy x xy x
Bài 14: Giải hệ PT
( )( )
1 2
x y x y xy
12
x y x y
x x y y
Bài 16: Giải hệ PT ( )
1 4
x x
y y
x y xy x y y
Bài 17: Giải hệ PT
2 2
3
1 1
1
+ − =
xy
Bài 18: Giải hệ PT 2 2
4 4
+ + + =
x y
x y
y x
x y
x y
y x
Bài 19: Giải hệ PT
1
4
+ + + =
xy
x y x y y y
x y y
Bài 22*: Giải hpt sau:
2
2
2 4 18
x
x xy
y
y y x
x y
+
Bài 23: Giải hệ pt sau:
2
x y x y
=
− +
= + +
3
5
xy y x
xy y x
Bài 25: Giải hệ PT
( )
3
3 7
x xy y x y
x xy y x y
Bài 27: Giải hệ PT 3 3 ( )( )
3
− + =
Bài 28: Giải hệ PT
=
− +
−
=
− +
−
−
5 2 6 2
2 2
2 4
y x y x
y x y
x
Trang 8Bài 29: Giải hệ PT
= +
− +
= + +
+
4 )
(
12 )
(
2 2 2
2
2 2 2
2
y x xy y x
y x xy y x
Bài 30: Giải hệ PT
1 3 1
x xy y y
x x y x x
( ) ( )
3 4
Bài 32*: Giải hệ PT
1 1
0
x y
+ =
+ + + =
Bài 33*: Giải hệ PT 2 ( )2 3 ( )
2
x x y x
3
2 1
3 2
x y y x
x y
Nếu làm hết số bài này, khi đi thi Đại học, 100% các em sẽ tủm tỉm cười!