05 hình học 09 chương i hệ thức lượng

Hình học www.vmathlish.com - CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH  Định lí Pi-ta-go: BC  AB2  AC  AB2  BC.BH ; AC  BC.CH  AB.AC  BC.AH  AH  BH CH 1    AH AB2 AC Câu Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH ĐS: BH  1,8 cm , CH  3,2 cm , AC  cm , AH  2,4 cm Câu Cho tam giác ABC vuông A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH ĐS: Câu Cho tam giác ABC vuông A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết AB  AC 24 13 36 13 (cm ) , AC  (cm) 13 13 Câu Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC ĐS: AB  ĐS: BC  52 cm , AH  105 cm , AB  130 cm , AC  546 cm Câu Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 600 a) Tính cạnh BC b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN ĐS: Câu Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 600 góc A 900 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC c) Tính HK d) Vẽ BE  DC kéo dài Tính BE, CE DC ĐS: Câu Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox  AB Trên Ox, lấy điểm D www.vmathlish.com Hình học www.vmathlish.com a Từ B kẽ BC vuông góc với đường thẳng AD a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn ĐS: Câu Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB HC lần cho OD  lượt lấy điểm M, N cho AMC HD: ABD ANB 900 Chứng minh: AM = AN ACE  AM  AC.AD  AB.AE  AN Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB 20 AH = 420 Tính chu vi  AC 21 tam giác ABC ĐS: PABC  2030 Đặt AB  20k , AC  21k  BC  29k Từ AH.BC = AB.AC  k  29 Câu 10 Cho hình thang ABCD vuông góc A D Hai đường chéo vuông góc với O Biết AB  13, OA  , tính diện tích hình thang ABCD ĐS: S  126,75 Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5 II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn  caïnh ñoái caïnh keà caïnh ñoái sin a  ; cos a  ; tan a  ; caïnh huyeàn caïnh huyeàn caïnh keà cot a  caïnh keà caïnh ñoái Chú ý:  Cho góc nhọn  Ta có:  sin   1;  cos    Cho góc nhọn ,  Nếu sin a  sin b (hoặc cos   cos  , tan a  tan b , cot a  cot b ) a  b Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc côsin góc kia, tang góc côtang góc Tỉ số lượng giác góc đặc biệt:  300 450 600 sina 2 cos  2 2 tana 3 cota 3 Tỉ số LG www.vmathlish.com Hình học Một số hệ thức lượng giác sin  ; tan   cos sin2   cos2   ; www.vmathlish.com cot   cos ; sin   tan2   tan a cot a  ; cos   cot a  ; sin2 a Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC ĐS: Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm ĐS: a) sin B  0,8 ; cos B  0,6 Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 10cm AC = 15cm a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c) Vẽ AH  BI H Tính AH ĐS: Câu 14 Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2 150  cos2 250  cos2 350  cos2 450  cos2 550  cos2 650  cos2 750 b) sin2 100  sin2 200  sin2 300  sin2 400  sin2 500  sin2 700  sin2 800 c) sin150  sin 750  cos150  cos750  sin300 d) sin350  sin 670  cos230  cos550 e) cos2 200  cos2 400  cos2 500  cos2 700 f) sin 200  tan 400  cot 500  cos700 ĐS: a) 3,5 b)  c) 0,5 d) e) f) Câu 15 Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn , tính tỉ số lượng giác lại : a) sin a  0,8 b) cos  0,6 c) tan a  d) cot a  ĐS: a) cos  0,6 b) sin a  0,8 Câu 16 Cho góc nhọn  Biết cos   sin   Tính cota ĐS: Câu 17 Cho tam giác ABC vuông C Biết cos A  Tính tan B 13 ĐS: tan B  12 Câu 18 Rút gọn biểu thức sau: a) (1  cos  )(1  cos  ) b)  sin2   cos2  c) sin   sin  cos2  d) sin4   cos4   2sin2  cos2  e) tan2   sin2 a tan2  ĐS: a) sin2 a b) c) sin3 a Câu 19 Chứng minh hệ thức sau: d) f) cos2   tan2  cos2  e) sin2 a f) (sin   cos  )2  (sin   cos  )2 cos  sin  4 b)  sin  cos   sin  cos ĐS: Câu 20 Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a) www.vmathlish.com Hình học www.vmathlish.com a b c   sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sin A  sin B  sin C không? BH BH ĐS: a) Vẽ đường cao AH Chú ý: sin A  b) không ,sin C  AB BC a) Chứng minh: III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông A có BC = a, AC = b, AB = c b  a.sin B  a.cos C ; c  a.sin C  a.cos B b  c.tan B  c.cot C ; c  b.tan C  b.cot B Câu 21 Giải tam giác vuông ABC, biết A 900 và: a) a  15cm; b  10cm b) b  12cm; c  7cm ĐS: a) B 420 , C 480 , c 11,147cm Câu 22 Cho tam giác ABC có B b) B 600 , C 600 , C 500 , AC 300 , a 14cm 35cm Tính diện tích tam giác ABC ĐS: S  509cm2 Vẽ đường cao AH Tính AH, HB, HC Câu 23 Cho tứ giác ABCD có A D 900 ,C 400 , AB 4cm, AD 3cm Tính diện tích tứ giác ĐS: S  17cm2 Vẽ BH  CD Tính DH, BH, CH Câu 24 Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC  4cm, BD  5cm , AOB 500 Tính diện tích tứ giác ABCD ĐS: S  8cm2 Vẽ AH  BD, CK  BD Chú ý: AH  OA.sin500 , CK  OC.sin500 Câu 25 Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh ĐS: a) Gọi  góc nhọn tạo hai đường thẳng AB, AC Vẽ đường cao CH CH  AC.sin a BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I Câu 26 Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính sin B,sin C ĐS: www.vmathlish.com Hình học www.vmathlish.com Câu 27 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB 112, HC 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD ĐS: a) AH = 84 b) AD  60 Câu 28 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC 61 25 305 , AC  61 , BH  b) S  6 12 Câu 29 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC ĐS: ĐS: a) AB  Câu 30 Cho hình thang ABCD có A D 900 hai đường chéo vuông góc với O a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD ĐS: a) Vẽ AE // BD  AB = ED AE  AC b) S = 150 c) OA  7,2; OB  5,4; OC  12,8; OD  9,6 Câu 31 Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB=10, CD = 27, AC = 12, BD = 35 ĐS: S = 210 Vẽ BE // AC (E  CD)  DE  BD  BE Câu 32 Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vuông b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh ĐS: a) Tính AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm  ABC vuông A b) r = 9cm Gọi O giao điểm ba đường phân giác S ABC  SOBC  SOCA  SOAB Câu 33 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết A 480 ; AH 13cm Tinh chu vi ABC ĐS: BC  11,6cm; AB  AC  14,2cm Câu 34 Cho  ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC DE DB a) Chứng minh b) Chứng minh BDE đồng dạng  CDB  DB DC c) Tính tổng AFB BCD ĐS: a) DB2  2a2  DE.DC c) AEB BCD ADB 450 Câu 35 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a sin B  cos B a) Tính b) Tính diện tích hình thang ABCD sin B  cos B 17 ĐS: a) b) Câu 36 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tan IED, tan HCE c) Chứng minh IED d) Chứng minh: DE  EC HCE www.vmathlish.com Hình học www.vmathlish.com 20 16 cm , HC  cm 3 b) tan IED tan HCE d) DEC IED HEC 900 Câu 37 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a  h; b  c; h tam giác vuông a) AB  cm , AC  ĐS: c, ĐS: Chứng minh (b  c)2  h2  (a  h)2 Câu 38 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) SAEF  SBFD  SCDE  cos2 A  cos2 B  cos2 C ĐS: a) Chứng minh b) SDEF  sin2 A  cos2 B  cos2 C S AEF  cos2 A b) SDEF  SABC   SAEF  SBFD  SCDE  S ABC Câu 39 Cho  ABC vuông A có sin C  Tính tỉ số lượng giác góc B C cos B 3 1 ; sin B  ; sin C  ; cos C  2 2 Câu 40 Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh: a) ANL ABC b) AN BL.CM  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C ĐS: cos B  Câu 41 Cho tam giác ABC vuông A có C 150 , BC = 4cm a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính AMH , AH, AM, HM, HC b) Chứng minh rằng: cos150  6 300 ; AH  cm ; AM  cm ; HM  cm ; HC   (cm) CH b) cos150  cos C  AC ĐS: a) AMH Câu 42 Cho tam giác ABC cân A, có A vuông góc D AC a) Tính AD, DC c) Chứng minh cos360  360 , BC = 1cm Kẻ phân giác CD Gọi H hình chiếu b) Kẻ CK  BD Giải tam giác BKC 1 Câu 43 Cho tam giác ABC có AB = 1, A 1050 , B 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = Vẽ ED // AD (D thuộc AC) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt BC F Gọi H hình chiếu A cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABE Tính AH b) Chứng minh EAD c) Tính tỉ số lượng giác góc AED góc AEF d) Chứng minh AED  AEF Từ suy AD = AF 1 e) Chứng minh   2 AD AF Câu 44 Giải tam giác ABC, biết: a) A 900 , BC 10cm, B 750 b) BAC 1200 , AB AC EAF 450 6cm www.vmathlish.com Hình học c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma  , đường cao AH = www.vmathlish.com d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma  , góc nhọn 470 ĐS: Câu 45 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vuông ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC ĐS: a) AC  3 (cm) , B 600 , C 300 b) AH  3 (cm) c) 27 www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Hình học www.vmathlish.com ……………………….……………………….……………………….……………………….…… ………………….……………………….……………………….………………… www.vmathlish.com ... giác ABC vuông A, đường cao AH G i D i m đ i xứng v i A qua i m B Trên tia đ i tia HA lấy i m E cho HE = 2HA G i I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tan IED,... hai góc phụ sin góc côsin góc kia, tang góc côtang góc Tỉ số lượng giác góc đặc biệt:  300 450 600 sina 2 cos  2 2 tana 3 cota 3 Tỉ số LG www.vmathlish.com Hình học Một số hệ thức lượng giác... www.vmathlish.com Hình học www.vmathlish.com a b c   sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sin A  sin B  sin C không? BH BH ĐS: a) Vẽ đường cao AH Chú ý: sin A  b) không ,sin C  AB BC a) Chứng minh: