Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)Đường Cônic và một số dạng toán về đường Cônic (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - CAO VĂN THÀNH ĐƢỜNG CÔNIC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƢỜNG CÔNIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - CAO VĂN THÀNH ĐƢỜNG CÔNIC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐƢỜNG CÔNIC Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Vấn đề xác định đường cônic 1.1.1 Lý thuyết chung 1.1.2 Đường bậc hai phương trình tắc 1.1.3 Phương trình đường cônic với tiêu điểm đường chuẩn Phương trình tiếp tuyến đường cônic 1.2.1 Phương trình tiếp tuyến đường bậc hai 1.2.2 Phương trình tiếp tuyến cônic 11 1.3 Phương tích điểm đường cônic 12 1.4 Đường đẳng phương hai đường cônic 15 1.5 1.4.1 Đường đẳng phương hai đường cônic 16 1.4.2 Một số ví dụ 16 Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic 20 1.5.1 Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường elip hypebol 21 1.5.2 Điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường parabol 22 Chương Một số dạng tập đường cônic 2.1 23 Đồng thức cho đa giác nội tiếp đường cônic 23 2.1.1 Đồng thức cho đa giác nội tiếp parabol 23 2.1.2 Đồng thức cho đa giác nội tiếp elip 25 2.1.3 Đồng thức cho đa giác nội tiếp hypebol 29 2.2 Bài toán đa giác nội tiếp đường cônic 31 2.3 Bài toán khoảng cách từ đường cônic đến đường thẳng 36 2.4 Bài toán bướm cho đường cônic 41 ii 2.5 Bài toán định tính liên quan đến đường cônic 45 2.6 Bài toán định lượng liên quan đến đường cônic 49 2.7 Bài toán quĩ tích liên quan đến đường cônic 56 2.8 Bài toán tham số hóa đường cônic 62 2.8.1 Bài toán tham số hóa đường parabol 62 2.8.2 Bài toán tham số hóa đường elip 66 2.8.3 Bài toán tham số hóa đường hypebol 70 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Lời nói đầu Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, dạng tập, đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng nói riêng ta thường gặp số toán elip, hypebol parabol So với toán đường thẳng, đường tròn, toán ba đường cônic có mặt không nhiều đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng năm gần đây, chủ đề thiếu việc ôn luyện thi học sinh giỏi, ôn luyện thi môn toán vào trường Đại học, Cao đẳng Tuy nhiên số học sinh chưa khai thác có hiệu mảng tập này, lý em chưa nắm dạng tập cách vận dụng kiến thức đường cônic để giải toán Hiện số học viên cao học chuyên nghành Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên khai thác có hiệu số vấn đề liên quan đến đường cônic, ví dụ Hoàng Văn Trọng với luận văn "Những toán tổng hợp đường cônic" Luận văn Hoàng Văn Trọng tập trung vào vấn đề liên quan đến đường cônic thông qua toán tổng hợp chương trình toán THPT, chưa sâu tìm hiểu số nội dung có chuyên đề dành cho học sinh giỏi, học sinh chuyên toán THPT Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ công tác giảng dạy Toán trường THPT, chọn hướng nghiên cứu làm luận văn Thạc sĩ với đề tài: " Đường cônic số dạng toán đường cônic" Một số kiến thức, tập trình bầy luận văn có số chuyên đề dành cho học sinh chuyên toán nằm chương trình sách giáo khoa THPT Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm hai chương Chương 1: Trình bày số vấn đề xác định đường cônic, phương trình tiếp tuyến đường cônic, phương tích điểm đường cônic, đường đẳng phương hai đường cônic, điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic Chương 2: Trình bày số dạng toán đường cônic như: Đồng thức cho đa giác nội tiếp đường cônic, toán tam giác, tứ giác nội tiếp đường cônic, khoảng cách từ đường cônic đến đường thẳng, tham số hóa đường cônic, toán quỹ tích Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có sẵn theo chủ đề đặt với lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu với nhiều ví dụ toán minh họa phong phú, cụ thể Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Trịnh Thanh Hải, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm khoa Toán- Tin, GS, PGS, TS tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường THPT Trần Quốc Tuấn, huyện Đồng Hỷ, tỉnh Thái Nguyên, tập thể lớp cao học Toán K8A (khóa 2014-2016) tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập công tác Thái Nguyên, ngày 26 tháng năm 2016 Tác giả luận văn Cao Văn Thành Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương việc điểm qua số khái niệm, tính chất đường cônic, chương trình bầy thêm số khái niệm, tính chất không trình bầy sách giáo khoa phổ thông, khái niệm, tính chất tiếp cận từ góc độ toán cao cấp nhằm cung cấp thêm công cụ để giải toán khó, dạng đường cônic 1.1 1.1.1 Vấn đề xác định đường cônic Lý thuyết chung Định nghĩa 1.1.1 Cho đường thẳng ∆ Xét đường thẳng cắt ∆ O không vuông góc với ∆ Mặt tròn xoay sinh đường thẳng quay quanh ∆ gọi mặt nón tròn xoay (hay đơn giản mặt nón) ∆ gọi trục mặt nón gọi đường sinh mặt nón O gọi đỉnh mặt nón Nhận xét 1.1.2 Khoảng kỷ thứ ba trước công nguyên, nhà toán học Apollonius chứng minh rằng: Nếu cắt mặt nón tròn xoay mặt phẳng (P ) không qua đỉnh mặt nón giao tuyến a) Một đường elip mp(P ) cắt đường sinh (đặc biệt, (P ) vuông góc với trục mặt nón giao đường tròn) b) Một đường parabol mp(P ) song song với đường sinh c) Một đường hypebol mp(P ) song song với hai đường sinh Chính giao tuyến có tên gọi đường cônic Phương trình tắc ba đường cônic phương trình bậc hai x, y Đó trường hợp riêng đường bậc hai mặt phẳng có dạng Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = hệ số A, B, C không đồng thời 1.1.2 Đường bậc hai phương trình tắc Trong hệ trục tọa độ vuông góc Rene’ Descartes Oxy , ta xét đường bậc hai có phương trình tổng quát Ax2 + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = (1) hệ số A, B, C không đồng thời Sau ta tìm tất đường bậc hai dạng tắc cho (1) Dùng phép quay tâm O, góc quay α biến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ Ox y , theo công thức đổi tọa độ x = x cos α − y sin α y = x sin α + y cos α (2) Khi M (x; y) hệ trục tọa độ cũ có tọa độ (x ; y ) hệ trục tọa độ Ox y , thay (2) vào (1) ta phương trình đường bậc hai cho hệ tọa độ có dạng A x + 2B x y + C y + 2D x + 2E y + F = (3) Trong A = Acos2 α + 2B cos α sin α + Csin2 α B = −A sin α cos α + Bcos2 α − Bsin2 α + C sin α cos α = (C − A) sin 2α + B cos 2α C = Asin2 α − 2B sin α cos α + Csin2 α D = D cos α + E sin α E = E cos α − D sin α Nếu B = ta chọn α để B = cách giải phương trình (C − A) sin 2α + B cos 2α = A−C ⇔ cot 2α = (4) 2B Vậy phương trình (1), B = cách quay hệ trục tọa độ góc α thỏa mãn điều kiện (4) ta đưa phương trình (3) dạng A x + C y + 2D x + 2E y + F = (5) Xét trường hợp phương trình (5) 1) Nếu A = 0, C = (5) viết lại sau A (x + D E x ) + C (y + y ) + F = A C Hay D A x + A E y + C +C 2 D A +F − − E C =0 (6) Dùng phép tịnh tiến D x=x + A E y=y + C Khi phương trình (6) trở thành A x2 + C y = F (7) Trong F = −F + D A a) Nếu A > 0, C > 0, F > 0, đặt + E C F F = a2 , = b2 phương trình A C (7) trở thành x2 y + =1 a2 b2 ta phương trình tắc đường elip F F b) Nếu A > 0, C > 0, F < 0, đặt − = a2 , − = b2 phương A C trình (7) trở thành x2 y + = −1 a2 b tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình F F c) Nếu A > 0, C < 0, F > 0, đặt = a2 , − = b2 phương A C trình (7) trở thành x2 y − =1 a2 b2 ta phương trình tắc đường hypebol F F d) Nếu A > 0, C < 0, F < 0, đặt = a2 , = b2 phương trình A C (7) trở thành y x2 − =1 b2 a2 ta phương trình tắc đường hypebol e) Nếu A > 0, C < 0, F = 0, phương trình (7) trở thành x2 y − =0 a2 b2 phương trình xác định cặp đường thẳng x y x y − = 0; + =0 a b a b chúng cắt gốc tọa độ f) Nếu A > 0, C > 0, F = 0, phương trình (7) trở thành x2 y + =0 a2 b2 có điểm thỏa mãn phương trình này, điểm gốc tọa độ 2) Nếu A = 0, C = 0, E = phương trình (5) viết lại sau D F A x + x + 2E y + =0 A 2E Hay D A x +2 A 2 + 2E F D2 − y + 2E 2E A =0 (8) Thực phép tịnh tiến tọa độ D x=x + A y=y + F − D 2E 2E A Khi phương trình (8) có dạng A x2 + 2E y = a) Nếu A E < , đặt (9) E = P phương trình (9) trở thành A x2 = 2P y 62 hay p yM = p(xM − ) p Quỹ tích M parabol có phương trình y = p(x − ) (2) Giả sử giao điểm A B ứng với giá trị t1 , t2 ta có √ √ F A = |t1 | a2 + 1, F B = |t2 | a2 + Vì F A > F B nên |t1 | > |t2 |, √ √ t = p a + a2 + , t = p a − a2 + Suy √ √ F N = F A − F B = (t1 + t2 ) a + = 2pa a2 + p Vậy điểm N ứng với giá trị tN = 2pa, hay xN = + 2pa2 , yN = 2pa Suy yN p xN = + 2p 2p hay p yN = 2p xN − p Vậy quỹ tích N parabol y = 2p(x − ), ảnh parabol p → − cho qua phép tịnh tiến theo vectơ v ;0 2.8 2.8.1 Bài toán tham số hóa đường cônic Bài toán tham số hóa đường parabol [2, tr.186-192] Mệnh đề 2.8.1 Trong mặt phẳng (Oxy) với đường parabol (P ) : x2 = 4py, p > ta có (1) Phương trình tham số y = pt2 tiêu điểm I(0, p), phương x = 2pt trình đường chuẩn d : y = −p (2) Đường thẳng qua I cắt (P) A B với 1 + = IA IB p 63 Chứng minh: (1) hiển nhiên (2) Giả sử (d) : y = kx + p qua I cắt (P ) A B Khi tọa độ y = kx + p hai điểm A B nghiệm hệ 4py = x2 Xét hệ phương trình y = kx + p x2 − 4pkx − 4p2 = Gọi x1 , x2 , x1 < < x2 , hai nghiệm x2 − 4pkx − 4p2 = A(x1 ; y1 = kx1 + p), B(x2 ; y2 = kx2 + p) với x1 x2 = −4p2 Ta có 1 + = IA IB = = 1 + x21 + (y1 − p)2 x22 + (y2 − p)2 1 x2 − x1 √ √ √ + = |x1 | + k |x2 | + k 4p2 + k (x2 + x1 )2 − 4x1 x2 √ = 4p2 + k 16p2 k + 16p2 √ 4p2 + k Do 1 + = IA IB 16p2 k + 16p2 √ = p 4p2 + k Mệnh đề 2.8.2 Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường parabol (P ) : y = 4px, p > Giả sử đường thẳng d : x = k(y − v) + u qua N (u, v) cắt (P ) A B Với điểm M (1; k) thuộc đường thẳng với phương trình x = Ta có N A N B đồng thức = v − 4pu OM Chứng minh: x = k (y − v) + u 4px = y x − u = k (y − v) y − 4pky + 4pkv − 4pu = Tọa độ A, B nghiệm hệ Xét hệ phương trình 64 Gọi y1 , y2 hai nghiệm phương trình y − 4pky + 4pkv − 4pu = A (x1 = k (y1 − v) + u; y1 ) , B (x2 = k (y2 − v) + u; y2 ) Ta có N A.N B = |(y1 − v) (y2 − v)| = v − 4pu OM Do vậy, ta nhận đồng thức N A N B = v − 4pu OM Bài toán 2.8.3 Trong mặt phẳng (Oxy), giả sử đường thẳng x = ky + a cắt parabol (P): y = 4px, p = hai điểm A B Chứng minh trung điểm I đoạn AB chạy đường thẳng cố định (d) a thay đổi (đường thẳng (d) gọi đường kính (P)) Lời giải: Tọa độ hai điểm A B nghiệm hệ phương trình x = ky + a y = 4px Giải hệ A (x1 = ky1 + a; y1 ) , B (x2 = ky2 + a; y2 ), y1 , y2 hai nghiệm phương trình y − 4pky − 4pa = Vậy tọa độ điểm I (xI = kyI + a, yI = 2kp) suy I chạy đường thẳng (d) với phương trình y = 2kp x Giả sử n đường thẳng qua I(0;1) cắt (P) (A1 ; B1 ), (A2 ; B2 ), , (An , Bn ), tương ứng Khi ta có 1 + ≤ (1) Bất đẳng thức Bài toán 2.8.4 Trong mặt phẳng (Oxy) cho parabol (P): y = n n IAi n i=1 IBi n i=1 (2) Giả sử α số đo góc Ox A1 B1 Lấy điểm M1 (tanα; 1) thuộc IA1 IB1 đường thẳng với phương trình y = Ta có đồng thức: = OM12 Lời giải: (1) Giả sử (d) : y = kx + qua I cắt (P ) A, B Khi tọa độ y = kx + 1 hai điểm A B nghiệm hệ y = x2 y = kx + Xét hệ phương x2 − 4k4 − = 65 Gọi x1 , x2 hai nghiệm x2 − 4kx − = A(x1 ; kx1 ), B(x2 ; kx2 ) 1 Ta giả thiết x1 < < x2 Đặt T = + biến đổi sau: IA IB 1 1 √ √ + = T = + −x1 + k x2 + k x21 + k x21 x22 + k = −x1 x2 − x1 x2 √ √ + = √ −x1 x2 + k −x1 x2 + k + k2 √ (x2 + x1 )2 − 4x1 x2 16k + 16 √ = √ = + k2 + k2 = Do n 1= n i=1 1 + IAi IBi ≥ + n IAi n i=1 n IBi n i=1 (2) Ta có IA1 IB1 = |x1 x2 | + tan2 α = 4OM12 Do vậy, ta nhận IA1 IB1 đồng thức = OM12 Bài toán 2.8.5 Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng d : y = kx + 2 parabol (P): y = x Chứng minh (1) Đường thẳng d: y = kx + qua điểm cố định d cắt parabol 2 (P): y = x hai điểm phân biệt A B (2) Có điểm M thuộc đường thẳng d : y = − để M A⊥M B Lời giải: 1 qua điểm (0; ) cố định d cắt 2 y = kx + 12 parabol (P ) : y = x hệ phương trình có y = x2 2 nghiệm Vì phương trình x2 − 2kx − = có ∆ = k + > nên hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình x2 − 2kx − = (1) Đường thẳng d : y = kx + 66 Vậy d cắt (P ) hai điểm A x1 ; kx1 + 1 , B x2 ; kx2 + 2 (2) Giả sử điểm M (m; − ) thuộc đường thẳng d Khi M A⊥M B M A2 + M B = AB hay (m − x1 )2 +(kx1 + 1)2 +(m − x2 )2 +(kx2 + 1)2 = (x2 − x1 )2 +(kx2 − kx1 )2 Từ suy 2m2 − 2m (x1 + x2 ) + 2k (x1 + x2 ) + = −2x2 x1 − 2k x2 x1 Do x1 + x2 = 2k x1 x2 = −1 nên m2 − 2mk + 2k + = + k hay (m − k)2 = Vậy ta có điểm M (k; − ) để M A⊥M B 2.8.2 Bài toán tham số hóa đường elip [2, tr.195-198] x2 y Mệnh đề 2.8.6 Đường elip (E): + = với a, b ∈ Q đồ thị phẳng a b 2a2 bt b3 − a2 bt2 Q tham số hóa qua x(t) = , y(t) = với quy b + a2 t2 b + a2 t ước 2a2 bt =0 lim x (∞) = t→∞ b + a2 t b3 − a2 bt2 y (∞) = lim = −b t→∞ b + a2 t2 Với A(x0 ; y0 ) thuộc (E), phương trình tiếp tuyến At (E) xx0 yy0 + = a2 b Chứng minh: Đường thẳng (d) qua điểm (0; b) ∈ (E) với hệ số góc −t có phương trình (d) : y = −tx + b (d) cắt (E) điểm (0; b) điểm 2a2 bt b3 − a2 bt2 At ( ; ) b + a2 t2 b2 + a2 t2 67 2a2 bt b3 − a2 bt2 Điểm At ( ; ) chạy qua tất điểm thuộc (E), khác b + a2 t2 b2 + a2 t2 điểm (0; −b) Với quy ước 2a2 bt x (∞) = lim =0 t→∞ b + a2 t2 b3 − a2 bt2 = −b y (∞) = lim t→∞ b + a2 t2 At chạy qua điểm (0; −b) x20 y02 Vì A(x0 ; y0 ) ∈ (E) nên + = a b 2x0 2y0 xx0 yy0 Vậy At : (x − x0 ) + (y − y0 ) = hay + = a b a b 2 y x Mệnh đề 2.8.7 Đường elip (E): + = với a, b ∈ R hai tiêu a b điểm F (c; 0), F (−c; 0) Kẻ qua tiêu điểm F đường thẳng cắt (E) A B Khi ta có 1 2a (1) + = FA FB b 2b2 (2) Giá trị nhỏ AB a (3) Giả sử N (u; v) đường thẳng với hệ số góc k = tan α qua N cắt (E) C D Với điểm M (a sin α; b cos α) thuộc (E) ta có 2 N C N D OM = a b u2 v + −1 a2 b (4) F A F B OM = −b4 Chứng minh: 1 + Giả sử FA FB π α = xF A ≤ , r = F A (1) Ta tính biểu thức T = A(x1 ; y1 ) Hạ AP ⊥Ox Khi F P = r cos α hoành độ điểm A viết thành x1 = c + r cos α Mặt khác, lại có F A + F A = 2a F A2 − F A2 = (x1 − c)2 + y12 − (x1 + c)2 − y12 = −4cx1 Do r + F A = 2a cx cx1 suy r = a − r − F A = −2 a a 68 Tóm lại, có ar = a2 − cx1 = a2 − c(c + r cos α) hay b2 FA = r = a + c cos α Hoàn toàn tương tự, có b2 a − c cos α 2a + = Từ hai hệ thức suy FA FB b (2) Từ FB = AB = F A + F B = b2 b2 2ab2 + = a + c cos α a − c cos α a − c2 cos α 2ab2 2b2 2b2 π ta suy AB ≥ = Vậy AB nhỏ α = a a a hay F A⊥Ox (3) Phương trình N C : y = k(u − v) + v hay y = kx + h với h = v − ku y = kx + h Gọi x1 , x2 hai Tọa độ C D nghiệm hệ x2 y + = a2 b nghiệm phương trình (b2 + a2 k )x2 + 2hka2 x + a2 h2 − a2 b2 = Từ suy tọa độ điểm C(x1 ; y1 = k(x1 − u) + v), D(x2 ; y2 = k(x2 − u) + v) tính N C.N D = |(u − x1 ) (u − x2 )| + k Bởi (b2 + a2 k )x2 + 2hka2 x + a2 h2 − a2 b2 = (b2 + a2 k )(x − x1 )(x − x2 ) nên (b2 + a2 k )(u − x1 )(u − x2 ) = b2 u2 + a2 v − a2 b2 69 Từ suy N C.N D = |(u − x1 ) (u − x2 )| + k + k2 = b u +a v −a b b + a2 k 2 2 2 nhận 2 2 2 N C N D(b cos α + a sin α) = a b u2 v + −1 a2 b Vậy u2 v + −1 a2 b 2 N C N D OM = a b 2 2 2 (4) Vì c = a − b nên F A F B OM = a b c 02 + − = −b4 a b x2 y Bài toán 2.8.8 Đường elip (E): + = đồ thị phẳng hữu tỉ 16 25 Q Lời giải: Đường thẳng (d) qua điểm (4; 10) ∈ (E) với hệ số góc −t có phương trình (d) : y = −t(x − 4) + 10 (d) cắt (E) điểm (4; 10) điểm 64t2 + 320t − 100 −160t2 + 200t + 250 At ; 16t2 + 25 16t2 + 25 Chúng ta thấy ngay, điểm At 64t2 + 320t − 100 −160t2 + 200t + 250 ; 16t2 + 25 16t2 + 25 chạy qua tất điểm thuộc (E), khác điểm (4; −10) Với quy ước 64t2 + 320t − 100 x(∞) = lim = 4, t→∞ 16t2 + 25 −160t2 + 200t + 250 = −10 t→∞ 16t2 + 25 y(∞) = lim At chạy qua điểm (4; −10) Vậy elip (E) : x2 y2 + = đồ thị 16 25 phẳng hữu tỉ Q Bài toán 2.8.9 Đồ thị phẳng (E) : hữu tỉ Q x2 y2 + = không đồ thị phẳng 16 25 70 Lời giải: Nếu đồ thị phẳng (E) : x2 y2 + = đồ thị phẳng hữu tỉ Q 16 25 x2 y2 + = 3z phải có nghiệm nguyên (x; y; z) Không 16 25 hạn chế ta chọn x, y, z nguyên tố Ta nhận thấy, x chia hết cho y chia hết cho z chia hết cho Vậy coi x, y, z không chia hết cho Do x, y ∈ {3k ± |k ∈ Z} Vì 25x2 + 16y = 600z nên x2 + y ≡ ( mod 3) Điều xẩy ra, x2 y2 2 + = 3z x + y ≡ (mod3) Như vậy, phương trình 16 25 x2 y2 nghiệm nguyên (x, y, z) Từ suy đồ thị phẳng (E) : + =3 16 25 không đồ thị phẳng hữu tỉ Q phương trình 2.8.3 Bài toán tham số hóa đường hypebol [2, tr.198-202] x2 y Mệnh đề 2.8.10 Đường hypebol (H): − = với a, b ∈ Q đồ thị a b phẳng hữu tỷ Q tham số hóa qua a + ab2 t2 2b2 t x(t) = , y(t) = − b2 t2 − b2 t2 quy ước a + ab2 t2 2b2 t x(∞) = lim = −a, y(∞) = lim = t→∞ − b2 t2 t→∞ − b2 t2 Từ suy nghiệm hữu tỉ x2 − dy = 1, d số nguyên không số phương Với điểm A(x0 ; y0 ) ∈ (H), phương trình tiếp xx0 yy0 tuyến At (H) − = a b Chứng minh: Đường thẳng (d) qua điểm (a; 0) ∈ (H) với hệ số góc at có phương trình x = a(ty + 1) (d) cắt (H) điểm (a; 0) điểm At Điểm At a + ab2 t2 2b2 t ; − b2 t2 − b2 t2 a + ab2 t2 2b2 t ; − b t2 − b t2 chạy qua tất điểm thuộc (H), khác 71 điểm (a; 0) Với quy ước a + ab2 t2 2b2 t x(∞) = lim = −a, y(∞) = lim = t→∞ − b2 t2 t→∞ − b2 t2 At chạy qua điểm (a; 0) Nghiệm tổng quát x2 − dy = d + t2 2t m dn2 + m2 2mn x = ,y= Với t = có x = ,y = , 2 2 d−t d−t n dn − m dn2 − m2 m, n ∈ Z (m, n) = x20 y02 Vì A(x0 ; y0 ) ∈ (H) nên − = a b 2x0 2y0 xx0 yy0 Vậy At : (x − x0 ) − (y − y0 ) = hay At : − = a b a b Mệnh đề 2.8.11 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho đường hypebol (H): x2 y − = với a, b ∈ R hai tiêu điểm F1 (−c; 0), F2 (−c; 0) Xét: a2 b (1) Đường thẳng d với hệ số góc k qua tiêu điểm F1 cắt hypebol (H) ab abk tai A B Với điểm M ; thuộc hypebol (H) |b2 − a2 k | |b2 − a2 k | b2 F1 A F1 B = − ta luôn có hệ thức OM a (2) Giả sử N (u; v) đường thẳng với hệ số góc k qua N cắt (H) v2 N C N D 2 u C D Khi = a b − −1 OM a2 b2 Chứng minh: (1) Qua tiêu điểm F1 dựng đường thẳng d : y = k(x − c) cắt (H) A B Khi tọa độ A B nghiệm hệ x2 y − =1 a2 b y = k(x − c) hay (X + c)2 k X − =1 a2 b y = kX, X = x − c Phương trình (b2 − a2 k )X + 2b2 cX + b4 = có nghiệm X1 , X2 với b4 X1 X2 = b − a2 k 72 Vậy b4 (1 + k ) b2 a2 b2 (1 + k ) F1 A.F2 B = = |b − a2 k | a2 a2 |b2 − a2 k | Với điểm M ab ; |b2 − a2 k | abk |b2 − a2 k | thuộc (H) ta có hệ thức F1 A F1 B b2 = − OM a (2) chứng minh hoàn toàn tương tự Mệnh đề 2.12 x2 y Bài toán 2.8.12 Đường hypebol (H) : − = đồ thị phẳng 49 hữu tỷ Q Lời giải: Đường thẳng (d) qua điểm (6; 7) ∈ (H) với hệ số góc 3t có phương trình x = 3t(y − 7) + Đường thẳng (d) cắt (H) điểm (6; 7) điểm −294t2 + 42t − 343t2 − 196t + thứ hai At ; 49t2 − 49t2 − −294t2 + 42t − 343t2 − 196t + Điểm At ; chạy qua tất 49t2 − 49t2 − điểm thuộc (H) khác điểm (−6; 7) Với quy ước sau 343t2 − 196t + −294t2 + 42t − = −6, y(∞) = lim = t→∞ t→∞ 49t2 − 49t2 − x(∞) = lim At chạy qua điểm (−6; 7) Bài toán 2.8.13 Đường hypebol (H) : x2 y − = đồ thị phẳng 49 hữu tỷ Q Lời giải: Đường thẳng (d) qua điểm ( ; ) ∈ (H) với hệ số góc 3t có phương 2 9 trình x = 3t(y − ) + Đường thẳng (d) cắt (H) điểm ( ; ) điểm 2 2 9 − t + t− t − 3t + 98 14 thứ hai At ; 1 2 t − t − 49 49 73 9 − t + t− t − 3t + 98 ; 14 Điểm At chạy qua tất điểm 1 t2 − t2 − 49 49 thuộc (H) khác điểm (− ; ) 2 Với quy ước sau 9 − t2 + t − t − 3t + 98 = − , y(∞) = lim 14 = x(∞) = lim 1 t→∞ t→∞ 2 t2 − t2 − 49 49 At chạy qua điểm (− ; ) 2 x2 y − = đồ thị phẳng hữu tỷ Vậy đường hypebol (H) : 49 Q 74 Kết luận Luận văn "Đường cônic số dạng toán đường cônic" với mục đích tổng hợp đưa vài dạng toán liên quan đến đường cônic làm chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Qua ví dụ 45 tập Luận văn hoàn thành số nhiệm vụ sau Trình bầy số khái niệm nâng cao liên quan đến đường cônic (phương tích điểm đường cônic, đường cônic đẳng phương hai đường cônic ) có khái niệm không trình bầy sách giáo khoa THPT Làm rõ vấn đề xác định phương trình tắc đường cônic dựa vào đường bậc hai mặt phẳng dựa vào định nghĩa đường cônic Đưa nhận xét lựa chọn ví dụ cụ thể để minh họa cho số khái niệm luận văn đề cập đến Sưu tầm, phân loại đưa số dạng tập đường cônic Đối tập tài liệu tham khảo chưa có lời giải lời giải vắn tắt, luận văn cố gắng đưa lời giải chi tiết đồng thời có đưa thêm đề dẫn số dạng tập để người đọc dễ hiểu Với số tập luận văn đưa lời giải khác với tài liệu tham khảo nhằm cung cấp thêm cho học sinh cách tiếp cận toán từ giải toán nhiều hướng khác 75 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu, Đàm Văn Nhỉ (2012), Đồng thức phương pháp tọa độ hình học, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đàm Văn Nhỉ (chủ biên), Văn Đức Chín, Đào Ngọc Dũng, Phạm Minh Phương, Trần Trung Tình, Nguyễn Anh Tuấn (2015), Hình học sơ cấp, Nxb Thông Tin Truyền Thông [3] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2014), Tài liệu chuyên toán hình học 10, Nxb Giáo Dục Việt Nam [4] Đoàn Quỳnh (Chủ biên),Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2014), Tài liệu chuyên toán tập hình học 10, Nxb Giáo Dục Việt Nam [5] Trần Phương, Lê Hồng Đức (2008), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán hình giải tích, Nxb Hà Nội [6] Đỗ Thanh Sơn (2009), Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, Nxb Giáo Dục Việt Nam [7] Các tác giả (2009), Tuyển tập theo chuyên đề toán học tuổi trẻ (quyển 3), Nxb Giáo Dục Việt Nam Tiếng Anh [8] Coxeter H S M., Greitzer S L (1975), Geometry revisited, The mathematical associatiom of American [9] Jerald M., Ellen K., Eric K (2004), Discovering advanced algebra, Key Curriculum Press 76 [10] Răzvan G., Titu A., (2007), Putman and Beyond, Springer Science, Business Media, LLC ... tiếp tuyến đường cônic, phương tích điểm đường cônic, đường đẳng phương hai đường cônic, điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường cônic Chương 2: Trình bày số dạng toán đường cônic như:... công tác giảng dạy Toán trường THPT, chọn hướng nghiên cứu làm luận văn Thạc sĩ với đề tài: " Đường cônic số dạng toán đường cônic" Một số kiến thức, tập trình bầy luận văn có số chuyên đề dành... đến đường cônic 45 2.6 Bài toán định lượng liên quan đến đường cônic 49 2.7 Bài toán quĩ tích liên quan đến đường cônic 56 2.8 Bài toán tham số hóa đường cônic