Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán đại số nâng cao (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 i Lời cảm ơn Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy đáng kính TS Nguyễn Văn Ngọc, thầy khơng ngại khó khăn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình xây dựng đề cương, làm hồn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo, Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên người tạo điều kiện mặt để em tham gia học tập hồn thành khóa học Đồng thời em gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn học viên lớp K7Q người ln lắng nghe, đóng ghóp ý kiến, giúp đỡ, động viên em trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều, lực thân nhiều hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng ghóp thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày tháng .năm 2015 Học viên Phạm Thùy Linh ii Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu i ii 1 Đồng thức 1.1 Hằng đẳng thức thức 1.1.1 Các đẳng thức 1.1.2 Căn thức 1.1.3 Một số toán 1.2 Ứng dụng đẳng thức bậc hai 1.2.1 Cơ sở lý thuyết 1.2.2 Các toán 1.3 Ứng dụng đẳng thức bậc ba 1.3.1 Cơ sở lý thuyết 1.3.2 Các toán áp dụng 1.4 Phân thức hữu tỷ 1.4.1 Ứng dụng tam thức bậc hai phân thức hữu tỷ 1.4.2 Ứng dụng đồng thức phân thức hữu tỷ 3 4 8 10 10 11 14 14 22 22 24 26 26 28 44 44 44 45 45 53 53 56 Đa 2.1 2.2 2.3 thức đối xứng số ứng dụng Cơ sở lý thuyết Phân tích thành nhân tử Chứng minh bất đẳng thức 2.3.1 Đa thức đối xứng hai biến 2.3.2 Đa thức đối xứng ba biến Phương trình bậc ba phương trình bậc bốn 3.1 Phương trình bậc ba 3.1.1 Phương trình bậc ba 3.1.2 Cách giải phương trình bậc ba 3.1.3 Các tập 3.2 Phương trình bậc bốn 3.2.1 Phương trình bậc bốn 3.2.2 Phương trình trùng phương 15 iii 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 Phương trình hệ số đối xứng phương trình hồi quy bậc bốn Phương trình bậc bốn khuyết lũy thừa bậc ba Một số dạng phương trình khác Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn 58 61 63 67 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Mở đầu Đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình v.v chuyên mục đại số quan trọng dạy bậc phổ thơng Các tốn chun mục (và hầu hết chuyên mục khác) phân thành loại như: bản, nâng cao khó Các tốn nâng cao khó thường xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp thi vào trường chuyên Các toán loại thu hút nhiều người dạy học, kích thích tò mò, đam mê, góp phần nâng cao chất lượng học tập Do đó, việc tìm hiểu, thu thập, sáng tác biên tập toán nâng cao khó cần thiết cho cơng việc giảng dạy học tập tốn học bậc phổ thơng Mục đích luận văn giới thiệu tốn nâng cao khó (gọi chung nâng cao) số chuyên mục đại số như: đồng thức, bất đẳng thức phương trình đại số Đó chuyên mục của đại số bậc phổ thông, trung học sở Luận văn có cấu trúc: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Đồng thức Chương trình bày số dạng toán nâng cao đa thức phân thức, đặc biệt khai thác số đẳng thức áp dụng tính giá trị biểu thức phức tạp, chứng minh đẳng thức, phân tích thành nhân tử, v.v Trình bày số tính chất phân thức hữu tỷ áp dụng tính giá trị biểu thức phân thức hữu tỷ v.v Chương 2: Đa thức đối xứng số ứng dụng Các tốn có tính đối xứng, tốn vê bất đẳng thức, thường đẹp hình thức độc đáo cách giải nên hấp dẫn người dạy học toán sơ cấp bậc phổ thông Một công cụ hiệu giải tốn có tính đối xứng vận dụng lý thuyết đa thức đối xứng mà cụ thể công thức Waring biểu diễn tổng lũy thừa theo đa thức đối xứng sở Lý thuyết đa thức đối xứng áp dụng tiếng Việt tìm thấy tài liệu [2] Chương hình thành sở tài liệu [2], nhiên tốn trình bày chương hồn tồn chưa giới thiệu tài liệu nói trên, số có nhiều tác giả sáng tác Các toán bất đẳng thức chiếm vị trí đáng kể số tốn giới thiệu chương Chương 3: Phương trình bậc ba phương trình bậc bốn Phương trình hệ phương trình đại số chuyên mục trung tâm đại số dược dạy từ bậc trung học sở Hiện có số lượng lớn tài liệu giới thiệu phương trình hệ phương trình bậc bậc hai So với phương trình cấp thấp, phương trình bậc cao hơn, bậc ba bậc bốn không giới thiệu tổng quát bậc phổ thông, có phương trình cụ thể dễ dàng đưa phương trình bậc thấp Ngồi ra, số lượng mức độ khó phương trình bậc cao hạn chế, đó, chương luận văn dành cho việc trình bày cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn nghiên cứu toán khác liên quan đến hai lớp phương trình Các tốn giới thiệu đa phần tốn khó lấy từ đề thi vào đại học hay thi học sinh giỏi cấp nước Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [4] Chương Đồng thức Chương trình bày số dạng tốn nâng cao đa thức phân thức, đặc biệt khai thác số đẳng thức áp dụng tính giá trị biểu thức phức tạp, chứng minh đẳng thức, phân tích thành nhân tử, v.v Trình bày số phương pháp tính giá trị biểu thức phân thức hữu tỷ Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [5-8], [9] [??] 1.1 Hằng đẳng thức thức 1.1.1 Các đẳng thức Bình phương tổng, hiệu (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 = (a ∓ b)2 ± 4ab Hiệu hai lũy thừa bậc an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + + abn−2 + bn−1 ) Tích hai tổng hai bình phương (a2 + b2 )(x2 + y ) = (ax + by )2 + (ay − bx)2 Tổng hai lũy thừa bậc lẻ a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1 b + − ab2n−1 + b2n ) Lũy thừa tổng hai số (Nhị thức Newton) n n (a + b) = ∑ Cnk an−k bk , Cnk = k =0 n! , n! = 1.2 n, 0! = k!(n − k )! 1.1.2 Căn thức Căn bậc n(n ∈ N, n ≥ 2) số thực a số thực b (nếu có) cho bn = a Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) : Mọi √ số thực có bậc lẻ có 2k+1 bậc lẻ ký hiệu a Căn bậc chẵn (n = 2k ) : Số thực âm khơng có bậc chẵn Số có căn√bậc chẵn√là Số dương√có hai bậc chẵn hai số đối 2k a − 2k a (trong 2k a ≥ 0) Một số phép biến đổi thức a Biến đổi bậc lẻ √ 2k+1 A2k+1 = A; √ 2k+1√ √ 2k+1 2k+1 A.B = A B; b Biến đổi bậc chẵn √ 2k A2k = ∣A∣; √ √ 2k ∣A∣ A 2k = 2k√ AB ≥ 0, B ≠ 0; B ∣B ∣ 1.1.3 √ √ 2k+1 A2k+1 B = A B √ √ A 2k+1 A 2k+1 = √ , B ≠ B 2k+1 B 2k+1 √ √ √ AB = 2k ∣A∣ 2k ∣B ∣ AB ≥ √ √ 2k 2k A2k B = ∣A∣ B, B ≥ 2k Một số toán Bài tốn 1.1 Phân tích thành nhân tử a x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + b 6x5 − 15x4 + 20x3 − 15x3 + 6x − Lời giải a Ta có x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + = (x4 − 6x3 + 9x2 ) + (2x2 − 6x) + = (x2 − 3x)2 + 2(x2 − 3x) + = (x2 − 3x + 1)2 b Khai triển nhị thức Newton (x − 1)6 = x6 − 6x5 + 15x4 − 20x3 + 15x3 − 6x + Do 6x5 − 15x4 + 20x3 − 15x3 + 6x − = x6 − (x − 1)6 = [x3 − (x − 1)3 ][x3 + (x − 1)3 ] = [x2 + x(x − 1) + (x − 1)2 ][(2x − 1)(x2 − x(x − 1) + (x − 1)2 ] = (3x2 − 3x + 1)(2x − 1)(x2 − x + 1) Bài tốn 1.2 Phân tích thành nhân tử biểu thức a x8 + x4 + b x10 + x5 + Lời giải a Ta có x8 + x4 + = (x8 + 2x4 + 1) − x4 = (x4 + 1)2 − x4 = (x4 + x2 + 1)(x4 − x2 + 1) = (x4 + 2x2 + − x2 )(x4 + 2x2 + − 3x2 ) √ = [(x2 + 1)2 − x2 ][(x2 + 1)2 − ( 3x)2 ] √ √ 2 2 = (x + x + 1)(x − x + 1)(x + 3x + 1)(x − 3x + 1) b Ta có x10 + x5 + = (x10 + x9 + x8 ) − (x9 + x8 + x7 ) + (x7 + x6 + x5 ) − (x6 + x5 + x4 ) + (x5 + x4 + x3 ) − (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1) Bài toán 1.3 Phân tích thành nhân tử a x3 + y + z − 3xyz b (x + y + z )3 − x3 − y − z Lời giải a Ta có x3 + y + z − 3xyz = (x + y )3 − 3xy (x + y ) + z − 3xyz = [(x + y )3 + z ] − 3xy (x + y + z ) = (x + y + z )[(x + y )2 − (x + y )z + z ] − 3xy (x + y + z ) = (x + y + z )(x2 + y + z − xy − yz − zx) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người... luận văn giới thiệu tốn nâng cao khó (gọi chung nâng cao) số chuyên mục đại số như: đồng thức, bất đẳng thức phương trình đại số Đó chuyên mục của đại số bậc phổ thông, trung học sở Luận văn có... trình bày số dạng toán nâng cao đa thức phân thức, đặc biệt khai thác số đẳng thức áp dụng tính giá trị biểu thức phức tạp, chứng minh đẳng thức, phân tích thành nhân tử, v.v Trình bày số tính