Tổ hợp xác xuất

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Dạng STT   Các toán tổ hợp Xác suất Nhị thức newton Số tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi Bản thân Quy tắc đếm       Hoán vị       Chỉnh hợp       Tổ hợp               Tìm hệ số       Tìm số hạng thứ       Tính tổng       Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi công việc OR AND thực cách QUY TẮC CỘNG QUI TẮC ĐẾM Qui tắc Qui tắc CỘNG NHÂN Giả sử công việc bao gồm hai giai đoạn A B Giai đoạn A làm theo n cách Với cách thực giai đoạn A giai đoạn B làm theo m cách Khi công việc thực theo cách     Tính chất công việc: Độc lập với Hoặc ( OR ) QUY TẮC NHÂN Tính chất công việc: Liên quan đến ( giai đoạn ) Hoặc ( AND ) Bài toán qui tắc đếm Bài 1: Bạn Diễm vào siêu thị mua áo sơ mi cỡ 38 39 ; cỡ 38 có màu khác , cỡ 39 có màu Hỏi bạn Diễm có cách chọn áo ? Giải : Bạn Diễm có phương án để chọn Phương án A: Chọn áo cỡ 38 có cách chọn ( tương ứng màu khác ) Phương án B : Chọn áo cỡ 39 có cách chọn ( tương ứng màu khác nhau) Do cách chọn áo độc lập nên số cách bạn Diễm chọn : + = 10 ( cách )   Bài 2: Cho tập A ={ 0;1;2;3;4} Có số chẵn mà số gồm chữ số khác chọn số phần tử A? Giải : Số tự nhiên có chữ số lập từ A ( a,b,c ) Chọn a \ { 0} có cách chọn Chọn b \ {a} có cách chọn Chọn c \ {a; b} có cách chọn Vậy có 4.4.3 = 48 số cần tìm Bài toán hoán vị Bài 1: Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải : Mỗi cách đổi chỗ người băng ghế hoán vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách  Bài 2: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải : Gọi với + Bước 1: chữ số phân biệt số cần lập nên có cách chọn a1 + Bước 2: chữ số lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số   Bài 3: Lớp học có 20 bạn học sinh tham dự hội thảo Hỏi có cách để xếp 20 bạn vào 20 ghế xếp thành vòng tròn Giải: Khi ta đổi chỗ bạn 20 bạn 20 ghế xếp thành vòng tròn hoán vị Vậy nên số cách xếp Bài toán chỉnh hợp   Bài 1: Giải phương trình cho n số nguyên dương a) = 20n    b)       c)         Bài Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách? Giải : Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế để người vào có hoán vị chỉnh hợp chập Vậy có cách   Bài Từ tập hợp lập số tự nhiên có chữ số khác Giải :Gọi với phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số nên có cách chọn a + Bước 2: chọn chữ số lại để vào vị trí cách Vậy có số   Bài 4: Một buổi khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn? Bài giải Chọn nam số 10 nam để ghép thành cặp chỉnh hợp chập 10 là: Chọn nữ số nữ để ghép thành cặp chỉnh hợp chập Vậy số cách chọn để ghép nam nữ thành cặp là: 720.120 cách Ví dụ 2.Cho hộp có viên bi xanh, hộp có viên bi đỏ, hộp có viên bi vàng Hỏi có cách chọn viên bi cho có viên bi vàng Bài giải  Sơ đồ đường Bước 1: Xác định yêu cầu TH1: Có viên bi vàng, viên bi đỏ, viên bi xanh Chọn viên bi vàng viên bi vàng +) Yếu tố: viên bi Chọn viên bi đỏ viên bi đỏ +) Tính chất : số bi nguyên dương Chọn viên bi xanh viên bi xanh Bước 2: Chọn   Vậy TH1 có số cách chọn là: cách + Cái : viên TH2: Có viên bi vàng, viên bi đỏ + Từ đâu: từ tổng 10 bi : xanh + đỏ + vàng Chọn viên bi vàng viên bi vàng => CT tổ hợp Chọn viên bi đỏ viên bi đỏ + Như nào:   Vậy TH2 có số cách chọn là: 3.1 cách  TH3: Có viên bi vàng, viên bi xanh Bước : Liên kết Chọn viên vàng Chọn viên bi vàng viên bi vàng  Chọn viên bi xanh viên bi xanh + TH1: viên vàng viên chọn   • •   • •  Trường hợp : kiện mở ( ) Vậy TH3 có số cách chọn 30 cách + TH2 : viên vàng viên chọn TH4: Có viên bi vàng, viên bi đỏ  Chọn viên bi vàng viên bi vàng có cách => Quy tắc cộng Chọn viên bi đỏ viên bi đỏ có cách Vậy TH4 có số cách chọn là: cách   TH5: Có viên bi vàng, viên bi xanh Chọn viên bi vàng viên bi vàng có cách Chọn viên bi xanh viên xanh có cách Vậy TH4 có số cách chọn là: cách Kết luận: Số cách chọn viên bi cho có viên bi vàng là: cách chọn   Quy tắc đếm: Các trường hợp độc lập Ví dụ 3.Trong môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi số câu hỏi dễ không 2?   Bài giải - Sơ đồ đường giải Gọi A tập hợp cách chọn đề cóBài câu hỏi dễ, câu hỏi khó, câu hỏi trung Bước 1: Xác định yêu cầu bình +) Yếu tố: số câu hỏi Gọi B tập hợp cách chọn đề có câu hỏi dễ, câu hỏi khó, câu hỏi trung bình +) Tính chất : Không có tính chất riêng Gọi C tập hợp cách chọn đề có câu hỏi dễ, câu hỏikhó, 2, câu hỏi trung bình Bước 2: Chọn Ω tập hợp cách chọn theo yêu cầu đề + Cái : câu hỏi Vì A,B,C đôi không giao nhau, nên: + Từ đâu: từ 30 câu( 5Khó + 10TB + 15Dễ)  Sơ đồ đường CT tổ hợp + Như nào:   Vậy   A = C C C = 22750 15 10 B = C152 C52 C101 = 10500 C = C152 C51.C102 = 23625 Ω = 56875 Có đủ loại Câu hỏi dễ Bước : Liên kết  • •  • •   Trường hợp : kiện mở ( ) TH1: Có câu dễ TH2 : Có câu dễ Quy tắc đếm: Giữa TH độc lập => Quy tắc cộng Trong 1TH trình=> Quy tắc nhân Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Tính số cách chọn, người có em nam Bài Bài giải giải Có bạn nam TH1: Có bạn nam bạn nữ - Chọn nam số 25 bạn nam - Chọn nữ số 15 nữ TH2: Có bạn nam bạn nữ - Chọn nam số 25 nam Chọn nữ số 15 nữ TH3: Có nam nữ - Chọn nam số 25 nam Chọn nữ số 15 nữ TH4: Có nam - Chọn nam số 25 nam Vậy có tổng cộng số cách chọn Sơ Sơ đồ đồ con đường đường     Xác suất   Giả sử phép thử có không gian mẫu m ột tập hữu hạn kết đồng khả Nếu biến cố ĐỊNH NGHĨA  liên quan với phép thử tập kết thuận lợi cho xác suất số, kí hi ệu , đ ược xác đ ịnh b ởi công thức P(A) =   Cho biến cố Xác suất biến cố đối ĐỊNH LÝ  Nếu hai biến cố QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT xung khắc xác suất để xảy   Nếu hai biến cố độc lập với P(AB) =P(A).P(B) Phép thử Thực   công việc   Không gian mẫu Biến cố chắn chắn Trường hợp xảy (kết đồng khả năng) Ví dụ Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn? Bài Bài giải giải Chọn ngẫu nhiên thẻ số 16 thẻ ta không gian mẫu: Ω Gọi P(A) xác suất chọn ngẫu nhiên thẻ đánh số chẵn số 16 thẻ Ta có thẻ đánh số chẵn thẻ số 2,4,6,8,10,12,14,16 Ta có số cách chọn ngẫu nhiên thẻ số thẻ đánh số chẵn là: Vậy xác suất là: Sơ Sơ đồ đồ con đường đường Bước 1: Xác định yêu cầu Bước 1: Xác định yêu cầu +) Yếu tố: Chọn thẻ ( số nguyên ) +) Yếu tố: Chọn thẻ ( số nguyên ) +) Tính chất : Không có tính chất riêng +) Tính chất : Không có tính chất riêng Bước 2: Chọn Bước 2: Chọn CT tổ hợp CT tổ hợp + Cái : thẻ + Từ đâu: 16 thẻ + Cái : thẻ + Từ đâu: 16 thẻ Không gian mẫu Không gian mẫu + Như nào: + Như nào: thẻ chẵn thẻ chẵn Bước : Xác định biến cố Bước : Xác định biến cố Trường hợp : kiện đóng Trường hợp : kiện đóng Quy tắc đếm: chọn lần Quy tắc đếm: chọn lần Ví dụ Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Bài giải Sơ đồ đường Chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu số hộp sữa cam, hộp sữa Bước 1: Xác định yêu cầu dâu hộp sữa nho ( 12 hộp sữa ) ta không gian mẫu: Ω +) Yếu tố: Chọn hộp sữa Gọi P(A) xác suất chọn hộp sữa để phân tích mẫu có đủ loại +) Tính chất : Không có tính chất riêng Ta có số cách chọn hộp sữa để phân tích mẫu có đủ ba loại là:: cách Bước 2: Chọn Vậy xác suất là: P(A)  CT CT tổ tổ hợp hợp + Cái : hộp sữa + Từ đâu: 12 hộp  Không gian mẫu + Như nào: - Có đủ loại Bước : Xác định biến cố   Trường hợp : kiện đóng Quy tắc đếm: Trong trình chọn => Quy tắc nhân  CT tổ hợp Ví dụ Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác xuất để số chọn số chẵn Bài giải Sơ đồ đường Gọi P(A) xác suất số chẵn tập hợp S Bước 1: Xác định yêu cầu Gọi số có ba chữ số phân biệt có dạng: ( a +) Yếu tố: Chọn số Số phần tử tập S hay gọi không gian mẫu Ω ( cách ) +) Tính chất : Chữ số khác Gọi A biến cố chọn số chẵn từ tập S Bước 2: Chọn Do số chẵn nên c có cách chọn{ 2; ; 6} + Cái : chữ số Chọn b có cách chọn + Từ đâu:{1; 2; 3; 4; 5; 6;7} Chọn a có cách chọn  Vậy nên tập hợp số có ba chữ số số chẵn là: 3.5.6 số + Như nào: Vậy xác suất P(A) = - Không gian mẫu Số chẵn ( c { 2; ; 6} Bước : Xác định biến cố   Trường hợp : kiện đóng Quy tắc đếm: Trong trình chọn => Quy tắc nhân Ví dụ Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Bài giải Sơ đồ đường Bài giải số 25 học sinh không gian mẫu: Chọn học sinh lên bảng làm tập Bước 1: Xác định yêu cầu Ω +) Yếu1:tố: Chọn Bước Xác địnhhọc yêusinh cầu Gọi P(A) xác suất để học sinh gọi lên bảng có nam nữ Tínhtố: chất : Không có tính chất riêng +) Yếu Chọn học sinh TH1: Có nam nữ Bước 2: chất Chọn: Không có tính chất riêng +) Tính Chọn nam số 15 nam  2:CTChọn tổ hợp Bước Chọn nữ số 10 TH2: Có nam nữ Chọn nam số 15 nam là: Chọn nữ số 10 nữ TH3: Có nam nữ Chọn nam số 15 nam Chọn nữ số 10 nữ Vậy xác suất P(A)    Sơ đồ đường CT tổ hợp + Cái : học sinh + Từ 25 sinh học sinh Cáiđâu: : 4từhọc  + NhưKhông nào:gian mẫu  Không gian + Từ đâu: từ 25 họcmẫu sinh  CóNhư nam nữ + nào: Bước : Xác Có 3nam định nữ biến cố  Quy tắc hợp đếm:: kiện mở (số đếm nam & nữ)  Trường Trong quátắc trình chọn => Quy tắc nhân  Quy đếm: hợp :biến kiện Bước 3Trường : Xác định cố mở (số đếm nam & nữ) Giữa trường quy=> tắcQuy cộng Trongcác trìnhhợp chọn tắc nhân   Giữa trường hợp quy tắc cộng   CT tổ hợp Bài tập vận dụng Bài 1: Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có nam người Có nam nữ người Bài 2: Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ Bài 3: Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Bài   4:  (CĐSP TPHCM 1999) Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: Bài 5: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn Bài 6: Một hộp đựng viên bi đỏ giống viên bi xanh giống Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có đủ hai màu số viên bi màu đỏ lớn số viên bi màu xanh 1.Các đẳng thức dựa vào tam giác Pascan ( a + b) = 1 ( a + b) = a + b ( a + b ) = a + 2ab + b2 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 ( a + b ) = a + 4a3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 ... tổ tổ hợp hợp + Cái : hộp sữa + Từ đâu: 12 hộp  Không gian mẫu + Như nào: - Có đủ loại Bước : Xác định biến cố   Trường hợp : kiện đóng Quy tắc đếm: Trong trình chọn => Quy tắc nhân  CT tổ. .. Chọn CT tổ hợp CT tổ hợp + Cái : thẻ + Từ đâu: 16 thẻ + Cái : thẻ + Từ đâu: 16 thẻ Không gian mẫu Không gian mẫu + Như nào: + Như nào: thẻ chẵn thẻ chẵn Bước : Xác định biến cố Bước : Xác định...Dạng STT   Các toán tổ hợp Xác suất Nhị thức newton Số tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi Bản thân Quy tắc đếm       Hoán vị       Chỉnh hợp       Tổ hợp               Tìm hệ số