phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình đưa dạng tích 1.1 Phương trình sử dụng công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc,… Ví dụ Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) Giải ( 1) ⇔ ( sin x + sin x ) + ( sin x + sin x ) + ( sin x + sin x ) = ⇔ 2sin x  5x x 3x  7x 3x  cos + cos ÷+ cos  = ⇔ 4sin cos ( 2cos x + 1) =   2 2 2 k 2π   7x x = sin =   3x π k 2π  ⇔ cos = ⇔  x = + ;k ∈ Z   3   2cos x + =  x = ± 2π + k 2π    *Lưu ý: Khi ghép cặp để tổng ( hiệu ) sin ( cos ) cần để ý đến góc để cho tổng hiệu góc cos3x cos3 x − sin 3x sin x = Ví dụ Giải phương trình: Giải ( 2) ⇔ 2−3 (2) 1 2−3 cos x ( cos x + cos x ) − sin x ( cos x − cos x ) = 2 2−3 2−3 ⇔ cos x + cos 2 x = 4 π kπ ⇔ 4cos x + ( + cos x ) = − ⇔ cos x = ⇔ x=± + ( k∈Z) 16 ⇔ cos x ( cos x + sin x ) + cos x ( cos x − sin x ) = *Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng giúp ta tránh việc sử dụng công thức nhân Ví dụ Giải phương trình : Giải π  2cos  − x ÷+ cos x = 4cos x − 4  (3) π  − x ÷+ cos x = cos x − ⇔ sin x + cos x = ( 2cos x − 1) 2  ( 3) ⇔ + cos  π  ⇔ sin x + cos x = cos x ⇔ cos  x − ÷ = cos x 2 6  ⇔x= π π kπ + kπ ∨ x = + ,k ∈¢ 12 36 1.2 Phương trình sử dụng số biến đổi khác Việc đưa phương trình dạng tích điều quan trọng để phát nhân tử chung nhanh nhất, sau số biến đổi giúp ta làm điều ⊕ sin x = ( − cos x ) ( + cos x ) , cos x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) ⊕1 + sin x = ( sin x + cos x ) − sin x = ( sin x − cos x ) cos x = ( − sin x ) ( + sin x ) + cos x + sin x = 2cos x(sin x + cos x) − cos x + sin x = 2sin x(sin x + cos x) sin x + cos x cos x π  ⊕ sin  x + ÷ = sin x + cos x 4  ⊕1 + tan x = Ví dụ Giải phương trình: Giải Cách 1: 2sin x(1 + cos x) + sin x = + 2cos x (4) ( ) ⇔ 2sin x.2cos x + 2sin x cos x = + 2cos x ⇔ ( 2cos x + 1) ( 2sin x cos x − 1) =  cos x = −  ⇔  sin x = Cách 2: phần lại dành cho bạn đọc ( ) ⇔ 2sin x cos x − (1 − sin x) − 2(cos x − sin x) = ⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( cos x − sin x ) − ( cos x − sin x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x + 2sin x − cos x + sin x − ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − 2cos x − cos x + sin x ) = (phần lại HS tự làm) Ví dụ 5.Giải phương trình: Giải cos x + 3sin x + 5sin x − 3cos x = (5) ( 5) ⇔ (6sin x cos x − 3cos x) − (2sin x − 5sin x + 2) = ⇔ 3cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1)(sin x − 2) = ⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = Phương trình tương đương với phương trình (HS tự làm) Phương trình chứa ẩn mẫu Cần lưu ý điều kiện xác định công thức cot x = tan x + Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: 2cos x sin x (6) sin x ≠ kπ  ,k ∈Z cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ sin x ≠   x = lπ 2cos4 x 2cos x 2cos4 x ⇔ = ⇔ cos4 x = cos2 x ⇔  ,l ∈ Z ( ) ⇔ cot x − tan x =  x = lπ sin x sin x sin x  x=± Kiểm tra điều kiện ta Ví dụ Giải phương trình: Giải π + lπ , l ∈ Z 4cos3 x + 2cos x ( 2sin x − 1) − sin x − ( sin x + cos x ) =0 2sin x − 2sin x − ≠ ⇔ cos2 x ≠ ⇔ x ≠ ĐK: π kπ + ,k ∈ Z (7) ( ) ⇔ 4cos x ( sin x + cos x ) − 2cos x ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) = π  x = − + mπ   ⇔ ( sin x + cos x ) ( cos x − 1) ( 2cos x + 1) = ⇔  x = m2π ,m∈Z  2π + m 2π x = ±  x= Kiểm tra điều kiện ta nghiệm m 2π ,m∈ Z 3tan x + cot x = tan x + Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: cos3x ≠ π kπ  x ≠ + sin2x ≠   ⇔ ,k ∈ Z  cos x ≠  x ≠ kπ  sin x ≠ sin x (8) (*) 2sin x cos x ⇔ + = sin x cos3 x cos x cos3 x sin x sin x ⇔ 4sin x sin x + 2cos2 x cos x = 2cos3 x ⇔ 4sin x sin x + cos3 x + cos x = 2cos3 x ( 8) ⇔ ( tan 3x − tan x ) + ( tan 3x + cot x ) = ⇔ 4sin x sin x = cos3x − cos x ⇔ 8sin xcos2 x sin x = −2sin x sin x ⇔ cos2 x = − 1  −1  ⇔ x = ± arccos  ÷+ mπ , m ∈ Z   Nghiệm thỏa mãn ĐK BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( (*) ) 1)cos3 x + cos2 x − cos x − = 3)(1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x π   2) 2 sin  x − ÷cos x = 12   1 4)sin x + sin x − − = 2cot x sin x 2sin x 5)sin x + cos2 x + 3sin x − cos x − = x  6) tan x + cos x − cos x = sin x 1 + tan x tan ÷ 2  π  7)2 2cos3  x − ÷− 3cos x − sin x = 4  8) = tan x + cot x π  π  10)sin x − cos3 x = cos2 x tan  x + ÷tan  x − ÷ 4  4  11) tan x + tan x = − sin x cos x 9) cos x cos xcos3 x + sin x sin x sin x = π x 12)sin x cos x − sin 2 x = 4sin  − ÷−  2 x x π x  13)sin sin x − cos sin x + = 2cos  − ÷ 2  2 14)2sin x + cot x = 2sin x + 15)sin x + sin x cos3 x sin x + sin x cos3 x ) = sin x sin x ( 3sin x ( cos x − sin x ) cot x − ... 1)(3cos x − sin x + 2) = Phương trình tương đương với phương trình (HS tự làm) Phương trình chứa ẩn mẫu Cần lưu ý điều kiện xác định công thức cot x = tan x + Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: 2cos... ⇔ cos  x − ÷ = cos x 2 6  ⇔x= π π kπ + kπ ∨ x = + ,k ∈¢ 12 36 1.2 Phương trình sử dụng số biến đổi khác Việc đưa phương trình dạng tích điều quan trọng để phát nhân tử chung nhanh nhất, sau... cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − 2cos x − cos x + sin x ) = (phần lại HS tự làm) Ví dụ 5.Giải phương trình: Giải cos x + 3sin x + 5sin x − 3cos x = (5) ( 5) ⇔ (6sin x cos x − 3cos x) − (2sin x