3 CD3 phuong trinh luong giac

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Đơn vị đo góc cung: Độ: Góc 10 = góc bẹt 180 Radian: (rad) 180 o y x O 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thơng dụng: Độ Radian 00 300 π 450 π 600 π 900 π 1200 2π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghĩa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α O (tia gốc) t M α t α 3600 2π x A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: ¼ = a + k2p Số đo số cung lượng giác đặc biệt: AM M A → B → C → D → A, C → B, D → 2kπ π + 2kπ π + 2kπ - π + 2kπ kπ π + kπ y B C + x A O D − 61 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN y B III Định nghĩa hàm số lượng giác: u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục cơsin ( trục hồnh ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : trục cotang x' −1 C R =1 O t u + A −1D x − Định nghĩa hàm số lượng giác: t' y' a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho ¼ AM = a Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x'Ox y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghĩa: t y t Trục sin Trục cotang U B u' M Q t x' α O Trục cosin P + T α A cosα = OP sinα = OQ x − −1 y' u tanα = AT cotα = BU Trục tang t' b Các tính chất : • Với α ta có : −1≤ sinα ≤ hay sinα ≤ −1≤ cosα ≤ hay cosα ≤ π + kπ • cot a xác định ∀α ≠ kπ c Tính tuần hồn • tan a xác định ∀α ≠ sin(α + k2π ) cos(α + k2π ) tan(α + kπ ) cot(α + kπ ) = = = = sinα cosα tanα cotα (k ∈ Z ) 62 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - 3/3 -1 u' 2π /3 3π /4 B π u π /4 2/2 π /6 1/2 - 3/2 - 2/2 -1/2 2/2 3/2 -π /6 -1 -π/2 -1 -π /3 y' cos α tan α cot α kxđ 300 π 3 3 − - 3/3 -π /4 - 3/2 x O - 2/2 Hslg sin α + A (Điem å gố c) -1/2 00 3/3 1/2 -1 Góc π /3 3/2 5π /6 x' 3/3 π/2 450 π 2 2 600 π 3 2 900 π kxđ 3 0 t' 1200 2π 3 − − − - 1350 3π 2 − -1 3 -1 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: 63 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Đó cung : Cung đối : α và-α Cung bù : α vàπ -α ( tổng π ) Cung phụ π : α − α ( tổng Cung (tổng 0) π π & − ,…) 6 π 5π & (Vd: ,…) 6 (Vd: π ) π π : α + α 2 Cung π : α vàπ + α (Vd: π π & ,…) (Vd: π 2π & ,…) (Vd: π 7π & ,…) 6 Cung đối nhau: Cung bù nhau: cos(−α ) sin(−α ) tan(−α ) cot(−α ) cos(π − α ) sin(π − α ) tan(π − α ) cot(π − α ) = cosα = − sinα = − tanα = − cotα Bù sin Đối cos = − cosα = sinα = − tanα = − cotα Cung phụ nhau: Cung π cos( − α ) π sin( − α ) π tan( − α ) π cot( − α ) π cos( + α ) π sin( + α ) π tan( + α ) π cot( + α ) = sinα = cosα = cotα Phụ chéo π Hơn sin cos cos trừ sin = tanα π : = − sinα = cosα = −cotα = − tanα Cung π : cos(π + α ) sin(π + α ) tan(π + α ) cot(π + α ) = − cosα = − sinα = tanα = cotα Hơn π tang , cotang VI Cơng thức lượng giác: Các hệ thức bản: 64 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN cos2α + sin2 α = sinα tanα = cosα cosα cotα = sinα cos2α 1+ cot2α = sin α tanα cotα =1 1+ tan2α = Cơng thức cộng: cos(α + β ) = cosα cosβ − sinα sin β cos(α − β ) = cosα cosβ + sinα sin β sin(α + β ) = sinα cosβ + sin β cosα sin(α − β ) = sinα cosβ − sin β cosα tanα +tanβ tan(α +β ) = 1− tanα tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1+ tanα tan β Cơng thức nhân đơi: cos2 a = + cos2a sin2 a = 1- cos2a cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − = 1− 2sin α = cos4 α − sin4 α sin2α = 2sinα cosα 2tanα tan2α = 1− tan2 α sin α cos α = sin 2α Cơng thức nhân ba: cos 3α = cos α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α Cơng thức hạ bậc: cos2 a = + cos2a ; Cơng thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan sin2 a = 1- cos2a ; cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α tan2 a = 1- cos2a + cos2a α : 65 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN sin a = 2t ; + t2 cosa = 1- t2 ; + t2 tan a = 2t 1- t2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sinα sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sinα cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cosβ = Cơng thức biến đổi tổng thành tích: α +β α −β cosα + cosβ = 2cos cos 2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 α +β α −β sinα + sin β = 2sin cos 2 α +β α −β sinα − sin β = 2cos sin 2 sin(α + β ) tanα + tanβ = cosα cosβ sin(α − β ) tanα − tan β = cosα cosβ Các cơng thức thường dùng khác: π π cosα + sinα = 2cos(α − ) = 2sin(α + ) 4 π π cosα − sinα = 2cos(α + ) = − 2sin(α − ) 4 + cos4a + 3cos4 a cos6 a + sin6 a = cos4 a + sin4 a = B BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CÁC VÍ DỤ 66 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ỉ ỉ pư p ç sin a = ; p÷ sin a+ ÷ ÷ ÷ Ví dụ 1: Cho góc a Ỵ ç mà Tính ç ç ÷ ÷ ç ç è2 ø è 6ø Bài giải ỉ p ÷ ♥ Từ hệ thức: cos2 a + sin2 a = a Ỵ ç ç ; p÷ ÷ ç è2 ø =5 ỉ pư 3- a+ ÷ = Thay (2) vào (1) ta được: sin ç ÷ ç ÷ ç è 6ø Suy ra: cosa =- 1- sin2 a =- 1- (2) ỉ 3p a a ; 2p÷ ÷ Ví dụ 2: Cho góc a Ỵ ç mà sin + cos =- Tính sin 2a ç ÷ ç è2 ø 2 Bài giải a a 1 ♥ Từ sin + cos =- Þ 1+ sina = Þ sina =2 2 4 ìï ïï cos2 a = 1- sin2 a = 1- = ï 16 16 Þ cosa = ♥ Do ïí ỉ ïï p ÷ ç ;2p÷ ïï a Ỵ ç ÷ ÷ ç è ø ïỵ ♥ Vậy sin2a = 2sina cosa =- ỉ 3p ỉ pư p; ÷ a- ÷ ÷ ÷ Ví dụ 3: Cho góc a Ỵ ç mà cos a = Tính tan ç ç ç ÷ ÷ ç ç è 2ø è 4ø 41 Bài giải ỉ 3p 92 40 40 ÷ p; ÷ ♥ Do a Ỵ ç ç Þ sin a =1 cos a =1 =Þ tana = ÷ ç ÷ è 2ø 41 41 40 - ỉ pư tan a 31 ÷ = = = ♥ Do tanç hoctoancapba.com ça - ÷ ÷ ÷ 1+ tana ç 40 49 4ø è 1+ Ví dụ 4: Cho a góc mà sin a = Tính ( sin 4a + 2sin 2a ) cos a Bài giải ♥ Ta có: ( sin4a + 2sin2a ) cosa = ( cos2a +1) 2sin2a cosa = 2cos2 a 4sina cos2 a ỉ 1ư 225 ÷ ÷ = 8( 1- sin a ) sina = 8ç = ç1÷ ÷ 128 ç è 16ø 2 Ví dụ 5: Cho a góc mà tan a = Tính P = sin a sin a + 3cos3 a 67 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bài giải ♥ Vì tana = nên sina ¹ , đó: sina 1+ cot2 a sin a P= = = sin a + 3cos3 a 1+ 3cot3 a 1+ 3cot3 a ( tan2 a +1) tana ( 22 +1) 10 = = = tan3 a + +3 11 C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận Định lý bản: ( Quan trọng ) sinu =sinv cosu =cosv  u =v+k2π ⇔   u =π -v+k2π  u =v+k2π ⇔  ⇔ u = ± v +k2π u = -v+ k2 π  tanu =tanv ⇔ u =v+kπ cotu =cotv ⇔ u =v+kπ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) (u;v ≠ ( u; v biểu thức chứa ẩn k ∈ Z ) Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết cách giải b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây:  A=0 A.B = ⇔   B=0 c Phương pháp 3:  A=0 A.B.C = ⇔  B=0  C=0 Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : • Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) • Phương trình có chứa (cos x ± sin x) vàsinx.cosx 68 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Các phương trình lượng giác thường gặp: a Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m (Phương trình lượng giác bản) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu m > pt(1) vơ nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = sin α ta có ( ∀m ∈ R )  x =α +k2π (1) ⇔ sinx =sinα ⇔   x =(π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) • Nếu m > pt(2) vơ nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = cos β ta có  x = β +k2π (2) ⇔ cosx =cosβ ⇔   x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt ln có nghiệm ∀m ∈ R ) • Đặt m = tan γ (3) ⇔ tanx =tanγ ⇔ x =γ +kπ ( pt ln có nghiệm ∀m ∈ R ) * Gpt: cotx = m (4) • Đặt m = cot δ (4) ⇔ cotx =cotδ ⇔ x =δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − y π + k2π B ⇔ x =kπ π sin x = ⇔ x = + k2π cosx = −1 ⇔ x =π + k2π π cosx =0 ⇔ x = +kπ cos x = ⇔ x = k2π + sinx =0 C x A O D − b Dạng 2: asin2 x + bsin x + c = acos2 x + bcos x + c = atan2 x + btan x + c = ( a ≠ 0) acot2 x + bcot x + c = 69 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN (Phương trình bậc hai hàm số lượng giác) Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta phương trình : at2 + bt + c = (1) Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) c Dạng 3: acos x + bsin x = c (1) ( a;b ≠ 0) (Phương trình bậc sinx cosx) Cách giải: • Chia hai vế phương trình cho (1) ⇔ • Đặt a 2 a +b a2 + b2 pt a b c cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 = cosα b a + b2 = sinα với α ∈ [ 0;2π ) : (2) ⇔ cosx.cosα +sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = (2) c a2 + b2 Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x c a + b2 (3) Chú ý : Pt acosx +bsinx =c cónghiệ m ⇔ a2 + b2 ≥ c2 d Dạng 4: asin2 x + bsin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) (1) (Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx) Cách giải 1: 1− cos2x 1+ cos2x vàcos2x = 2 cơng thức nhân đơi : sin x.cos x = sin2x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng 2 Áp dụng cơng thức hạ bậc : sin x = 70 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: atan2 x + btan x + c = Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = e Dạng 5: π + kπ có phải l nghiệm (1) khơng? a(cos x + sin x) + bsin x.cos x + c = (1) (Phương trình đối xứng sinx cosx) Cách giải : π i - 2≤ t≤ Đặt t = cos x + sin x = 2cos(x − ) vớ t2 − Do (cos x + sin x)2 = 1+ 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : • at + b • Chú ý : t2 − + c = (2) Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: π 2cos(x − ) = t tìm x a(cos x − sin x) + bsin x.cos x + c = Ta giải tương tự cho pt có dạng : CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình sin x + cos x = (1) Bài giải ♥ Ta có: ỉ pư ( 1) Û - cos ççç5 x + ÷ ÷ ÷+ cos x = è 2ø Û ỉ pư cos ç 5x + ÷ ÷ ç ÷= cos x ç è 2ø Û é p ê5 x + = x + k 2p ê ê p ê ê5 x + =- x + k 2p ê ë Û é êx =ê ê ê êx =ê ë p k 2p + p k 2p + 14 (Biến đổi pt bản) ( k Ỵ ¢) ( k Ỵ ¢) 71 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x =Ví dụ 2: Giải phương trình sin x Bài giải ♥ Ta có: p k 2p p k 2p + , x =+ 14 cos x = 2sin x ( k Ỵ ¢) r (1) hoctoancapba.com ( 1) Û sin x cos x = sin x 2 ỉ p÷ Û sin ç 3x - ÷ = sin x ç ÷ ç è 3ø é ê3 x ê Û ê ê ê3 x ê ë (Biến đổi pt bản) p = x + k 2p p = p- x + k 2p é p êx = + k 2p ê Û ê ê 4p k 2p + êx = ê 15 ë ( k Ỵ ¢) p 4p k 2p + ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = + k 2p, x = 15 Ví dụ 3: Giải phương trình cos 5x 3x cos + ( 8sin x - 1) cos x = 2 ( k Ỵ ¢ ) r (1) Bài giải ♥ Ta có: ( 1) Û ( cos x + cos x) +8sin x - cos x = Û cos x + 8sin x - = Û 4sin 2 x - 8sin x + = · sin x = (Biến đổi pt bậc hai theo sin2x) : phương trình vơ nghiệm é p ê2 x = + k 2p p ê · sin x = Û sin x = sin Û ê Û 5p ê ê2 x = + k 2p ê ë ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = é p êx = + k p ê 12 ê ê 5p êx = + k p ê ë 12 p 5p + k p, x = +k p 12 12 Ví dụ 4: Giải phương trình cos x.cos x + sin x = cos x ( k Ỵ ¢) ( k Ỵ ¢ ) r (1) Bài giải 72 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG ♥ Ta có: HĐBM-TỔ TỐN ( 1) Û cos8 x + cos x + sin x = cos8 x Û 2sin x - sin x - = = ésin x = ê Û ê êsin x =ê ë (Biến đổi pt bậc hai theo sinx) p · sin x = Û x = + k 2p é p êx =- + k 2p ỉ pư ê · sin x =- Û sin x = sin ç - ÷ Û ê ÷ ç ÷ ç è ø ê 7p + k 2p êx = ê ë ( k Ỵ ¢) p p 7p +k 2p ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = + k 2p; x =- + k 2p, x = 6 Ví dụ 5: Giải phương trình ( sin x - cos x ) = - sin x ( k Ỵ ¢ ) r (1) Bài giải ♥ Ta có: ( 1) Û sin x - 2 cos x + 2sin x cos x - = ( ) Û sin x cos x + - ( Û sin x · sin x - )( ( ) 2 cos x + = ) 2 cos x + = (Biến đổi pt tích số) = Û sin x = : phương trình vơ nghiệm · cos x + = Û cos x =- 3p 3p Û cos x = cos Û x = ± + k 2p 4 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = ± 3p + k 2p Ví dụ 6: Giải phương trình sin x + cos x = + sin x ( k Ỵ ¢) ( k Ỵ ¢ ) r (1) Bài giải ♥ Ta có: ( 1) Û sin x + cos x - 2sin x cos x - = Û ( sin x - 2) ( cos x - 1) = (Biến đổi pt tích số) · sin x - = Û sin x = : phương trình vơ nghiệm · cos x - = Û cos x = p p Û cos x = cos Û x = ± + k 2p 3 p ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = ± + k 2p ( k Ỵ ¢) ( k Ỵ ¢ ) r 73 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ỉ p - x÷ ÷ Ví dụ 7: Giải phương trình cos ç ç ÷+ sin x = ç è2 ø (1) Bài giải ♥ Ta có: ( 1) Û sin x + 2sin x cos x = Û sin x ( + cos x ) = (Biến đổi pt tích số) · sin x = Û x = k p · + cos x = Û cos x =- 2p 2p Û cos x = cos Û x = ± + k 2p 3 ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = k p , x = ± Ví dụ 8: Giải phương trình sin x + cos x - sin x = 2p + k 2p ( k Ỵ ¢ ) r (1) Bài giải ♥ Ta có: ( 1) Û cos x sin x + cos x = = Û cos x ( 2sin x +1) = · cos x = Û x = p p kp + kp Û x = + (Biến đổi pt tích số) ( k Ỵ ¢) é p êx =- + k 2p ỉ pư ê · 2sin x +1 = Û sin x =- Û sin x = sin ç Û ê ( k Ỵ ¢) ÷ ç- ÷ ÷ ç è ø ê 7p + k 2p êx = ê ë p kp p 7p + k 2p ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = + , x =- + k 2p, x = 6 Ví dụ 9: Giải phương trình cos x + sin x = sin x Bài giải ♥ Ta có: ( k Ỵ ¢ ) r (1) hoctoancapba.com ( 1) Û cos x + sin x - sin x = Û cos x - cos x sin x = Û cos x ( sin x - 1) = (Biến đổi pt tích số) p p kp + kp Û x = + ( k Ỵ ¢) p · sin x - = Û sin x =1 Û x = +k 2p ( k Ỵ ¢ ) p kp p ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x = + , x = +k 2p 2 · cos x = Û x = Ví dụ 10: Giải phương trình ( + sin x ) cos x =1 + sin x + cos x ( k Ỵ ¢ ) r (1) Bài giải ♥ Ta có: ( 1) Û ( + sin x) sin x - ( + sin x) = 74 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Û ( + sin x ) ( 2sin x - 1) = · sin x =- Û x =- p + k 2p (Biến đổi pt tích số) ( k Ỵ ¢) é é p p ê2 x = + k 2p êx = + k p p ê ê · 2sin x- = Û sin x = Û sin x = sin Û ê Û ê 12 ( k Ỵ ¢) 5p ê ê 5p ê2 x = + k 2p êx = + kp ê ê ë 12 ë p p 5p ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x =- + k 2p, x = + k p, x = +k p ( k Ỵ ¢ ) r 12 12 ỉ pư x+ ÷ ÷ Ví dụ 11: Giải phương trình + tan x = 2 sin ç ç ÷ ç è 4ø (1) (Phương trình lượng giác có điều kiện) Bài giải ♥ Điều kiện: cos x ¹ Û x ¹ ♥ Ta có: ( 1) Û + Û p + kp sin x = ( sin x + cos x ) cos x ( sin x + cos x) ( cos x - 1) = · sin x + cos x = Û tan x =- Û x =· cos x - = Û cos x = (Biến đổi pt tích số) p + kp ( k Ỵ ¢) p p Û cos x = cos Û x = ± + k 2p 3 ( k Ỵ ¢) Đối chiếu điều kiện: nghiệm tìm thỏa điều kiện ♥ Vậy nghiệm phương trình cho x =- p p + k p, x = ± + k 2p ( k Ỵ ¢ ) r D BÀI TẬP Giải phương trình 1) cos x − cos x + 2sin 3x = 3) cos x cos x = + cos x 2) cos x + cos 3x + cos x = 4) cos 3x + tan x sin x = 5) cos x + sin x = cos x 6) cos x + cos x + sin x sin x = 7) sin x + cos x − 3sin x − cos x + = 8) sin x + cos x + sin x − cos x =0 75 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN 9) cos x + 8sin x = cos x + 10) cos3 x + 6sin x = π  π  11) 8cos x cos  − x ÷.cos  + x ÷+ = 3  3   13π  − x ÷= 12) sin x + sin    13) 1− 5sin x + 2cos2 x = 14) 15) ( ) cos x 2sin x + − cos x − 1 + s in2x 17) cot x − tan x + 4sin2x = 19) 2cos2 x + cot2 x = =1 sin2x sin3 x + sin2 x cos x − cos x + =0 tan x − 16) 5sin x − = 3( 1− sin x) tan x 18) cos2 3x cos2x − cos2 x = 20) cos2x − tan2 x = cos2 x − cos3 x − cos2 x  cos3x + sin3x  21) 5 sin x + ÷ = cos2x + 1+ 2sin2x   22) 4cos3 x − 3sin3x = 1+ 3cos x 23) cos7x − sin5x = ( cos5x − sin7x)  2π 24) 2cos  − 2x÷+ 3cos4x = 4cos x −    π 25) sin3x − 3cos3x = 2sin 3x − ÷ 3   π 26) 2sin 2x + ÷+ 4sin x = 6  x 2π 27) sin x cos4x − sin 2x = 4sin  − ÷−  2 5x  2π 9x 28) cos3x + sin7x = 2sin  + ÷− 2cos 4 2  17π  2 + 10x÷ 29) sin 2x − cos 8x = sin   30) 2sin2x − cos2x = 7sin x + 2cos x − 31)  π 2sin 2x + ÷ = 3sin x + cos x + 4  32) 2cos6x + 2cos4x − 3cos2x = sin2x + -Hết - 76 ... α + A (Điem å gố c) -1/2 00 3/ 3 1/2 -1 Góc π /3 3/2 5π /6 x' 3/ 3 π/2 450 π 2 2 600 π 3 2 900 π kxđ 3 0 t' 1200 2π 3 − − − - 135 0 3 2 − -1 3 -1 1500 5π 3 − − − 1800 36 00 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ V... giá trị đặc biệt y t - - 3/ 3 -1 u' 2π /3 3π /4 B π u π /4 2/2 π /6 1/2 - 3/ 2 - 2/2 -1/2 2/2 3/ 2 -π /6 -1 -π/2 -1 -π /3 y' cos α tan α cot α kxđ 30 0 π 3 3 − - 3/ 3 -π /4 - 3/ 2 x O - 2/2 Hslg sin... 1+ 2sin2x   22) 4cos3 x − 3sin3x = 1+ 3cos x 23) cos7x − sin5x = ( cos5x − sin7x)  2π 24) 2cos  − 2x÷+ 3cos4x = 4cos x −    π 25) sin3x − 3cos3x = 2sin 3x − ÷ 3   π 26) 2sin 2x