hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ 7: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Kiến thức liên quan 1.1.2 Hệ thức lượng tam giác vuông ∆ABC Cho vuông A BC = AB + AC a = b2 + c2 • Định lý Pitago: hay 2 BA = BH BC ; CA = CH CB b = a.b ', c = a.c ' • hay AB AC = BC AH bc = ah • hay 1 1 1 = + = 2+ 2 2 AH AB AC h b c • hay BC = AM • 1.1.3 Hệ thức lượng tam giác thường a = b + c − 2bc.cos A • Định lý hàm số Côsin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C • Định lý hàm số Sin: 1.1.4 Các công thức tính diện tích a Công thức tính diện tích tam giác 1 S = a.ha = bhb = chc 2 • 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 • VABC A′B′C ′ = S ABC AA′ = a 183 • • S = pr r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC • S = abc/4R R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S= • Đặc biệt: p ( p − a)( p − b )( p − c ) p= với a+b+c (Công thức Hê-rông) • • ∆ABC ∆ABC S= vuông A: AB AC S= cạnh a: a2 S = a2 b Diện tích hình vuông cạnh a: (H.1) S = a.b c Diện tích hình chữ nhật: (H.2) S = m.n d Diện tích hình thoi: (H.3) S = h ( a + b) e Diện tích hình thang: (H.4) 1.1.5 Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng • Đường chéo hình vuông cạnh a d =a h= • Đường cao tam giác cạnh a a AG = • Điểm G trọng tâm tam giác ABC (H.5) (H.6) AM (H.7) 1.1.6 Thể tích khối đa diện a Thể tích khối lăng trụ • Thể tích khối lăng trụ: V = Bh , với B diện tích đáy ; h chiều cao •Thể tích khối hộp chữ nhật: •Thể tích khối lập phương: V = abc V = a3 , với a, b, c chiều dài, rộng, cao với a cạnh b.Thể tích khối chóp •Thể tích khối chóp: V = Bh , với B diện tích đáy, h chiều cao 1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện 1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp việc sử dụng công thức thể tích Khi tính thể tích khối đa diện cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao diện tích đáy dựa công cụ học hệ thức lượng tam giác thường, hệ thức lượng tam giác vuông,… • Một số phương pháp xác định đường cao - Nếu hình chóp có đường thẳng hạ từ đỉnh vuông góc với đáy đường - cao Nếu hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường hạ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến mặt Nếu hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy giao tuyến mặt bên đường cao khối chóp - Nếu hình chóp có cạnh bên tạo với đáy góc ᵩ chân đường cao khối chóp tâm đa giác đáy - Nếu hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ đỉnh tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ᵩ ᵩ - Nếu hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy thuộc đường phân giác góc tạo giao tuyến cạnh bên với đáy ᵩ - Nếu hình chóp có cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy thuộc đường trung trực cạnh giới hạn cạnh bên với đáy • VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt a phẳng (ABCD) SH = Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a Lời giải SH ⊥ ( ABCD ) Vì nên 1 VS CDMN = SH SCDMN = SH ( S ABCD − S BCM − S AMN ) 3 5 3 = a a2 = a 24 *Nhận xét: Trong nhiều toán yếu tố quan trọng chiều cao Với khối chóp cần xác hóa đường cao (chân đường cao) hình chóp Ở ta liệt kê số trường hợp thường gặp sau: Ví dụ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Lời giải Gọi H tâm hình vuông SH ⊥ ( ABCD ) S ABCD Vì hình chóp nên VS ABCD = SH S ABCD Do đó, S ABCD = AB = a Vì ABCD hình vuông nên (đvdt) 2 2 2 SA + SC = AB + BC = AC = 2a Ta có ∆SAC nên vuông S, mà H trung điểm AC nên SH = AC a = 2 1 a 2 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = a = a 3 (đvtt) *Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy Ví dụ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy a cạnh bên hợp đáy góc Lời giải 600 Gọi H tâm tam giác Vì S ABC hình chóp nên VS ABC = SH S ABC ABC , M trung điểm BC SH ⊥ ( ABC ) Do đó, ABC AM ⊥ BC Vì tam giác nên ACM Trong tam giác vuông , AM = AC − CM = a − ⇒ S ABC = a 3a = ⇒ AM = a 4 AM BC = a Mà ta lại có (đvdt) (2) AM ⊥ BC , SH ⊥ BC mặt phẳng ( ABC ) nên SM ⊥ BC Do đó, Góc mặt phẳng góc SM AM hay góc Do H trọng tâm tam giác Trong tam giác vuông (1) SHM ABC HM = nên · tan SMH = , · SMA = 60 AM = a SH a ⇒ SH = HM tan 600 = HM 1 a 3 ⇒ VS ABC = SH S ABC = a = a 3 24 (đvtt) ( SBC ) *Ghi nhớ: (α ) + Cách xác định góc đt d mặt phẳng : d ⊥ (α) (α ) 900 -Nếu góc d d ⊥ (α) (α) -Nếu góc d góc d d’ hình chiếu d (α) +Cách xác định góc hai mặt phẳng (α) (β) a ⊥ ( α ) ,b ⊥ ( β ) (α) ( β ) -Cách 1: Xác định hai đt A, B cho góc góc a b (α) ( β ) -Cách 2: Nếu giao tuyến d xác định hai đt A, B nằm (α) (β) cho a ⊥ d ,b ⊥ d thì góc (α) (β) góc a b Ví dụ Cho tứ diện mặt phẳng π r2 ABCD có ABC tam giác cạnh a, Tính thể tích khối tứ diện ABCD Lời giải Gọi H trung điểm BC AH ⊥ BC Ta có tam giác ABC nên ( ABC ) ⊥ ( BCD ) ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC mà , ⊥ ( BCD) ⇒ AH BCD tam giác vuông cân D, ∆ABC Ta có tam giác cạnh a nên ∆BCD Mà tam giác vuông cân nên DH = AH = a a BC = ⇒ BD = DH = a 2 ⇒ S BCD = a2 BD = ⇒ VABCD = (đvdt) 1 a2 3 AH S BCD = a= a 3 24 (đvtt) *Nhận xét: Hình chóp có mặt bên mặt chéo vuông góc với đáy góc chân đường cao thuộc giao tuyến mặt với đáy, đường cao nằm mặt bên mặt chéo ( α ) ⊥ ( β )  ( α ) ∩ ( β ) = d ⇒ a ⊥ ( β )  a ⊂ ( α ) , a ⊥ d *Ghi nhớ: Ví dụ S ABCD ABCD Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA Ta có: VS ABCD = SA.S ABCD Do đó, S ABCD = AB.BC = 2a ABCD Diện tích đáy là: Do AC hình chiếu SC mặt phẳng ( ABCD ) Ta có: góc ( ABCD ) nên góc SC mặt phẳng · SCA = 600 · AC = AB + BC = a ⇒ SA = AC.tan SCA = a 5.tan 600 = a 15 VS ABCD 2a 15 = Vậy thể tích khối chóp là: (đvtt) *Nhận xét: Hình chóp có hai mặt bên kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt Ví dụ AB = a, BC = 2a S ABC ABC Cho hình chóp có đáy tam giác vuông A, Các cạnh SA = SB = SC = 2a S ABC bên Tính thể tích khối chóp Lời giải ( ABC ) Gọi H hình chiếu S mặt phẳng SA = SB = SC đường xiên nên hình chiếu HA = HB = HC tương ứng Do đó, H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABC mà tam giác vuông A nên H trung điểm BC Vì SBC SH = 2a tam giác cạnh 2a nên đường cao =a AC = BC − AB = 3a ⇒ AC = a ⇒ S ABC 2 Theo định lí Pitago, (đvdt) a3 VS ABC = SH S ABC = a2 = AB AC = 2 Nên thể tích khối chóp là: (đvtt) *Nhận xét: Hình chóp có cạnh bên (hoặc hợp đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ (Đề TSĐH khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 gọi I trung điểm AD Biết hai mặt VS ABCD phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính Lời giải Gọi H hình chiếu I BC Từ giả thiết suy SI vuông góc với mặt đáy Ta dễ dàng tính được: IC = a 2, IB = BC = a S ABCD = Ta có , AD ( AB + CD ) = 3a 2 IH BC = S IBC = S ABCD − S ABI − SCDI = 3a − a − IH = nên S BCI 3 = a BC VS ABCD = Từ tìm a 3a = 2 15 a (đvtt) Ví dụ 10 Hai cạnh đối diện tứ diện có độ dài x, cạnh khác có độ dài Với giá trị x thể tích tứ diện đạt giá trị lớn ? Lời giải Giả sử SA = BC = x, cạnh khác tứ diện có độ dài Gọi I, D trung điểm BC & SA Ta có: SA ⊥ S (BCD) Do đó: 1 V = dt ∆BCD.SA = BC.ID.SA D C A H B I mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = – V= Suy ra, x2 x 1− = x2 − x 12 MaxV = Vì , x2 2 đạt x = 3 Ví dụ 10 Cho hình hộp chữ nhật đáy góc Lời giải 450 ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 4a, AC = 5a mặt phẳng ( ABC ' D ') Tính thể tích khối hộp chữ nhật BC = AC − AB = 3a ⇒ S ABCD = AB.BC = 12a Do hợp Theo ĐL Pitago ta có: ( ABCD ) ∩ ( ABC ' D ' ) = AB   BC ⊂ ( ABCD ) , BC ⊥ AB   BC ' ⊂ ( ABC ' D ' ) , BC ' ⊥ AB Nên góc mặt phẳng ( ABC ' D ') Suy ra, tam giác vuông cân nên đáy góc CC ' = BC = 3a Vậy thể tích khối hộp chữ nhật (đvdt) · CBC ' = 450 VABCD A ' B ' C ' D ' = CC '.S ABCD = 36a (đvtt) *Nhận xét:Với khối lăng trụ khối đa diện khác ta sử dụng số hướng sau: +Sử dụng trực tiếp công thức biết thể tích khối lăng trụ +Quy tính thể tích khối chóp đặc biệt + Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính +Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để khối đa diện dễ tính thể tích Ví dụ 11 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' , đáy tam giác cạnh a diện tích tam giác Ví dụ 3.(Đề TSĐH khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC Lời giải Dễ dàng tính AC = a 5, BC = 2a IA = AM Ta có I trọng tâm tam giác AA’C’ nên VI ABC = VM ABC nên 2 ⇒ VI ABC = VM ABC = VA ' ABC = a.2a.2a = a 3 3 Ví dụ Trên cạnh SA, SB hình chóp SABC SD SE = = DA EB lấy điểm D E cho Mặt SABC phẳng qua DE song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải Dễ dạng xác định thiết diện tạo mặt phẳng qua DE, song song với SC hình DEFG SABC chóp hình bình hành VABDEFG = VA.DFG + VB.DEF + VABDF Ta có AB / / ( DEFG ) , S DEF = S DFG ⇒ VA.DFG = VB DEF Do 2 VB DEF = VF BDE = VC BDE = d ( C , ( SAB ) ) S BDE 3 2 = d ( C , ( SAB ) ) S SBD 3 2 = d ( C , ( SAB ) ) S SAB = VSABC 3 3 27 2 2 VABDF = VF ABD = VC ABD = d ( C , ( SAB ) ) S ABD = d ( C , ( SAB ) ) S SAB = VSABC 3 3 3 ⇒ VABDEFG = VA DFG + VB DEF + VABDF = 20 VSABC 27 20 Do đó, tỉ số thể tích hai phần là: b Sử dụng tỉ số thể tích A ' ∈ SA, B ' ∈ SB, C ' ∈ SC Cho hình chóp S.ABC có Khi đó, VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VSABC SA SB SC Lưu ý: Công thức áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa giác áp dụng cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số Ví dụ Cho tứ diện ABCD có CD = a 19 Tính AB = a, AC = 2a, AD = 3a, BC = a 3, BD = a 10, VABCD Lời giải ABC , ABD, ACD Sử dụng định lý Cosin cho tam giác · · · BAC = 600 , CAD = 1200 , BAD = 90 Lấy M ∈ AC , N ∈ AD BM = Ta có ta cho AM=AN=a AC = a, BN = a 2, · MN = AM + AN − AM AN cos MAN = 3a ⇒ MN = a Do đó, tam giác BMN vuông B Vì AB=AM=AN nên hình chiếu A (BMN) tâm H đường tròn VBMN ngoại tiếp , H trung điểm MN VABMN AB AM AN = = VABCD AB AC AD Có VA BMN 1 a3 a3 = AH S BMN = a − a a.a = ⇒ VABCD = 3 12 (đvtt) Ví dụ ABC A ' B ' C ' Cho khối lăng trụ tam giác Các mặt phẳng chia lăng trụ thành phần Tính tỷ số thể tích phần Lời giải V1 = VC MNC ' ;V2 = VC '.MNB ' A ' ;V3 = VC MNBA ;V4 = VMNABB ' A ' Gọi ( ABC ') , ( A ' B ' C ) VC A ' B ' C ' = V1 + V2 V thể tích lăng trụ Ta có Mặt khác: V1 CM CN CC ′ = = VC A′B′C ′ CA′.CB′.CC ′ V V V V ⇒ V1 = = ; V2 = V − = 12 12 V3 = VC ' ABC − VCMNC ' = VCA ' B ' C ' − VCMNC ' = V2 ;V3 = V1 : V2 : V3 : V4 = 1: : : V 5V ; V4 = V − V1 − V2 − V3 = 12 Vậy Ví dụ (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008) ABCD, M , N , P BC , BD, AC Cho tứ diện thuộc cho BC = BM , BD = BN , AC = AP , mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng (MNP) Lời giải DH / / BC ( H ∈ IM ) , DK / / AC ( K ∈ IP ) I = MN ∩ CD, Q = PI ∩ AD Gọi , kẻ ∆NMB = ∆NDH ⇒ ID DH BM = = = IC CM CM IK DK ID DK DK = = = ⇒ = ⇒ = IP CP IC AP AP ∆APQ ∆DKQ đồng dạng AQ AP AQ ⇒ = = ⇒ = DQ DK AD V = VABCD Đặt VANPQ VANCD Ta có: AP AQ VANCD VDACN DN 1 = = , = = = ⇒ VANPQ = V AC AD VABCD VDABC DB 10 VCDMP CM CP 1 1 = = ⇒ VCDMP = V ⇒ VN ABMP = VDABMP = ( V − VCDMP ) = V VCDBA CB CA 2 2 ⇒ VABMNQP = VANPQ + VN ABMP = Vậy mặt phẳng ( MNP ) V 7 V ⇒ ABMNQP = 20 VCDMNQP 13 chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 13 Bài tập tự luyện Bài (Trích đề thi khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, SC, SD Tính thể tích khối tứ VCMNP = diện CMNP theo a Đáp số: a3 96 Bài (Đề thi ĐH khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ AD = a ⊥ nhật với AB = a, , SA = a SA (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB VABIN Đáp số: a3 = 72 Bài (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính VSBCNM Đáp số: VSBCNM = 3a Bài (Trích đề khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ⊥ vuông A B; AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) SA = 2a Gọi M, N lần = lượt trung điểm SA SD Tính VSBCNM Đáp số: VSBCNM a3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Các toán chứng minh tính vuông góc 2.1.1 Kiến thức cần biết a Tiêu chuẩn vuông góc + Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) (d) vuông góc với hai đường thẳng giao (P) d a b P + Hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với góc tạo hai mặt phẳng 900 b Các định lý tính vuông góc d Q P d' P R P a Q + Định lý ba đường vuông góc: Giả sử ∆ ⊂ ( P) , d’ hình chiếu d lên (P) Khi d ⊂ ( P) ∆⊥ d d không vuông góc (P), ⇔∆⊥d' ( P) ∩ (Q) = ∆ + Giả sử (P) (Q) hai mặt phẳng vuông góc với nhau, Nếu a ⊂ ( P), a ⊥ ∆ a ⊥ (Q) ∆ ⊥ ( P) + Nếu Δ vuông góc với đường thẳng chứa mp(P) ∆ ⊥ ( R) ( P ) ∩ (Q ) = ∆ + Giả sử (P) (Q) vuông góc với (R) ( P) ⊃ a ( P) ⊥ ( Q) a ⊥ (Q ) + Nếu 2.1.2 Các dạng toán thường gặp * Chứng minh đường thẳng a b vuông góc: 900 - Cách 1: Ta chứng minh góc hai đt ⊥ - Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c b urr u.v = - Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng hai vectơ phương α - Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với mp( ) chứa đường thẳng b (hay dùng) - Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc α * Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp( ): α - Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a b cắt nằm ( ) α - Cách 2: Ta chứng minh d song song với đường thẳng d’ vuông góc với ( ) - Cách 3: Nếu hai mp vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vuông góc với mặt phẳng - Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, đường thẳng nằm mp mà vuông góc với giao tuyến vuông góc với mp Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau: - Cách 1: Ta chứng minh mp chứa đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường ta??) 900 - Cách 2: Ta chứng minh góc chúng Ví dụ (ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAD tam giác mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm ⊥ SB, BC, CD Chứng minh AM BP Lời giải ⊥ Gọi H trung điểm AD, tam giác SAD nên SH AD ⊥ ⊥ ⊥ S Vì (SAD) (ABCD), suy SH (ABCD) suy SH BP (1) Dễ thấy hai tam giác vuông BPC CHD nhau, nên ta có M · · · · CBP = DCH ⇒ CBP + HCB = 900 ⇒ BP ⊥ CH B (2) A N BP ⊥ ( SHC ) H C Từ (1) (2) suy ra: (3) D P ⇒ ( SHC ) / / ( MAN ) Do HC // AN, MN // SC (4) BP ⊥ ( MAN ) ⇒ AM ⊥ BP Từ (3) (4) suy ra: (đpcm) Ví dụ (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng điểm D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE, BC Chứng minh MN ⊥ BD ⇒ SE / / DA Lời giải :Ta có SEAD hình bình hành SE = DA S ⇒ ⇒ SC / / EB SEBC hình bình hành M Gọi P trung điểm AB Khi tam giác EAB ABC ta có MP // EB, PN // AC P Từ suy (MNP) // (SAC) (1) A BD ⊥ SH ( SH ⊥ (ABCD) ) ⇒ BD ⊥ ( SAC ) DB ⊥ AC H C Ta có (2) B DB ⊥ ( MNP ) ⇒ BD ⊥ MN Từ (1) (2) suy ra: (đpcm) Ví dụ (ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = SA ⊥ ( ABCD) ( SAC ) ⊥ ( SMB) a Gọi M trung điểm AD Chứng minh Lời giải Giả sử I giao điểm AC MB S Ta có MA = MD AD // BC AI = IC nên theo định lý Talet suy M A a B I a a C , SA = D E D N AC = AD + DC = 3a , AI = a2 AC =  a   a2 1 2 MI = MB =  ÷ +a  = 9      a2 a2  a  AI + MI = + = ÷ = MA   Từ suy ⇒ MB ⊥ AC Vậy AMI tam giác vuông I (1) SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ MB Mặt khác (2) MB ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SMB ) ⊥ ( SAC ) ⇒ Từ (1), (2) suy đpcm Bài tập tự luyện Bài (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình ·ABC = BAD · = 900 , BA = BC = a, AD = 2a thang,trong Giả sử SA = a 2, SA ⊥ ( ABCD) SC ⊥ SD Chứng minh Bài (Cao đẳng khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ·ABC = BAD · = 900 , SA ⊥ ( ABCD) thang, với , BA = BC = a, AD = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật Bài (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh a đáy a.Cạnh bên Gọi M, N, P trung điểm SA, SD, MN ⊥ SP DC.Chứng minh Bài Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông C, hai mặt bên (SAC) (SAB) vuông góc với đáy Gọi D, E hình chiếu A SC (SAB) ⊥ (ADE) SB Chứng minh 2.2 Bài toán khoảng cách 2.2.1 Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cách Phương pháp tính trực tiếp Tìm hình chiếu H A lên mặt phẳng (P) Khi đó, AH = d(A; (P)) Để tìm hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (P) có phương pháp thường dùng: Phương pháp 1: Dựng đường thẳng Δ qua A Δ H = ∆ ∩ ( P) ⊥ (P) (nếu có), ⊥ Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng (Q) qua A (Q) (P), gọi Δ giao tuyến ⊥ (P) (Q), từ A hạ AH Δ H Khi đó, H hình chiếu A lên mặt phẳng (P) Cách Phương pháp tính gián tiếp Việc tính gián tiếp thông qua điểm khác dựa vào tính chất hình học sau: a) Nếu đường thẳng Δ qua A Δ // (P) d(A; (P)) = d(B; (P)) với b) Nếu Δ qua A cắt mặt phẳng (P) I, ∀B ∈ A , ta có: ∀B ∈ ∆ AI d ( A;( P)) = BI d ( B;( P)) c) Mặt phẳng (Q) qua A (Q) // (P) d(A; (P)) = d(B; (P)) với ∀B ∈ (Q) Cách Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P), ta dựa vào công thức tính thể tích khối chóp với đỉnh A đáy nằm mặt phẳng (P) có diện tích S Khi đó, d ( A;( P )) = 3V S Cách Dựa vào toán bản: Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đôi vuông góc với Kẻ OH ⊥ (ABC) Khi đó, 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA SA = a ⊥ , gọi G trọng tâm ΔSAB Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC) Lời giải Lời giải 1: Tính trực tiếp Tìm hình chiếu H G lên mặt phẳng (SAC) ⊥  Phân tích lời giải: Việc tìm đường thẳng qua G mặt phẳng (SAC) khó Vậy, để tìm hình chiếu H A (ABCD), lên mặt phẳng (SAC) ta dùng cách 2: Dựng mặt phẳng (P) qua A vuông góc với mặt phẳng (SAC)  Cách dựng mặt phẳng (P): Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA vuông góc với đường ⇒ ⊥ ⊥ thẳng nằm mặt phẳng (P) SG cắt AB E nên từ E hạ EF AC EF (SAC) ⇒ (SEF) ⊥ Từ G hạ GH (SAC) ⊥ ⇒ ≡ (SEF) SF H (P) GH = → GH = d(G; (SAC)) Ta có a EF = BO = 3 Lời giải 2: Tính gián tiếp Nhận xét: EG cắt (SAC) S 2 a d ( E;( SAC )) = EF = 3 GB cắt SA N ES = GS ⇒ d(G;(SAC)) = 1 a BN d (G;( SAC )) = d ( B;( SAC )) = BO = =3 ⇒ GN 3 Từ G dựng đường thẳng Δ song song với SA cắt AB P Từ P hạ PJ d (G;( SAC )) = PJ = d(P;(SAC)) = d (G;( SAC )) = Ta có VSABC 3VGSAC S ∆ASC a Ta có ⊥ AC J → V VGSAC = VBASC → d (G;( SAC )) = SABC S ∆ASC a3 a2 a = SA.S ∆ABC = S ∆ASC = SA AC = ⇒ d (G;( SAC )) = 2 6 , Ví dụ (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB · 3a SBC = 30o = , Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a  Lời giải 1: SH = 3a, HB = 3a, HC = a Từ H hạ HI ⊥ Gọi K hình chiếu vuông góc H lên SI ⇒ HK = 3a ⇒ d(B;(SAC)) = 4.HK = AC I ⇒ HI = a ⇒ HK = d(H;(SAC)) 6a  Lời giải 2: Ta dễ dàng tính Lại có SB ⊥ AB 2 ⇒ SA = SB + BA = a 21 SH + CH = 2a CA = 5a; SC = Từ ta tính p= VSABC = 3a S ∆SAC = ( a + 21 Trong đó, Vậy d(B;(SAC)) = p ( p − SA)( p − CA)( p − SC ) ) ⇒S ∆SAC = 21a 3VSABC 6a = S ∆SAC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, khoảng cách SB AC Lời giải 1: Trong mặt phẳng (ABCD) dựng ∆ qua B song song với AC ∆ Đặt (P) = ( , SB) Khi đó, AC // (P) d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)) SA = a, SA ⊥ (ABCD) Tính Từ A hạ AI ⊥∆ I; Từ A hạ AH ⊥ SI H suy AH = d(A; (P)) Ta có AI = a a → AH = Lời giải 2: Dựng hình bình hành ABEC Ta có ⇒ VSABC = VSBEC ; AC // BE → AC // (SBE) d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE)) = Ta có: BE = AC = a , SB = 3VSABC S∆SBE a AE = a 3, SE = a , S∆SBE 2 2+ 6 a 6 2 2− 6 =  ÷a. ÷  ÷a 2       ( = )( ) a2 a2 2+ 2− = 1 a3 3V a VSABC = SA BA.BC = → d ( A;( SBE )) = SABC = S ∆SBE Lời giải 3: AC ∩ BD = O, I trung điểm SD d(AC; SB) = d(SB; (ACI)) = d(B; (ACI) Tính dt∆ACI S∆ACI = : Ta có 3VBACI VSABC = = S ∆ACI S ∆ACI a2 a ⇒ d ( AC ; SB) = Bài tập tự luyện Bài (Trích đề thi khối A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm h thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 o Tính thể tích khối chóp SABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a = a 42 Đáp số: d(BC; SA) Bài (ĐH khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tìm khoảng cách từ A 34 17 đến (BCD) Đáp số: Bài (ĐH khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC d ( AM , B ' C ) = Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Đáp số: a 7 2.2.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1: Dựng tính độ dài đường vuông góc chung ∆1 ∆2 Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) chứa song song với Khi đó, khoảng cách ∆1 ∆2 ∆2 A ∈ ∆2 khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) Cách 3: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz Cách 4: Xử dụng công thức V= AB.CD.d(AB,CD).Sin(AB,CD) Cách 5: Phương pháp bao hình Ví dụ (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N trung điểm AB CD Tìm khoảng cách hai đường thẳng A’C MN Lời giải: Ta có BC // MN A' ⇒ MN // (A’BC) ⇒ B' C' d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) I A AI ⊥ A'B ( AB' ∩ A'B = I) H Ta có M N BC ⊥ (BAA'B') ⇒ BC ⊥ AI B C Lại có D' D Từ AI ⊥ (A'BC) Vì kẻ MH // AI (H ∈ A'B) MH ⊥ (A'BC) d(M,(A'BC)) = MH = a AI = (2) d(MN,A'C) = Từ (1), (2) suy Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD cạnh a = cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AB CD Lời giải: A Gọi M N tương ứng trung điểm AB CD ⇒ M ⊥ ⊥ Do ABCD tứ diện đều, nên ta có CM AB DM AB ⇒ ⊥ ⊥ B AB (MCD) AN MN ⇒ ⊥ ⊥ N Lý luận tương tự ta có: CD (ANB) CD MN C Vậy MN đường vuông góc chung AB CD Ta có: MC = MD = MN = MC − CN = (3 6) − (3 2) = 36 ⇒ MN = 6cm Vậy =3 2 2 Bài tập tự luyện Bài (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Tìm khoảng cách hai đường thẳng MN, AC theo a Đáp số: d(MN, AC) = a Bài (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Tìm d ( A1B, B1D) = khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D Đáp số: a 6 D Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA ⊥ (ABCD) Giả sử AB = AC = 2a, d(A,(SBC)) = ·ABC = 120 3a Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).Đáp số: Bài (ĐH khối A năm 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2 ⊥ , đường chéo AC = 4, SO = SO (ABCD), với O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm cạnh SC Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA BM Đáp số: d(SA, BM) = Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Đáp số: a ... cạnh a: a2 S = a2 b Diện tích hình vuông cạnh a: (H.1) S = a.b c Diện tích hình chữ nhật: (H.2) S = m.n d Diện tích hình thoi: (H.3) S = h ( a + b) e Diện tích hình thang: (H.4) 1.1.5 Một số... • Cho hình chóp S ABC , S , M ∈ d / / ( ABC ) ⇒ VM ABC = VS ABC • Cho hình chóp Kết mở rộng cho khối chóp đa giác Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông... tuyến mặt Nếu hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy giao tuyến mặt bên đường cao khối chóp - Nếu hình chóp có cạnh bên tạo với đáy góc ᵩ chân đường cao khối chóp tâm đa giác đáy - Nếu hình chóp