Phương trình và bất phương trình mũ logarit

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CHUYÊN ĐỀ Kiến thức cần nhớ 1.1 Hàm số mũ: • • • Tập xác định : Tập giá trị : Tính đơn điệu: *a>1 Dạng : D= R T = R+ : *01 ∀x ∈ R đồng biến Đồ thị hàm số mũ : y ≠ (a>0,a 1) R y y=ax x 0 )) D = R+ Tập xác định : T=R Tập giá trị Tính đơn điệu: y = loga x R+ *a>1 : đồng biến y = loga x R+ *0 a f ( x) = b ⇔   f ( x ) = log a b b) b a g ( x ) (*) - Với - Với d) a a >1 x < a b a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) x TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn - Với f ( x) b ≤ 0, bất phương trình nghiệm với x ∈ D, D tập xác định - Với b > 0: f ( x) > b ⇔ f ( x ) > log a b a >1 a + : f ( x) > b ⇔ f ( x ) < log a b < a 25 Lời giải a) 76 x +3 x −7 ≤ 49 ⇔ 76 x + x −7 ≤ 72 ⇔ x2 + 3x − ≤ ⇔ x2 + 3x − ≤ TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn x = VT = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 Xét dấu VT ta tập nghiệm bất phương trình S = [-3; 1] − x2 + x + 3 b)  ÷ 5 − x2 +7 x+ 3 > ⇔ ÷ 25 5 Tập nghiệm bất phương trình 3 >  ÷ ⇔ − x2 + x + < ⇔ − x2 + x < 5 S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ ) 23 x − x −10 Bài (ĐH) Giải phương trình: Lời giải Phương trình tương đương: 23 x − x −10 ⇔ (2 x ⇔ 22 x 2 + 22 x − x −12 − x −12 −2 x −8 − 2x − 1)(2 x 2 + x+ + x −2 + 4x − 16 = ⇔ 23 x + 1) = ⇔ 22 x 2 − x −4 − x −14 − x −12 − 2x + 22 x 2 + x +2 − x −12 − 16 = − 2x + x −2 −1 = −1 =  x = −2 = 20 ⇔ x − x − 12 = ⇔  x = Vậy phương trình có nghiệm x = −2, x = 2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ Ví dụ 4: Giải bất phương trình Bài giải 4x − > 2x + > ⇔  ♥ Điều kiện: ♥ Khi đó: x >  ⇔x>  x > −  (*) (1) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( 1) ⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ + log3 ( 2x + 3) ⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ log3 [ 9( 2x + 3) ] ⇔ ( 4x − 3) ≤ 9( 2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ ⇔− ≤x≤3 ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) (1) ⇔ log x + log 22 x + log 23 x = 11 1 ⇔ log x + log x + log x = 11 11 ⇔ log x = 11 ⇔ log x = ⇔ x = 26 = 64 (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) log x + log 25 x = log 0,2 (2) Điều kiện: x > x=2 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (2) ⇔ log x + log 52 x = log 5−1 ⇔ ( ) −1 ⇔ log x + log x = log 3 log x = log ⇔ log x = log 3 ⇔ log x = log5 ( 3) ⇔ log5 x = log5 3 ⇔x= 33 Vậy phương trình có nghiệm c) log 22 x − log x − = (3) Điều kiện: x > Đặt x=33 t = t2 − t − = ⇔  t = t = log x   PT (3) trở thành t = ⇔ log x = ⇔ x = 23 = t = ⇔ log x = ⇔ x = 2 = (thỏa mãn) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = x = d ) 4log 22 x + log x = (4) Điều kiện x > (4) ⇔ 4log 22 x + log x = ⇔ 4log 22 x + 2log x − = 22 Đặt t = log x PT (4’) trở thành (4’) t = −1 4t + 2t − = ⇔  t =  t = −1 ⇔ log x = −1 ⇔ x = 2−1 =  (t / m) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn 1 t = ⇔ log x = ⇔ x = = (t / m) 2  x= Vậy phương trình có nghiệm e) 3log 32 x = 10log x − (5) Điều kiện x > t = log x ta x= t = 3t = 10t − ⇔ 3t − 10t + = ⇔  t =  Đặt 2 t = ⇔ log x = ⇔ x = 33 = 27 (nhan)  1 t = ⇔ log x = ⇔ x = 33 = 3 (nhan) 3  Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 f ) ln( x − x + 7) = ln( x − 3) (6) Điều kiện x=33  x2 − 6x + >  x − >  x = (loai ) (6) ⇔ x − x + = x − ⇔ x − x + 10 = ⇔   x = ( nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (TN) Giải bất phương trình sau: b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 a ) log (4 x − 3) < c) log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) Lời giải d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn a ) log (4 x − 3) < 4x − > ⇔ x > Điều kiện log (4 x − 3) < ⇔ x − < 32 ⇔ x < 12 ⇔ x < 3  S =  ;3 ÷ 4  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 Điều kiện x < x2 − 5x + > ⇔  x > log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 ⇔ x − x + ≤ ( 0,5 ) −1 ⇔ x2 − 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm c) log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) S = [ 1; ) ∪ ( 3;4]  x > −2 2 x + >  ⇔   x < −2 ⇔ x >  x − x − >  x >  Điều kiện: log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) ⇔ x + ≥ x − x − 3 ⇔ x − 3x − 10 ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) S = ( 3;5] TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  x > −   7 x + >  −1  ⇔  ⇔ x ∈  ; ÷∪ ( 1; +∞ )   10  10 x − 11x + >   x < 10   x > Điều kiện: lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) ⇔ x + ≥ 10 x − 11x + ⇔ 10 x − 18 x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm Bài (ĐH) Giải phương trình: log ( x − 1) + log    9 S = 0; ÷∪  1;   10    ( x − 1) = a) log ( x + 1) + = log b) Lời giải − x + log8 ( + x ) (2) < x ≠1 Điều kiện: ⇔ 2log x − + 2log ( x − 1) = ⇔ log x − + log ( x − 1) =   < x <   2 x − x + = 0(vn)   x >  ⇔ log x − ( x − 1) = log 3 ⇔ x − ( x − 1) = ⇔  2 x − x − = ⇔x=2 b) Điều kiện: x +1 ≠ −4 < x <  4 − x > ⇔   x ≠ −1 4 + x >  TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (2) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( + x ) ⇔ log x + + = log ( 16 − x ) ⇔ log x + = log ( 16 − x ) ⇔ x + = 16 − x + Với −1 < x < ta có phương trình x + x − 12 = (3) ; x = (3) ⇔   x = −6 ( lo¹i ) + Với −4 < x < −1 ta có phương trình x − x − 20 = (4);  x = − 24 ⇔ ( )   x = + 24 ( lo¹i ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=2 ( x = 1− Bài (ĐH) Giải bất phương trình: a) log x − x + + log x − > log ( x + 3) 3 log log b) Lời giải ( ) x + + x > log3 log ( x2 + − x x>3 Điều kiện: Bất phương trình cho tương đương: 1 log ( x − x + ) + log 3−1 ( x − ) > log 3−1 ( x + ) 2 ⇔ 1 log ( x − x + ) − log ( x − ) > − log ( x + 3) 2 ⇔ log ( x − ) ( x − 3)  > log ( x − ) − log ( x + 3) ) ) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  x−2 x−2 ⇔ log3 ( x − ) ( x − 3)  > log  ÷ ⇔ ( x − ) ( x − 3) >  x+3 x+3  x < − 10 ⇔ x2 − > ⇔   x > 10 Giao với điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x>0 b) Đk: ( 1) ⇔ log3 log ( ) x + − x + log log 5  ⇔ log  log  ⇔ log 52 ( < log5 log *) ( ) x + − x log ( ) ) x2 + + x < )  x + + x ÷<  x2 + + x < ⇔ < log *) ( ( x > 10 ( ( ) x2 + + x < ) x2 + + x ⇔ x > ) x + + x < ⇔ x + + x < ⇔ x + < − x ⇔ ⇔ x < Vậy BPT có nghiệm 12  12  x ∈  0; ÷  5 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: t = ax , t >  Đặt  Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t  Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  Nếu có nghiệm thỏa thay t = ax để tìm x kết luận Bài (TN) Giải phương trình sau: a ) x − 10.3x + = b) 25 x + 3.5 x − 10 = c ) x − 3− x − = d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = Lời giải a ) x − 10.3x + = ⇔ 32 x − 10.3x + = Đặt t = 3x , t > Phương trình trở thành: t = ⇔ 3x = ⇔ x = t = ( nhan) t − 10t + = ⇔  t = (nhan) t = ⇔ xx = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = b) 25 x + 3.5 x − 10 = ⇔ 52 x + 3.5x − 10 = Đặt t = 5x , t > t = 2( nhan) t + 3t − 10 = ⇔  t = −5(loai ) Phương trình trở thành: t = ⇔ x = ⇔ x = log x = log Vậy phương trình cho có nghiệm c) x − 23− x − = ⇔ x − x − = ⇔ 2 x − 2.2 x − = Đặt t = 2x , t > TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Phương trình trở thành: t = ⇔ 2x = ⇔ x = t = (nhan) t − 2.t − = ⇔  t = −2 (loai ) Vậy phương trình có nghiệm x = x x 2x x 9 6 3 3 d ) 6.9 − 13.6 + 6.4 = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = 4 4 2 2 x x x x Đặt 3 t = ÷ , t >0 2 Phương trình trở thành  t = 6t − 13t + = ⇔  t =  (nhan) 2 (nhan) x t= 3 3 ⇔  ÷ = ⇔ x =1 2 2 x 2 3 t = ⇔  ÷ = ⇔ x = −1 3 2 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = x − 3.2 x + < Bài (TN) Giải bất phương trình: Lời giải x − 3.2 x + < ⇔ 2 x − 3.2 x + < Bất phương trình t = 2x , t > Đặt t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Bất phương trình trở thành: Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1) log x log x 2x 10 + − 10 − = Bài (ĐH) Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x > ( ) ( ) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( ) 10 + log3 x − ( ) 10 − log3 x Ta có phương trinhg tương đương với: log3 x  10 +  ⇔ ÷   log3 x  10 −  − ÷   log3 x = Đặt  10 +  t = ÷   t − = ⇔ 3t − 2t − = t Phương trình trỏ thành: (t > 0)  + 10 t = ⇔  − 10 t =  (loại) + 10 Với t = ta giải x = Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Bài (ĐH) Giải bất phương trình log x a) +x (2 + 3) x 2log x − x +1 − 20 ≤ + (2 − 3) x − x −1 ≤ b) 2− Lời giải 4log 22 x Điều kiện: x> ; BPT ⇔ t = log x x = 2t Đặt Khi +x 2log x − 20 ≤ y = 22t 42t + 22t − 20 ≤ BPT trở thành Đặt BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ ⇔ - ≤ y ≤ ; y ≥ Đối chiếu điều kiện ta có: Do - ≤ log x ≤1⇔ 22t ≤ ⇔ 2t ≤ ⇔ t ≤ 1 ≤x≤2 = 3log3 x ⇔ - ≤ t ≤ TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( ⇔ 2+ b) Bpt ( t = 2+ Đặt ) ) x2 −2 x x2 −2 x ( + 2− ) x2 −2 x ≤4 (t > 0) t + ≤ ⇔ t − 4t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ + t BPTTT: ( 2− ≤ 2+ ) x −2 x ≤ 2+ (tm) ⇔ −1 ≤ x − x ≤ ⇔ x − 2x −1 ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Giải phương trình bất phương trình: 1) x− x −5 − 12.2 x −1− +8 = (3 + 5) + 16.(3 − 5) = x 3) x −5 x 2) x+ 4) ( + 3) (5− ) x − 3( − ) + = x ( x 21 + + 21 ) x ≥ 8.2 x Bài 2: Giải hệ phương trình sau 1) 3) ìï x + log3 y = ï í ïï ( y - y +12) 3x = 81 y î 2) ïìï log x + log y = + log í ïïî x + y = 20 4) ìï xy + xy ïï = 32 í ïï log x - y = 1- log x + y ) ) 3( 3( ïî ïìï log x - log y = í ïïî x y - y + = 2.3 Phương pháp lô ga rít hóa: Bài (TN) Giải phương trình: x +1 x2 = 1) 2) 2.4 Phương pháp hàm số: x 2  ÷ 5 x+2 1 = ÷ 7 x 3) 58 x −1 x = 500 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (k∈R) có không nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) log x2 + x + = x − 3x + 2 2x − 2x + Bài (ĐH) Giải phương trình Lời giải u = x + x + 1; v = x − x + ( u > 0, v > ) v – u = x − 3x  +2 Đặt suy u log = v − u ⇔ log u − log v = v − u ⇔ log u + u = log v + v v PT cho trở thành (1) f ( t ) = log t + t , t > Xét hàm đặc trưng: f ' (t ) = + > 0, ∀t > t.ln Ta có nên hàm số đồng biến t > Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy u = v hay v-u=0, tức x2-3x+2=0 x = 1, x = Phương trình có nghiệm u log a = v − u v Lưu ý: Với phương trình dạng với u > 0, v > < a, ta thường biến đổi ⇔ logau - logav = v – u logau + u = logav Vì hàm số f(t) = logat + t đồng biến t > 0, suy u = v Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải 1  log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log  − x ÷  2 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  1  x <  −x>0 x <  ⇔ ⇔ ⇔ x< 2 4 x − x + > (2 x − 1) > x ≠    ( *) ĐK: Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: 2log (1 − x) − x > + ( x + 2) [ log (1 − x) − 1] ⇔ x [ log (1 − x) + 1] <  x >  x >  x >     log (1 − x) + < log 2(1 − x) <  2(1 − x) <  x >    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x <  x <  x <     x < log (1 − x ) + > log 2(1 − x ) > 2(1 − x ) >       Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 1 < x< Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải x < x(3log x − 2) > 9log x − ⇔ 3( x − 3) log x > 2( x − 1) x>0 Điều kiện: Bất phương trình Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình x −1 log x > x>3 ⇔ x −3 TH1 Nếu BPT f ( x) = log x ( 0;+∞ ) Xét hàm số: đồng biến khoảng biến khoảng Với x4 f ( x) < f (4) = 3  g ( x ) > g (4) =  ⇒ :Ta có f ( x) > f (4) = 3  g ( x) < g (4) =  ⇒ Bpt vô nghiệm g ( x) = x −1 x −3 Bpt có nghiệm nghịch x>4 * TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn TH 2:Nếu 0< x1 :Ta có đồng biến ( 0;+∞ ) f ( x ) > f (1) =   g ( x) < g (1) =  ⇒ nghiệm x g (1) =  ⇒ Bpt có nghiệm < x 0 < x <  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình bất phương trình: 1) 32 x + 42 x = 25 x 1− x x2 −2 1− x x2 = 3) 5) 2) x−2 2x x −5 7) −e x −1 6) = 1 − 2x − x −1 21− x − x +  Đặt  Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t  Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu... (TN) Giải bất phương trình: Lời giải x − 3.2 x + < ⇔ 2 x − 3.2 x + < Bất phương trình t = 2x , t > Đặt t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Bất phương trình trở thành: Vậy bất phương trình có nghiệm... < x< Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải x < x(3log x − 2) > 9log x − ⇔ 3( x − 3) log x > 2( x − 1) x>0 Điều kiện: Bất phương trình Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình x −1 log x >