Phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BÀI TỐN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Vận tốc nguội lạnh vật khơng khí tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ khơng khí Tìm quy luật giảm nhiệt vật nhiệt độ khơng khí 200C nhiệt độ ban đầu vật 1000C Quy luật giảm nhiệt ⇔ thay đổi nhiệt độ theo thời gian Gọi nhiệt độ vật hàm số T theo biến thời gian t dT = k [ T (t ) − 20] ,T (0) = 100 C ⇒ PTVP dt BÀI TỐN DẪN VỀ PTVP Tìm pt đường cong qua điểm (1, 1) với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn đường cong tích lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0) x M(x,y ) ∫ y(t)dt = xy( x) Đạo hàm vế Lưu ý: x y(1) = y( x) = y( x) + xy'( x) ⇔ xy'( x) + y( x) = MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA PTVP phương trình mà hàm phải tìm nằm dấu đạo hàm vi phân Cấp ptvp cấp cao đạo hàm ẩn hàm Nếu ẩn hàm hàm biến ⇒ PTVP thường Nếu ẩn hàm hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo hàm riêng Hệ PTVP hệ gồm nhiều PTVP nhiều ẩn hàm NGHIỆM CỦA PTVP Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = (1) Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci số gọi nghiệm tổng qt (1) Nếu cho ci giá trị cụ thể ta nghiệm riêng (1) Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = thỏa mãn (1) gọi tích phân tổng qt (1) (y tìm dạng ẩn) Nếu cho ci giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng (1) NGHIỆM CỦA PTVP Đồ thị hàm nghiệm gọi đường cong tích phân Hàm y = y(x) thỏa (1) khơng phải nghiệm riêng gọi nghiệm kỳ dị (1) Bài tốn Cauchy cho ptvp cấp Xét ptvp cấp 1: Hoặc F(x, y, y’) = (1) y’ = f(x, y) (2) (2) Gọi pt giải đạo hàm Bài tốn tìm hàm y thỏa (1) (2) với điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Gọi tốn Cauchy MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tồn phần • Phương trình Bernoulli PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾN Phương trình tách y x vế khác gọi phương trình tách biến f(y) dy = g(x) dx Phương pháp giải: tích phân vế Các dạng gặp: f(y) y’ = g(x) y’ = f(y)g(x) f1(y)g1(x) y’ = f2(y)g2(x) Ví dụ 3y2y’ = 2x (1) y(0) = (2) (1) ⇔ 3y dy = xdx ⇔ ∫ 3y dy = ∫ xdx ⇔ y = x + C (3) ( tích phân tổng qt ) Thay x = 0, y = vào TPTQ ⇒ C = Vậy nghiệm (1) (2) là: y= x +1 Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + Ví dụ x x  x   y y Giải pt:  x + e ÷dx + e  − ÷dy = y  ÷    P(x,y) Q(x,y) x y x Py′ = − e = Q′x y Chọn : ( x , y ) = (0,1) x y x0 y0 U( x, y ) = ∫ P(t, y)dt + ∫ Q( x , t )dt x x  x   y y  x + e ÷dx + e 1 − ÷dy = y  ÷    Tích phân tổng qt: x y U( x, y ) = ∫ P(t, y)dt + ∫ Q(0, t )dt = C ( x ⇔ ∫ t+e t/y ) dt + ∫1 1.dt = C y x2 x/y ⇔ + y e −1 + y −1 = C ( ) PTVP TUYẾN TÍNH CẤP (1) y’ +p(x)y = q(x) Tồn pt chứa hàm bậc theo y y’ (2) y’ + p(x)y = 0: pt Cấu trúc nghiệm tổng qt (1): y = y0 + yr • y0 nghiệm tổng qt (2) • yr nghiệm riêng (1) Bước 1: tìm nghiệm tổng qt pt y’ + p(x)y = (dạng tách biến) − ∫ p( x) dx y0 = Ce Một nghiệm riêng (1) : Bước 2: tìm nghiệm riêng pt khơng y0 = Ce− ∫ p( x) dx Biến thiên số: y0 coi C =C(x) Thay y0 vào y’ + p(x)y = − ∫ p( x) dx C '( x)e − ∫ p( x) dx − p( x)C ( x)e ⇒ C '( x) = q( x)e ∫ Chọn (1) để xác định C(x) + p( x) y0 = q( x) p( x) dx C ( x) = ∫ q( x)e p( x) dx ∫ dx − ∫ p( x) dx yr = e ∫ q( x)e ∫ p( x) dx dx Cơng thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp − ∫ p( x) dx y= e Vd: ( ∫ q( x)e ∫ p( x) dx dx + C / xy'− y = x ⇔ y'− y = x2 p(x) = -1/x , q(x) = x2 x −1 −1  − ∫ dx  dx ∫ x ⇔ y= e  ∫ x e x dx + C ÷  ÷     x   21 = x ∫ x dx + C ÷ = x + C ÷ x     ) 2 / y'− xy = − x − ∫ −2 xdx ⇔ y= e ( −2 xdx ∫ ∫ (1 − x )e dx + C x2 ( ∫ (1 − x )e x2 ( xe =e =e − x2 − x2 ) dx + C ) x2 + C = x + Ce ) x / y + ∫ y(t)cos(t) dt = sin x + Đạo hàm vế  y'+ ycos x = sin xcos x ⇔  y(0) = (Đk ban đầu cận tp) − ∫ cos xdx ⇔ y= e − sin x =e (∫ cos xdx ∫ sin xcos xe dx + C ( ∫ sin xcos xe sin x dx + C ) ) − sin x =e − sin x =e dx + C sin x ( sin xe − ∫ cos xe sin x ( sin xe sin x − sin x =e ( ∫ sin xcos xe sin x ) sin x −e +C dx + C ) ) − sin x y = sin x − + Ce y(0)=1⇒ C = Nghiệm tốn: − sin x y = sin x − + 2e / y'( x + y) = y + (1), Lưu ý: y’ =1/x’ (đạo hàm hàm ngược) Pt viết lại: x′( y + 1) = x + y Xem x hàm theo y x y x′ − = y+ y+ (2) x y x′ − = y+ y+ −∫ − ⇒ x= e dy  y+1  ∫− y e ∫  y+   dy + C ÷ ÷  dy y+1 ⇒ x = ( y + 1)(ln | y + 1| − + C) y+ PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI y’ +p(x)y = q(x)yα, α ≠ α ≠ Phương pháp giải: Chia vế cho yα đổi biến u = y1 −α Pt trở thành: u’ + (1 - α)p(x)u = (1 - α)q(x) (Tuyến tính ) Vd: 2 / xy'+ y = x y Chia hai vế cho y : Đặt u = y 1−2 = y −1 y ⇔ y'+ = xy x y' 1 + = x y2 x y u u Pt trở thành: −u'+ = x ⇔ u'− = − x x x dx  dx  − ∫x ∫ x ⇔ u = e  ∫ − xe dx + C ÷ = − x2 + Cx  ÷   1 ⇔ = − x + Cx ⇔ y = y − x + Cx y / y'+ = x xy Nhân vế với y2 (chia cho y−2), pt trở thành: y y'+ y = Đổi biến: u = y3 x x u u u'+ = ⇔ u'+ = 3 x x x x −3 −3 ⇔ u = + Cx ⇔ y = + Cx / ( x + x3 sin y) y' = y ⇔ yx' = x + x sin y x sin y x' sin y ⇒ x'− = x ⇒ 3− = 2y 2y 2y x yx Đổi biến: u = x −2, pt trở thành: u sin y −1 u'+ = − ⇔ u = y (cos y + C ) y y cos y + C ⇔ 2= y x ... DẠNG PTVP CẤP • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tồn phần • Phương trình Bernoulli PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾN Phương trình tách... ⇒ u + ln|u -1| = −ln|x| + C Hay: y = ux PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP  ax + by + c  a b y′ = f  ≠0 ÷  a1x + b1y + c1  a1 b1 đưa tách biến Bước 1: giải hệ pt  ax  a1x + by + b1y + c = + c1 = Với cặp... cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = (1) Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci số gọi nghiệm tổng qt (1) Nếu cho ci giá trị cụ thể ta nghiệm riêng (1) Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = thỏa mãn (1) gọi tích phân