Phương trình vi phân cấp 1

BÀI TỐN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNVận tốc nguội lạnh của một vật trong khơng khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ khơng khí... Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường.. N

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP 1

BÀI TỐN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Vận tốc nguội lạnh của một vật trong khơng khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ khơng khí Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của

khơng khí là 20 0 C và nhiệt độ ban đầu của vật là

100 0 C

Quy luật giảm nhiệt ⇔ sự thay đổi

nhiệt độ theo thời gian

Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t

[ ( ) 20 , (0) 100 ] 0

dT

Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y)

thuộc đường cong (x>0, y>0)

1

3 Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường.

Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo hàm riêng

4 Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm

NGHIỆM CỦA PTVP

Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = 0 (1)

1 Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci là các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1)

Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng của (1)

2 Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn)

Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân

riêng của (1)

NGHIỆM CỦA PTVP

3 Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân

4 Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là

nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1)

Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1

Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0 (1)

y’ = f(x, y) (2)

Hoặc

(2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm.

Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầu

y(x0) = y0

Gọi là bài toán Cauchy

PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾN

Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến

3 2

⇔ = + ( tích phân tổng quát )Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ ⇒ C = 1

Vậy nghiệm của (1) và (2) là: y = 3 x2 + 1

Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + 1

(3)

2 y ≠ 0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)

y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát

y x y

PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP

0 0

2 4 '

Y X

Đổi biến: Y = UX ⇒ Y’ = U’X + U

2 4 '

1

− + + =

3 2

⇒ − U − + U − = − X c +

3 2

Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1): y = y0 + yr

• y0 là nghiệm tổng quát của (2)

• yr là 1 nghiệm riêng của (1)

Một nghiệm riêng của

Biến thiên hằng số: trong y0 coi C =C(x)

Thay y0 vào y’ + p(x)y = 0 (1) để xác định C(x)

Công thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp 1

2 0

Lưu ý: y’ =1/x’ (đạo hàm hàm ngược)

+